2025年中考数学几何模型综合训练：最值模型之瓜豆模型（原理）直线解读与提分训练

专题37最值模型之瓜豆模型（原理）直线

动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该

压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型

的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原

理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

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模型1.瓜豆原理（模型）（直线轨迹）

习题练模型

11

模型1.瓜豆原理（模型）（直线轨迹）

瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨

迹相同。

只要满足:

“定”则两动点的运动轨迹是相似的，运动轨迹

1、两“动”,

长度的比和它们到定点的距离比相同。

2、两动点与定点的连线夹角是定角

3、两动点到定点的距离比值是定值

动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，主动点叫瓜（豆），从动点叫瓜（豆），瓜在直线上运动，豆也在直

线一上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。

模型1）如图，尸是直线3C上一动点，/是直线3c外一定点，连接/尸，取4P中点。当点P在直线上

运动时，则。点轨迹也是一条直线。

证明：分别过/、0向3c作垂线，垂足分别为M、N,在运动过程中，

因为所以0N始终为的一半，即0点到BC的距离是定值，故。点轨迹是一条直线.

模型2）如图，在A/P。中/尸=/。，/刈。=e为定值，当点尸在直线2C上运动时，则。点轨迹也是一条

证明：在8c上任取一点马，作三角形△NPQ1,且满足AQ\=AP\,连结。1。交3C于点N,

AP=AQ,AQ\=AP\,AP\AQ\=APAQ=a,\APP{~KAQQX>AAPP\=AAQQ\,

VZAMP=ZNMQ,：.ZMNQ=ZPAQ=a,即。点所在直线与BC的夹角为定值，故。点轨迹是一条直线.

模型运用

当动点轨迹为一条直线时，常用“垂线段最短”求最值。

1）当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值；

2）当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。

3）确定动点轨迹的方法（重点）

①当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线，即模型1）；

②当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线，即模型2）；

③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；

④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑；

注意：若动点轨迹用上述方法不好确定，则也可以将所求线段转化（常用中位线、全等、相似、对角线）

为其他已知轨迹的线段求最值。

例1.（2024•山东泰安•校考一模）如图，矩形48CD的边£为上一点，且/E=l,F

为/。边上的一个动点，连接EF,若以E尸为边向右侧作等腰直角三角形EFG,£F=EG,连接CG,则CG

C.3D.272

【答案】B

【分析】过点G作GHL4B于H,过点G作MN//AB,由可证可得GH=AE=T,

可得点G在平行48且到距离为1的直线MN上运动，则当歹与D重合时，CG有最小值，即可求解.

【详解】解：如图，过点G作于X,过点G作儿W〃/8,

：.ZS=90°,CD=—,AD=3,

2

9

"：AE=\,：.BE=-,'：ZGHE=ZA=ZGEF=90°,

2

ZGEH+ZEGH^90°,NGEH+NFEA=90°,：.ZEGH=ZFEA,

又,：GE=EF,：./\GEH^AEFA（AAS）,：.GH=AE=1,

...点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，

当歹与。重合时，CG有最小值，此时/产=即=3,

；.CG的最小值=杷■一1一31+22=1,故选B.

【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G的运动轨迹是本题的关键.

例2.（2024•河北邢台・模拟预测）如图，VN8C是边长为2的等边三角形，点E为中线BD上的动点.连接CE,

将CE绕点。顺时针旋转60。得到CF.连接/尸，则/。4尸=,连接。尸，则VCZ)厂周长的最小值

是.

【答案】30°1+V3

【分析】证明△C8E丝尸(SAS)可得/。尸=/。5£=30。，得到点尸在射线4尸上运动，如图所示，作

点C关于/尸的对称点C',连接。C',可得当D,F,C'三点共线时，FC+FD取最小值，即

FC+FD=F'C'+F'D=C'D,由//。。=90。-/。。=60。得到/。=30。，即得CD=」CC'=1,进而由勾

2

股定理得CD=y/cC2-CD2=6，据此即可求解.

【详解】解：为等边三角形，E为高助上的动点，.•.NC8E=』N4BC=30。，BC=/C,

2

•.•将CE绕点C顺时针旋转60。得到CF,.•.C£=CF,AECF=ZBCA=60°,

ZBCE=ZACF,.-.VCBE@G4F(SAS),ZCAF=ZCBE=30°，，氤F在射线AF上运动,

如图所示，作点C关于4尸的对称点C\连接DC,

设CC'交4尸于点O,贝！|//。。=90°,在必AZOC中，ZCAO=30°,则CO=g%C=l,

当D,F,C'三点共线时，/C+FD取最小值，即尸C+阳=FC'+FD=C'。，

ZACO=90°-ZCAO=60°,：.ZC=90°-ZDCO=90°-60°=30°,

•••CC="C=2,：.CD=^CC'^1,；.CD=JCC--CD。=我-『=也,

.•.VCD尸周长的最小值为1+百，故答案为：30。；1+6.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，两点之

间线段最短，直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键.

例3.（2023•四川成都・模拟预测）如图，四边形/BCD为矩形，对角线NC与2。相交于点。，点E在边DC

上，连接NE,过。做。尸J.NE,垂足为尸，连接OF,若ND4E=30°,DE=10,则。下的最小值

为.

BC

【答案】—

2

【分析】本题考查了矩形的判定和性质，含30。直角三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，先根据

面积法可计算。尸的长为5若，根据三角形的三边关系可得：尸是一个定点，。的轨迹为中垂线上的一

部分，所以垂线段最短，可知F7V的长是O尸的最小值，最后由等边三角形三线合一的性质可得结论.

【详解】解：••・四边形/BCD是矩形，

ZADE=90°,AC=BD,OA=-AC,OD=-BD,OA=OD,

22

ZDAE=30°,DE=IQ,AE=IDE=20,AD=^AE2-DE2=7202-102=1073»

VDFLAE,；.=；xl0xl06=；x20xD尸，。尸=乎

•••厂是一个定点，。的轨迹为中垂线上的一部分，如下图所示，过点尸作于尸，过点。作

。饮，4。于初，过点尸作FNLOM于N,所以垂线段最短，则Ob的最小值为FN的值，

FP//DE,：.ZDFP=ZEDF=30°,:.PD=-DF=—,RtZ\ZZ)£中，/。=10百，

22

OMLAD,OA=OD,:.AM=DM=5百，■-7W=PM=573----，

22

即。尸的最小值为孚.故答案为：挛.

22

例4.（2023•安徽•合肥三模）如图，在必△ZBC纸片中，ZACB=90°,AC=4fBC=3,点、D,石分别在

BC,4g边上，连接。£,将沿翻折，使点8落在点尸的位置，连接N尸，若四边形3EED是菱形,

则/b的长的最小值为（）

I-厂-5

A.V5B.>/3C.—D.—

【答案】A

【分析】连接8尸交ED于点0,设所与/C交于点G.根据菱形的性质可得点/在N/BC的平分线上运

动，从而得到当/时，/尸的长最小.再证明A8£OsZ^8N凡可得BE」4B=4E,再证明ANGES

2

△ACB,EG=-BC=1.5,AG=-AC=2,从而得至ljGF=1,再由勾股定理，即可求解.

22

【详解】解：如图，连接BF交ED于点、O,设M与NC交于点G.

•.,四边形3EFD是菱形，，夕尸平分N48C,.,.点厂在N43C的平分线上运动，

.•.当时，4F的长最小.在菱形BEFD中，BFLED,OB=OF,EF//BC,

BEOEBO

---————1Rk卜,——1—Zj—卜1

：.EO//AF,:.ABEOS^BAF,：.AFBF2,1•.2,

在RtUBC中，AC=4,BC=3,：.AB=5,:.BE=AE=25,

'JAFLBF,：.EF=2.5,'JEF//BC,:.AAGEs"CB,

—=-,ZAGE=ZACB=90°,/.EG=-BC=1.5,AG=-AC=2,GF=EF-EG=1,

BCACAB222

AF2222

•:NAGF=/AGE=90°,：.=^AG+GF=A/2+1=75.故选：A

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角

形的判定和性质，直角三角形的性质，菱形的性质，准确得到点/在N/8C的平分线上运动是解题的关键.

例5.（2024•四川达州一模）如图，在矩形/8CZ）中，48=4,8c=56，点尸在线段8c上运动（含B,

C两点），连接/尸，以点/为中心,将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接。。，则线段DQ的最小值为.

71

【答案】-/3-/3.5

22

【分析】如图，以为边向右作等边△AB尸，作射线方。交/。于点E,过点。作于”.利用全

等三角形的性质证明4尸。=90。，推出乙4斯=60。，推出点。在射线FE上运动，求出。可得结论.

【详解】解：如图，以为边向右作等边△力时，作射线尸。交4。于点过点。作于

•・•四边形/灰刀是矩形，：・/ABP=NBAD=90。,丁△45RA4P。都是等边三角形,

AZBAF=ZPAQ=60°,BA=FA,PA=QA,：.ZBAP=ZFAQf

BA=FA

在△54尸和△"0中，］ZBAP=ZFAQ,/.^BAP^Z\FAQ(SAS),AZABP=ZAFQ=90°,

PA=QA

ZFAE=90°-60°=30°,ZAEF=90°-30°=60°,

VAB=AF=4,.-.AE=^^=—,.,.点0在射线相上运动,

cos3003

,:AD=BC=5右,:.DE=AD-AE=S,DH1EF,ADEH=AAEF=60°,/.

3

Z>7Z=D£,.sin60°=—x^=-.据垂线段最短可知，当点。与8重合时，。。的值最小，最小值为工.

3222

7

故答案为：-

【点睛】本题考查矩形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形

等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点0的在射

线FE上运动.

例6.(2024・重庆模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，Q是直线＞=I+2上的一个动点,将Q绕点尸(T0)

逆时针旋转90。，得到点Q',连接。。'，则。。'最小值为.

【答案】V5

【分析】设0g1力+2),作48工x轴，作作。根据44s可证明V/园=V加户，由此

2

可求。'(-；t-3"+1),令入=-；6-3,y=t+l,可得°,在直线y=-2x-5上运动，当。。1时,

。。'的值最小，再由1211/。0=！得七211/网'=1，进而得出。石=5,即可得出答案.

22

【详解】设+2),过点P作轴，过点。作交于2点，过点。作。交于8点，

AQPQ'=90°,AQPA+AQ'PB=90°.

NQPA+ZAQP=90°,：.NQ'PB=NAQP.

•：QP=Q'P,:."PQ=ABQ'P(AAS),：.QA=PB,AP=Q'B.

■：P(-l,0),：.QA=-t-1,AP-t+2,,：.Q'{~t-3,t+1),

22

令牙=一工方一3,y=t+l,y=-2x-5,

2

.•.点0'在直线y=-2x-5上运动，当，园时，。。'的值最小.

在y=,x+2中，令x=0,则y=2,令y=o,则x=-4,/.C(0,2),。(一4,0),/.tanZCDO=-.

22

,/ACDO=AOEQ',：.tanZOEQ'=^,：.Q'E=2OQ',

在y=-2x-5中,令x=0,则》=-5,/.£(0,-5),：.OE=5.

VW)2+(EQ')2=OE2,即5(07)2=25,解得〃Q，=&,所以。。'的最小值为VT故答案为：75.

【点睛】本题主要考查了一次函数的图象及性质，旋转的性质，三角形全等的判定及性质，确定点0的运

动轨迹是解题的关键.

例7.(2024•广东•九年级校考期中)如图，RtA/8C中，ZACB=90°,ZA=30°,8C=5,点£是边/C上

一点，将BE绕点2顺时针旋转60。到8F,连接CF,则CF长的最小值是()

A.2B.2.5C.V5D.—

2

【答案】B

【分析】取48的中点为点。，连接。£,过点。作垂足为〃，在RM/BC中，利用含30度角

的直角三角形的性质可求出NB的长，的度数，再根据线段的中点定义可得/。=氏0=1/8=5,从

而可得£)〃=工/。=2.5,然后利用旋转的性质可得：BE=BF,NEBF=60。，从而利用等式的性质可得

2

ZABE=ZCBF,进而利用SAS证明△ADE会△5CB,最后利用全等三角形的性质可得。E=CF,再根据

垂线段最短，即可解答.

【详解】解：取48的中点为点。，连接DE,过点。作L/C,垂足为“，二N4ffi)=90。，

A

VZACB=90°,N/=30°,BC=5,：.AB=2BC=10,ZABC=90°-ZA=60°,

•.•点。是43的中点，AAD=BD=-AB=5,：.DH=-AD=2.5,

22

由旋转得：BE=BF,4EBF=60°,ZEBF=ZABC=60°,

ZEBF-ZEBC=ZABC-ZEBC,：.NABE=ZCBF,

BD=BC=5,:.ABDE知BCF(SAS),：.DE=CF,

当。E//C时，即当点£和点"重合时，DE有最小值，且最小值为2.5,

；.C户长的最小值是2.5,故选：B.

【点睛】本题考查了旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图

形添加适当的辅助线是解题的关键.

习题练模型

1.（2024・河南周口•一模）如图，平行四边形/BCD中，48=16,4D=12,N/=60。，E是边ND上一点,

且4E=8,尸是边AB上的一个动点，将线段E/绕点E逆时针旋转60°,得到EG,连接BG、CG,则BG+CG

的最小值是（）.

A.4B.4A/15C.4721D.亚

【答案】C

【分析】本题考查旋转变换，轨迹，菱形的性质，勾股定理解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知

识.取的中点N.连接EN,EC,GN,作交CD的延长线于利用全等三角形的性质证明

NGA®=60。，点G的运动轨迹是射线NG,由“SAS”可证AEGN之zXBGN,可得GB=GE,推出

GB+GC=GE+GC>EC,求出EC即可解决问题.

【详解】解：如图，取AB的中点N.连接EN,EC,GN,作EX，交CD的延长线于“，

VAE=8,AD=n,DE=4,,点N是NB的中点，:.AN=NB=8,:.AE=AN,

=60°,...ANEN是等边三角形，ZAEN=ZFEG=60°,:.NAEF=NNEG,

-：EA=EN,EF=EG,:.AAEF为NEG（SAS）,ZENG=ZA=60°,

ZANE=60°,AGNB=180°-60°-60°=60°,...点G的运动轨迹是射线NG,

BN=EN,ZBNG=ZENG=60°,NG=NG,：.^EGN^BGN（SAS）,:.GB=GE,:.GB+GC=GE+GC>EC,

在RtADE“中，ZH=90°,DE=4,NEDH=60°,：.DH=；DE=2,EH=2区,

在RtZkEC“中，EC=EH2+CH2=V12+182=4721，，G3+GC22,GB+GC的最小值为4后，故选：C.

2.（2024•湖南长沙•一模）如图，矩形4BCD中，AB=6,BC=8,尸是48上一点，E为&。上一点，且5E=2,

连接防，将EF绕着点E顺时针旋转45。到EG的位置，则CG的最小值为.

【答案】3V2+2/2+3V2

【分析】将线段BE绕点£顺时针旋转45。得到线段ET,连接GT,ED,设EZ）交CG于/证明

△EBFAETG（SAS）,根据垂线段最短计算即可.

【详解】解：如图，将线段3E绕点E顺时针旋转45。得到线段ET,连接GT,ED,设成＞交CG于/

:四边形48CD是矩形，48=6,BC=8,BE=2,

：.AB=CD=6,BC=8,EC=CD=6,ZB=ZBCD=90°,ZCED=ZCDE=45°,

*.•ABET=ZFEG=45°,ZBEF=Z.TEG,

EB=ET

在AEB尸和AETG中，；＜NBEF=NTEG,：.^EBF^AETG（SAS）：.ZB=ZETG=90°,

EF=EG

.•.点G的在射线7G上运动，，当CGLTG时，CG的值最小，

ZCED=ZCDE=45°,ABET=NFEG=45°ZTEJ=90°=ZETG=ZJGT=90°,

.••四边形ETGJ是矩形，DE//GT,GJ=TE=BE=2：.CJLDE,

：.AECJ=ZDCJ=45°,；.CJ=ECsin45°=3V^，：,CG=GJ+CJ=3五+2，

，CG的最小值为30+2,故答案为：30+2.

【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，解直角三角形，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，

熟练掌握相应的知识是解题的关键.

3.（2023•江苏宿迁•三模）如图，在矩形/BCD中，4B=8,BC=86,点£为矩形对角线8。上一动点,

连接CE,以CE为边向上作正方形CEFG,对角线CF、EG交于点打，连接则线段■的最小值为

G

BC

【答案】2H

【分析】作CT，BD于点I,则ZEIC=90°,由正方形的性质得ZEHC=90°,CH=EH,所以

NHCE=NHEC=45°,取CE的中点O,连接OH、O/,以点。为圆心OE为半径作OO,则点H、点/都在。。

上，所以/fflE=/"CE=45。,可知点H在过点/且与直线m所交成的锐角为45。的直线上运动，则当

。/7,由时，线段。〃的值最小，此时。”二变0,由矩形的性质得NBCD=90。，8=45=8,则

2

)0~)2

助=而__5_H______=16,由air=而m=侬40c得0=需=4,所以9=亨/y,4=2死于是得到问题的

答案.

【详解】如图1,作C7L8D于点/,则/E/C=90。,二•四边形CMG是正方形，

图2

CF1EG,CH=FH=EH=GH=；EG,且CF=EG,

NEHC=90°,CH=EH,NHCE=ZHEC=45°,

取CE的中点O,连接OH、O/,以点O为圆心OE为半径作O。，

;OH=OI=OE=gcE,.X、H、点/都在。。上，；.ZfflE=NHCE=45。，

...点〃在过点/且与直线BD所交成的锐角为45°的直线上运动，

当。X，阳时，线段ZW的值最小，如图2,DH=90°,

:点〃、点/都在以CE为直径的圆上，；./印0=180。一/〃出=/”CE=45。，.•.DH=〃).sin45°=»/D,

:四边形A8CD是矩形，AB=8,BC=86,:./BCD=90°,CD=AB=8,

22CD

:.BD=y/cD+BC=,6+(8班『=16,vZCID=90°,备——=cos/BDC,

BD

ID=—=—=4,.-.DH=—x4=272,ADH的最小值为2行,故答案为：2血.

BD162

【点睛】此题重点考查矩形的性质、正方形的性质、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角

形、垂线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.

4.（2023上•湖北武汉•九年级校联考期中）如图，已知/MON=30。，B为OM上一点,BALON于4,四

边形/BCD为正方形，P为射线的上一动点，连接CP,将CP绕点C顺时针方向旋转90。得CE,连接BE,

【答案】1+V3/V3+1

【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及垂线段最短的性质的综合

应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等以及垂线段最短进行解

答.连接尸依据SAS构造全等三角形，即ABCE且AOCP,将BE的长转化为尸。的长，再依据垂线段最

短得到当最短时，8E亦最短，根据/WON=30。，OD=2+2y/3,即可求得的长的最小值.

【详解】解：如图，连接P。，

M

由题意可得，PC=EC,NPCE=90°=NDCB,BC=DC,：.2DCP=ZBCE,

DC=BC

在AOCP和ABCE中，＜NDCP=NBCE,；.^DCP^ABCE(SAS),：.PD=BE,

CP=CE

当。尸，（W时，PD最短,此时BE也最短,

VZ^05=30°,AB=2=AD,03=2x2=4,OA=742-22=273:-OD=OA+AD=2凤2,

当。PLOW时，n尸=A。。=2+26=I+G，，BE的最小值为1+VL故答案为：l+0.

22

5.（2023上•陕西渭南•九年级统考期中）如图，在矩形48c。中，=6,点E为边ND的中点，连接CE.点

厂是边CE上一动点，点G为边8F的中点，连接。G.当4B=4时，DG的最小值是.

AED

【答案】y

【分析】取BC的中点以，连接作。G'LZH于点G',根据四边形48co为矩形，4D=6得AD=BC=6,

根据点E为边的中点，点石为8C的中点，得4E=DE=3,8H=CH=3,可得ZE=C〃，根据NE〃CE

得四边形N8CE为平行四边形，则/8〃CE,根据8"=C"得与BF的交点为3尸的中点，根据G为BF

的中点，得///过点G,即点G在线段上随点P运动而运动，当。G14H时有最小值，则DG，即为所

求，根据勾股定理得/〃=5,根据得49=/D/G',根据//3〃=/DG'/=90。得

4R4H

AABH^ADG'A,则一；=—,进行计算即可得.

DG'DA

【详解】解：如图所示，取8c的中点连接作。GU/H于点G',

BHC

•.•四边形48CD为矩形，/。=6,ND=8C=6,•..点E为边的中点，点X为8C的中点，

AE=DE=-AD=-x6=3,BH=CH=-BC=-x6=3,：,AE=CH,

2222

,/AE//CE,，四边形/HCE为平行四边形，AH//CE,

'：BH=CH,与3尸的交点为昉的中点，；G为3尸的中点，

过点G,即点G在线段///上随点/运动而运动，当DGL4/时有最小值，则DG，即为所求,

^ABH=90°,AB=4,BH=3，；.AH=^AB2+BH1=^42+32=5，

AD//BC,：.AAHB=ZDAG',,：ZABH=ZDG'A=90°,A/\ABH^/\DG'A,

.•.四=9，."G，=g="T,故答案为：二.

DG'DAAH555

【点睛】本题考查了线段最小值，矩形的性质，垂线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行

四边形的性质，解题的关键是掌握这些知识点，添加辅助线.

6.（2023上•湖南长沙•九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点/Q,0）,点C是y轴

上一动点，设其坐标为（0,加），线段◎绕点。逆时针旋转90。至线段C2,则点2的坐标为,连

接BO,则BO的最小值是.

【分析】本题考查坐标与图形变化一旋转，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是

正确寻找点3的运动轨迹，属于中考常考题型.

设C（0,M，过点3作8〃，了轴，垂足为点证明A49C也AC〃B（44S）,推出〃C=O4?汨=OC,可得

点8的坐标为（加加+1）,推出点B的运动轨迹是直线y=x+l,根据垂线段最短解决问题即可.

【详解】设C（0,m）,过点3作3〃，＞轴，垂足为点H,二NBHC=90°,NHCB+ZB=90°,

•..线段C4绕着点C按逆时针方向旋转90。至线段C5,

ABAC=90°,CB=CA,ZHCB+ZACO=90°,ZB=ZACO,

QBAOC=90°,;."OC知CHB(AAS),HC=OA,HB=OC,

:点C(O,»J),点4(1,0),.•.点3的坐标为(在加+1),.,.点3的运动轨迹是直线y=x+l,

•.•直线y=x+l交X轴于£(-1,0),交了轴于尸(0,1),;.OE=O尸=1,斯=亚,

过点。作OT_LE尸于T.则。7=工昉=业，

22

根据垂线段最短可知，当点3与点T重合时，08的值最小，最小值为史，故答案为：（见机+1）；Y2.

22

7.（2024•山东校考一模）如图，正方形/BCD中，=4,点£为边8c上一动点，将点/绕点£顺时针

旋转90°得到点F,则DF的最小值为

【答案】2及

【分析】A8上截取/G=EC,过点。作交CF的延长线于点/7,证明A/GE也AEC尸，ADCH是

等腰直角三角形，进而根据垂线段最短即可求解.

【详解】如图，48上截取/G=EC,过点。作DHLCF交CF的延长线于点”,

正方形ABCD中，48=4,将点/绕点E顺时针旋转90。得到点F,

BG=BE△BEG是等腰直角三角形NAEF=90°,NABE=NC=90°,

NBAE+NAEB=NAEB+ZFEC=90°ZGAE=ZBAE=ZCEF

；.AAGE、ECF：.AAGE=ZECF=135°NDCF=45°，F在射线CF上运动,

则AOCW是等腰直角三角形，，尸与H点重合时，DF取得最小值，等于DH=^DC

2

■.DC=4DH=2V2即。尸的最小值为20故答案为：2夜

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，垂线段最短，求得尸的轨迹是解题的关键.

8.（2023•江苏连云港•统考一模）如图，在矩形48co中，AB=4,/。=6,点E为边8c上的动点，连接

AE,过点E作斯_L/£,且EF=4E,连接CF,则线段CF长度的最小值为_____.

【答案】V2

【分析】如图：在2/取一点7使得37=连接ET,在EC上取一点K,使得

NFKC=45。,连接厂K,利用全等三角形的性质证明8K=/8=4,由矩形的性可得。。=4?=4、

BC=AD=6,进而推出点尸在射线K尸上运动，当CFLKF时CF值最小.

【详解】解：如图：在切取一点T使得BT=BE,连接ET,在EC上取一点K,使得

NFKC=45°,连接尸K

VZB=90°,BT=BE：.ABTE=ABET=45°,/.ZATE=ZEKF=13>5°,

VZBAE+ZAEB=90°,ZAEB+ZFEK=90°,：.ZTAE=ZEFK,

"：AE=EF,：.VATE=VEKF（AAS）：,AT=EK,

:矩形中，AB=4,AD=6：.CD=AB=4,BC=AD=6

'：BT=BE,：.AB=BK=4,：.CK=BC-BK=2,

点尸在射线K尸上运动，当C尸，KF时，CF的值最小，最小值为sin45O-CK=^x2=J^.

2

故答案为0.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，正确作出辅助

线、构造全等三角形并确定是解答本题的关键.

9.（23-24八年级下•辽宁丹东•期中）如图，点3在直线/上，于点8,AB=7,点C在直线/上运动,

以/C为边作等边“C。，连接则8。的最小值为.

A

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短，以

为边作等边,连接CE,证明知C4E（SAS）,由全等三角形的性质得出BD=CE,过点E作E/F/

于点尸，则CE的最小值为EF,再直角三角形的性质求出所即可求解，正确作出辅助线是解题的关键.

【详解】解：如图，以为边作等边连接CE,:.AB=AE=BE=7,NABE=NBAE=60。，

•：AACD为等边三角形，AD=AC,ND4c=60°,ZDAB=Z.CAE,/.ADAB知CAE（SAS）,

：.BD=CE,；.CE最小时，8。有最小值，：C为直线/上的动点，过点E作斯，/于点厂，

17

CE的最小值为斯，VABll,：.ZABC^90°,：.ZEBF=30°,：.EF=-BE=-,

22

/.的最小值为:7，故答案为：7

22

10.（2024•四川达州•三模）如图，在等腰RtAABC中，ZBAC=90°,AB=AC=3拒，点、M是BC边上一

动点，将线段绕点A顺时针旋转60。，得到线段/N,连接MN,CN,则/N+CN的最小值

是_____________.

【答案】3百+3/3+3百

【分析】在8C上取一点。，连接NO,使/胡。=60。,在4B上截取"=连接ZV,作直线W,因为

NBAC=90。,/8=/。=3五,所以/口。=30。，ZACB=ZABC=45°,BC=&/C=6,求得=75°,

可证明之AD/M,得乙4IN=/ADM=15。,可知点N在经过上的定点/且与43相交成的锐角等

于75。的直线W上运动，作点A关于直线W的对称点尸，连接"交W于点Z,连接月V、FI、DI,则

FN=AN,FI=AI=DI,则N/E4=N"尸=15°,ABID=120°,可证明尸=NTO5=15°,所以点尸在

C3的延长线上，NAFD=30°,作4E_L8C于点E,贝l]AE=CE=BE==BC=3,AF=2AE,所以

2

EF=J/产-AE?=出AE=36，求得。尸=36+3，由FN+CN2CF得4N+CN±3把+3,贝UNN+CN

的最小值3百+3,于是得到问题的答案.

【详解】解：在3c上取一点。，连接AD,使/340=60。，在上截取4=/。，连接作直线W,

,?ABAC=90°,AB=AC=3a，^CAD=90°-ABAD=30°,ZACB=NABC=45°,

BC7AB\AC2=6AC=MX36=6,:.ZADM=NCAD+ZACB=75。,

:由旋转得/N=4W,AMAN=60°,ZIAN=ZDAM=6Q°-ZBAM,

AN=AM

在A"N和4M中，"ZIAN=ADAM,：.AIAN^ADAM(SAS),/.ZAIN=AADM=75°,

AI=AD

...点N在经过48上的定点/且与相交成的锐角等于75。的直线W上运动，

作点A关于直线W的对称点尸，连接相交W于点工，连接尸N、FI、DI,

垂直平分'，是等边三角形，，4亿/'=90。，FN=AN,FI=AI=DI,ZAID=ZADI=60°,

：.ZIFA^ZIAF=90°-ZAIN=15°,Z.BID=180°-AAID=120°,:.ZBIF=ZIFA+ZIAF=30。,

：.AD1F=ABID+ABIF=150°,连接。尸，则N/DF=N/FD=；x(180°-/ZVF)=15。，

:NIDB=NADM-NADI=15。，：./IDF=NIDB,：.点、F在CB的延长线_L,：.NAFD=NIF4+NIFD=30。,

作4EJ.BC于点E,则N/EF=90。，AE=CE=BE^-BC=3,：.AF=2AE,

2

EF=>]AF2-AE2=^(lAE^-AE2=43AE=73x3=373-:.CF=CE+EF=3&3，

•：FN+CN>CF,：.AN+CN>3^+3,，NN+CN的最小值是3省+3,故答案为：3行+3.

【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、轴对称的性质、全等

三角形的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅

助线是解题的关键.

11.(2024•四川成都•一模)如图，在矩形48c。中，BC=2AB,点、M,N为直线4D上的两个动点，且

ZMBN=30°,将线段四关于BN翻折得线段BAT,连接CAT.当线段的长度最小时，乙的度

［分析】将线段加绕点B顺时针旋转60°后点/落在点E,连接BE,得到VABM@EBM，,再由当CM」跖

时，有最小值，可得A£2G与AM'CG均为30。、60。、90。直角三角形，再证明A48M为等腰直角三角形，

△MBAT是等边三角形，进而得到NEM5=乙必e=60。，最后当CAT，斯于X时，有最小值，由此

可以求出ZMM'C=ZEM'C-ZEM'M=90°-15°=75°.

【详解】解：将线段诩绕点8顺时针旋转60。后点/落在点£,连接BE,设EAT交BC于G点，如下图所

示：在矩形/BCD中，//=//3C=90。，AD=BC,根据折叠可知，/MBM'=60。,BM=BM',

：.ZABM=/ABE-NMBE=60°-ZMBE,/EBM'=ZMBM'-ZMBE=60°-ZMBE,：.ZABM=ZEBM',

'：BA=BE,BM=BM',：.—BM%EBM'(SAS),；.AM=EM',NE=NN=90。，

；ZEBG=90°-60°=30°,：.ZBGM'=ZEBG+ZBEG=90°+30°=120°,：.ZEGC=120°,

：.ZCGM'=NEGB=180°-120°=60°,.•.点M'在EF上，

:垂线段最短，，当CM'，E尸时，CAT有最小值，与AM'CG均为30。、60。、90。直角三角形，

.

F

设EG=x,BC=2y,则BG=2EG=2x,CG=BC-BG=2y-2x,GM'=-CG=y-x,

2-

/.EM'=EG+GM'=x+(y—x)==^BC,,:BC=2AB,:.AB=；BC,/.EM'=AB,

：.AM=EM',：.AB=AM,，为等腰直角三角形，:.NEM'B=NAMB=45。,

VZMBM'=60°,BM=M'B,；.是等边三角形，Z.ZBM'M=60°,

ZEM'M=ZBM'M-ZEM'B=60°-45°=15°,ZMM'C=ZEM'C-ZEM'M=90°-15°=75°,

故答案为：75.

【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法、矩形的性质、旋转的性质、轴对称的性质，等边三角形的判

定和性质，属于四边形的综合题，难度较大，熟练掌握各图形的性质是解题的关键.

12.(23-24八年级下•辽宁沈阳•期中)如图，RtZ\48C中，乙4c3=90。，ZABC=30°,AC=6,。是线

段A8上一个动点，以8。为边在“3C外作等边△8OE.若尸是DE的中点，连接CF,则CF