2025年中考数学压轴题专练：旋转综合题（含解析）

2025年中考数学压轴题专练：旋转综合题

1.将一块直角三角板的直角顶点绕矩形ABCD的对角线的交点。旋转（图①n图②,

AD=8,AB=6,图中的/、N分别为直角三角形的直角边与矩形ABCD的边CD、的交

⑴如图①，当三角板一直角边与OD重合时，求证：CD2+CN2=BN2.

⑵如图②中3N=5、求CM—DM的值.

（3）如图②，连接跖V,直接写出的最小值为.

2.【探究与证明】

【问题情境】如图1,点E为正方形ABCD内一点，AE=2,BE=4,ZAEB=9Q°,将直

角三角形4汨绕点A逆时针方向旋转&度（OVaV18O。）点8、E的对应点分别为点®、E'.

（D如图2,在旋转的过程中，点£落在了AC上，求此时CB'的长；

⑵若&=90。，如图3,得到△ADE'（此时8'与D重合），延长3E交于点F

①试判断四边形狙石，的形状，并说明理由;

②连接CE,求CE的长.

3.已知：如图①，在矩形A3C£>中，AB=3,AD=4,AELBD,垂足是£.点尸是点E

关于AB的对称点，连接AF、BF.

图①图②备用图

⑴求AF和BE的长；

⑵若将△山汨沿着射线8。方向平移，设平移的距离为相（平移距离指点B沿方向所经

过的线段长度）.当点P分别平移到线段AAAD上时，求出相应的机的值.

⑶如图②，将尸绕点B顺时针旋转矶0°<a<180。），记旋转中的A4B尸为VA3尸'，在

旋转过程中，设4尸所在的直线与直线AD交于点P,与直线交于点。.当VOPQ为等

腰三角形时，直接写出的长.

4.知：RtAABC^RtADBE,其中/ACS=/DEB=90。，直线DE交直线AC于点厂.

B

ffll图3

(1)图1中，点E在AB上，求证：AF+EF=DE；

(2)若将图1中的DBE绕点B按顺时针方向旋转，如图2,图3,你认为(1)中的结论还成

立吗？请直接写出AF,跖与。E之间的数量关系;

(3)若AR=5,DE=8,贝|EF=

5.已知VABC和VADE都是等腰三角形，AB=AC,AD=AE,NBAC=NDAE.

⑴如图①，当点。在VABC外部，点E在VABC内部时，求证：DB=EC.

(2)如图②，VABC和VADE都是等腰直角三角形，NA4C=NZME=90。，点C,D,E在同

一直线上，AAf为VADE中DE边上的高.求/CD3的度数；判断线段4%BD,CD之间

的数量关系，并说明理由.

(3)如图③，VABC和VADE都是等腰直角三角形，ABAC=ZDAE=90°,将VADE绕点A

逆时针旋转，连结BE,CD.当A3=5,49=2时，在旋转过程中，VADE与△ADC的面

积和是否存在最大值？若存在，写出计算过程；若不存在，请说明理由.

6.(问题提出)如图1,在等边VABC内部有一点P,PA=3,PB=4,PC=5,求/APB的

度数.

(数学思考)当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题.

【尝试解决】将△APC绕点A逆时针旋转60。，得到△AP3,连接尸P,贝APP'为等边

三角形=PA=3,又尸3=4,PC=5,PP'2+PB2=PC2,.•.VBP'P为一三角形，.\ZAPB

的度数为一

【类比探究】如图2,在VABC中，ABAC=9Q°,AB=AC,其内部有一点P,若出=2,

PB=1,PC=3,求/APB的度数.

【联想拓展】如图3,在VABC中，NA4c=90。，ZBC4=30°,其内部有一点P,若9=3,

PB=2,PC=4^/3,求ZAPS的度数.

7.在VA2C中，AB=6,AC=BC=5,将VABC绕点A按顺时针方向旋转得到VADE,

旋转角为以0。＜。＜180。)，点B的对应点为点。，点C的对应点为点E.

⑴如图，当戊=60。时，连接3。、BE,并延长8E交AO于点E则BE=_；

(2)当a=90。时，请画出图形并求出BE的长；

(3)在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB,垂足为点G,连接CE.当ZDAG=ZACB,

且线段DG与线段AE无公共点时，请猜想四边形AEBC的形状并说明理由.

8.如图1,四边形ABCD,AEFG都是正方形，E.G分别在AB.AD边上，已知AB=4.

⑴求正方形ABCD的周长；

⑵将正方形AEFG绕点A逆时针旋转。（0。＜。＜90。）时，如图2,求证：BE=DG.

⑶将正方形女FG绕点A逆时针旋转45。时，如图3,延长8E交DG于点H,设5"与AD的

交点为M.

①求证：BHYDG-,

②当AE=0时，求线段3H的长.

9.知识探究：如图1,点E是正方形ABC。对角线AC上任意一点，以点E为直角顶点的

直角EFG两边EF,EG分别角与AO,相交于M点，N点.当EF工AD时，请探究£20

与硒的数量关系，并说明理由；

拓展探究：当"EFG绕点E顺时针旋转到点M与点。重合时，如图2,请探究W与EN的

数量关系，并说明理由；

迁移运用：在图2的基础上，过点石作瓦/工于点H,如图3,证明H是线段3N的中点.

图1图2图3

10.已知.B4C、NBDE,其中B4=gC,BD=BE,ZABC=ZDBE=90°,将B4c绕着

点B旋转.

图1图2

⑴当.B4C旋转到图1位置，连接A。、CE交于点F,连接正；

①探究线段AO与线段CE的关系；

②证明：即平分/4FE；

(2)当二胡C旋转到图2位置，连接AE、CD,过点8作BGLAE于点G,交CD于点H,

证明：AE=2BH.

11.如图1,正方形ABC。的边长为2,在Rt.FBE中，BF=BE(BF<BC),ZFBE=90°,

当防13c时，恰好经过BC的中点G.

DDC

G

B

图1图2图3备用图

⑴如图2,连接FC,EC,则四边形8ECF为形；

（2）将图1中的RtFBE绕点B按顺时针方向旋转角度&（0。＜。＜360°）,得到图3,连接AF,

CE,求证：AF=CE,AF±CE；

⑶在（2）的旋转过程中，当C,F,E三点共线时，请直接写出线段AF的长度.

12.在VABC中，AB=AC,NBAC=a,点尸是平面内不与点A,C重合的任意一点，连

接尸C,将线段PC绕点P旋转口得到线段尸。，连接AP、CD、BD.

AA

D

D

图2

⑴当a=60。时，

①如图1,当点P在VABC的边BC上时，线段尸C绕点P顺时针旋转。得到线段尸£>,则AP

与BD的数量关系是；

②如图2,当点P在VABC内部时，线段PC绕点、P顺时针旋转a得到线段尸。,①中AP与8。

的数量关系还成立吗？若成立，请证明结论，若不成立，说明理由；

⑵当a=90。时，

①如图3,线段尸C绕点P顺时针旋转。得到线段PO.试判断AP与3D的数量关系，并说

明理由；

②若点A,C,尸在一条直线上，且AC=3PC,线段尸C绕点尸逆町性旋转a得到线段£）尸，

I、BD弘/士

求K的值.

13.如图，在平行四边形ABC。中，AC是对角线，AB=AC,点E是BC边上一点，连接

AE,将AE绕着点A顺时针旋转a得到线段".

⑴如图1,若。=/B4C=90。，连接3月，BF=3,BC=8,求./WE的面积；

(2)如图2,若a=2N3AC=120。，连接CP交48于求证：2AH+CE=AD；

⑶若在(2)的条件下，3CE=3C=9,点尸为A3边上一动点，连接EP,将线段EP绕着

点E顺时针旋转60。得到线段硬，连接C0,当线段C。取得最小值时，直接写出四边形

的面积.

14.在ABC中，AC=BC,AC=6,/ACS=c,点。是BC边上任意一点，点E是直线

AD上一动点，连接3E,将5E绕点8顺时针旋转，旋转角为a,得到线段BF,连接所.

⑴如图1,c=90。，ZBAD=15°,点尸在射线AD上，求防的长；

(2)如图2,3/〃AQ,CG，AE于点G,2ZABF—3NEBF=4ZBAE,猜想线段GE,BE,AC

之间存在的数量关系，并证明你的猜想：

⑶如图3,夕=60。，点P在射线AO上，点P是8E上一点且满足AF=3BP,连接AP,直

接写出当AP最小时，点P到A3的距离.

15.如图所示，等腰直角VA5c中，ZACB=90°.

⑴如图1所示，若。是VABC内一点，将线段C。绕点C顺时针旋转90。得到CE,连结AD,

BE,则线段AO、8E的关系为；

⑵如图2所示，若。是VABC外一点，将线段CO绕点C顺时针旋转90°得到CE,且AE=AB,

求证：BD=y/2.CD;

⑶如图3所示，若OC是斜边48的中线，M为BC下方一点，且。河=巨&，CM=7,

2

/BMC=45°,求出8M的长.

16.阅读下面活动内容，完成探究1-3的问题：将一个矩形ABC。绕点A顺时针旋转a

(0°<<z<90°),得到矩形连结BD.

［探究1］如图1，当(Z=90。时，点。恰好在OB延长线上.若45=2,求2C的长.

［探究2］如图2,连结AC,过点D作〃加〃AC交8。于点线段少”与ZW相等吗?

请说明理由.

［探究3］在探究2的条件下，射线。8分别交AD,AC于点P,N(如图3),发现线段

DN,MN,PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明.

17.如图1,Rt^ABC中，ZABC=90°,AC=5,AB=4,将VABC绕点8顺时针旋转得

到△ABC,其中4是点A的对应点，且0。<乙出4'<360。，连接AA',CC.

⑴求证：力CC'=93；

AA4

(2)如图2,当点C在线段A4'上时，求△CBC的面积；

(3)直线AA'与直线CC'交于点。，点E是边的中点，连接DE,在旋转过程中，求。E的

最大值.

18.将下列三幅图中的VABC的边AB绕其顶点A逆时针旋转«得到线段AD.

(1)如图1,将边AC绕点A逆时针旋转a得到线段AE,连接DE1,求证：VABCgVADE；

⑵如图2,连接80,点/在80上，且满足=连接AF,点G为AB上一点，连接DG

交AF于点若ZACB=NBDG,ZADB+ZABC^80°,求证：AM=FM.

(3)如图3,连接CD,若/BAD=120。，VABC是等边三角形，P,。两点分别在A3,BD

上，且满足/PCQ=/AM,请探究线段DQ,BP,CO之间的数量关系，并证明你的结论.

19.综合与实践

数学实践活动，是一种非常有效的学习方式.通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手

动脑能力，拓展思推空间，丰富数学体验.让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体

会活动带给我们的乐趣.

折一折：将正方形纸片ABCZ）折叠，使边A3、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、

图2

⑴/£4尸=°,写出图中两个等腰三角形:（不需要添加字母）;

转一转:将图1中的一E4F绕点A旋转,使它的两边分别交边8C、8于点P、。，连接尸Q,

如图2.

（2）线段3尸、PQ、DQ之间的数量关系为；（不说明理由）

（3）连接正方形对角线50,若图2中的NPA2的边AP、AQ分别交对角线于点M、点

N.如图3,求「乌的值；

BM

剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线8。剪开，如图4.

（4）若8M=1，DN=3,请直接写出线段MN的长.

20.如图1,在VABC中，把绕点A顺时针旋转口（0。<a<180。）得到A9,把AC绕

点A逆时针旋转夕得到AC,连接笈C.当&+尸=180。时，我们称△AB'C是VABC的“旋

补三角形“，/\AB'C边B'C'上的中线AD叫做7ABC的“旋补中线''，点A叫做“旋补中心”.

⑴在图2,图3中，△AB'C'是VABC的“旋补三角形"，AD是VABC的“旋补中线”.

①如图2,当VABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD=BC；

②如图3,当NBAC=90。，BC=8时，则A£＞长为.

(2)在图1中，当VABC为任意三角形时，猜想与BC的数量关系，并给予证明.

(3)如图4,在四边形ABCD,ZC=90°,ZD=150°,BC=12,CD=243,DA=6,在四

边形内部是否存在点P,使△PDC是/的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求

的“旋补中线''长；若不存在，说明理由.

21.如图1,正方形A3CD对角线AC、BD交于点、0,E、下分别为正方形ABC。边AB、

AD上的点，防，AC交于点Af,N为BF中点.

“E

3CBC

图1图2备用图

(1)请直接写出ON与。M的数量关系。

(2)若将绕点A旋转到图2所示位置时，(1)中的结论是否成立，若成立请证明；若

不成立，请说明理由；

⑶若AB=8,E为AB中点，绕点A旋转过程中，直接写出点“与点C的最大距离

与最小距离之差。

22.已知，如图1,正方形ABCD的边长为5,WE、歹分别在边A3、AD的延长线上，且

(2)将△AEF绕点A顺时针方向旋转，当旋转角a满足0。＜夕＜45。时，设防与射线A8交于

点G,与AC交于点如图所示，试判断线段EH、HG、GE的数量关系，并说明理由.

⑶若将△AEF绕点A旋转一周，连接DF、BE,并延长EB交直线。尸于点尸，连接PC,

试说明点P的运动路径并求线段尸C的取值范围.

23.如图，VABC和一。BE的顶点8重合，ZABC=ZDBE=90°,/BAC=/BDE=30。,

BC=3,BE=2.

(1)如图1,当点O,E分别在AB,BC上时，得出结论：—=_；直线A£＞与直线EC的位

置关系是二

(2)如图2,将图1中的,DBE绕点B顺时针旋转一周的过程中，连接AD,EC,其所在直线

相交于点尸.

①(1)中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，说明理由.

②当“'的长度最大时，求线段EC的长度.

《2025年中考数学压轴题专练：旋转综合题》参考答案

1.(1)见详解

⑵|

(3)5

【分析】(1)连接ND,根据矩形性质及旋转得到ON垂直平分B。，NB=ND,在ACDN中,

用勾股可得A©2=NC2+a>2,再等量代换即可求得；

(2)延长交A8于E,先证明BEgDMO,从而得出OE=OM,BE=DM,NE=NM,

再结合勾股定理证出CN2+CA〃=£)河2+.2,根据已知线段长得出

CM--DM1=BN--CN-=52-32=16,CM+DM=6,用平方差公式转换即可解答；

(3)根据aw?+ON2=跖/确定，当ON_LBC,OAZ_LDC时，ACV取最小值，计算即可;

【详解】(1)证明：连接ND,

..•矩形ABCD的对角线交于点0,

BO=DO,ZDCN=90°,

:三角板一直角边与重合，

/.ON1BD,即ON垂直平分BD,

NB=ND,

,：NDCN=90°,

ND2NC2+CD2,

:.CD2+CN2=BN\

(2)延长MO交48于E,

/.BO=DO,ZABC=ZDCB=90°,AB//CD,

ZABO=ZCDO,ZBEO=/DMO,

BEgDMO(AAS\

:.OE=OM,BE=DM,

MO.LON,

:.NE=NM,

ZABC=ZDCB=90°,

:.NE2=BE2+BN2,NM2=CN2+CM\

CN2+CM2=BE2+BN2,

即CN2+CM2=DM2+BN2;

BN=5,

:.CN=BC—CN=8—5=3,

/.CM2-DM1=BN2-CN2=52-32=16.

CM+DM=AB=6,

Q

:.CM-DM=16^-6=-；

3

(3)Q?MON90?,

\OM2+ON2=MN2,

故当OM与ON最小时，MN取最小值，

即ON_L3COM_LOC时，与ON都最小,

此时ON」AB=3,OM」AT>=4,

22

MN=M=5,

故MN最小值为5.

【点睛】该题主要考查了全等三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知

识点，解题的关键是做辅助线证明三角形全等.

2.(1)2>/10-2A/5

(2)①四边形AEFE，是正方形，理由见解析；②2石

【分析】(1)由勾股定理得AB=2百，再由正方形的性质得AC=VLiB=2ji6,然后由旋

转的性质得A£=AB=2如，即可求解；

(2)①由旋转的性质得ZEAE'=a=9G°,ZAE'D=ZAEB=90°,再证四边形

gE'是矩形，即可得出结论；

②过点C作CG_L3E于点G,证△3CG四△ABE(AAS),得CG=BE=4,3G=AE=2,

则EG=3E-3G=2,再由勾股定理求解即可；

【详解】(1)AE=2,BE=4,ZAEB=90°,

AB=ylAE2+BE2=42?+4?=275，

・四边形ABCD是正方形，

BC=AB=275,ZABC=90°,

AC=-JiAB=2M,

由旋转的性质得：AB'=AB=245,

CB'=AC-AB'=2V10-2A/5;

(2)①四边形但E是正方形，理由如下：

由旋转的性质得：AE'=AE,NEAE=a=90。,ZAE'D=ZAEB=90°,

ZAEF=180°-90°=90°,

四边形AEFE'是矩形，

又・AE'=AE,

四边形是正方形；

②过点C作CGL3E于点G,如图3所示：

则4GC=90。=NAES,

:.NCBG+/BCG=ZCBG+ZABE=90°,

:.ZBCG=ZABE,

在./CG和ABE^,

NBGC=/AEB

</BCG=/ABE,

BC=AB

BCGWABE(AAS),

:.CG=BE=4,BG=AE=2,

:.EG=BE—BG=4—2=2,

..CEnCG+Ed2=142+2z=26

【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、旋转变换的性质、矩形的判

定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合

性强，熟练掌握正方形的性质和旋转变换的性质，证明石(AAS)是解题的关键,

属于中考常考题型.

129

3.(l)AE=y,BE=-

916

⑵当点尸落在"上时，m=~,当点尸落在A。上时，m=—

(3)。。的长度分别为2或学或亚一5或5-酒.

855

【分析】(1)利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解；

(2)依题意画出图形，如图①-1所示.利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求

出m的值；

(3)在旋转过程中，等腰VOPQ有4种情形，分别画出图形，对于各种情形分别进行计算

即可.

【详解】(1)解：:四边形AB8是矩形，

:.ZBAD=90°,

在中，AB=3,AD=4,

由勾股定理得：BD=y/AB2+AD2=A/32+42=5>

S^^BD-AE^AB-AD,

、_AB^D3412

BD55

・・•点厂是点E关于AB的对称点，

12

\AF=AE=—,BF=BE,

5

AEA.BD,

：.ZAEB=90°,

12

在RtA4BE中，AB=3,AE=y,

由勾股定理得：BE=ylAB2-AE2=

(2)解：设平移中的三角形为如图①-1所示:

..Q

由平移性质可知，AB//ABr,Z4=Z1,BF=B¥

①当点尸落在AB上时，

AB//ABr,

.•.N3=N4,

/.Z3=Z2,

\BB逞BF?=2,即根=—；

55

②当点尸落在AD上时,

AB//AB',

=/6=/2,

Z1=Z2,Z5=Z1,

Z5=Z6,

又易知A3」AD,

BED为等腰三角形，

.■c9

\B侬=BF?=—,

5

..91616

\BB^BD-BD=5--=—,即根=—；

555

(3)解：存在.理由如下：

在旋转过程中，等腰VDP。依次有以下4种情形：

①如图③-1所示，点。落在30延长线上，S.PD=DQ,则NQ=/OPQ,

图③d

N2=/Q+ZDPQ=2ZQ,

N1=N3+NQ,Z1=Z2,

，N3=NQ,

\ATQ=AB=3,

....I?27

\FQ=FA^AQ^~+3=—.

_9Vio

在中，由勾股定理得:BQ=y)FQ2+FB2=

5

\DQ=BQ-5；

②如图③-2所示，点。落在8。上，且尸。=。。，则Z2=ZP,

.•.N1=N尸，

\B岫〃PD,

则此时点A落在5c边上.

N3=N2,

/.Z3=Z1,

\BQ=M

\=A0=y-BQ.

在Rt/Q产，中，由勾股定理得：BF'2+F'Q2=BQ2,

=BQ2,

1525

\DQ=BD-BQ=5--=—

③如图③-3所示，点。落在80上，且PQ=DQ,则/3=/4.

Z4=90°--Z2.

2

Z1=Z2,

Z4=90°-izi.

2

\?故2?490?1?1,

：.ZA'BQ=1800-ZA'QB-XI=90°--Z1,

：.ZA'QB=ZA'BQ,

\A^=AB=3,

....173

\FQ=AQ-AV=3--=-.

3回

在RtAB尸Q中，由勾股定理得:BQ=^FQ2+FB2=

5

DQ=BD-BQ=5-

④如图④-4所示，点。落在8。上，且尸。=。。，则N2=/3.

图④~4

N1=N2,N3=/4,/2=N3,

.-.Z1=Z4,

\BQ=BA<^=3,

\DQ=BD-BQ=5-3=2.

综上所述，存在4组符合条件的点尸、点°,使VDPQ为等腰三角形；。。的长度分别为2

T25T9M…=3M

—34-------5或5.

855

【点睛】本题是四边形综合题目，主要考查了矩形的性质、轴对称的性质、平移的性质、旋

转的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点；第(3)问难度很大，解题关键是画出

各种旋转图形，依题意进行分类讨论.

4.(1)见解析

(2)不成立，见解析

(3)3或13

【分析】(1)连接M,由ABC^DBE,可得BC=BE,AC=DE,即可证明

RtABFCRtABFE(HL),有CF=EF,从而AF+EF=DE；

(2)图2中连接所，证明Rt△班C丝RtAB庄(HL),得CF=EF,可得AF—EF=DE；

图3中连接即，证明Rt△班C丝RtABFE(HL),可得EF-AF=DE；

(3)分为当尸在线段AC上时及当尸在C4的延长线上时，两种情况进行讨论即可.

【详解】(1)证明：连接砥，

QZACB=ZDEB=90°,

ZBCF=ZBEF=90°,

BF=BF,

.•.Rt_BRWRt_8FE(HL),

:.CF=EF,

AF+CF=AC,

:.AF+EF=DE；

(2)：(1)中的结论不成立，

图2中AF-EFn/JE,理由如下:

连接班

△ABC冬乙DBE,

:.BC=BE,AC=DE,

QZACB=ZDEB=90°,

ZBCF=ZBEF=90。,

BF=BF,

RtBFC^RtBFE(HL),

1.CF=EF,

AF-CF=AC,

:.AF-EF=DE；

图3中=理由如下:

QZACB=ZDEB=90°,

:.ZBCF=ZBEF=90°,

BF=BF,

RtBFC^RtBFE(HL),

:.CF=EF,

CF-AF=AC,

:.EF-AF=DE；

(3)解：当厂在线段AC上时，由(1)知AF+EF=D石，

:.EF=DE-AF=3,

当尸在C4的延长线上时，由(2)可知EF-AF=D石，

/=8+5=13；

综上所述，EF的长为3或13.

故答案为：3或13.

【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助

线，构造全等三角形.

5.(1)见解析

(2)ZCDB=90°,2AM+BD=CD,见解析

⑶存在，7

【分析】(1)证明丝VE4C,即可得出结论；

(2)由等腰直角三角形的性质得ZADE=ZAED=45°,则/AEC=135。，同(1)得

DAB^EAC(SAS),则ZADB=ZAEC=135°,BD=CE,然后由等腰直角三角形的性质

得AM=EM=DM,即可解决问题；

(3)根据旋转的过程中VADE的面积始终保持不变，而在旋转的过程中，AADC的边

AC始终保持不变，即可解决问题；

【详解】(1)证明：•••NgACu/ZME,

ZDAE-ZBAE=ABAC-ZBAE,

即ZDAB=ZEAC,

在和EAC中，

AD=AE

-NDAB=NEAC,

AB=AC

DAB^EAC(SAS),

DB=EC;

(2)ZCDB=90°,2AM+BD=CD,理由如下：

'.\DAE是等腰直角三角形，

・•・ZADE=ZAED=45°f

ZAEC=180O-ZAED=135°,

同(1)得：NDAB密EAC(SAS),

・・.ZADB=ZAEC=135°,BD=CE,

：.ZCDB=ZADB-ZADE=90°,

NADE是等腰直角三角形，AM为中OE边上的高，

AM=EM=DM,

■:DE+CE=CD,

：.2AM+BD=CD；

(3)NADE与AADC的面积和存在最大值为7,理由如下：

如图(4)

ED

工

BC

图④

由旋转可知，在旋转的过程中YADE的面积始终保持不变=|x2x2=2,

'/VADE与AADC面积的和达到最大，

AADC面积最大，

:在旋转的过程中，AC始终保持不变，AC=AB=5,

.,.△ADC面积最大时，点D到AC的距离最大，

DA±AC,

/.VADE与AADC面积的和达到的最大值为：2+』AC-Ar>=2+』x2x5=2+5=7

22

【点睛】此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转的

性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和旋转的性质，

证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型

6.【尝试解决】直角，150。；【类比探究】135。；【联想拓展】120。

【分析】尝试解决：将绕点A逆时针旋转60。，得到△APT?,连接尸P,根据旋转

的性质，得至UPB=5,AP尸为等边三角形，进而得到PP=3,ZAPP=60。，再利用勾股定

理的逆定理，证明为直角三角形，得到N3PP=90。，即可求出ZAPS的度数；

类比探究：将绕点A逆时针旋转90。，得到△AT3,连接PP,根据旋转的性质，

得到PB=3,APP'为等腰直角三角形，进而得到NAPP=45。，PP=2亚,再利用勾股定

理的逆定理，证明尸为直角三角形，得到N3PP=90。，即可求出—APB的度数；

联想拓展：如图，以PA为直角边构造直角三角形APP,使得NAPP=30。，/R4p=90。，

4RpfAp'RAft

先证明ABC^AI^P,得出喂=篙，进而证明MAPsC4P,得到芸=笠，然后利用特

殊角的三角函数值，分别求出P3=4,PP'=2』,再利用勾股定理的逆定理，证明BPP是

直角三角形，得到N3PP=90。，即可求出ZAPS的度数.

【详解】尝试解决：解：将绕点A逆时针旋转60。，得到△AP'B,连接PP,

,-.PA=P'A=3,Z.PAP=60°,PC=P'B=5,

APP'为等边三角形，

，PP=PA=3,Z4Ppz=60。，

PB=4,

PP'2+PB2=32+42=25,P'B2=52=25,

PP'2+PB2=P'B2，

.•.V3P尸为直角三角形，

:.ZBPP'=90°,

ZAPB=ZAPP+8Pp=60°+90°=150°,

.•.NAPS的度数为150。，

故答案为：直角，150°；

类比探究：解：如图，将绕点A逆时针旋转90。，得到△AP'B,连接PP,

由旋转的性质可知，E4=H4=2,ZPAP'=90°,PC=P'B=3,

APP'是等腰直角三角形，

ZAPP=45。,pp，=y/p^+P'A1=2五，

PB=1,

.•.尸产'2+P8?=（2夜）一+F=9,P'B2=32=9,

PP'2+PB2=P'B2，

;.V3尸'尸为直角三角形，

:.ZBPP'=90°,

ZAPB=ZAPP+BPP'=45°+90°=135°；

联想拓展：解：如图，以融为直角边构造直角三角形APP,使得/4PP=3。。，NR4P=90。,

ZBAC^90°,ZBCA=30°,

:.ZBAC=ZPAP',ZBCA=ZAPP,,

ABCsAPP,

.ABAC

…西-71'

.ABPrA

*AC-PA?

ZPAP,=ZBAP+ZBAP=90°,ZBAC=ZCAP+ZBAP=90°,

:.ZBAP,=ZCAP,

BAP'sCAP,

P'BAB

'PC-AC'

tanZBAC=—=tan30°=—,

AC3

P'B&

---=—,

PC3

PC=4拒,

P'B=—x4j3=4,

3

cosZAPP'=—=COS30°=—,PA=3,

PP'2

PP'=2j3,

在一5尸p中，尸3=2,PB=4,PP'=26,

PP'2+PB2=（2>/3）2+22=16,p'B2=42=16,

PP'2+PB2=P'B2，

.•.△BPP是直角三角形，

:.ZBPP'=90°,

ZAPB=ZBPP'+ZAPP1=90°+30°=120°.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理逆定理，等腰直角三

角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值等知识，灵活运用相关

知识解决问题是解题关键.

7.(1)373-4

(2)作图见解析，V13

(3)四边形A£BC为菱形，理由见解析

【分析】(1)证明是等边三角形，得到点2、E在AT＞的中垂线上，进而求解；

(2)依据题意画图，如图1,证明AHC^EGA(AAS),得到5G=2,EG=3,即可求解；

(3)证明CH=HE,AH=BH,则四边形AEBC为平行四边形，而AC=3C,从而可得

出结论.

【详解】(1)解：：VABC绕点A按顺时针方向旋转60。得到VADE,

AAB=AD,ZBAD=60°,

：.是等边三角形，

AB=BD,

,：AABC^AADE,

：.AC=AE,BC=DE,

又「AC=BC,

***EA=ED,

:.点、B、E在AO的中垂线上，

/.BE是A。的中垂线，

:点E在BE的延长线上，

ABFLAD,AF=DF,

AF=DF=3,AD=2AF=6,

'：AE=AC=5,

EF=yjAE2-AF2=V52-32=4，

'：BF±AD,△ABD是等边三角形，AD^6,

：.ZDBF=3Q°,BD=AD=6,

BE=^BCr-FEr=五-¥=3百，

/.BE=BF-EF=36-4,

故答案为：3^3-4；

(2)解：依据题意画图如图1,过点E作EG_LAB于点G,过点C作CH_LA3于点H,

c

•；CA=CB,CHLAB,

：.AH=-AB=-x6=3

22f

在aACH中，AC=5,AH=3f

:・CH=NAC2—AH2='52—32=4,

NC4E=90。，

・•・ZCAH+ZEAG=90°,

,/CH工AB,

：.ZCAH+ZACH=90°,

・・・？EAG?ACH,

:AABC^AADE,

：.AC=AE,

VEG±ABfCHLAB,

：.ZEGA=ZAHC=90°,

在/AHC和中，

ZEAG=ZACH

<NEGA=NAHC,

AC=AE

：.AHC^EGA(AAS),

：.GA=CH=4fEG=AH=3f

：.BG=AB-AG=6-4=2,

•：BG=2,EG=3,

贝!=^的+叱=722+32=A/13;

(3)解：如图，

VZDAG=ZACB9ZDAE=ZBAC,

：.ZACB+ABAC+ZABC=NZXG+ZDAE+ZABC=180。，

又「ZDAG+ZDAE+ZBAE=180°,

：・/BAE=ZABC,

;AC=BC=AE,

：.ZBAC=ZABC,

：.NBAE=ZBAC,

：.ABACE,且CH=HE」CE,

2

AC=BC,

：.AH=BH=-AB

2f

•；CH=HE,AH=BH,

・・・四边形AEBC为平行四边形，

,:AC=BC,

・・・四边形AE5C为菱形.

【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定、旋转的性质、勾股定理、全等三角形的

判定与性质和等边三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质，熟练运用相关性质是解

题的关键.

8.(1)16

⑵见解析

⑶①见解析；②也

5

【分析】(1)根据周长的定义求解；

(2)由正方形，知AS=AD,AE=AG,可证，BAE空,DAG(SAS),于是BE=DG；

(3)①证明：由54E空ZMG,知NABE=NADG,结合三角形内角和定理，可证

/DHM=NBAM=90。,于是31/LOG；②解：连结GE交AD于点N,连结DE,如图,

由正方形A£FG绕点A逆时针旋转45。，得AF与EG互相垂直平分，且AF在AO上，求

得A7V=GN=1,DN=3,在RtDNG中,DG=M；由S,DEG=3GE.ND=；DG.HE,

解得aE=于是BH=BE+HE=^^.

55

【详解】(1)解：正方形ABC。的周长=4x4=16；

(2)证明：：四边形ABCD,AEFG都是正方形，

AAB=AD,AE=AG,

,将正方形AEFG绕点A逆时针旋转8(0。<3<90°),

ZBAE=ZDAG=0,

AB=AD

在一&和DAG,<ZBAE=ZDAG,

AE=AG

.BAE注,ZMG(SAS),

BE=DG；

(3)①证明：；BAE注DAG,

：.ZABE=ZADG,

■：ZABE+ZAMB+ZBAM=180°,ZADG+Z.DMH+Z.DHM=180°,

又■:ZAMB=ZDMH,

：.NDHM=ZBAM=90°,

：.BH±DG；

②解：连结GE交AD于点N,连结OE,如图,

•・•正方形AEFG绕点A逆时针旋转45°,

・•・川与石G互相垂直平分，且AF在AD上,

AE=^2，

：.AN=GN=1,

**•DN=4—1=3,

在RtDNG中，DG=yjDN2+GN2=yfw;

BE=y/10,

SZAALnftFLlrj=-2GEND=2-DGHE,

.HE63^5

VIo5

:.BH=BE+HE=^+®=^

【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的性质，勾股定理；通过全等三角形求证角相

等、线段相等是解题的关键.

9.知识探究：EM=EN,理由见解析；拓展探究：EM=EN,理由见解析；迁移运用：见

解析

【分析】知识探究：根据正方形的性质可得N54D=90。，AC平分再根据垂直定

义可得NAME=90。，从而可得四边形4VEM是矩形，然后利用矩形的性质可得拉VE=90。,

从而利用角平分线的性质即可解答.

拓展探究：过点E作叱，4),垂足为P,过点E作EQLA8,垂足为0,根据垂直定义可

ZAPE=ZAQE=90°,再根据正方形的性质可得NB4O=90。，AC平分—54。，从而可

得四边形AQEP是矩形，进而可得NQEP=NGE尸=90。，然后利用等式的性质可得

ZNEQ=ZDEP,再利用角平分线的性质可得凡2=EP,从而证明NEQ%DEP〈AAS),最

后利用全等三角形的性质即可解答；

迁移运用：连接EB,根据正方形的性质可得=AC平分从而可得

ZBAE=ZDAE,然后证明ABE£ADE(SAS),从而可得BEuDE,进而可得BE=NE,最

后利用等腰三角形的三线合一性质即可解答.

【详解】解：知识探究：EM=EN,

理由：：四边形AS。是正方形，

AZBAD=90°,AC平分々AD,

•/EF-LAD,

：.NAME=90。，

•/ZFEN=90°,

四边形AA/EM是矩形，

ZANE=90°,

：.EM=EN；

拓展探究：EM=EN,

理由：过点E作£P_LXD,垂足为P,过点E作垂足为。，

图2

：.ZAPE=ZAQE=90°,

•.•四边形ABCD是正方形，

：.ZBAD=90°,AC平分/BAD,

四边形AQE尸是矩形，

/QEP=90。,

•：ZQEP=ZGEF=90°,

ZQEP-ZNEP=ZGEF-ZNEP,

/.ZNEQ=ZDEP,

平分EPLAD,EQ±AB,

：.EQ=EP,

：.NEQ^£>£P(AAS),

EM=EN；

迁移运用：连接EB,

图3

•四边形ABCD是正方形，

AAB=AD,AC平分NEW,

ZBAE=ZDAE,

"：AE=AE,

/.ABE迫ADE(SAS),

BE=DE,

:NE=DE,

：.BE=NE,

■:EH1AB,

•••8是线段BN的中点.

【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，根据题目的已

知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

10.(1)①ADLCE,AD=CE,见解析；②见解析

(2)见解析

【分析】(1)①证明1M3。