2025年中考九年级数学三轮复习：二次函数图象与系数的关系练习（含答案）

2025年九年级数学中考三轮冲刺练习二次函数图象与系数的关系练习

一、选择题

1.已知二次函数y=fc?-2x-1的图象与x轴有交点，则人的取值范围是（）

A.k>-1B.々>-1且发力0C.%<1且ZWOD.左2-1且左W0

2.二次函数y=ax1+bx+c（a,b,c为常数，且a/0）的部分图象如图所示，斗

图象过点（-1,0）,对称轴为直线x=2.下列结论：①a历>0；②9a+c/[

>36；③4a+b=0；④图象过点（5,0）.其中正确的结论有（）~\/02

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且aWO）的对称轴为

直线x=-1,且该抛物线与x轴交于点A（1,0）,与y轴的交点8在（0,

-2）,（0,-3）之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（）

①abc>0；②9a-3b+cN0；③§Va<l；

④若方程两根为“z,n则

D.4

①abc>0；②关于尤的一元二次方程ax1+bx+c=9有两个相等的实数根;

③当-4<x<l时，y的取值范围为0<y<5；

④若点（m,ji）,（-m-2,>2）均在二次函数图象上，则yi=y2；

⑤满足/+（6+1）x+c<2的x的取值范围是-2或无>3.

其中正确结论的有（）个.

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.如图，抛物线y=a?+6x+c（a,b,c是常数，aWO）与x轴交于A、8两点,

顶点P（m,n）.给出下列结论，正确的有（）

11C

①〃A>0；②+cV0；③若点（一分yi），（芬、2），丫3）在抛物线上，

则y2<yi<y3；④关于x的方程ax1+bx-^k=O有实数解，则左2c-n.

A.4个B.3个C.2个D.1个

二填空题

6.抛物线y=cir2+bx+c对称轴为直线x=L且经过尸（3,yi）、Q（0,,2）,且yi>y2,则

a_______0.（填“〉”或“<”）yK,

7.二次函数y^a^+bx+c的图象如图所示,对称轴是直线尤=1.有下列结论：\

①a6c<0；（2）3a+c>0；③户>4改；④a+bWm（am+b）Gn为实数）；⑤（4+c）L~------

2-b2<0；其中正确结论的序号为.\：/

8.抛物线y=ax，6x+c（a,b,c为常数，aWO）经过A（2,0）,B（-1,九）

两点，其中w<0.下列四个结论：

①若a>Q,则c<0；

②2a+c<0；

③若ac>0,则抛物线与x轴两个交点之间的距离小于2；

④若a=-l,c>0,则关于x的一元二次方程0?+法+C=1有两个不相等的实数根.

其中正确的结论是（填写序号）.

9.如图，已知抛物线y=o?+bx+c的对称轴是直线》=1,且抛物线与x轴的一个交点坐标

是（4,0）.下列结论：yi

@a-b+c>0；

②该抛物线与x轴的另一个交点坐标是（-3,0）；；\

③若点（-1,J1）和（2,"）在该抛物线上，则yi<*；-才T------余濡

④对任意实数n,不等式。层+加Wa+b总成立.

其中正确的有.

10.如图，已知顶点为（-3,-6）的抛物线y=o?+6x+c过点（-1,-4）,则下列结论：

5o

①对于任意的％=根，均有an^+bm+c^-6；②〃c>0；③若点（3,yj,（-］，”）在

抛物线上，则yi>”；④关于x的一元二次方程苏+加出尸-4的两根为-5和-1；⑤Z?

-6。=0；其中正确的有（填序号）.、葭=3］从

-4

-6

三、解答题

11.在平面直角坐标系中，已知二次函数-2如+扇-4.

(1)当机=1时，求抛物线与％轴的交点坐标；

(2)将抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到的新函数记为G,

若点A(xi,yi),B(12,>2)是函数G图象上的两点，若对于任意的-2VxiV-1,X2

=-1，都有yi〈y2,求小的取值范围.

y八

4-

3-

2-

1-

IIIII_____________IIIII.

-5-4-3-2-1012345力

-1-

一2-

一3-

-4-

12.已知二次函数y=/-(2机-I)x+加2-加(机是常数).

(1)若二次函数图象经过(0,0),求二次函数的解析式；

(2)若A(〃-3,层+2),B(-«+1,后+2)是该二次函数图象上的两个不同点，求二

次函数表达式和n的值；

(3)若点C(2,yi),点。Cm,”)也均在此函数图象上，且满足yi<y2,求机的取

值范围.

13.已知二次函数y=/-2mx+2（相为常数）.

（1）若函数图象经过点（2,4）,求二次函数的表达式；

（2）当时，y有最大值为-5,求机的值；

（3）若点A（m-3,p）,B（-2m,q）都在该函数的图象上，当p>q时，求机的取值

范围.

14.在二次函数y=:-4tv+5G>0）中.

（1）若函数图象的顶点在无轴上，求r的值；

（2）若点（3s）在抛物线上，令q=/+s,求证：q<~

（3）如果AGn-2,a）,B（4,b）,C（m,a）都在这个二次函数图象上，且a<b<5,

求m的取值范围.

15.已知二次函数>=如？+”尤-2根km,”为常数，相=0）,

（1）若函数图象与无轴的一个交点坐标为（2,0）,求另一个交点坐标；

（2）若函数图象经过（1,力、（3,力、（a,s）、（b,s'）,其中a<b,若s=3/〃，求a的

值；

（3）若函数图象经过（-1,-2）,（3,力，且顶点在第三象限，求f的取值范围.

参考答案

一、选择题

题号12345

答案DBBCC

二、填空题

6.抛物线y=a?+bx+c对称轴为直线尤=1,且经过尸(3,yi)、Q(0,”)，且yi>”,则

a>0.(填“>”或“<”)

【解答】解：：抛物线厂办对称轴为直线x=l,且经过P(3,yi)、Q(0,”)，

：.P(3,ji)在对称轴的右侧，Q(0,>2)在对称轴的左侧，

・・・到对称轴的距离较大的点的函数值较大，

・・・抛物线开口向上，

.'.6Z>0.

故答案为：>.

7.二次函数析+c的图象如图所示，对称轴是直线x=l.有下列结论：①次?cV0；

②3〃+c>0；③廿>4〃c；@a+b^m(am+b)(m为实数)；⑤(〃+c)2-Z?2<0；其中正确

结论的序号为②③④⑤.

【解答】解：・・•二次函数公+。的图象开口向上,

•・•二次函数ynaf+fex+c的对称轴为1=1,

••b—~~2a,

：.b<0,

,二次函数丁=。/+》%+。的图象与y轴的负半轴相交，

Ac<0,

abc>3

故结论①不正确，不符合题意；

,二次函数丁=。/+区+。，当x=-l时，y>0,

•\a-Z?+c>0,

■:b=-2〃，

〃+2〃+c>0,

••・3〃+c>0,

故结论②正确，符合题意；

，・,二次函数>=〃%2+加计。的图象与％轴有两个不同的交点，

有两个不相等的实数根，

:•序-4〃c>0,

2

b>4acf

故结论③正确，符合题意；

二次函数y=o?+"+c的对称轴为％=1,图象开口向上,

・•・当冗=1时，y有最小值，即〃+Z?+c,

・•・当兀=加时，an?+bm+ca+b+c,

即arrr+bm^a+b,

a+b^m(am+b),

故结论④正确，符合题意；

*/当x=l时，y<0,

a+b+cVO,

*.*当x=-1时，y>0,

•'•a-Z?+c>0,

(〃+c)2-b2=(〃+c+b)(〃+c-b)<0,

故结论⑤正确，符合题意，

综上所述正确的有：②③④⑤.

故答案为：②③④⑤.

8.抛物线y=〃/+fci+c(a,b,c为常数，0)经过A(2,0),B(-1,n)两点，其中

n<0.下列四个结论：

①若a>0,贝!Jc<0；

②2a+c<0；

③若ac>0,则抛物线与无轴两个交点之间的距离小于2；

④若。=-1,c>0,则关于x的一元二次方程以2+M+C=1有两个不相等的实数根.

其中正确的结论是①②③④(填写序号).

【解答】解：抛物线y=o?+6x+c,经过A(2,0),B(-1,n)两点，其中“<0,

若。>0,则抛物线开口向上，经过第一、二、三、四象限，

c<0,①正确；

:抛物线>=以2+云+。J,b,c为常数，aWO)经过A(2,0),B(-1,n)两点，其

中n<0,

(4a+2b+c=0①

[a-b+c<T0(2)

①+②X2得6a+3c<0,

2a+c<0,②正确；

由题意可知，若ac>0,则抛物线开口向下，与y轴的负半轴相交，

...抛物线与x轴的另一个交点在x轴的正半轴，

...抛物线与x轴两个交点之间的距离小于2,③正确；

若a=-l,c>0,则y=-j+Zw+c,

22

...抛物线开口向下，有最大值=c+",

•・•抛物线经过A(2,0),

:.-4+2Z?+c=0,

・74-c

,氏丁，

工最大值尸金(c+4)2,

Vc>0,

1、

：—(c+4)2>1,

16

・•・抛物线y=a?+云+c与直线>=1有两个交点，

・・・关于x的一元二次方程以2+析+C=1有两个不相等的实数根，故④正确.

故答案为：①②③④.

9.如图，已知抛物线ynA+fcc+c的对称轴是直线x=l,且抛物线与x轴的一个交点坐标

是（4,0）.下列结论：

①a-b+c>0；

②该抛物线与x轴的另一个交点坐标是（-3,0）；

③若点（-1,yi）和（2,J2）在该抛物线上，则yi<*；

④对任意实数n,不等式air+bn^a+b总成立.

其中正确的有①③④.

【解答】解：：抛物线y^ar+bx+c的对称轴是直线x=l,且抛物线与x轴的一个交点

坐标是（4,0）,

•••抛物线与x轴的另一个交点坐标是（-2,0）,故选项②错误；

.,.x=-1时，y=a-Z?+c>0,故选项①正确；

;点（-1,尹）到对称轴的距离大于（2,券）到对称轴距离，

.,.yi<y2,故选项③正确；

,；x=l时，函数有最大值，故a/+加+c（a+6+c,即不等式a/+加Wa+6总成立，故选

项④正确；

故答案为：①③④.

10.如图，已知顶点为（-3,-6）的抛物线y=a?+6x+c过点（-1,-4）,则下列结论：

5o

①对于任意的x=m，土匀有37?+加计。2-6;②〃C>0;③若点（-/兀），（―T>2）在

抛物线上，则yi>y2；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-4的两根为-5和-1；⑤Z?

-6a=0；其中正确的有①③④⑤（填序号）.

【解答】解：•••抛物线产o?+汝+C的顶点为（-3,-6）,

•'•当尤=-3时，y最小值=-6,

，对于任意的x=m,其函数值>=<777/+勿7?+c2-6,

因此①正确；

•.•开口向上，

・・,抛物线与y轴交于负半轴，

Ac<0,

ac<0,

因此②不正确；

:点（5,为），y2）在对称轴右侧的抛物线上，根据在对称轴右侧，y随X的增大

而增大，

因此③正确；

•・•抛物线》=狈2+法+。过点（-1,-4）,由对称轴为％=-3,根据对称性可知，抛物线

y=/+/?%+。还过点（-5,-4）,

，关于x的一元二次方程aj?+bx+c=-4的两根为-5和-1；

因此④正确；

:对称轴为直线x=-/=-3,

・•b-6〃=0,

因此⑤正确；

综上所述，正确的结论有①③④⑤，

故答案为：①③④⑤.

三、解答题

11.在平面直角坐标系中，已知二次函数)=/-2必+以2-4.

(1)当m=1时，求抛物线与％轴的交点坐标；

(2)将抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到的新函数记为G,

若点A(xi,yi),B(X2,丁2)是函数G图象上的两点，若对于任意的-2VxiV-1,X2

=-1,都有yi〈y2,求小的取值范围.

y八

4-

3-

2-

1-

IIIII_____________IIIII.

-5-4-3-2-1012345力

-1-

一2-

一3-

-4-

【解答】解：(1)当m=1时，y=x1-2x-3,

令y=0,得/-2%-3=0,

解得xi=3,x2=-L

・••抛物线与x轴的两个交点(3,0)和(-1,0)；

(2)-2mx+rr^-4=(x-m)2-4,

・•・抛物线的对称轴为直线工=机，顶点为(加，-4),

令y=0,贝!J%2-2mx+n?-4=0,

解得x=m+2或x—m-2,

・••抛物线与x轴的交点为(m+2,0),(m-2,0),

由题意，图象G如图所示，分以下两种情况：

此时，有^m1:.

解得—3<m<-2；

：.m的取值范围是机21或一3<m<

12.已知二次函数y=/-（2切-1）X+”/-m（〃?是常数）.

（1）若二次函数图象经过（0,0）,求二次函数的解析式；

（2）若A（〃-3,层+2）,B（-n+1,H2+2）是该二次函数图象上的两个不同点，求二

次函数表达式和〃的值；

(3)若点C(2,yi),点。(m,”)也均在此函数图象上，且满足yi<*,求机的取

值范围.

【解答】解：(1)•..二次函数图象经过(0,0),

.*.m-m=0,

解得m=0或1,

工二次函数的解析式为y=W+x或y=%2-x；

(2)由点A、B的坐标得，抛物线的对称轴为直线x="―3]"+1=笔二,

解得：m——

则抛物线的表达式为y=/+2x+',

将点A的坐标代入上式得：九2+2=(H-3)2+2(n-3)+挤，

7

解得：n=讫；

(3).・•二次函数y=7-(2m-1)x+川-机(机是常数，且加?0).

•••抛物线开口向上，对称轴为直线工=等匚，

..•点。(2,yi),点。(m,>2)在此函数图象上，且满足yi〈y2,

・•・点C到对称轴的距离小于点D到对称轴的距离，

2m-l2m-l2m-5i

.'.I——-2|<|——-m|,BPI——I<4，

解得0<〃z<3.

13.已知二次函数y=/-2mx+2(根为常数).

(1)若函数图象经过点(2,4),求二次函数的表达式；

(2)当1W尤W3时，y有最大值为-5,求根的值；

(3)若点A(相-3,p),BC-2m,q)都在该函数的图象上，当p>q时，求相的取值

范围.

【解答】解：(1)把(2,4)点代入y=/-2g+2中，

.".4-4m+2=4,

/.m=方，

・••二次函数的表达式为：>=/-％+2；

(2)二次函数y=%2-2妹+2的对称轴是直线x=m,

当加23时，1W%W3时，y随尤的增大而减小,

：.x=l时y取最大值，解得加=4,

当mWl时，l〈xW3时，y随尤的增大而增大，

...当x=3时y取最大值，解得机=*

.•.当机W1时，机值不存在，

当时，x=l时y取最大值，解得m=4,

...当时，加值不存在，

8

-

当时，当％=3时y取最大值，解得机=3

当lWmW2时，m值不存在，

综上所述：m=4：

(3)把点A(m-3,p),B(-2m,q)代入y—x-2mx+2中,

(m-3)2-2mX(m-3)+2=〃,(-2m)2-2mX(-2m)+2=q,

・：p>q，

-m2+11>4m2+4m+2,

卷<m<1.

14.在二次函数y=W-4比+5(r>0)中.

(1)若函数图象的顶点在x轴上，求才的值;

(2)若点(/,s)在抛物线上，令q=t+s,求证：q<-

(3)如果A(机-2,a),B(4,b),C(m,〃)都在这个二次函数图象上，且〃Vb<5,

求m的取值范围.

【解答】(1)解：由题意，:二次函数为y=/-4比+5=(%-2/)2-4?+5,且顶点在x

轴上,

-4金+5=0.

,V5

・・/=土—.

2

又>0,

t=T-

(2)证明：、•点(/,s)在抛物线y=f-4比+500)上,

-4?+5=-3?+5,

.*.q=t+s=-3於+/+5,

••q—~3金+什5=-3（£—J）^4-

•・,-3<0,

有最大值为

・・g通.

（3）解：TA（m-2,a）,C（m,〃）都在这个二次函数的图象上，

7n

二次函数y=x2-4a+5的对称轴直线x=2t=彳+二=m_।

・・2/=ITI~\