2025年中考数学一轮复习：二次函数的图象与性质 重点考点归纳练

二次函数的图象与性质重点考点归纳练

2025年中考数学一轮复习备考

一、单选题

1.已知抛物线y=x?+2x+4上有点尸（。,6）,当-2（。<3时，则P点纵坐标6的取值范围为（）

A.3<Z?<4B.-4<b<4

C.3<Z?<19D.4<&<19

2.已知点A（-3,a）,C（2,c）均在抛物线y=_2（x+iy+左上，则a,b,c的大小关系是

（）

A.c<a<bB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a

3.关于抛物线y=（x-l）2-2,下列说法错误的是（）

A.顶点坐标为（1,-2）B.当x>l时，，随x的增大而减小

C.开口方向向上D.函数最小值是-2

4.如图，在正方形AB8中，点8、。的坐标分别是（T-2）、（1,2）,点C在抛物线股-^^+云的

图像上，则6的值是（）

5.如图，VABC是等腰直角三角形，ZC=90°,47=3。=2,点0为边48上一点,过点。作0石工4?,

DF18C,垂足分别为E,尸，点。从点A出发沿AB运动至点瓦设DE=x,DF=y,四边形CEDE

的面积为S,在运动过程中，下列说法正确的是（）

A.y与尤满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值

B.y与x满足一次函数关系，S与尤满足二次函数关系，且S存在最小值

C.y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值

D.y与x满足反比例函数关系，S与尤满足二次函数关系，且S存在最小值

6.数学课上，夏老师给出关于x的函数y=2爪2一⑷左+i）x-左+1（左（左为实数）.学生们独立思考后，

把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上，夏老师作为活动一员，又补充了一些结论,

并从中选择了以下四条：

①存在函数，其图象经过点（1,0）；

②存在函数，该函数的函数值y始终随x的增大而减小：

③函数图象有可能经过两个象限；

④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数.

上述结论中正确的为（）

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

2一^

7.二次函数的图象如图所示，点4位于坐标原点，4,醍,As,...»A2023在y轴的正半轴上，

2

Bl,B3,…,史023在二次函数产第一象限的图象上，若△AoB/A],△A1&A2,AA2B3A3,

△A2022B2023A2023都是等边三角形，则△A2022B2023A2023的周长是（）

C.6063D.6060

8.定义为函数丁=〃/+陵+。的特征数，下面给出的特征数为｛2机,1-办-1-机｝时，关于函数

的一些结论，其中不正确的是()

Q

A.当m=-3时，函数的最大值为§

B.当机=-3时，函数图像的顶点到直线y=x-i的距离为逃

3

C.函数图像恒过两个定点(1,0)和

D.当根<0时，函数在％<二时，y随x的增大而增大

9.如图，一段抛物线：y=-x(x-4)(O<x<4),记为C-它与x轴交于点0,小将C1绕点人顺时针

旋转180。得到G；…如此进行下去，得到一条连续的曲线，若点P(2023,m)在这条曲线上，贝打”的

值为()

A.4B.3D.-3

10.如图，在矩形ABC。中，AB=3,3c=4,点尸在直线上运动，以8尸为直角边向右作RSP8。,

3

使得NBPQ=90。，BP£PQ,连接CQ,则CQ长的最小值为（）

C2则5^13

-1313

二、填空题

11.如图，平行于x轴的直线与两条抛物线%=a（x-4和%=匕。-13）2（a<6）相交于点A,B,C,

D.若AB=8,BC=3,CD=6,则〃的值为.

12.已知抛物线>=加+云+地>0）过点火一2,0）,2（0,0）,C（-3j）,D（3,%），E、；,力）五点,

则%、%、%的大小关系是.

13.如果一条抛物线>=62+"+4。=0）与工轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点

为顶点的三角形称为这条抛物线的“特征三角形”.已知抛物线、=炉的“特征三角形”是等腰直角

三角形，那么6的值为.

14.如图，抛物线>=加+及+。（。70）的顶点在线段AB上移动，与无轴交于C、。两点，若

A（-2,-3）、3（4,-3）,当四边形ASDC是矩形时，此时抛物线的解析式是—.

15.已知二次函数＞=2/+云+，的图像与无轴有且只有一个公共点，且过A(%-2,〃)，3(7〃+4,")两

点，则n的值为.

三、解答题

16.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=无?-2〃zx+/-〃z+9.

(1)4(4乂)，3(%,%)是抛物线上不重合的两点，当国+%=2时，％=%，求该抛物线的解析式.

(2)/(%,%)是抛物线上一点，且不+九=%.

①若"2=1,当-IW1时，求w的最小值.

②当2〃L1VXV；W+3时，〃的最小值是5,求机的值.

17.已知二次函数y=/+2x-3的图象与x轴的交于A,8两点，与,轴交于点C.

(1)求A,8两点坐标；

(2)点D在第三象限内的抛物线上，过点。作x轴垂线交AC于点E,求DE的最大值；

(3)在(2)的条件下，抛物线上是否存在点N,使以。，N,反。为顶点的四边形是平行四边形？若

存在，请求出点N的横坐标，若不存在，请说明理由.

18.抛物线x=g(x-〃)，左与%=。(工+3)2-1交于点A,分别交y轴于点P,Q,过点A作x轴的平

行线，分别交两条抛物线于点3,C.己知3(3,3),8c=10.

(1)求q的值.

⑵若点(2,m),(3,〃)及(4,p)都在抛物线％上，判断办w,p的大小关系，并说明理由.

(3)求PQ的值.

19.如图，直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=a(x-2y+上经过点A,B,

并与x轴交于另一点C,其顶点为P.

⑴求。，%的值.

(2)抛物线的对称轴上是否存在一点N,使AABN为直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存

在，请说明理由.

13

20.抛物线>=-万龙2一5%+2与无轴交于点AB(点A在点3的左侧)，与丁轴交于点C,连接AC,

BC.

⑴求点AB,C的坐标;

⑵如图1,尸是抛物线上的一动点，是否存在点尸，使得2LB=NACO?若存在，求出点P的坐标,

若不存在，请说明理由；

(3)如图2,。为线段AC上方抛物线上的一动点(点Q不与点AC重合)，过点。作Q尸〃8C交》轴

于点F,交线段AC于点E,若笑=言，请直接写出点。的坐标.

BC5

21.如图,抛物线y=ax2-2办+c(。<0)经过点A(-l,0),过该抛物线的顶点C作直线CD±x轴于点D,

CD=5,尸在抛物线>=依2_2依+。上，且在对称轴右侧，过点尸作「轴于点E.

图1图2

(1)求该抛物线的解析式.

(2)若AC〃。尸，求点尸的坐标.

(3)如图2,横坐标为2的点尸也在抛物线、=奴2-2G+C上，点G在线段CD上，且在点尸的下方,

当NEGF=90。时，求点P横坐标的最大值.

22.如图1,已知抛物线>=加一4依+c的图象经过点A(l,0),B(m,0),C(0,-3),过点C作CD〃x轴

交抛物线于点O,点尸是抛物线上的一个动点，连接PO,设点尸的横坐标为”.

(1)填空：m=Cl—c=

⑵在图1中，若点尸在x轴上方的抛物线上运动，连接。尸，当四边形0cop面积最大时，求W的值;

⑶如图2,若点。在抛物线的对称轴/上，连接PQ、DQ,是否存在点尸使AP。。为等腰直角三角形?

若存在，直接写出所有符合条件的点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案

1.C

本题考查二次函数的性质，解题的关键是得到抛物线的顶点式及熟练掌握y与龙的变化关系.根据抛

物线解析式得到顶点坐标，结合函数性质求解即可.

22

解：Vy=x+2x+4=（%+l）+3,

其顶点坐标为

Vl>0,且-2（。<3,

抛物线开口向下，

.•.3<Z?<（3+1）2+3=19.

故选C.

2.A

根据抛物线解析式求得对称轴为直线x=-l,开口向下，根据点到对称轴的远近进行判断即可求解.

本题考查二次函数的增减性，熟练掌握抛物线的对称性和增减性是解题的关键.

解：*•'y=—+1）+k,

抛物线的对称轴为直线x=-l,

:抛物线开口向下，而点2在对称轴上，点C离对称轴最远，

:.c<a<b.

故选：A.

3.B

本题考查二次函数的图象和性质，根据>=。（彳-〃）2+左的图象和性质进行判断即可.

解：VJ=(X-1)2-2,

；•抛物线的开口向上，对称轴为直线x=l,顶点坐标为。，-2),

.•.当x=i时，函数有最小值为-2,当x>i时，y随x的增大而增大；

综上：只有选项B说法错误，符合题意；

故选B.

4.D

本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数图像上点的坐标特征，过点C作MNLx

轴，过点8作于过点。作DNLMN于N,利用三角形全等的即可得出C点坐标，代

入y=-jx2+bx即可得出6的值.确定点C的坐标是解题关键.

解：过点。作轴，过点3作于Af,过点£)作。N_LMN于N,

：.ZBMC=ZCND=90°

・・•四边形ABCD是正方形，

：・/BCD=9U。,BC=DC,

：.ZBCM+ZDCN=90°=ZBCM+ZCBM,

:・ZDCN=/CBM,

在△CBM和ADC/V中，

ZBMC=ZCND

<ZCBM=ZDCN,

BC=CD

：.△CBM^APC7V(AAS),

:・BM=CN,CM=DN,

设C（a,b）,

•.•点B、二的坐标分别是(T-2)、(1,2),

{a+l=2—b

[a-l=b+2

a=2

解得:

b=-l

/.C（2,-l）,

:点C在抛物线y=-gY+云的图像上,

19

.,.-1=——X22+2Z?,

2

2

故选：D.

5.A

本题考查了等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，一次函数和二次函数的定义，二次函数求最

值.由等腰直角三角形的性质可得NA=NB=45。，再由±BC,DE±AC,推出和△。胴

是等腰直角三角形，四边形CEDE是矩形，进而可得y与x的关系，再根据矩形的面积公式可得S与

x的关系式，化为顶点式，即可得到最值.

解：・・・VABC是等腰直角三角形，ZC=90°,

ZA=ZB=45°,

•••DF±BC,DE±AC,

.•△血)和八0m是等腰直角三角形，四边形CEDE是矩形，

:.CF=DE=AE=x,BF=DF=y,

■■AC=BC=2,

:.BF=BC-CF^y=2-x,

与x满足一次函数关系，

S=CFxDF=x(2-x)=2x-x2=-(x-l)2+l>最大值为b

与无满足二次函数关系，且S存在最大值.

故选：A.

6.B

此题考查二次函数的性质，一次函数的性质，利用举特例的方法是解决问题常用方法.①将(1,。)点

代入函数，解出左的值即可作出判断；②首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假；③根

据②即可作出判断；④当人=0时，函数为一次函数，无最大值和最小值，当左片0时，函数为抛物线，

求出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断.

解：①将(1,。)代入可得：2k-(4k+l)-k+l=0,解得：k=0,此选项正确.

②当人=0时，y=-X+1,该函数的函数值y始终随X的增大而减小；此选项正确；

③当左=0时，y=—X+1,经过3个象限，

当上力0时，A=(4A:+1)2-4X2k(-k+1)=24k2+1>0,

•••抛物线必与无轴相交，

...图象必经过三个象限，此选项错误；

④当左=0时，函数无最大、最小值；

左W0时，为=—19，当上>。时，有最小值，最小值为负；当左<0时，有最大值，最大值为正；

此选项正确.

正确的是①②④.

故选：B

7.A

根据等边三角形的性质可得/A/oH=6O。，然后表示出的解析式，与二次函数解析式联立求出点

为的坐标，再根据等边三角形的性质求出AM/,同理表示出4班的解析式，与二次函数解析式联立

求出点昆的坐标，再根据等边三角形的性质求出44,同理求出出的坐标，然后求出A2A3,从而得

到等边三角形的边长为从1开始的连续自然数，与三角形所在的序数相等，进而求得三角形的周长.

解：•••△48/4是等边三角形,

XAiAoBi=6Q°,

''AoBi的解析式为y=-^-x,

联立；

y=-x2

I3

\力

解得：2或[尤=：，

1[y=°

I-

：.Bi（乌,

22

等边AAOB/A/的边长为gx2=1,

同理，A/比的解析式为y=#x+l,

y=^X+l

联立3,

y=-x2

I-3

[8

解得rx=’3或2,

y=2_1

：.B2（百，2）,

二等边△A/B2A2的边长4A2=2X(2-1)=2,

同理可求出出(士叵，冬)，

22

9

所以，等边△A283A3的边长A2A3=2X(--1-2)=3,

2

以此类推，系列等边三角形的边长为从1开始的连续自然数，

△A2022&023A2023的边长为2023,

**•△A2022&023A2023的周长是6069.

故选：A,

8.C

A、把根=-3代入｛2九1-九-l-机｝,求得｛。力,。｝,求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；

B、利用平行线的性质求得直线y=%-1与过顶点平行直线y=%-1的直线与＞轴的交点，求得交点的

长度，进一步即可解决问题；

C、代入%的值，验证即可解答；

D、根据特征数的特点，直接得出工的值，进一步验证即可解答.

解：函数y=一+Zzx+c的特征数为｛2祖,1一九一1一根｝

y=2mx21-m),

A、当相=一3时，y=—6/+4x+2=—6、—g)+|,顶点坐标是故当相=一3时，函数的最

Q

大值为1,此结论正确；

B、过顶点平行直线y=尤-1的直线为y=X+：，

所以直线y=x+g与y轴的交点为［。彳］,而直线y=x-l与y轴的交点为

710

所以两交点的长度为可，

所以顶点到直线y=x-i的距离为3义正=冥1,此结论正确;

323

C、当％=1时,y=2mx1+(l-m)x+(-l-m)=2m+(l-m)+(-l-m)=0,

当时,113

x=_gy=2mx2+=—m-—+=--

即函数图象恒过两个定点(l,o)和卜此结论不正确.

D、当机＜0时，丁=2侬2+(1-加卜+(-1-加)是一个开口向下的抛物线,

其对称轴是：直线尤=『，在对称轴的右边y随X的增大而减小.

4m

因为当机＜o时，?加一即11函11数在时1，y随1的增大而增大，此结论正确；

4m44m44

故选c.

9.D

根据抛物线与X轴的交点问题得到，图象G与X轴交点坐标为：(0,0),(4,0),再利用旋转的性质图

象孰与x轴交点坐标为:(4,0),(8,0),则抛物线G：y=(x-4)(x-8)(4WxW8),于是可推出抛物线

C506：y=(x—4x505)(x-4x506)(2020WxW2024),由于2023=4x505+3,则有P(2023,间在抛物

线y=(x-4x505)(x-4x506)(2020WxW2024)上，然后根据二次函数图象上点的坐标特征计算机的

值即可.

:如图抛物线G：y=-x(^-4)(O<x<4),

・••图象与x轴交点坐标为：(0,0),(4,0),

••,将G绕点A旋转180。得G，交x轴于点&,

抛物线C2：y=(x-4)(x-8)(4<x<8),

.•.将G绕点4旋转180。得G，交x轴于点A，

如此进行下去，

抛物线C506：y=-(x-4x505)(^-4x506)(2020<x<2024),

：2023=4x505+3,

/.P(2023,在抛物线y=(x—4x505)(x-4x506)(2020W;tW2024)上,

.•.当x=2023时，y=(2023-4x505)(2023-4x506)=-3,

故选：D.

10.D

过点。作脑VI")于点M,与BC交于点N,证明尸，设无，根据相似三角形

的相似比，用工表示AP,并求得PM,进而根据勾股定理，用尤表示CO?,根据二次函数的性质求

得C。的最小值，最后便可求得C0的最小值.

解：过点。作于点M,与BC交于点N,如图所示:

•.•/8尸。=90。，

ZAPB+ZMPQ=ZMPQ+ZPQM=90°,

:.ZAPB=ZMQP,

.\Z\APB^/\MQP,

APABBP

设MQ=x,贝!JNQ=3—x,

3

BP=-PQ,

•3_3

-x~MP~2

3

•*.AP=—x,MP=29

2

33

/.CN=DM=AD-MP-AP=4-2——x=2——%,

22

CQ2=QN2+CN2

2

=(3-x『+(2-r

1324

x-----

Z134

13

:＞。，即抛物线开口向上,

7475

当X啜时，CQ2的最小值为

，CQ长的最小值为宿=蒋1

故选：D

11.6

本题考查了二次函数的性质，分别作出两抛物线的对称轴交AO于"、N,令直线4)交＞轴于后,

由题意可得硒=13,CM=^(AB+BC)=y,BN=g(BC+CD)=”由EM+CM+BN-BC=EN

求出矶f=6,即可得解.

解：分别作出两抛物线的对称轴交AD于M、N,令直线AD交＞轴于E,

:平行于X轴的直线与两条抛物线x=a（尤-〃）2和丫2=65-13）2（。＜6）相交于点A,B,C,D.

.,.抛物线%=人。-13）2的对称轴为直线％=13,即EN=13,

*.*AB=8,BC=3,CD=6,

：.CM=^（AB+BC）=—,BN=g（BC+CD）=a，

,:EM+CM+BN—BC=EN,

119

C.EM+—+——3=13,

22

EM=6,

・・・抛物线%=a（x-h）2的对称轴为直线x=6,即%=6,

故答案为：6.

12.为＜%＜为

本题考查了二次函数的图象和性质，由抛物线丁=办2+陵+4〃＞0）过点A（-2,0）,5（0,0）,可得

[b=2a.

n,即得＞=以2+2〃%，得到抛物线的对称轴为x=-l,再根据。＞0知抛物线开口向上，抛物

[c=0

线上的点离对称轴的距离越近函数值越小，据此即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.

解：：抛物线丁=依2+法+。（。＞0）过点4（-2,0）,5（0,0）,

0=4a—2b+c

0=c

.\b=2a

•,〔c=0，

抛物线解析式为y=ax2+lax,

・・・抛物线的对称轴为x=-L

丁a>0,

・•・抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴的距离越近函数值越小，

：-1一（T）<T-（-3）<3-（-1）,

%<%<%，

故答案为：为<%<%.

13.2或-2

本题考查二次函数与x轴的交点问题、等腰直角三角形的性质、坐标与图形，根据等腰直角三角形的

性质可得该抛物线的顶点的横纵坐标相等或互为相反数，进而得到关于b的方程，然后解方程求解即

可.

解：由y=x?+Zzr=[x+g得顶点坐标为

令，=0,由0=x2+bx得为=0,x2=-b,

该抛物线y=丁+云与x轴的两个交点坐标为（0,0）,（-仇0）,

:抛物线y=炉的“特征三角形”是等腰直角三角形，

・Z?26b2b□J

..---=一或----=一一,且bwOn,

4242

解得Z?=2或b=—2,

即6的值为2或-2,

故答案为：2或-2.

一1228

14.y=-x~——x——

333

本题考查二次函数性质与几何图形应用，根据矩形的性质得到。(-2,0),。(4,0),设抛物线解析式为

)=。@+2乂了-4),求得顶点坐标为。,-3),代入求出a即可得到抛物线的解析式.

:四边形ABDC是矩形，

ACrCD.BDLCD,

又,.,(7、。两点在x轴，A(—2,-3)、B(4,—3)

轴，轴，轴，

/.C(-2,0),0(4,0),

设抛物线解析式为＞=a(x+2)(x-4),

•：抛物线的对称轴为直线x=士匹=1,

2

.••顶点坐标为3),

将点。，-3)代入，得-94=-3

•.•1J4--,

3

11?R

•••抛物线的解析式为/=?彳+2)(彳_4)=3丁_：尤_£,

故答案为：y=^-x2~~x~~•

333

15.18

本题考查了抛物线与x轴的交点，根据点A、5的坐标易求该抛物线的对称轴是直线%=相+1.故设

抛物线解析式为y=2(x-机-直接将A(m-2,〃)代入，通过解方程来求〃的值.

解：；抛物线3=21+小+，过点A（m一2,〃）,B（m+A,n）,

,-上口士/am—2+m+4

••对称轴是直线x=---------------=m+l,

又,:抛物线y=2炉+法+c与无轴只有一个交点，

顶点为（m+1,0）,

•♦•抛物线解析式为y=2（x-m-l）2,

把A（m-2,〃）代入，得:

n=2(m—2—m—l)2=18,

即〃=18.

故答案为：18.

16.(1)y=x2—2x+9

(2)①7；②2

本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键.

（1）根据抛物线的对称性求出机的值即可;

（2）①先求出抛物线解析式，根据二次函数的性质即可解答；②先求出“关于飞的二次函数解析式,

在求出对称轴，根据二次函数的性质，结合题意分类讨论即可.

（1）解：：A（&%）,8（々，%）是抛物线上不重合的两点，当%+无2=2时，%=%，，

.•.点3（%,%）关于抛物线的对称轴对称,

—2mx,+x1

:抛物线的对称轴为x=---=m=—-----9-=I,

2x12

・・・抛物线的解析式为：y=f_2x+9；

（2）解：①当机=1时，则抛物线的解析式为：y=x2-2x+9,

为）是抛物线上一点，且不+〃=%，

2

x0-2x0+9=x0+n,即嫣_3x0+9=n,

••."II\+~27^_~n，

Vl>0,

3

・•・1<；；时，〃随x的增大而减小,

2

有最小值，最小值为11-|

二％=1时，nj+一;

I4

2

②根据题意：一2go+m-m+9=x0+n9

艮|3几=/2—（2机+1）/+4一机+9,

（

22-2m+l）1

n=x0-（2m+l）x0+m-m+9的对称轴为x0=m+—,

―2^12

Vl>0,

，抛物线〃（）（根）根一根的图象开口向上，且/时,

=%2-2+1/+2+9<m+-1几随与的增大而减小,

%>加+；时，〃随与的增大而增大，勺=加+；时，〃有最小值，

2加一根+3时，n的最小值是5,

1Q

2m-1<—m+3,解得：m<—­

23

当加+万2/根+3时，则加之5,与题意矛盾，舍去；

13

当加+—V2m—1时，则加之一，

22

3g

此时，-<m<~,

23

当x=2根-1时，函数有最小值，

〃而n=（2zn—I）?—（2m+l）（2m—l）+m2—m+9=5,

解得：机=2或加=3（舍去）；

113

当2根—1<加+一<一机+3时，则根<一,

222

,,3

此时，m<-,

2

当光=小+!时，函数有最小值，

2

%由=［根+-（2m+l）^m+^+m2-m+9=5,

153

解得：m=（舍去）；

82

综上，加的值为2.

17.（1）A（-3,O）；3（1,0）

9

（2）的最大值为了

4

（3）存在，点N的横坐标为-；，一1•或'十个

此题考查了二次函数面积问题、二次函数与特殊四边形问题、二次函数与坐标轴的交点问题等知识,

数形结合和分类讨论是关键.

（1）解方程£+2%-3=0得至UM=1,x2=-3,即可得到答案；

（2）求出直线AC的表达式为y=3,设。（私疗+26-3）,则求出一3<用<0,

DE=—+—+—,则当根=一彳时，DE的最大值为?；

12）424

（3）分08为平行四边形的边和为平行四边形的对角线两种情况进行解答即可.

（1）解：令y=0,代入，=/+2工一3得：f+2彳-3=0,

解得西=1,x2=-3,

AA（-3,0）；8。，°）

（2）设直线AC的表达式为了=丘+〃，把A（-3,0）、C（0,-3）代入得:

0=—3k+n,k=-l

。，解得

—3=nn=—3,

直线AC的表达式为y=-x-3,

设。(〃久〃/+2〃z—3),则E(m,—m―3),

:点。位于第三象限,

—3<m<0,DE--m-3-+2m_3)=—m2—3m=—m+|

3Q

•••当〃—OE的最大值为“

（3）①当为平行四边形的边时，DN//OB.

D,N关于直线x=-l对称

DN=OB=1

13

.・•点N的横坐标为F或可

②当。3为平行四边形的对角线时，设点双卜/+2—3),则点。。一，-产―2f+3),

:点。在抛物线上

-r2-2r+3=(l-r)2+2(l-/i)-3

解得.=叶立，「匕女

1222

丁点。在第三象限

...点N在第一象限

•••点N的横坐标为匕也

2

综上所述：点N的横坐标为-!，-;或1±且.

222

18.(1)〃=—

4

(2)m<n<P

13

O)PQ=-

本题考查二次函数的图像与性质，待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握二次函数相关的

性质.

(1)由3(3,3),BC=10,得C(-7,3),把。(-7,3)代入％=。(尤+3)2-1即可求得°；

(2)利用力求出4(1,3),即可可得抛物线％=3(》-犷+人的对称轴是直线x=2,利用二次函数的

性质即可得出可得根<〃<P;

(3)利用抛物线解析式求出尸(og；Q,!；从而得出结果.

(1)解：•••3(3,3),3c=10,

.-.C(-7,3),

把。(一7,3)代入%=々(％+3)2-1得:3=々(—7+3)?—1,

解得：。=:；

4

(2)解：•・・〃=!，

4

19

，%=](工+3)--1，

19

令>=3得，3=-(X+3)-1,

解得尤=1或%=—7,

71+3c

/.h------=2,

2

19

•••抛物线乂=%)一+k的对称轴为直线尤=2,

・点(2,〃?),(3,〃)及(4,°)都在抛物线月上，抛物线x=，%-犷+上开口向上,

・・.在对称轴右侧，y随龙的增大而增大,

:.m<n<P；

(3)解：把3(3,3)代入m=：(工一2)2+%,

解得：左=|,

125

Vi=2(x-2),'

9

令x=0,y=-,

・“呜，

1

在％=](尤+3)9一一1中,

令x=o,y=^

0,*

尸。子泻

19.(l)a=l,k=-l

⑵抛物线的对称轴上存在一点N,使AABN为直角三角形；点N的坐标为(2,1)或(2,2)或(2,4)或(2,；)

⑴根据直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于点43,得令x=O,令>=0,进行计算得A(l,0),8(0,3),

“(1-2)2+左=0

根据抛物线y=a(x-2)2+左经过点A,,进行计算即可得;

a(0-2)2+k=3

2

(2)设阳2,〃)，根据4(1,0),B(0,3)得知2=10,一6〃+i3,A^=W,分情况讨论：①

当AABN是以AB为斜边的直角三角形时，由勾股定理得，N^+NB-^AB1,②当AABN是以附为斜

边的直角三角形时，由勾股定理得，AB2+NB2=N尺,③当A/IBN是以A®为斜边的直角三角形时，

由勾股定理得，AB2+NA2=NB2,进行计算即可得.

(1)解：；直线y=<x+3与x轴、y轴分别交于点A,B,

.•・令%=0,则y=3,

令y=0,则一3x+3=O,解得尤=1,

A(1,O),B(O,3),

,抛物线y=。(尤-2)z+左经过点A,B,

.p(l-2)2+^=0

tz(O—2)2+k=3

{a-1

解得，

[k=-11；

(2)抛物线的对称轴上存在一点N,使AABN为直角三角形，理由如下:

解：设N(2,〃)，

VA(1,O),B(O,3),

/.A52=l2+32=10,

A«2=22+(n-3)2=n2-6n+13,

A^42=(2-l)2+n2=l+n2,

①当AABN是以A3为斜边的直角三角形时，由勾股定理得，

NA"+NB2=AB2,

1+rr+n2-6n+13=10,

2n2-6n+4=0,

n2~3n+2=0，

(〃-1)(〃-2)=0,

%=l,n2=2,

N(2,l)或N(2,2)；

②当△ABN是以ML为斜边的直角三角形时，由勾股定理得,

AB12+*NB2=N/^,

10+n2-6n+13=l+n2，

~6n=~24,

〃=4,

・•・N(2,4)；

③当△ABN是以N3为斜边的直角三角形时，由勾股定理得,

AB2+NA2=NB2，

10+1+zT2=n2—6n+13,

6n=2,

1

"一］

N(2,g)；

综上，点N的坐标为(2,1)或(2,2)或(2,4)或(2,；).

20.⑴A(T,0),8(1,0),C(0,2)

⑵P(—3,2)或P(5,-18)

⑶Q（—l,3）或（一3,2）或一2+"

13

（1）当丁二。时，一+2=0,解得：再=-4,x2=1,当％=0时，y=2,由此即可得出答案;

Af)),则85,o),则

(2)求得tanZACO=^=2,作Wx轴于H,设尸.几+2

13__i~—〃+2..._

PH=-工几2+2,AH=n-(-4)=n+4,得至！JPH22从而可得rZl=t

2n2v7/DtaAnDZPAB=-----=-----

AH〃+4

--n2-—n+2

22求解即可得出答案；

-------------二Z

〃+4

(3)设点根，根2-求出BC=正，则8£=等，待定系数法求出直线BC的解析式

为：y=-2x+2,。/所在直线的解析式为y=-2尤川+；〃?+2,AC所在直线的解析式为

x22、

1八-।」m-mm-m+20皿

y=-x+2,求出J,贝！J

z2、2z2\2

Jm+2m5"I'从而得出

13

(1)解：,•・抛物线了=-5/-5彳+2与X轴交于点AB(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,

13

:•当y=0时，——X2——x+2=0,

22

解得：为=-4,x2=1,

.,.A（T,0）,8（1,0）,

当x=O时，y=2,

:.C（0,2）;

（2）解：由（1）可得A（T,0）,C（0,2）,

.-.OA=4,OC=2,

Af）

tanZACO=—=2,

oc

如图，作轴于H,

图1

设尸卜,_呆_m+2),

则如,0),

PH=--ni2--n+2AH=〃_（T）=〃+4,

22

123―

——n——n+2

22

tanZPAB=——

AH〃+4

要使NB45=NACO,贝!jtanNA4B=tanNACO,

"3〃+2

22

=2

〃+4

13

—n9—〃+2=2〃+8,

整理得：/+7〃+i2=0,

解得：〃=-4或〃=-3,

•.•A（T,0）,

i3

当——n2——n+2=—2n—8,

22

整理得：—2o=o,

解得：〃=-4或〃=5,

.•.P（5,-18）；

当点尸在点A的左下方时，/RW>90。恒成立，而NACO<90。恒成立，故点尸不能在点A的左下方,

综上所述，P（-3,2）或尸（5,-18）；

（3）解：设点0（根,一；苏m+2）,

V8（1,0）,C（0,2）,

BC=J（l-0『+（0-2）2=后,

・0=3

'BC5'

QE=1BC=半，

设5C的解析式为：y=kx+b,

（k+b=0

将3（1,0）,C（0,2）代入解析式可得：\=~,

[k=-2

解得：,），

[b=2

「•直线5C的解析式为：y=—2%+2,

•/QF//BC,

设QF所在直线的解析式为y=-2x+bi9

2

将Q1加，一耳根2机+2）代入解析式得：-2m+bx=--m--m+2,

解得：bm2+—m+2,

x22

QF所在直线的解析式为y=疗+gm+2,

设AC所在直线的解析式为y=k2x+b2,

2

将A（-4,0）,C（0,2）代入解析式得：l=b,

\-1

解得：k22.

b2=2

AC所在直线的解析式为y=；x+2,

•.•E是。尸与AC的交点，

二.一1%c+2=-c2%177?2H—1相+c2,

222

22

5,口m-m1入m-m+20

解得：x=---------,则y=-%+2=----------------，

5210

m—mm—m+20i

二.E---------，---------------,

510

整理得：m2+4m=±3,

当4+4加=3时，解得：加=一2±近，

•.•-2-旨＜-4,点。在AC上方运动，

:.m=-2+y/7,此时。-2+/

当当+4m=—3时,

解得：加=-1或根=-3,

此时。(-L3)或(-3,2)

综上所述：0(-1，3)或(―3,2)或1-2+夜,宫=「.

5515

21.⑴丁二——x2+—％+一

424

JG5君-5)

⑵尸V5,^—

(2)

⑶等

64

(1)根据抛物线解析式，得到对称轴，进而求出点C,再结合A(-1,O),利用待定系数法求解，即可

解题；

r\pPF(SSisApF

(2)利用平行线性质证明Y4CD-VDPE,得至汁筹=金，设2［九-1"?+5'"+结合卷=若

建立等式求出加的值，进而求得点P的坐标；

(3)结合题意求出点尸的坐标，作切，CD于点//,证明VHGFsVDEG,利用相似三角形性质得

至U4=-%2+:%+1=-1打-噂：+吃，再利用二次函数的最值求解，即可解题.

(1)解:vy=ax2-2ax+c(a<0),

抛物线对称轴为直线尤==1,

2a

-：CD=5,

C(l,5),

抛物线yax2-2ax+c(a<0)经过点A(-l,0),

a+2a+c=0

即

a—2a+c=5'

5

a=——

4

解得

15

~4

，抛物线为y=-%2+}+g

(2)解：・♦・AC//DP,

:.ZCAD=ZPDE,

・・.PE，）轴于点瓦

:.ZCDA=ZPED=90°,

.NACD^NDPE,

DEPE

一而一而'

5515

设Pm,_—m2+—mH--

424

有DE=m-l,AD=2,

5515

——2m+-m-\----

m-1424,

25

整理得5疗=25,

解得m=±A/5，

,/。是抛物线y=以2一2公+。在第一象限上一动点,

「•m=,

5百-51

即「百

2}

（3）解：•.•点产的横坐标为2,

即点尸的坐标为

作F