2025年中考数学总复习学案：全等三角形（含答案）

微专题21全等三角形

考点精讲

构建知识体系

边边边

［修念.r

~边角边

边］全等三角形电■-角边角

角一-用何边

冏长、闿枳-'-----'L斜边、立角边

丽嘤线收」

考点梳理

1.全等三角形的性质（6年9考）

概念能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形

L全等三角形的对应边①，对应角②二一

性质2.两个全等三角形的周长③________,面积④________;

3.全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都⑤

2.全等三角形的判定（8年11考）

⑴方法

SSSSASASAAASHL

（边八边边）（边角边）（角边角）（角角边）（斜边、直角边）

A[\

£\A4

两边和它们的两角和它们的

三边分别相等两角和其中一斜边和一条直角

夹角分别相等夹边分别相等

的两个三角形个角的对边分边分别相等的两

的两个三角形的两个三角形

全等（基本事别相等的两个个直角三角形全

全等（基本事全等（基本事

实）三角形全等等

实）实）

（2）思路

第1页共16页

（找夹角相等玲SAS

①已知两对等边|找直角玲或SAS

（找第三边相等玲SSS

②已知一对等边

「边为角的对边玲找任意一对等角好AAS

找等角的另一邻边相等玲SAS

和一对等角《边为角

找等边的另一邻角相等玲ASA

的邻边

找等边的对角相等玲AAS

…口枇石f找夹边相等玲ASA

③已知两对等角，

I找其中任意一对等角的对边相等玲AAS

练考点

1.如图，已知点5,E,C,尸依次在同一条直线上.若5。=8,

CE=5则CF的长为

第1题图

2.如图，两个三角形全等的是（

第2题图

A.③④B.②③

C.①②D.①④

高频考点

考点全等三角形的性质与判定（6年9考）

第2页共16页

模型一平移型

模型分析

模型展示：

工/AAAA

HRCF1RC(£)FRcEF1

模型特点：沿同一直线(/)平移可得两三角形重合(5E=CF)

解题思路：证明三角形全等的关键：(1)加(减)共线部分CE,得BC=EF；

(2)利用平行线性质找对应角相等

例1(人教八上习题改编)如图，已知点5,C,E,尸在同一条直线上，BE=CF,

AB//DE,N4=N。，试判断AC和Z)下的数量关系和位置关系，并说明理由.

/X1/X1

//1\//\\

//\\//\

RCKF

例1题图

变式1(2024内江)如图，点A,D,B,E在同一条直线上，AD=BE,AC=DF,

BC=EF.

(1)求证：工ABg^DEF；

(2)若NA=55°,NE=45°,求N尸的度数.

CF

AnRE

变式1题图

模型二轴对称(翻转)型[2022.18,2021.23,2020.20,2020.22(2)]

模型分析

nc-

模型展示有公共边】

nHbC

第3页共16页

有公共顶

所给图形沿公共边所在直线或者经过公共顶点的某条直线折叠，两个

三角形能完全重合

证明三角形全等的关键:

⑴找公共角、垂直、对顶角、等腰等条件得对应角相等；

解题思路

（2）找公共边、中点、等底角、相等边、线段的和差等条件得对应边相

例2（2024香洲区二模）如图，已知垂足分别为A,。，ZACB

=NC5D求证：AB=CD.

例2题图

变式2如图，AB=AC,DB=DC,尸是延长线上的一点.连接3尸，CF,求

证：ZBFA=ZCFA.

变式2题图

变式3（人教八上习题改编）如图，点。在A5边上（不与点A,点5重合），E在

4。边上（不与点4,点。重合），连接5E,CD,BE与CD相交于点O,AB=AC,

NB=NC求证：BO=CO.

Br

变式3题图

第4页共16页

模型三旋转型[2023.22(2)①，2019,10①]

模型分析

模型展

示

共

顶I)

点

模型特（1）共顶点，绕该顶点旋转可得两三角形重合;

点（2）不共顶点，绕某一点旋转后，再平移可得两三角形重合

证明三角形全等的关键：（1）共顶点：力口（减）共顶点的角的共角部分得

解题思一组对应角相等;

路（2）不共顶点：①由5/=。石一5/土。尸=。石土。尸一5。=石尸；②利用平

行线性质找对应角相等

例3(2024珠海模拟)如图，在AABC和△EQC中，AB=ED,Z1=Z2,ZA

NE.求证：BC=DC.

例3题图

变式4（2024吉林省卷）如图，在口A5CD中，点O是的中点，连接。。并延

长，交D4的延长线于点E,求证：AE=BC.

第5页共16页

4、

变式4题图

模型四一线三垂直型[2023.23(3),2020.25(3)]

模型分析

基本图形2已知：AB±BC,

基本图形1已知：

AE±BD,CDLBD,AB=BC

DE±CE,AC.LCD,AB=CE

模型展示

®ZA=ZDCE,ZACB=ZD；

结论（针对②BE=AB+DE；®ZA=ZDBC,NABE=NC；

基本图形）③连接A。，AACD是等腰直角三角②DE=AE—CD

形

.常用三个垂直作条件进行角度等量代换，即同（等）角的余角相等，相等

解题思路

的角就是对应角，证三角形全等时必须还有一组对应边相等

例4如图，在四边形A5CD中，AB=AD,AB±AD,AC±DC过点5作

BELCA,垂足为点E.若AC=6,则△A5C的面积是（）

例4题图

A.6B.12C.18D.36

第6页共16页

变式5（人教八上习题改编）如图，点D,C,E在直线/上，点A,5在/的同侧,

ACLBC,若40=40=3。=5,CD=6,求CE的长.

变式5题图

真题及变式

命题点全等三角形的性质与判定（6年9考）

1.（2022广东18题8分）如图，已知点尸在0。上，PDLOA,

PEL0B,垂足分别为。，E.

求证：△OPD^AOPE.

nrR

第1题图

变式

1.1变图形一一增加线段

如图，在△人5。中，NC=90°,A。平分NCAB于点E,点尸在AC

上，5。=。尸.求证：BE=FC.

且

4KR

变式1.1题图

1.2变设问——证角平分线

如图，在APOE和△00。中，ZE=ZD,OP=OQ,PE交QD于点、C,CP

CQ,连接0C求证：0C平分/DOE.

第7页共16页

p

变式1.2题图

拓展训练

2.(2024佛山模拟)如图，在四边形ABC。中，ZD=ZBCD=90°.

(1)如图①，若E为CD的中点，AB^BC+AD,求证：AE平分ND4&

(2)如图②，若E为A5的中点，AB=2AD,CA=CB,试判断三角形A5C的形状,

并说明理由.

图①

第2题图

新考法

3.［真实问题情境］(人教八上习题改编)小明同学沿一段笔直的人行道行走，在由

A步行到达5处的过程中，通过隔离带的空隙O,刚好浏览完对面人行道宣传墙

上的社会主义核心价值观标语.其具体信息汇集如下，如图，AB//OH//CD,相

邻两平行线间的距离相等.AC,5。相交于点O,5。，。。于点。.已知A5=

20m.根据上述信息，标语CD的长度为m.

8人行道4

［,一.行车道

工力隔离带H

行车道一

一方人行道

富强民主文明和谐门由平等公正法治爱国敬业减信友善

第3题图

4.［条件开放］如图，已知在等腰AABC中，AB=AC,分别以AbAC为边向外

作三角形，使5D=AE.

第8页共16页

(1)添加条件-----------------，可以判定四△C4E,请说明理由;

(2)在(1)的条件下，若乙45。=65°，ZD=120°,求/D4石的度数.

A

■一

M/]/\\I

\/\I

\/Xi

X-------

第4题图

第9页共16页

考点精讲

①相等②相等③相等④相等⑤相等

教材改编题练考点

1.3

2.C

高频考点

例1解：AC=DF,AC//DF,理由如下：

♦：BE=CF,

：.BE-CE=CF-CE,BPBC^EF,

'.,AB//DE,

：.ZB=ZDEF,

在^ABC和^DEF中，

囿4=0。

回B=SDEF,

(BC=EF

△ABC出ADEF(AAS),

：.AC=DF,ZACB=ZF,：.AC//DF.

变式1⑴证明：•.•AO=JBE,

：.AD+DB=BE+DB,即AB=DE,

'：AC=DF,BC=EF,

.,.AABC^ADEF(SSS)；

(2)解：VAABC^ADEF,NA=55°,

：.ZFDE=ZA^55°,

VZE=45°,

.*.ZF=180°-ZFDE-ZE=S0°.

例2证明：'：AB±AC,BDLCD,

第10页共16页

ZA=ZD=90°,

在△A5C与中,

回4=0。

回ACB=^\DBC,

(BC=CB

：.△ABC^ADCB(AAS),

：.AB=CD.

变式2证明：'：AB=AC,DB=DC,AD=AD,

.*.AABD^AACD(SSS),

ZBAF=ZCAF,

X'."AB=AC,AF^AF,

.*.△AACF(SAS),

：.ZBFA=ZCFA.

瓯=0C

AB=AC,

(囿4=团4

△ABE^AACD(ASA),

：.AD=AE,

'：AB=AC,

：.AB-AD=AC-AE,即5Z)=CE,

在^BOD和^COE中,

瓯=HC

瓯。。=0COE,

(BD=CE

0△COE(AAS),

：.BO=CO.

第11页共16页

例3证明：•.•N1=N2,

Z1+ZACD=Z2+ZACD,即NACB=NECD.

在△A5C和^EDC中，

EL4=aE

团ACB=^\ECD,

(AB=ED

：.△ABC^AEDC(AAS),

：.BC=DC.

变式4证明：•.•四边形A5CD是平行四边形，

J.AD//BC,

：.ZOAE=ZB,ZOCB=ZE,

•••点0是A5的中点，：.OA=OB

在△AOE和△50。中，

团OAEFB

WCB=0E,

(OA=0B

：.△AOE0△BOC(AAS),

：.AE=BC.

例4C【解析】'：AB±AD,AC±DC,BE±CA,：.ZACD=ZBEA=ZDAB

=90°,：.ZD+ZDAC=90°,ZDAC+ZEAB=90°,：.ZD=ZEAB,"：AD

=AB,：.△ADC^ABAE(AAS),:.AC=BE=6,：.S^ABC=^AC-BE=^X6X6=

18.

变式5解：如解图，过点A作4GJ_CD于点G,过点5作出于点H,

'：AD=AC,AGLCD,

1

CG=-2CD=3,

第12页共16页

在RSACG中，由勾股定理得，AG=(AC2—CG2j52-32=4,

'：AC±BC,

：.ZCAG+ZGCA=ZGCA+ZBCH=90°,

：.ZCAG=ZBCH.

在△ACG和4C5”中，

f^CAG^BCH

［回ZGCFCHB,

△ACGQ4CBH(AAS),

：.CH=AG=4.

•:BC=BE,BHLCE,

:.CE=2CH=8.

变式5题解图

真题及变式

1.证明：'：PD±OA,PELOB,垂足分别为。,

：.ZPDO=ZPEO=9Q°,(3分)

在^OPD和^OPE中，

回PDOFPE。

即OPFEOP,

(OP=OP

△OPD^AOPE(AAS).(8分)

一题多解法

,?ZAOC=ZBOC,

：.OC^JZAOB的平分线，

第13页共16页

'：PD±OA,PELOB,

：.PD=PE,(3分)

在RtAOPD和RtAOPE中，

OP=0P

、PD=PE'

Z.RtAOPD^RtAOPE(HL).(8分)

变式1.1证明：:人。平分NBA。，DELAB,NC=90°,

：.DC=DE,ZC=ZDEB=90°,

在RtADCF和RtADEB中,

DC=DE

、DF=BD'

Z.RtADCF^RtADEB(HL),

：.BE=FC.

变式1.2证明：在△POC和△中，

(OP=0Q

<CP=CQ,

[oc=oc

POC^A2OC(SSS),

：.ZPCO=ZQCO,

,：ZPCD=ZQCE,

：.ZDCO=ZECO,

'：ND=NE,

：.ZDOC=ZEOC,

：.OC平分NOOE.

2.(1)证明：如解图，延长AE交的延长线于点H,