2025年中考数学总复习学案：与圆有关的位置关系（含答案）

微专题29与圆有关的位置关系

考点精讲

构建知识体系

圆外1

圆上一■（点与圆的位置关系hd切线的性质与判定］

-与圆有关的位置关系-

相离］---------------------

相切-卜直线与圆的位置关系］

三角形与圆卜

q内切圆

相交一i

考点梳理

1.点与圆的位置关系

点在圆外d=04①r

点在圆上d=OB②r

点在圆内d=OC③rR------

2.直线与圆的位置关系（2024年首次涉及考查）

位置关系相离相切相交

d与r的

d®________.d⑤d®________r

关系

交点的

有且只有一个公共点有两个公共点

个数

示意图

3.切线的性质与判定（6年6考）

（1）性质定理：圆的切线⑦于过切点的半径（或直径）

⑵性质：①切线和圆只有一个公共点；②圆心到切线的距离等于圆的半径；③切

线垂直于过切点的半径；④经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；⑤经过切点

且垂直于切线的直线必过圆心

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(3)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

(4)判定方法：①直线与圆公共点已知：连半径，证垂直；②直线与圆公共点未知:

作垂直，证半径

4.切线长与切线长定理

在经过圆外一点的圆的切线上，这点与⑧之间的线段的长

切线长

度，叫做这点到圆的切线长

从圆外一点可以引圆的⑨_____条切线，它们的切线长⑩—，这

切线长定理一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.(探索并证明切线长定理*

选学)

5.三角形的内切圆

(1)定义：与三角形各边都相切的圆

(2)圆心0：内心(三角形的内切圆圆心或三角形三条⑪的交点)

⑶性质：三角形的内心到三角形⑫的距离相等

(4)角度关系：如图③，图④，ZBOC=90°+|ZBAC

【知识拓展】

任意三角形的内切圆直角三角形的内切圆

利用等面积法可得：二*

利用等面积法可得：厂=票詈°c

a十匕十c.

利用切线长定理可得：厂=

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练考点

1.已知oo的半径为3,尸为平面内一点，0尸=4,则点尸在。0.(填

“内”“上”或“外”)

2.已知圆的半径为3,圆心到某直线的距离为2,则此直线与圆的位置关系

为.(填“相交”“相切”或“相离”)

3.如图，AC是。。的直径.

(1)若是。0的切线，则NAC5=°；

(2)若A3=5,5C=4,AC=3,则与。0.(填“相交”“相切”或“相

离”)

第3题图

4.如图，PA,尸5是的切线，A,5为切点，连接ABOA,OB,PO,P0

交。0于点C,交45于点。，ZOAB=30°.

第4题图

(l)ZAPB的度数为；

(2)若。4=4,则的长为.

5.如图，在△A5C中，ZC=90°,AC=3,5。=4,则△斗台。的内切圆半径r

第5题图

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6.如图，△A5C的外接圆半径为5,其圆心0恰好在中线上，若A5=CZ）,

则4A5C的面积为.

第6题图

高频考点

考点与切线有关的证明及计算（6年6考）

一、切线的判定（6年4考）

方法解读

1.利用平行证垂直：

当需要证明的切线有一条垂线时，可证明过切点的半径与这条垂线平行.

2.利用等角转换证垂直：

题干中直接给出角度关系或给出切线与弦的夹角等于某个圆周角时，常通过等角

代换来证明.

3.利用三角形全等证垂直：

常在“共点双切线型”图形中运用，通过连接圆心与两条切线的交点构造全等三

角形来证得垂直.

4.作垂直，证半径：

过圆心作直线的垂线段，证明垂线段长等于半径.

方法一连半径、证垂直

例1（利用平行证垂直）核心设问如图，在等腰△ABC中，AB=AC,以4。为

直径的。。交于点E,过点E作于点E求证:石尸是。0的切线.[2019

广东24⑵题考查]

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例1题图

例2（利用等角转换证垂直）如图，A5是。。的直径，。是圆上一点，过点。的

直线8交延长线于点。，且求证：是。。的切线.

例2题图

例3（利用三角形全等证垂直）核心设问如图，在R3A5C中，ZACB=90°,

以为直径作。0,交A3于点。，点E为AC上一点，连接。E若。E=CE,

求证：DE是OO的切线.[2020广东22⑴题考查]

例3题图

方法二作垂直、证半径

例4核心设问如图，在R3ABC中，ZACB=90°,以AC上一点。为圆心,

OC长为半径作。O,连接BO,若BO平分NA5C,求证：AB是。O的切线.[2024

广东17⑵题考查]

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c

0

例4题图

二、切线性质的相关证明及计算(6年2考)

方法解读

1.证明角相等的方法：

(1)根据直角三角形中两锐角互余，进行等量代换找到对应的角；

(2)根据平行线与等腰三角形的性质，进行等量代换找到相对应的角；

(3)通过证明两个三角形全等，得到对应的角相等.

2.求线段长的方法：

⑴若题干中含有30°,45°,60°等特殊角度或出现三角函数sin、cos、tan时,

考虑利用三角函数求线段长；

(2)若题干无特殊角或三角函数，观察图形发现已知边与所求边分别所在的三角形

存在相似关系，考虑作辅助线将所求线段转化到直角三角形中，利用相似三角形

求线段长.

3.证明线段平行的方法：

(1)通过角之间的等量代换，利用同位角相等、内错角相等或同旁内角互补的方法

证明两直线平行.

(2)设法将两条线段放在同一个三角形中，利用中位线(或等分点)的性质证明两直

线平行.

例5如图①，在AABC中，ZA=90°,E是BC上一点,以5E为直径的。O

与AC相切于点。，连接5。，DE.

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A

D

6)EC

例5题图①

(1)求证：NABD=NCDE；

(2)求证：平分NABC；

(3)若NA5D=30°，AD=遥,求0。的长;

(4)如图②，若尸为8的中点，连接ERZC=30°,求证:EF//AB.

真题及变式

命题点切线的判定及性质(6年6考)

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1.(2020广东22题8分)如图①，在四边形A5CD中，AD//BC,ZDAB=90°,

AB是。O的直径，CO平分N5CD.

(1)求证：直线与相切；

(2)如图②，记(1)中的切点为E,尸为优弧&上一点，AD=1,5。=2.求tanZAPE

的值.

图①图②

第1题图

2.(2019广东24题9分•北师九下习题改编)如图①，在△4台。中，AB=AC,QO

是△ABC的外接圆，过点。作N5cZ)=NAC5交。O于点。，连接A。交于

点、E,延长OC至点尸，使。尸=AC,连接AE

(1)求证：ED=EC；

(2)求证：A尸是。O的切线；

(3)如图②，若点G是△ACZ)的内心，BCBE=25,求BG的长.

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AA

第2题图

新考法

3.［真实问题情境］陀螺(如图①)是中国民间最早的娱乐工具之一，历经千年发

展成为备受世界喜爱的一项运动.玩木制陀螺时需要掌握一定的技巧，其中发动

陀螺尤为重要.某数学兴趣小组画出如图②所示的示意图，陀螺的截面图记作

GO,将鞭绳缠绕陀螺后余下的鞭绳为4C,点。为接头，绳杆为尸C,发动陀螺

时需将手放在优弧&处固定陀螺，连接A5,AP,A尸交。。于点。，连接50且

ZABC=ZADB.

(1)求证：尸。与相切；

(2)实践中发现，当AC与。。相切于点A,且4CLPC时，发动陀螺更加稳定，

若陀螺半径r=4cm,NA4P=30°,求绳杆。尸的长度.

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AC

图①图②

第3题图

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考点精讲

①〉②:③<④〉⑤=@<⑦垂直⑧切点

⑨两⑩相等平分线3条边

练考点

1.外

2.相交

3.(1)90；(2)相切

4.(1)60°；(2)8

5.1

6.32

高频考点

例1证明：如解图，连接OE,

'：OC=OE,

：./OEC=/C.

\'AB=AC,

：.ZB=ZC,

：.ZOEC=ZB,

：.OE//AB.

'：EFLAB,

：.EFLOE,

•「OE是。。的半径，

是。。的切线.

例1题解图

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例2证明：如解图，连接0C,

•「A5是的直径，

ZACB=90°,

：.ZCAB^ZB=90°.

又•:04=0。，

：.ZCAB=ZAC0,

,：ZDCA=ZB,

：.ZDC0=ZAC0+ZDCA=ZCAB+ZB=90°,

即CD±OC.

•「OC是。0的半径，

・••CZ)是OO的切线.

例3证明：如解图，连接0。，0E,

在^ODE与4OCE中，

(OD=0C

<OE=OE,

(DE=CE

.*.△ODE注△OCE(SSS),

：.ZODE=ZOCE=90°,

即ODLDE,

•.•。。是。0的半径，

.,.DE是的切线.

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A

例3题解图

例4证明：如解图，过点。作于点

：.ZODB=ZOCB=90°,

：.OC±BC,

•：B0平分NA5C,

：.OD=OC,

•.•。。是。0的半径，

•••0。是。。的半径，

.二A5是。。的切线.

例4题解图

例5(1)证明：:5石为。。的直径,

：.ZBDE=90°,

ZADB+ZCDE=90°,

VZA=90°,

ZABD+ZADB=90°,

ZABD=ZCDE；

⑵证明：如解图①，连接0。，

•「AC是切线，

：.ZODC=90°,

VZA=90°,

J.AB//OD,

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ZABD=ZODB,

•：OB=OD,

：.ZOBD=ZODB,

：.ZABD=ZOBD,

平分NA5C；

例5题解图①

(3)解:如解图①,连接0。，

由(1)知ZABD=ZCDE,由(2)知ZABD=Z0BD,

VZA=90°,NA瓦)=30°,AD=W,

：.ZOBD=ZODB=ZCDE=30°,BD=243,

.,.ZDOC=60°,

•「AC与。O相切于点。，

.*.ZODC=90°,

AZC=90°-60°=30°,

：.ZCDE=ZC,

：.DE=CE,

VZBDE=90°,

：.BE=^-=4,DE=-BE=2,

cos30°2

：.CE=DE=2,

：.OC=4；

(4)证明：如解图②，连接00,

由(2)得NODC=90°,

VZC=30°,

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ZDOC=60°,

,：OD=OE,

.*.△ODE为等边三角形，

：.ZODE=60°,

:./CDE=90°-60°=30°,

：.ZCDE=ZC,

：.CE=DE=OE,

•••点E是。。的中点.

•.•点厂是CD的中点，

:.EF是AODC的中位线，

.,.EF//OD,

由(2)知，OD//AB,

：.EF//AB.

A

例5题解图②

真题及变式

1.(1)证明：如解图①，过点。作OELCO于点E,

'.'AD//BC,/DAB=90°,

：.ZOBC=90°,

：.ZOBC=ZOEC,

VCO平分/BCD,

.*.Z1=Z2,

XVco=co,

50%△EOC(AAS),

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：.OE=OB,

•.•05为的半径，

为的半径，

又丁0ELCD,

，直线与。0相切；（3分）

（2）解:如解图②，连接0Z）,0E,

由⑴得0E=08

：.0E=0A,

ZOAD=ZOED=90°,0D=0D,

Z.RtAAOD^RtAEOD（HL）,

1

：.DE=AD=1Z3=Z4=-ZAOE,

92

i

ZAPE=-ZAOE=N3,

2

由（1）得4BOC咨AEOC,

：.CE=BC=2,

：.CD=DE+CE=3.（5分）

过点。作。尸，5C,垂足为点尸，则四边形A5FD为矩形,

CF=BC—BF=BC—AD=1,

在R3。/。中，DF=lcD2-CF2=2V2,

0A=-AB=-DF^^2,

22

/.tanZAPE'=tanZ3=-=-p——•（8分）

OAV22v7

BcBFc

图①图②

第1题解图

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一题多解法

如解图③，连接5E,AE,并延长4E交的延长线于点尸,

由题意得NAPE=NA5E,ZDAB=9Q°,A5为。0直径,

与。0相切，；.DE=AD=1,同理可得。石=。5=2,

,JAD//BC,

BPFE=2AE,（5分）

FECE2、）

是。。的直径，

：.BE±AF,

•；NABE+NBAE=90°,ZABE+ZFBE=90°,

ZBAE=ZFBE,

：.4ABEsABFE,

BEFE2AE

・.霁负值已舍去），

第1题解图③

2.(1)证明：如解图①,

"：AB=AC,

：.Z1=Z3,

VZ1=Z2,

.\Z2=Z3.

VZ3=Z4,

•*.Z2=Z4,

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：.ED=EC；（2分）

A

第2题解图①

(2)证明：如解图②，连接。4,OB,0C,

"：OB=OC,AB=AC,

.•.40是5C的垂直平分线，

：.A0±BC.

•.•由(1)得N2=N3,

：.AB//DF.

,：AB^AC=CF,

：.四边形ABCF是平行四边形，

J.AF//BC,

：.A0±AF.

•.•。4是。0的半径，

尸是。。的切线；(5分)

第3题解图②

(3)解：如解图③，连接4G,

VZ1=Z2,Z2=Z5,

.*.Z1=Z5.

「G是△AOC的内心,

.*.Z7=Z8,

VZBAG=Z5+Z7,

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Z6=Z1+Z8,

：./BAG=/6,

：.AB=BG.

VZ3=Z3,Z1=Z5,

.,.△ABEsACBA,

.AB_