2025年中考数学复习专练：三角形（解析版）

专题14三角形

考情聚焦

课标要求考点考向

考向一三角形的分类

考向二三角形三边关系

1.理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等

与三角

概念，了解三角形的稳定性。考向三三角形的高

形有关

2.探索并证明三角形的内角和定理。掌握它的推论:三角

考向四三角形的中线

的线段

形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。

考向五线段的垂直平分线

3.理解全等三角形的概念，掌握三角形全等的证明方法。

4.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分考向六角平分线的性质和判定

线的性质定理。

与三角考向一三角形的内角和定理

5.理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定

形有关考向二三角形的外角的定义及性

理。

的角质

6.理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰（等边）三角

全等三考向一全等三角形的概念及性质

形的性质定理，探索并掌握等腰（等边）三角形的判定

角形考向二全等三角形的判定

定理。

考向一等腰三角形的定义及性质

7.理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质

考向二等腰三角形是判定

定理。等腰三

角形考向三等腰三角形的性质及判定

8.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单

的实际问题。考向四等边三角形

直角三考向一直角三角形

角形考向二勾股定理及逆定理

,真题透视/

考点一与三角形有关的线段

A考向一三角形的分类

1.（2024,陕西・中考真题）如图，在VABC中，ABAC=90°,AD是边上的高，E是DC的中点，连接

AE,则图中的直角三角形有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】C

【分析】本题主要考查直角三角形的概念.根据直角三角形的概念可以直接判断.

【详解】解：由图得NABC,AADC,VADE为直角三角形，

共有4个直角三角形.

故选：C.

A考向二三角形三边关系

2.（2024•内蒙古赤峰•中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程x=10x+21=0的两个根，则这个三角形

的周长为（）

A.17或13B.13或21C.17D.13

【答案】C

【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得玉=3,

%=7,根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为3,腰长为7,进而即可求出三角形的周长，掌

握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键.

【详解】解：由方程尤?一io_v+21=O得，%=3,x2=7,

03+3<7,

回等腰三角形的底边长为3,腰长为7,

团这个三角形的周长为3+7+7=17,

故选：C.

3.（2024•四川宜宾•中考真题）如图，在VABC中，AB=3应,AC=2,以为边作RtZXBCD,BC=BD,

点。与点A在的两侧，贝I3。的最大值为（）

A.2+3&B-6+2近C.5D.8

【答案】D

【分析】如图，把VA3C绕2顺时针旋转90。得到△HBD,AH=AB2+BH2=6,结合ADWOH+41,

（A,H,D三点共线时取等号），从而可得答案.

【详解】解：如图，把VABC绕B顺时针旋转90。得到△HB。，

0AB=BH=3近,AC=DH=2.ZABH=90°,

^AH=^AB-+BH2=6.

^AD<DH+AH,（A",£>三点共线时取等号），

I3AD的最大值为6+2=8,

故选D

【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，旋转的性质，三角形的三边关系，二次根式的乘法运算，做出合

适的辅助线是解本题的关键.

4.（2024・江苏镇江・中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2,则第三边长为.

【答案】6

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键.分两种

情况讨论：当6为一腰长时；当2为一腰长时；分别求出第三条边长，并根据三角形三边关系判断是否能

构成三角形，即可得出答案.

【详解】解：当6为一腰长时，则另一腰长为6,底边长为2.

,.-6+6>2,

.••能构成三角形，

第三边长为6；

当2为一腰长时，则另一腰长为2,底边长为6,

•.-2+2<6,

不能构成三角形，舍去；

综上，第三边长为6,

故答案为：6.

A考向三三角形的高

5.（2024・河北•中考真题）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段3D一定是VABC的（）

c.中位线D.中线

【答案】B

【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得8。_LAC,从而可得答案.

【详解】解：由作图可得：

回线段8D一定是VABC的高线；

故选B

6.（2024•山东德州•中考真题）如图，在VABC中，AD是高，AE是中线，AD=4,S^ABC=12,则BE的

长为（）

【答案】B

【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据ZABC=12和A£>=4求出3c=6,根据AE是中线即

可求解.

【详解】解：回SMC=；XBCXAD=12,AD=4,

SBC=6

回AE是中线，

0BE=-BC=3

2

故选：B

A考向四三角形的中线

7.（2024•河北•中考真题）如图，VA3C的面积为2,A£>为BC边上的中线，点A,G,C2,Q是线段CC”

的五等分点，点A,A,D2是线段DD3的四等分点，点A是线段8月的中点.

C,

B

D2

D3

c%

(I)△AG2的面积为

(2)△与GA的面积为.

【答案】17

【分析】⑴根据三角形中线的性质得显海==1，证明AACagAAaXSAS),根据全

等三角形的性质可得结论；

(2)证明△破A%W(SAS),得人的p=S“B»=l,推出C1、2、耳三点共线，得

S"4G=S△做A+S”G0]=2，继而得出^AAB1C4=4s△MG=8,=3S^ABQ=3,证明△GADsS/XCA。,

4

得S*=9%CAD=9,推出kAC4A=-SAGAR=12,最后代入SAB&D3=^AAC4D3+S4AB]£>3-^△AB1C4即可.

【详解】解：(1)连接BQ、BA、4G、BQC3D3,

EIVABC的面积为2,AD为BC边上的中线，

回SAABD=S&ACD=/^AABC=/?21,

回点A,G,Q,C3是线段CC4的五等分点，

0AC=AC,=C,C2=C2c3=C3C4=1CC4,

回点A,Dti3是线段。2的四等分点,

0AD=AR=DiD2=DQ3=：DD3,

回点A是线段BBX的中点，

SAB=ABl=^BBl,

在△AC]。和AACD中，

Aq=AC

<NC]AD]=ZCAD,

ADX=AD

EIAACQ丝AACD(SAS),

回=SAACD=1,ZCJDJA=Z.CDA,

国△AG2的面积为1,

故答案为：1;

(2)在和△AB。中,

ABX=AB

<ZB,AD.=/BAD,

AD.=AD

团AABR四△ABQ(SAS),

团=SAABD=1./BRA=ZBDA,

回N3ZM+NCQ4=180。，

a/BQ[A+/C]D]A=180。,

回G、4、耳三点共线，

回S△阴G=S△阴A+SAACiDi=1+1=2.

团4£=。©=。2。3=。3。4，

团%51c4=4s△AB1G=4?28,

团AR=D\D?=D2D3,SAABD=1,

团S4AB&3~3s△ABQ[=3x1=3,

在△AC3O3和“18中，

ACAn

回色匕=3=吗，ZC.AD.=ZCADf

ACAD

B/\C3AD3^/\CAD,

回"强=32=9,

S.ceUCJ

=

回^AC3AD39s△.£>=9x1=9,

fflAC1=C,C2=C2C3=C3C4,

44

回S^AGD,=1S为必=-x9=12,

=

0S△耻口S&AC必+SAABJA—S△的c4=12+3—8=7

回△4C4D3的面积为7,

故答案为：7.

C4

CBl

【点睛】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等分点的意

义，三角形的面积.掌握三角形中线的性质是解题的关键.

8.（2024•浙江•中考真题）在7x4的方格纸中，VA3C的三个顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺，分

别按下列要求画图.

（1）在图1中的线段上找一点。，连接AD,使AO平分VABC的面积.

⑵在图2中的线段上找一点E,连接AE,使AE平分VABC的周长.

【答案】⑴见解析

⑵见解析

【分析】本题考查了三角形的中线及三角形的周长及比例线段问题，熟练掌握三角形中线的性质是解题的

关键；

（1）因2C从点8到点C水平数方格共7个，故中点在第3单元格和第4单元格个中点，连接第3单元格

和第4单元格的对角线即得到2c的中点£>,连接AD即为所求；

（2）由图可知AS台。=43,从点8到点C水平数方格共7个，连接第2单元格和第4单元的对角线

即得到点£,连接AE即为所求；

【详解】（1）如图所示：中线4。平分VABC的面积.

（2）如图所示：AE平分VABC的周长.

A

A考向五线段的垂直平分线

9.（2024•四川眉山・中考真题）如图，在VA3C中，AB=AC=6,BC=4,分别以点A,点3为圆心，大

于的长为半径作弧，两弧交于点E,F,过点E,歹作直线交AC于点£>,连接BD,则△BCD的周

长为（）

A.7B.8C.10D.12

【答案】C

【分析】本题考查了尺规作图一作垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可证明=根据△BCD的

周长=8D+CD+8C=A£>+CD+3C=AC+3C,即可求出答案.

【详解】解：由作图知，族垂直平分

AD=BD,

「.△BCD的周长=5D+CD+5C=Ar>+CD+3C=AC+3C,

-,-AB=AC=6,BC=4,

.•△BCD的周长=6+4=10,

故选：C.

10.（2024,四川凉山•中考真题）如图，在中，^ACB=9ff,。石垂直平分AB交BC于点。，若AACD

的周长为50cm,则AC+3C=（）

A.25cmB.45cmC.50cmD.55cm

【答案】C

【分析】本题考查了线段垂直平分线的的性质，由线段垂直平分线的的性质可得AD=3。，进而可得AACD

的周长=4。+8+4£>=43+8+班>=4。+3。=5081,即可求解，掌握线段垂直平分线的的性质是解

题的关键.

【详解】解：EIDE垂直平分A3,

SAD=BD,

回AACD的周长=AC+CD+仞=AC+CD+3。=AC+3C=50cm,

故选：C.

11.（2024•江苏常州•中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线3。的垂直平分线分别交边A5、CD于点£、

F.若AD=8,BE=10,贝han/AB£）=.

【答案】|

【分析】本题主要考查三角形相似的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握三角形的判定和性质是解题的关

键.设跖与3D相交于点。，证明△3OESAR4。，根据相似的性质进行计算即可；

【详解】解：8。的垂直平分线分别交边AB、CD于点E、F.

:.EF±BD,BO=-BD,

2

.\ZBOE=ZA=90°,

\-ZABD=ZABD,

:.△BOES/\BAD,

BEOE

,•茄一茄’

vAD=8,BE=10,BO=-BD,

2

.10_0E

.\OEBO=40,

\-OE2+OB2=BE2=100,

令OE=x,OB=y,

Jxy=40

2

1%+/=100'

x=2小X=4y/5

解得I——口Vv（舍去）

y=4\/5y=2y/5

…nOE2451

..tan/ABD=----=———

BO4V52

故答案为：I

A考向六角平分线的性质和判定

12.（2024•青海・中考真题）如图，OC平分NAO8,点尸在OC上，PDYOB,PD=2,则点尸到。4的

距离是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【分析】本题考查了角平分线的性质定理.过点P作PEL于点E,根据角平分线的性质可得PE=PD,

即可求解.

【详解】解：过点尸作PELOA于点E,

旦PE=PD=2,

故选：C.

13.（2024・云南・中考真题）已知AF是等腰VABC底边2c上的高，若点/到直线A3的距离为3,则点/到

直线AC的距离为（）

37

A.-B.2C.3D.-

22

【答案】C

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键.

由等腰三角形"三线合一"得到AF平分再角平分线的性质定理即可求解.

【详解】解：如图，

0AF是等腰VABC底边BC上的身，

团"平分

团点尸到直线AB,AC的距离相等，

回点F到直线AB的距离为3,

回点尸到直线AC的距离为3.

故选：C.

14.（2024•湖南•中考真题）如图，在锐角三角形A3c中，AD是边2C上的高，在54,3C上分别截取线

段BE,3尸，使5E=5F；分别以点E,尸为圆心，大于［石厂的长为半径画弧，在内，两弧交于点

2

P,作射线交AD于点M过点加作加工至于点N.若MN=2,AD=4MD,则AM=.

【答案】6

【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知第平分NABC,根据角平分线的性

质可知ZW=ACV=2,结合AD=4MD求出AD,AM.

【详解】解：作图可知平分/ABC,

回AD是边上的高，MN1AB,MN=2,

SMD=MN=2,

SAD^AMD,

0AD=8,

BAM=AD-MD=6,

故答案为：6.

15.（2024•陕西・中考真题）如图，在NABC中，45=AC,E是边AB上一点，连接CE,在BC右侧作BF//AC,

且防=AE,连接CF.若AC=13,3c=10,则四边形的面积为.

【答案】60

【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理：过点C作CNLAB,CNYBF,

根据等边对等角结合平行线的性质，推出NABC=NCB产，进而得到CN=CN,得到时=S/CE,进而得

到四边形EBFC的面积等于S4.，设=勾股定理求出CM的长，再利用面积公式求出VA3C的面积

即可.

【详解】解：回AB=AC,

^ZABC=ZACB.

^BF//AC,

国NACB=NCBF,

QZABC=ZCBF,

0BCWZABF,

过点C作a/_L恕，CN工BF,

0^ACE=1AE.CM,SiCBF=^BFCN,且加=A£,

团S^CBF=S«ACE，

回四边形EBFC的面积=S,.+S△CBE=S&ACE+s△CBE=S©A

回AC=13,

团AB=13,

i&AM=x,贝IJ：BM=13-x,

由勾股定理，%'CM2=AC2-AM2=BC2-BM2,

0132-%2=102-(13-X)2,

SS^CBA=^AB-CM=60,

El四边形£BPC的面积为60.

故答案为：60.

考点二与三角形有关的角

A考向一三角形的内角和定理

16.（2024・西藏•中考真题）如图，已知直线4〃4，于点。4=50。，则/2的度数是（）

A.40°B.45°C.50°D.60°

【答案】A

【分析】本题考查了平行线的性质,三角形内角和定理应用，垂线定义理解.先利用平行线的性质求出,ABC

的度数，然后利用三角形内角和定理进行求解即可.

【详解】解：叫〃丸4=50。,

0ZABC=Z1=5O°,

SAB1CD,

0^BDC=9O°,

0Z2=180°-90°-50°=40°,故A正确.

故选：A.

17.（2024・天津・中考真题）如图，Rt^ABC中，ZC=90°,ZB=40°,以点A为圆心，适当长为半径画弧，

交A3于点E,交AC于点歹；再分别以点E,尸为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径

相等）在/A4c的内部相交于点P；画射线AP,与BC相交于点£>,则/ADC的大小为（）

A.60°B.65C.70°D,75°

【答案】B

【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角互

余可求出N54C=50。，由作图得NB4T>=25。，由三角形的外角的性质可得NADC=65。，故可得答案

【详解】解：回NC=90o,NB=40。，

团N54C=90°—NB=90°—40°=50°,

由作图知，AP平分/54C,

0ZBA£）=-ZBAC=-x5O°=25°,

22

又ZADC=ZB+/BAD,

0ZAZ）C=40°+25°=65°,

故选：B

18.（2024•山西•中考真题）如图1是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递

力和能量.图2是将其正面抽象成的图形，其中桌面48与底座CD平行，等长的支架交于它们的中

点、E,液压杆.若/54E=53。，则/GFD的度数为（）

图1图2

A.127°B.106°C.76°D.74°

【答案】D

【分析】题目主要考查等腰三角形的性质及平行线的性质，根据题意得出AE=BE,ZBAE=ZABE=53°,

确定ZAEB=74。,再由对顶角及平行线的性质即可求解

【详解】解：•.•等长的支架ADIC交于它们的中点E,NBAE=53。,

AE=BE,NBAE=ZABE=53°,

ZAEB=180°-ZABE-ZBAE=74°,

：.ZAEB=ZCED=14°,

•:FG〃BC、

.・./GFD=/CED=74。、

故选：D

19.（2024•四川・中考真题）如图，在VABC中，AB=AC,ZA=40°,按如下步骤作图：①以点8为圆

心，适当长为半径画弧，分别交54,于点DE；②分别以点DE为圆心，大于;DE长为半径画弧，

两弧在NABC的内部相交于点£作射线8尸交AC于点G.则ZABG的大小为度.

【答案】35

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的尺规作法，熟练掌握等腰三角形的性质和角平分线的

尺规作法是解题的关键.根据A?=AC,ZA=40°,由等边对等角，结合三角形内角和定理，可得

ZABC=ZACB=70°,由尺规作图过程可知BG为NABC的角平分线，由此可得

ZABG=ZGBC=-ZABC=35°.

2

【详解】解：：AB=AC,ZA=4O°,

ZABC=ZACfi=70°,

根据尺规作图过程，可知BG为，ABC的角平分线，

ZABG=ZGBC=-ZABC=35°,

2

故ZABG=35。，

故答案为：35°.

A考向二三角形的外角的定义及性质

20.（2024・河北•中考真题）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：

已知：如图，VABC中，AB^AC,AE平分VABC的外角NC4N,点M是AC的中点，连接并延长交AE

于点£）,连接CO.

求证：四边形是平行四边形.

证明：0AB=AC,团NABC=N3.

团NC47V=NABC+N3,NC47V=N1+N2,Z1=Z2,

若以上解答过程正确，①，②应分别为（）

A.Zl=Z3,AASB.Zl=Z3,ASA

C.N2=N3,AASD./2=/3,ASA

【答案】D

【分析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，根据等边对等角得Z45C=N3,根据三

角形外角的性质及角平分线的定义可得，2=，3,证明△MAD四△MCB,得到=再结合中点的

定义得出航4=MC,即可得证.解题的关键是掌握：对角线互相平分的四边形是平行四边形.

【详解】证明：0AB=AC,0ZABC=Z3.

0ZGW=ZABC+Z3,ZGW=Z1+Z2,Z1=Z2,

El①/2=N3.

又EIN4=N5,MA^MC,

0AMAD2AMCB(②ASA).

^\MD=MB,El四边形ABCD是平行四边形.

故选：D.

21.(2024•甘肃兰州•中考真题)如图，在VABC中，AB^AC,ZBAC=130°,DA±AC,则()

A.100°B.115°C.130°D.145°

【答案】B

【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质.根据等腰三角形的性质，可得

,八180°-ZBAC

ZC=--------二25。，再由三角形外角的性质，即可求解.

2

【详解】解：回AB=AC,ZBAC=130°,

180。—NR4c

团NC=

2

^\DA±AC,

^ZCAD=90°,

BZADB=ZC-^-ZCAD=115°

故选：B

22.（2024•新疆•中考真题）如图，在中，NC=90。,NA=30。,=8.若点。在直线A3上（不

与点A,B重合），且N5CD=30。，则AQ的长为.

rb-----------------------

【答案】6或12

【分析】本题考查了含30。的直角三角形的性质，三角形外角的性质，等角对等边等知识，分①点。在线

段A3时，②点。在线段A3延长线上时，③点。在线段54延长线上时，三种情况讨论求解即可.

【详解】解：回NC=90°,ZA=30°,AB=8,

13/3=60。，BC^-AB=4

2,

①点。在线段AB时，

0^BDC=9O°,

0BD=-BC=2,

2

0AD=AB—BD=6；

②点。在线段A5延长线上时,

团NBCD=30。，ZABC=60°,

团ND=ZABC-ZBCD=30°=/BCD,

^\BC=BD=4,

^AD=AB-^-BD=12；

此时ZBCD>ZACB,即NBCD>90。，故不符合题意，舍去，

综上，AO的长为6或12.

23.（2024・重庆•中考真题）如图，在VABC中，AB=AC,ZA=36°,平分，RC交AC于点。.若

BC=2,则AD的长度为.

【答案】2

【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据等边

对等角和三角形内角和定理求出NC=NABC=72。，再由角平分线的定义得到Z4BD=NCBD=36。，进而

可证明=NBDC=NC,即可推出旬=3C=2.

【详解】解：团在VABC中，AB=AC,ZA=36°,

180。—ZA

团NC=ZABC==72。，

2

团BD平分/ABC,

国ZABD=NCBD=L/ABC=36。,

2

团NA=NABD,/BDC=ZA+/ABD=M=NC、

团AD=BD,BD=BC,

由AD=BC=2,

故答案为：2.

考点三全等三角形

易错易混提醒

1.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。

2.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。

3.三边分别相等的两个三角形全等。

4.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。

A考向一全等三角形的概念及性质

24.（2024•浙江・中考真题）如图，正方形由四个全等的直角三角形（△ABE,ABCrAa）G,Z\r）A"）和

中间一个小正方形EFGH组成，连接DE.若AE=4,3E=3,则。E=（）

A.5B.2A/6C.V17D.4

【答案】C

【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的信纸，求得"E的长度，利用勾股定理即可解

答，利用全等三角形的性质得到HE=1是解题的关键.

【详解】解：尸,是四个全等的直角三角形，AE=4,BE=3

:.AH=EB、DH=AE=4,

:.HE=AE-AH=1,

四边形跳为正方形,

:.NDHE=90°,

DE=^DH2+HE2=标

故选：C.

25.（2024•广东广州•中考真题）下列图案中，点。为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影

部分的两个三角形关于点。对称的是（）

【答案】C

【分析】本题考查了图形关于某点对称，掌握中心对称图形的性质是解题关键.根据对应点连线是否过点0

判断即可.

【详解】解：由图形可知，阴影部分的两个三角形关于点。对称的是C,

故选：C.

26.(2024・湖北•中考真勘如图，点A的坐标是(-4,6),将线段。1绕点。顺时针旋转90。，点A的对应点

的坐标是()

C.(-6,-4)D.(-4,-6)

【答案】B

【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-旋转，全等三角形的判定和性质，熟知图形旋转的性质是解题的

关键.

根据题意画出旋转后的图形，再结合全等三角形的判定与性质即可解决问题.

【详解】解：如图所示，

分别过点A和点2作x轴的垂线，垂足分别为M和N,

由旋转可知，

OA=OB,ZAOB=90°,

ZAOM+ZBON=ZA+ZAOM=90°,

：.ZA=ZBON.

在△AO暇和△QBN中，

ZA=/BON

<ZAMO=NONB,

OA=OB

AAOM^AOBN(AAS),

:.BN=MO,ON=AM.

,・•点A的坐标为(—4,6),

:.BN=MO=4,ON=AM=6,

.••点8的坐标为(6,4).

故选：B.

A考向二全等三角形的判定

27.（2024•浙江•中考真题）如图，在正方形ABCD中，E,H,F,G分别是边AB,BC,CD,D4上的点，

2

且AB=2,EF=底G,»分别在边AD,3c上，且G8与E尸交于点O,记NGOR=tz,若tana=§,则

.3^65°2病,3A/65n2765

5577

【答案】D

【分析】如图，过点2作6尸〃所交DC于点尸，作〃//G交AD于点延长3尸、A。交于点

过点M作MNJ_8P,根据平行线的性质得出NGOP=NMQb=NM3P=a,从而得出tana=M潟N=12,设

MN=2x,BN=3x,则即1=旧无，证明四边形BEEP是平行四边形，得出8尸=所=有，在RhBCP中，

根据需=+

勾股定理算出CP=1,得出DP=1,证明AMDP丝&BCP,得出。K=3C=2,AK=4得

MKV5

出MK=20,AM=4-2显,在Rt^ABM中,列方程求解即可.

【详解】解：如图，过点B作3尸〃跖交。C于点P,作创/〃"G交AO于点M,延长BP、AD交于点K,

过点M作MN_L3P,

0ZGOF=NMQF=ZMBP=a,

MN2

团tana=-----=

BN3

设MN=2x,BN=3x,则BM=[MN?+BN?=岳x，

回四边形ABCD是正方形,

^AB//DC,AD//BC,BC=CD=AD=AB=2,

©BP〃EF,BE〃FP,

国四边形3EFP是平行四边形,

BBP=EF=y/5,

CP=yjBP2-BC2=J(⑸-2?=1,

团在RIABCP中,

@DP=DC-CP=1,即。P=CP,

BAK\\BC,

团NK=NPBC,ZKDP=ZC,

B^KDP^^BCP(AAS),

©DK=BC=2,AK=4,

.jMN.i八PC1

团sin/K—......=sinZPBC------=-产

MKBP卮

SMK=2y/5x,AM=4-2y/5x,

团在中，（4一2&『+22=（如彳『,

回解得：.2石或"半’

当x=2乔时，4一2辰<0

7

故选：D.

【点睛】该题主要考查了解直角三角形，勾股定理，二次根式的性质，正方形的性质，平行四边形的性质

和判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，解一元二次方程等知识点，解题的关键是掌握以上知

识点，正确做出辅助线.

28.（2024•广西・中考真题）如图，边长为5的正方形ABC£>,E,F,G,H分别为各边中点，连接AG,BH,

CE,DF,交点分别为M,N,P,Q,那么四边形MNPQ的面积为（）

C

F

B

B.2C.5D.10

【答案】C

【分析】先证明四边形MNP。是平行四边形，利用平行线分线段成比例可得出。。=尸。，AM=QM,证

明AADG丝AB4H（SAS）得出ZD4G=ZABW,则可得出NQM/V=ZAMB=90。，同理NAQD=90。，得出平行四

边形MNP。是矩形，证明△AZ）QgAB4〃（AAS）,得出=进而得出DQ=AM=尸。=加，得出矩形

MNP。是正方形，在Rt^AOQ中，利用勾股定理求出=5,然后利用正方形的面积公式求解即可.

【详解】解：回四边形ABCD是正方形，

SAB=BC=CD=DA,AB//CD,AD//BC,ZDAB=ZABC=ZBCD=ZCDA=90°,

0E,F,G,H分别为各边中点，

^CG=DG=-CD=AH,AE=-AB,

22

SDG=CG=AE,

回四边形A£CG是平行四边形，

^AG//CE,

同理分||3",

回四边形MNPQ是平行四边形，

^AG//CE,

SDQ=PQ,

同理=

SDG^AH,ZADG=ZBAH=90°,AD=BA,

0AAZX?^ABAH（SAS）,

SZDAG=ZABH,

0ZZMG+ZGAB=90°,

^ZABH+ZGAB=90°,

0ZQMN=ZAMB=90°,同理ZAQD=90°,

回平行四边形MNP。是矩形，

^\ZAQD=ZAMB=90°,ZDAG=ZABH,AD=BA,

0AAZ）e^ABAM（AAS）,

团DQ=AM,

又DQ=PQ,AM=QM,

团DQ=AM=PQ=QM,

国矩形MNP。是正方形，

在RtAADQ中，AD2=DQ2+AQ2,

B52=QM2+（2QM）2,

EIQ”=5,

团正方形MNP。的面积为5,

故选：C.

【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理等知

识，明确题意，灵活运用相关知识求解是解题的关键.

29.（2024•北京•中考真题）下面是“作一个角使其等于/AO3"的尺规作图方法.

（1）如图，以点。为圆心，任意长为半径画弧，分别交。4,于点C,D；

（2）作射线。A,以点。为圆心，OC长为半径画弧，交O'A于点C'；以点C'为圆心，C£＞长为半径画弧,

两弧交于点Dft-；

（3）过点力作射线05',则NA'O'3'=NAO3.

'BR

O'C'1A1

上述方法通过判定△CO。'丝△（%）£＞得到NA'OE=NAO3,其中判定△CO'。'丝/式：。□的依据是（）

A,三边分别相等的两个三角形全等

B.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等

C.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等

D.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等

【答案】A

【分析】根据基本作图中，判定三角形全等的依据是边边边，解答即可.

本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是解题的关键.

【详解】解：根据上述基本作图，可得OC=O'C'，OD=OD,CD=CD,

故可得判定三角形全等的依据是边边边，

故选A.

30.（2024•湖北・中考真题）平面坐标系xQy中，点A的坐标为（T,6）,将线段04绕点。顺时针旋转90。,

【分析】本题考查坐标系下的旋转.过点A和点A分别作x轴的垂线，证明AAOS丝z/MqAAS）,得到

AC=OB=4,OC=AB=6,据此求解即可.

【详解】解：过点A和点A分别作x轴的垂线，垂足分别为AC,

El点A的坐标为（-4,6）,

0（9B=4,AB=6,

团将线段OA绕点0顺时针旋转90°得到OA,

=ZAOAr=90°,

0ZAOB=90°-ZA'OC=ZOA'C,

S^AOB^OArC（AAS）,

SAC=OB=4,OC=AB=6,

回点A的坐标为（6,4）,

故选：B.

31.（2024・安徽・中考真题）在凸五边形ABCDE中，AB=AE,BC=DE,F是CD的中点.下列条件中，

不能推出AF与CD一定垂直的是（）

A.ZABC=ZAEDB.ZBAF=ZEAF

C.NBCF=NEDFD.ZABD=ZAEC

【答案】D

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形"三线合一"性质的应用，熟练掌握全等三角形的

判定的方法是解题的关键.

利用全等三角形的判定及性质对各选项进行判定，结合根据等腰三角形"三线合一”的性质即可证得结论.

【详解】解：A、连接AC、AD,

SZABC^ZAED,AB=AE,BC=DE,

mAACB^AADE(SAS),

SAC=AD

又0点F为CD的中点

0AFXCD,故不符合题意；

B、连接BEEF,

A

0AB=AE,ZBAF=ZEAF,AF=AF,

0AABF^AA£'F(SAS),

^BF=EF,ZAFB=ZAFE

又0点F为CD的中点，

RCF=DF,

团BC—DE,

国ACBF义ADEF(SSS),

^\ZCFB=ZDFE,

团ZCFB+ZAFB=ZDFE+ZAFE=90。，

团ACD,故不符合题意；

C、连接/、EF,

A

团点F为CO的中点，

⑦CF=DF,

BZBCF=ZEDF,BC=DE,

^ACBF^ADEF(SAS),

^BF=EF,NCFB=ZDFE,

^\AB=AE,AF=AF,

EIAABF^AAEF(SSS),

SZAFB=ZAFE,

0NCFB+ZAFB=NDFE+ZAFE=90°,

fflAFICD,故不符合题意；

D、ZABD=ZAEC,无法得出题干结论，符合题意；

故选：D.

32.（2024•山东•中考真题）如图，点E为DABCD的对角线AC上一点，AC=5,C£=l,连接DE并延长

至点F，使得£F=DE,连接3尸，则跳■为（）

22

【答案】B

【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平行证明相似等知识点，正确作辅助

线是解题关键.

CFDFDC

解法一：延长。b和AB,交于G点，先证△DECS^G4M得到当=冬=脸，再证"G方s.GE,得

AEGEAG

到B胃F=F*G=33，即可求得结果；

AEEG4

解法二：作m〃.交AC于点H,证明出△CDE也△加E（AAS）,得到HE=CE=LFH=CD,然后证明

出四边形是平行四边形，得到防=AH=AC-C"=3.

【详解】解：解法一：延长。方和交于G点，

团四边形ABCD是平行四边形,

团OC〃AB,DC=AB^DC//AG,

©△DECsQAE

CEDEDC

0一=

AE~GE~~AG

团AC=5,CE=1,

^AE=AC-CE=5-1=4,

CEDEDC1

回■————_

AE~GE~AG~4

DEDE1

又EIEF=DE、--=

GEEF+FG4

EF1

团——=—

FG3，

DCDC1

回——=DC=AB,

AGAB+BG41

DC1

团——=—

BG31

EFDC1

回一=---=一

FGBG31

BGFG3

回一=

AGEG4

^AE//BF,

回ABGFS^AGE,

BFFG3

团---=---

AEEG4

团AE=4,

国BF=3.

解法二：作FH〃至交AC于点”

团NCDE=NHFE,NDCE=/FHE,

又团EF=DE,

SIACDEmAHFE(AAS),

SHE=CE=1,FH=CD,

团四边形ABCD是平行四边形，

BCD//AB,CD=AB,

^HF//AB,HF=AB,

13四边形ABFH是平行四边形，

^BF=AH=AC-CH=3.

故选：B.

考点四等腰三角形

A考向一等腰三角形的定义及性质

33.（2024•福建・中考真题）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个"蝴蝶"的平面图案.如图，其中

与AODC都是等腰三角形，且它们关于直线/对称，点E,尸分别是底边AB,的中点，OELOb.下

列推断错误的是（）

A.OBLODB.NBOC=ZAOB

C.OE=OFD.ZBOC+ZAOD=180°

【答案】B

【分析】本题考查了