2025年中考数学难点与解题模型：平行线中的常见的四种“拐角”模型（原卷版）

难点与解题模型10平行线中的常见的四种“拐角”模型

题型一：“猪蹄”模型（含“锯齿”模型）

题型二：“铅笔”模型

题型三：“鸡翅”模型

题型四：“骨折模型”

储国£藉淮撬分

题型一：“猪蹄”模型（含“锯齿”模型）

|IililS--”……-…-…

一、“猪蹄”模型

i猪蹄模型的基本特征：一组平行线，中间有一个点，分别与平行线上的点构成“猪蹄”。

猪蹄模型（又名燕尾模型、M字模型）

步骤总结

;步骤一：过猪蹄（拐点）作平行线

:步骤二：借助平行线的性质找相等或互补的角

;步骤三：推导出角的数量关系

模型结论：ZB+ZD=ZDEB.

二、锯齿模型

已知图示结论（性质）证明方法

AB

AB〃DENB+NE=NC

上遇拐点做平行

DE线（方法不唯

AB一）

AB〃DE*NB+NM+NE=NC+NN

DE

,一aF4也

a〃b所有朝左角之和等于所有朝右角的和

力”-l•^****^

b

*--------------^*4

【中考母题学方法】

【典例1-1］（2023•辽宁盘锦•中考真题）如图，直线AB〃CD,将一个含60。角的直角三角尺EGF按图中

方式放置，点E在A3上，边GF、EF分别交CD于点、H、K,若NBEF=64°,则NGHC等于（）.

A.44°B.34°C.24°D.14°

【典例1-2】（2020・湖南・中考真题）如图，已知ABI3OE,01=30°,02=35°,贝峋BCE的度数为（）

A.70°B.65°C.35°D.5°

【典例1-3］（2024•在平区一模）如图，AB//EF,ZC=90°,则P,7的关系是（）

A.a+P~y=90°B./?+y-cr=90°

C.。+4+/=180。D.P=a^y

【典例1一4】（2024•河南南阳•模拟预测）传统文化如同一颗璀璨的明珠，熠熠生辉，为增强学生体质，同时

让学生感受中国传统文化，某校将国家非物质文化遗产"抖空竹”引入阳光特色大课间.如图①是某同学"抖

空竹”时的一个瞬间，小红同学把它抽象成数学问题：如图②，已知AB〃CD,NAEC=131。，ZBAE=57°,

则NDCE的度数为（）

【典例1-5】（2023•北京西城•统考一模）下面是解答一道几何题时两种添加辅助线的方法，选择其中一种,

【中考模拟即学即练】

【变式1-1］（2024•辽宁•模拟预测）汽车前照灯的反射镜具有抛物线的形状，它们是抛物面（如图），明亮的

光束是由位于抛物线反射镜焦点F上的光源产生的，此时光线沿着与抛物线的对称轴平行的方向射出,

若N/C£>=40。，=70。，则光线FC与FG形成的NCFG的度数为（）

A.90°B.100°C.110°D.120°

【变式1-2］（2024•湖南长沙•模拟预测）如图，AB//CD,OB±OD,若/ABO=36。，则NODC的度数为

C.72°D.108°

【变式1-3］（2024•甘肃,模拟预测）如图1,是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望

远镜"中国天眼如图2,是"中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中EG为竖直方向的馈源（反

射面），入射波AO经过三次反射后沿O'A'水平射出，且。4〃O'A,已知入射波AO与法线的夹角Nl=35。，

则ZA'ON=（）

Si图2

A.70°B.60°C.45°D.35°

【变式1-4］（2024•云南昆明•模拟预测）如图，已知。〃6,若与的夹角为105。，4=55。，则N2的

度数为（）

A

A.105°B.125°C.130°D.150°

【变式1-5］（2024•江苏常州•一模）如图，直线。〃以点A在直线a上，点C在直线。上，,若N1=44。,

贝I]Z2=

【变式1-6］问题情境：如图1,已知4BEICD,^APC=108°.求NP4B+NPC。的度数.

图1图2图3图4

经过思考,小敏的思路是:如图2,过P作PEMB,根据平行线有关性质，可得NPAB+NPCD=360°-ZXPC=

252°.

问题迁移：如图3,ADEIBC,点P在射线OM上运动，AADP=Na,乙BCP=邛.

⑴当点P在A、B两点之间运动时，上CPD、Na、NS之间有何数量关系？请说明理由.

（2）如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、。三点不重合），请你直接写出NCP。、Na、N/?之间

的数量关系.

⑶问题拓展：如图4,MA^NAn,X2--------Bnr-4t是一条折线段，依据此图所含信息，把你

所发现的结论，用简洁的数学式子表达为

题型二：“铅笔”模型

「福TMT逑T3.....

从猪蹄模型可以看出，点E是凹进去了，如果点E是凸出来，如下图:

那么，像这样的模型，我们就称为铅笔头模型。

模型结论：ZB+ZE+ZD=360°

【中考母题学方法】

【典例2-1】（崇川区校级三模）如图，已知ZA=140°,ZE=120°,则NC的度数是（）

A.80°B.100°C.120°D.140°

【典例2-2[（2024春•启东市校级月考）如图，直线a//b,Nl=28°,则N3=度，N3+N4+/5=

【典例2-3】请在横线上填上合适的内容.

（1）如图（1）已知贝=

解：过点E作直线E73/AB.

^ZFEB=().()

ABHCD,EF//AB,

0（）//（）.（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行）

^ZFED=().().

ZB+ZD=ZBEF+AFED.

®ZB+ZD=NBED.

(2)如图②，如果AB〃CD,贝!!NB+NfiED+ND=()

【典例2-4】如图,己知Aaaco.

AB

''卫_______

CD

图4

(1)如图1所示,131+02

(2)如图2所示,01+02+B3;并写出求解过程.

(3)如图3所示,01+02+03+H4

(4)如图4所示,试探究团1+02+03+回4+回+即=

【中考模拟即学即练】

【变式2-1］（江苏模拟）如图，是赛车跑道的一段示意图，其中测得NB=140。ZD=120°,

则NC的度数为（)

5

A.120°B.100°C.140°D.90°

【变式2-2】问题情境：如图1,AB\\CD,^PAB=130°,zPCO=120°,求N4PC的度数.

图5备用图1备用图2

思路点拨：

小明的思路是：如图2,过P作PEII48,通过平行线性质，可分别求出NAPE、NCPE的度数，从而可求出

乙4PC的度数；

小丽的思路是：如图3,连接4C,通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出N4PC的度数；

小芳的思路是：如图4,延长4P交DC的延长线于E,通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出乙4PC

的度数.

问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的乙4PC的度数为°;

问题迁移：

(1)如图5,4D||BC,点P在射线。M上运动，当点P在A、B两点之间运动时=乙a,乙BCP=邛.乙CPD、

Na、之间有何数量关系？请说明理由；

(2)在(1)的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与点A、B、。三点不重合)，请你直接写

出NCPD、Na、邛间的数量关系.

【变式2-3］（1）如图1,60/2，求财］+（凶2+朋3=.（直接写出结果）

（2）如图2,/曲/2，求04；+蜘2+蜘3+骷4=.（直接写出结果）

（3）如图3,/曲/2，求蜘［+蜘2+蜘3+&44+蜘5=.（直接写出结果）

（4）如图4,1^12,求0Ai+EM2+...+l3An=.（直接写出结果）

⑴⑵（3）

题型三：“鸡翅”模型

【典例3-1】（2024•广东深圳•模拟预测）抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一.明代

《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间

流行的历史至少在600年以上.如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：

AB//CD,ZBAE=94°,NDCE=122°,则/E的度数为（）

A

A.28°B.38°C.18°D.25°

【典例3-2]A施CD点P为直线AB,CD所确定的平面内的一点.

(1)如图1,写出0ApC、财、EIC之间的数量关系，并证明;

(2)如图2,写出0ApC、&4、EIC之间的数量关系，并证明;

(3)如图3,点E在射线84上，过点E作EimPC,作附EG=aPEK点G在直线C。上，作财EG的平分

线EH交PC于点、H,若13Ape=30。，回以8=140。，求回PEHr的度数.

图3

【典例3-3】（2023•重庆大渡口•统考模拟预测）在数学课上老师提出了如下问题：

如图，乙B=160°,当乙4与ND满足什么关系时，BC||DE?

小明认为ND-乙4=20。时BC||DE,他解答这个问题的思路和步骤如下，请根据小明的思路完成下面的作

图与填军肇

解：用直尺和圆规，在的右侧找一点M,^DAM=AD（只保留作图痕迹）.

SZ.DAM=乙D,

回①_________________

0ZD-乙DAB=20°

=@°,

EIZB=160°,

+Z.BAM=（3）'

回④_________________

0BC||DE.

所以满足的关系为：当ND—乙4=20。时，BC||DE.

【中考模拟即学即练】

【变式3-1］如图，若AB//CD,则回1+团3-回2的度数为

E

【变式3-2］问题探究:

如下面四个图形中，AB//CD.

(1)分别说出图1、图2、图3、图4中,"与回2、团3三者之间的关系.

(2)请你从中任选一个加以说明理由.

图4

解决问题:

(3)如图5所示的是一探照灯灯碗的纵剖面,从位于。点的灯泡发出两束光线08、0C经灯碗反射后平行

射出.如果她2。=57°,回。。。=44°,那么I38OC=

D

C

图5

【变式3-3】已知直线ABEICD,P为平面内一点，连接力、PD.

⑴如图1,已知回4=50°,回。=150°,求回APD的度数；

(2)如图2,判断回力8、0CDP,MPD之间的数量关系为.

(3)如图3,在(2)的条件下，AP0PD,ON平分I3PDC,若团%N+；EI%B=0/1PD,求MA/。的度数.

AB

P

C~D

图1-

题型四：“骨折模型”

।Aiiis......

模型结论：ZE=ZB-ZD

【中考母题学方法】

【典例4-1](2024•黑龙江绥化•中考真题)如图，AB//CD,ZC=33°,OC=OE.则/A=

c

【典