2025年中考数学总复习学案：遇到中点如何添加辅助线（含答案）

微专题19遇到中点如何添加辅助线

一阶方法训练

方法解读

情形一已知三角形一边（两边）中点

原理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半

作法：1.如图①，连接一边中点与另一边中点构造中位线；

2.如图②，倍长另一边构造中位线

4

/j/.-AK

RC

图①

I

/\、

H.............一：'一

图②

结论：DE//BC,DE=^BC

情形二已知三角形一边中点

原理：1.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写

成“三线合一”）；

2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

3.三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分

作法：连接中点与顶点

⑴等腰三角形（2）直角三角形

W*D*C

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结论：AD±BC,平分NBA。

k

RC

结论：BD=AD=CD三AC

(3)一般三角形

A

/1/N\

/j,\

66~~(:

、A1

结论：5AABD=5AACD=-5AABC

情形三已知三角形一边上的中线或三角形一边上的中点与另一边上一点的连

线

原理：当三角形出现中线或与中线有关的线段，考虑倍长中线或倍长类中线构造

全等三角形，利用全等三角形性质进行解题

作法一：构造倍长中线

延长4。至点E,使得AD=DE,连接5E；

1-F

结论：kBDEQACDA；

作法二：构造倍长类中线

延长V。至点N,使MD=DN,连接CN；

结论：XBDM”XDN

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方法一遇到中点，考虑构造中位线

例1（北师九上习题改编）如图，在△人⑶。中，D,E分别是AB,AC的中点，过

点E作及U3C于点尸，连接。尸，若5C=8,EF=3,则。尸的长为（）

例1题图

A.4

B.5

C.6

D.8

例2如图，在△ABC中，AQL5C于点。，且6。=｝。。，/是AO的中点，若

BF=2,则AC的长为.

Rh

例2题图

例3如图，在△ABC中，。为边的中点,E为AC边上一点，ZBAC=2ZDEC,

若CE=8,AE=2,则AB的长为.

例3题图

方法二遇到中点，考虑构造中线（2020.17）

例4如图，在△A5C中，。是5C上的点，AD=AB,E,尸分别是AC,3。的

中点，AC=6,则E/的长为.

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An

例4题图

例5（人教八上习题改编）如图，在R3ABC中，ZACB=90°,AB=S,D为

A5边的中点，E为5。延长线上一点，连接。E,ZB=2ZE,则CE的长

为.

-----n------

例5题图

例6如图，在△人5。中，。是A5边上任意一点，E是的中点，F是BE

的中点，若△45尸的面积为6,则△4与。的面积为.

例6题图

方法三遇到中线（类中线），考虑倍长中线（类中线）构造全等三角形（2024.15）

例7如图，在△人5。中，50是AC边上的中线，/ABD=70°,ZDBC=40°,

BD=3,则5。的长为.

—-^c

例7题图

例8如图，在△人5。中，A。是5。边上的中线，E是AZ）上一点，连接BE并

延长交AC于点尸，AF=EF,求证：AC=BE.

证法一（构造倍长中线）：

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例8题图

证法二（构造倍长类中线）:

二阶综合应用

1.（人教八上习题改编）如图，在等腰△斗5。中，AB=AC,于点。，E

为4。的中点，连接5石交AZ）于点/，若AF=5C=4,则△人5。的面积为（）

第1题图

A.12B.15C.16D.18

2.如图，在菱形A5CD中，NB=60°,E,尸分别是边AB5C的中点，连接

EF,DF,若EF=2,则。下的长为.

r\77

第2题图

3.如图，在R3ABC中，NB=90°,AB=6,BC=S,。是AC的中点，点E

在边上，连接即，若NA=/BED,则的长为.

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------c

第3题图

4.如图，在△A5C中，AB^AC=6,ZBAC=60°,D,E分别为线段BC,AC

上的动点，且5D=EC,连接A。，BE交于点F,若点尸为BE的中点，求线段

BD的长.

A

JK

/1\

/J\E

nnc

第4题图

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一阶方法训练

例1B【解析】如解图，连接。E,丁。，E分别是AB4。的中点，是

1

△A5C的中位线，C.DE//BC,DE=”C=4,\'EF±BC,：.ZBFE=90°,

：.ZDEF=180°~ZBFE=90°,,：EF=3,，由勾股定理得=^32+42=

5.

A

〃rr

例1题解图

例24【解析】如解图，延长。5至点G,使GB=BD,连接AG.二•点尸是

的中点，尸是△AOG的中位线，：.AG=2BF^4,'：BD=^CD,：.DG=

DC,'：AD±BC,：.AC=AG=4.

例2题解图

例36【解析】如解图，过点。作。尸〃AB交AC于点尸，则尸。=NBAC,

VZBAC=2ZDEC,ZDFC=ZDEC+ZEDF,：.ZDEC=ZEDF,：.EF=DF,

•.•。为边的中点，尸为△人5。的中位线，尸=。尸=%5,CF=AR

=CF+EF=AF+EF=AE+EF+EF=2+2EF=2+AB^8,：.AB=6.

H

Z

、C

例3题解图

例43【解析】如解图，连接AR•.•AZ)=A5,尸是瓦)的中点，...AFLBZ),

在R3A尸。中，E是4。的中点，：,EF=-AC=-X6=3.

22

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A~Trir

例4题解图

例54【解析】如解图，连接CD,..•NAC5=90°,点。是A5边的中点，

1

ACD=BD=AD=-AB=4:・/B=/BCD,VZB=2ZE,ZBCD=ZE+

29

/CDE,••・/E=/CDE,:,CE=CD=4.

£

例5题解图

例624【解析】如解图，连接A£,丁点尸是鹿的中点，

1[

-5AABE-■1点E是CD的中点，SAADE=SAACEtSHBDE=SXBCE,••SAABE=SABDE

+ADE=~S^XBCtABC=2SAABE=4SAABF=24.

A

==

n^--------6―

例6题解图

例76【解析】如解图，延长5。至点E,使DE=BD,连接4E,丁是AC

边上的中线，：.AD=CD,VZBDC=ZEDA,：.△AEDA(SAS),：.BC

=EA,ZDBC=ZDEA=40°,'；NABD=70°,：.ZBAE=1SO°—/ABD—

ZD£A=180°-70°-40°=70°,:./BAE=/ABE,：.AE=BE=2BD=6,

：.BC=6.

-------：£

产----

例7题解图

例8证法一：证明：如解图①，延长A。至点G,使AO=DG,连接5G,

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VADMfiC边上的中线，

：.BD=CD.

在△4。。和^GBD中，

(AD=GD

(CD=BD

：.△ACD^AGBD(SAS),

：.BG=CA,ZCAD=ZG.

"：AF^EF,

：./EAF=ZAEF,

,：/AEF=ZBED,

：.ZBED=ZEAF,

：.ZBEG=ZG,

：.BE=BG,

：.AC=BE.

例8题解图①

证法二：证明：如解图②，延长ED至点H,使成）DH,连接C",

VAD>BC边上的中线，

：.BD=CD.

在45。石和4CDH中，

BD=CD

团BDEFCDH,

ED=HD

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，△BDEQ^CDH电AS),

：./BED=/CHD,BE=CH,

"：AF^EF,

：.ZEAF=ZAEF,

丁ZAEF=ZBED,

：.ZBED=ZEAF,

：.ZCHD=ZEAF,

：.CH=AC,

：.AC=BE.

例8题解图②

二阶综合应用

1.A【解析】如解图，连接。E,•..△A5C是等腰三角形，AB=AC,AD±BC,

.•.O是的中点，;石是AC的中点，...DE是△人5。的中位线，：.DE//AB^

DE=-AB,：.△DEF^AABF,：.DF=-AF=2,：.AD=AF+DF

2AFAB22

=4+2=6,.，.SAABC=^X4X6=12.

4

A

/V

/fr7\

A

A•DiC

第1题解图

2.2V7【解析】如解图，连接4尸，4C,,四边形A5C。为菱形，

AB=AD=BC.VZB=60o,，△A5C为等边三角形.TE,尸分别是边AbBC

的中点，EF=2,：.AC=2EF=4,AF±BC,：.AB=AD^AC=4,ZAFB=ZDAF

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=90°，在RtAA3尸中，AF=AAsin60°=2四,在RtAA尸。中，。尸=^AF2+AD2

=2V7.

k-----才'

代/

第2题解图

3.-【解析】如解图①，连接5。，在R3A5C中，'：ZB^90°,AB=6,

4

BC=8,.••由勾股定理可得AC=10.•.•。是AC的中点，：.DB^DC=^AC=5,

:./C=/DBE.又•：/A=/BED,：.LABC^/\EDB,即巴=号，解

EDDBED5

得ED=%

4

z

L/

r------

第3题解图①

一题多解法

如解图②，过点。作。尸〃AB交5。于点尸，：.ZDFE=ZB,在R3A5C中，

•.•/5=90°,A5=6,5。=8,.••由勾股定理可得40=10.•.•点。是4。的中点,

.•.Z）尸为AABC的中位线，.•.尸。=%5=3.又•.•NA=N5EZ）,.'.△A5cs△石尸。,

iP-=—,解得成）=竺.

FDED3ED4

J----F

第3题解图②

4.解：如解图①，过点尸作/G//AC交于点G,

\'AB=AC,ZBAC=60°,

A5C为等边三角形，

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：.BC=AB=6.

;点尸为BE的中点，FG//AC,

:.FG为bBCE的中位线，

1

：.BG=CG=-BC=3.

2

设CE=%(0<%<6),则尸G=$,AE=AC-CE^6~x,

\'BD=CE=x,

.,.DG=3—x,CD—6—x.

\'FG//AC,

：.XDGFSMDCA,

X

•FGDG|qn73—x

ACDC66-x

解得x=-3A/5+9或x=3V^+9(舍去)，

ABD=-3V5+9.

,4

A

r""A2JC

第4题解图①

一题多解法

解法二：如解图②，延长A尸至点使得FH=AR连接

"：AB^AC,ZBAC=60°,

A5C为等边三角形，

：.BC=AB=6.

•.•点尸为5E的中点，

：.BF=EF.

又,：/BFH=/EFA,

：.AHFB^AAFE,

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:./H=/FAE,BH=AE,

J.BH//AE,

：.ABHDs"AD,

•.•BDBH,

CDCA

设CE=BD=x(0<x<6),

：.DC=AE=BH=6~x,