2025年中考数学总复习《图形的相似》专项检测卷（带答案）

2025年中考数学总复习《图形的相似》专项检测卷带答案

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.如图，点B,C,AE处的读数分别为15,12,0,1,若直尺宽&）=lcm,

则AD的长为（）

A

BC

A.1.5cmB.1cmC.0.5cmD.-cm

2.记ABC的重心为点G,过点A作BC边上的高，让点A在这条高上

滑动至另一端，则点G的轨迹（）

A.可能为和高不平行的线段B.一定为和高平行的线段

C.一定为曲线段D.可能为曲线段

3.如图，在边长为2的正方形ABC。中，点M是边A3上一个动点，在

4?延长线上找一点N,使点河和点N关于点8对称，连接CM,ON相

交于点E.当动点/从点A运动到点B时，点E的运动路径长为（）

222

C.D.

31?

4.如图，VABC与QE厂是位似图形，点。为位似中心.已知OA:AD=2:1,

则VABC与DE厂的相似比为（）

o.

C.2:1D.3:2

5.如图，点。是VABC的AB边上一点，连接C＞下列条件中，不能

判定△ABCsAACD的是（）

ABCAC

A——=——B.ZADC=ZACB

CDAD

"ABAC

D.ZB=ZACD

ACAD

6.如图，在钝角三角形"C中，分另lj以AB和AC为斜边向VABC的夕卜侧

作等腰直角三角形树和等腰直角三角形Ab,川的平分线EM交

于点跖D,N分别为BC,AC的中点，连接DN,DEDF.下列

结论错误的是（）

A.EM=DNB.S&CDN=5S四边形ABDN

C.DE=DFD.DE1DF

7.如图，将一个透明的玻璃沙漏与两把尺子放在桌面上，沙漏底部

边缘C,。在水平放置的尺子上的读数分别为3cm和7cm,并且C,D

所在的直线与竖直放置的尺子的0刻度线重合，沙漏的中心点。刚

好和刻度5cm水平对齐，上面部分的沙面（A8所在直线）与刻度8cm水

平对齐，则此时沙面的宽筋=（）

A.3cmB.2.5cmC.2.4cmD.2cm

8.如图，在正方形ABC。中，点尸为。中点，点E为BC上一点，满

足&?+。尸=叮，点G为线段钻上一点，若AG=EG,则萼的值为（）

二、填空题

9.若合白则噌的值为_____________.

b5b

10.如图，矩形ABC。位于第一象限内，点A坐标为（0,4）,若AB:AT>=2:1,

点。到y轴的距离为6,则矩形A38的面积为.

11.如图，AB//CD,A。与BC相交于点O,且VAOB与△OOC的面积比

是1:4,若AB=2,则CD的长为

12.如图，在RtA4fiC中，ZACB=90°，AB=10,AC=8,点。、石分别是AB、BC

上的动点，美=2,将线段迎绕点片顺时针旋转到跖，旋转角等于

DtLJ

^ABC,连接CF与所，c/十防最小值是

13.如图，C。是Rt^ABC斜边A3上的中线，AB=80,AC=64,点E、尸在边

AC上，连接DE,DF,当“)EF与△£＞为相似时，线段AE的长为

B

D

CFE

三、解答题

14.如图，线段A2,。相交于点区若AE=10,CE=6,BE=5,DE=3.

⑴求证：AC//DB.

⑵若3D=CE,求AC的长.

15.如图，在正方形A38中，点〃是边BC上的一点(不与5、。重

合)，点N在边CD延长线上，且满足/AWV=90。，连接MN,AC,MN与边AD

⑴求证：AM=AN；

(2)如果NC4D=2ZM4D,求证：AM2=ACAE；

(3)MN交AC点。，若黑=3则黑=(直接写答案、用含人的代

D1V1CJ/V-------------

数式表示).

16.如图，在等边三角形ABC中，点。在AB上，点E在边AC上，ZBDE

和ZDEC的两条平分线交于点尸，尸在DE下方，8c上方，且£®=EC.

图1

(1)如图1,求证：三角形八即是等边三角形.

(2)如图2,在EC上找一点G,使曲=EGAB.连接依，连接取交DF于

点、H,求证：四边形EGF"是平行四边形.

17.如图1,在平行四边形ABC。中，AB=1,sin8=g,CE48于点E,且

CE=4.点尸从点E出发，沿向终点C运动，设点P在该折线上运

动的路径长为x(x＞。)，连接抄.

(1)8C的长为,当点P在上运动时，E尸的最小值为;

⑵点F是沙的中点,如图2,

①请用无刻度的直尺和圆规过点尸作BC的垂线FG,垂足为点G(保留

作图痕迹，不写作法)；

②求证：ABCESBFG；

(3)延长PE到点M,使得£M=2尸&以CE,ME为邻边作平行四边形CEAW.

①当点尸在3C上，平行四边形CEMN对角线硒所在的直线恰好经过点

。时，如图3,求x的值；

②当点A落在平行四边形CEMN的边上或内部时，直接写出x的取值范

围.

18.在VABC中，AB=AC,"AC=120。，点。在VA3C内部，将线段AD绕

点A逆时针旋转120。，得到线段AE.

图3备用图

⑴如图1,连接上，若相＞=1,求VAZ汨的面积；

(2)如图2,连接3D,CD,CE.点尸是线段CD的中点，连接防，若

ZADB=ZADC+ZECF,ZBAD+ZAEF=120°,求证：AC=2EF,

⑶如图3,

①按题意画图：点”为平面内一动点，连接AH,BH,将一ABH沿/汨所

在直线翻折至VABC所在平面内得到△G3H,连接GC,点尸是线段GC的

中点，以也为直角边，点尸为直角顶点，在也上方作等腰直角三角形

PCQ,贸=8,点对为BC上最靠近点C的四等分点，连接MQ.

②在①的条件下，直接写出加。的最大值_____.

参考答案

题12345678

号

答CBBAABCC

案

1.C

【分析】本题考查的是相似三角形的应用.掌握相似三角形的判定和

性质是解题的关键.证明△ADEsA45c,根据相似三角形的性质列出

比例式，把已知数据代入计算即可.

【详解】解：由题意得：BC=3,DE=1,

DE//BC,

LADESAABC,

.ADDE

**AB-BC，

.AD1

**AD+l~3f

解得AD=0.5.

JAD的长为0.5cm.

故选：c.

2.B

【分析】本题考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，理解

三角形中心的定义计算性质是解题的关键.

三角形的重心是三条边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边

中点的距离的比为2」，再根据相似三角形的判定和性质，数形结合

分析即可求解.

【详解】解：如图所示，点G是ABC的重心，AOLBC,以点。为原点，

以8C所在直线为x轴，以A。所在直线为V轴，点A在线段AO上从点A

互动到点。，

点G是ABC的重心,

.DG1

**AG-2,

当点A运动至点A时，重心对应点为G,

.DG'\

**AV"2

连接GG,

..DGDG'1

*~AG~A'G'~2

DGDG'1

^ZADA!=ZGDG',

DA~DA'-3

:.二GDG'sADA,

：.ZDGG'=ZDAA,

；.GG'A4,,

J让点A在这条高上滑动至另一端，则点G的轨迹一定为和高平行的

线段,

故选：B.

3.B

【分析】本题考查勾股定理，相似三角形等知识点，能够正确做出辅

助线是解题关键；

作点A关于点3的对称点N,连接DN和AC交于点过点E作尸Q2A5

于点Q,交。于点乙连接助，则仍为点E的运动轨迹，先根据正方

形性质可知尸。=陋=2,设%=x，则AQ=2-无，进而得到尸E=x,AN=4,

通过平行可知一C即sABV,再通过相似三角形性质解出％,再通过勾

股定理即可求解.

【详解】作点A关于点8的对称点N,连接DN和AC交于点过点E作

加工回于点Q,交。于点P,连接8E,则仍为点E的运动轨迹,

PQ±AB,

PQLCD,

PQ=AD=29

设5Q=x,贝（|AQ=2r,

.NC4B=45。，PQ-LAB,

EQ=AQ=2—x,

PE—PQ-EQ-2-（2-尤）—x

又点帆N关于点8对称，

BM=BN,

当点”在起点A处时，BM=BN=2,

:.AN=4,

又CD\AB,

CED^AEN,

CDEP

2_x，解得x=j

4-2^

/.EQ=2,—x=—4,

在HE%中，由勾股定理得匹=加普+%2=

点E的运动路径长为EB的长为学,

故选：B.

4.A

【分析】本题考查了位似变换，位似图形的性质，熟练掌握位似图形

的性质是解题的关键.

根据题意得到。4：8=2：3,得出AC:。9=2:3,得到VABC与DE尸的相似

比为2：3,即可得到答案.

【详解】解：VA3C与山EF是位似图形，OA-.AD=2A,

..04:8=2:3,

/.AC:DF=2:3,

•••VABC与QEF的相似比为2:3,

故选：A.

5.A

【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判

定是解题的关键；因此此题可根据相似三角形的判定定理可进行求解.

【详解】解：..•/4=/4,

:由而=而不能判定△ABCSA4CD,故符合题意；

B、由ZAT>C=ZACB能判定A4BCsA4CD,故不符合题意；

&由华=若能判定△MCSA4CD，故不符合题意；

D、由N3=ZACD能判定△4?CSA4CD,故不符合题意；

故选A.

6.B

【分析】此题主要考查了等腰直角三角形的性质和应用，全等三角形

的判定和性质的应用，中位线的性质以及相似三角形的判定和性质的

应用；首先根据。是BC中点，N是AC中点N,可得DN是MC的中位

线，判断出ON丹A3；然后判断出即可判断出EM=DN；

根据DN〃相，可得CDNsABC；然后根据DN/AB,可得5如=为树，

所以S△处=|SW，据此判断即可.首先连接MD、FN,判断出DM=FN,

NEMD=NDNF，然后根据全等三角形判定的方法，判断出一EMDg，

即可判断出0£=0尸.判断出警=s加45。=也，DM=—FA,ZEMD=ZEAF,

EA22

根据相似三角形判定的方法，判断出&>ZE4F,即可判断出

ZMED=ZAEF,然后根据ZMED+ZA£D=45。，判断出ZDEF=45。，再根据

DE=DF,判断出ZDfE=45。，NEDF=90。，即可判断出

【详解】解：。是3C中点，N是AC中点，

・•.DN是.ABC的中位线，

:.DN//AB,^DN=-1AB；

三角形河是等腰直角三角形，£M平分交相于点

「•”是的中点，

EM=_AB,

又DN=^AB,

EM=DN,

，A选项正确;

DN//AB,

：..：CDN^ABC,

DN*AB,

,•0,CDN-4ABC，

-S&CDN~JS四边形MDN，

B选项错误;

如图1,连接MD、FN,

。是3C中点，M是AB中点,

1

DM//AC,且DM=5AC；

三角形Ab是等腰直角三角形，N是AC的中点,

:.FN/AC

又DM=^AC,

DM=FN,

DM//AC,DN//AB,

，四边形AMDN是平行四边形,

:.ZAMD=ZAND,

又.NEMA=NFNA=90。,

:.NEMD=NDNF,

在和DNF中,

EM=DN,NEMD=NDNF,MD=NF,

EMD^DNF,

:.DE=DF,

，C选项正确;

如图2,连接MD,EF,NF,

三角形树是等腰直角三角形,平分

ZAEB,

是A3的中点，EM±AB,

;.EM=MA,ZEMA=9Q°,ZAEM=ZEAM=45°,

,EM_叵

"~EA~^2，

。是3C中点，”是AB中点，

.•.DM是MC的中位线，

1

DM//AC,且DM=5AC；

・三角形Ab是等腰直角三角形，N是AC的中点,

:.FN=gAC,ZFNA=90°,ZFAN=ZAFN=45°,

又DM=^AC,

:.DM=FN=—FA,

2

/EMD=NEMA+ZAMD=90°+ZAMD,

ZEAF=360°-ZEAM-/FAN-ABAC

=360°-45°-45°-(180°-ZAMD)

=90°+ZAMD

:.ZEMD=ZEAF,

在3EMD和ZE4F中，—=^=—,NEMD=ZEAF,

EAFA2

一ZEAF,

:.ZMED=ZAEF,

/MED+/AED=45。,

:.ZAED-^ZAEF=45°,

BPZDEF=45°,

又DE=DF,

:.NDFE=45。,

ZEDF=180°—45°-45°=90°,

:.DE±DF,

D选项正确.

故选：B.

7.C

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，根据相似三角形

的判定和性质定理即可得到结论.

【详解】解：由题意得，AB//CD,

:.AAOBsADOC,

.AB8-5

"~CD~~5~，

AB_3

"7-3~5,

AB=2.4,

答：此时沙面的宽AB=2.4cm

故选：C

8.C

【分析】将△知尸绕点A顺时针旋转90。得到.ABH,在EF上取点L,使

得BE=EL,连接近，过点G作GKLBC于点K,设正方形的边长

AB=BC=CD=2a,破=矶=），进而得出人后=加，依次证明AEH^AEF（SSS）,

ABE^A£E（SAS）,RtADF^RtALF（HL）,从而推出△血是等腰直角三

角形，AG=EG=M证明EGFS,GKE,求出GK=2i,再利用勾股定理求

出EK=b,BG=2y/2b,即可得到答案.

【详解】解：如图，将△曲绕点A顺时针旋转90。得到小汨，在所上

取点L，使得BE=EL,连接AL,过点G作GKJL3C于点K,

设正方形的边长钻=BC=CD=2a,BE=EL=b,贝l]CE=BC_BE=2a_〃,

点尸为。中点，

DF=CF=a,

QBE+DF=EF,

:.EF=aJfb,

在Rt、ECF中，CF2+CE2=EF?,

a?+(2a—Z?)=(a+Z?),

3

a=—bZ,

2

:.EF=-b,AB=3b,

2''

AE=VAB2+BE2=Mb,

由旋转的性质可知，AH=AF,BH=DF,

QBE+DF=EF,

:.BE+BH=EH=EF,

在△AEH和4AEF中,

AH=AF

<EH=EF,

AE=AE

AEH冬AEF(SSS),

/.ZAEH=ZAEF,ZEAH=ZEAF,ZH=ZAFE,

在AB石和一AL石中，

AE=AE

<ZAEB=ZAEL,

BE=EL

ABE经ALE(SAS),

.\ZBAE=ZLAE,ZALE=ZABE=90°,AB=AL=AD,

在RtVADF和RtALF中,

AF=AF

AD=AL'

/.RtADF^RtALb(HL),

:.ZDAF=ZIAF,

QZBAD=90°,

NBAL+ADSL=2(NEAL+ZMF)=90°,

ZEAL-^-ZLAF=ZEAF=45°,

AG=EG9

AEG是等腰直角三角形，

...AG=EG=AE-sin45。=厢bxg=同,

.ZEAH=ZEAF=45°=ZAEG,

/.AH//EG,

:"H=/GEK=ZAFE,

/EGF=/GKE=90°,ZEFG=ZGEK,

/.EGFsGKE,

.EG_EF

,~GK~^G'

.叵上

"'GK~45bJ

:.GK=2b,

EK=\lEG2-GK2=b,

:.BK=BE+EK=2b,

BG=y/BK2+GK2=2-j2b,

.BG2-Jib_4拒

‘百=%=亍，

2

故选：C.

【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三

角形的判定和性质，正方形的性质，解直角三角形的应用等知识，正

确作辅助线，利用数形结合的思想解决问题是关键.

9-

3

【分析】本题主要考查了比例的性质，

根据已知条件得。=勺，再代入待求式计算即可.

【详解】解：•••？=1

b3

.4

--a=2b,

.,-b-b-b]

.."b=3=3=1.

bbZ?3

故答案为：I.

10.16

【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性

质，正确掌握相关性质内容是解题的关键.先结合矩形的性质，得出

ZABC=9G°,AD=BC,然后证明BAO^CBS,然后代入数值得3S=2,03=4,

最后运用勾股定理列式计算得”=40,BC=2也,最后结合面积计算

计算，即可作答.

即可作答.

【详解】解：过点C作CS_Lx轴，如图所示：

•••四边形ABC。是矩形

ZABC=90°,AD=BC,

Zl+Z2=90°,

ZAOB=90°

/.Nl+N3=90。,

/.N2=N3

ZAOB=ZCSB=90°

/.AOBsBSC,

•AOOB_AB

**BS-CS-BC

*/AB:AD=2A,

/.AB:BC=2:1,

即Qt=2,

/.BS=2,

•••点。到y轴的距离为6,

05=6—2=4,

CS=2,

在RtAOB中，AB=^42+42=4A/2,

在RtZ\S3C中，BC=A/22+22=272

•,•矩形ABC。的面积为ABx3C=16,

故答案为：16.

11.4

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明。。灰冰/笫。，

再根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求解.

【详解】解：YM//CD，

/.△AO3s△£>OC,

...

SRDOCICDJ

4\CD)

：.CD=4,

故答案为：4.

12.2A/29

【分析】由勾股定理求出3C=6,设AD=6k,则叨=10-6%,得到的=5%,

在BC延长线上截取EG=&)=10-6左，证明.mE区G砂(SAS),得到

FG=BE=5k,ZABC=ZFGE,过尸作FH_L3C于点”，则ZACB=NFHG=90。,

证明ABCsFGH,求出切=4后GH=3k,在BC延长线上截取点尸，使

BA=BP=IO,证明m=HP,则一是等腰直角三角形，则/FPH=45。，

证明点尸在过尸且满足4PB=45。的直线上，作。关于丹'的对称点C,

连接R7,贝ljfV=RS,得至“尸C+FB=尸。+FB2BC',当且仅当5,F,C共

线时取等号，进一步利用勾股定理求出答案即可.

【详解】解：VZACB=90°,AB=10,AC=8,

•*.BC=YIAB2-AC2=V102-82=6，

设AD=6左，则皮)=10-6匕

..AD_6

/.BE=5k,

在3C延长线上截取后G=BD=10-6人,

ZDEH=ZDEF+ZFEG=ZABC+ZBDE,且NOEb=NABC,

，NFEG=NBDE,

•••线段DE绕点石顺时针旋转到所，

二•DE=EF,

：.BDE'GEF(SAS),

二•FG=BE=5k,ZABC=NFGE,

过尸作尸”，3c于点“，则ZAC3=ZFHG=90。,

・\ABCsFGH,

•ABACBC

・•~FG~~FH~~GH'

・10__8___6_

**^k~FH~GH

FH=4k,GH=3k,

在BC延长线上截取点尸，使班=的=10,

.*EH=EG-GH=10-6k-3k=lQ-9k

/.HP=BP-BE-EH=10-5k-(10-9k)=4k

/.FH=HP,

.•.—「HP是等腰直角三角形，

NFPH=45。,

，点尸在过P且满足/FM=45。的直线上，

作。关于尸尸的对称点C，连接bC',则/。=代，

FC+FB=FC+FB>BC,

当且仅当5,F,C共线时取等号，

,/ZCPC=2ZFPB=90°,C'P=CP=BP-BC=4,

**.在RtBPC中，BC=JBP+C'P2=V102+42=2区，

即CF+BF的最小值为2a.

故答案为：2月.

【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、轴对称的

性质、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、旋转的

性质等知识，添加辅助线较多，属于填空题中的压轴题.

13.14或25

【分析】根据。是RtA4BC斜边AS的中线得到CD=M=AD;A3,进而

得到ZBCD=N3,根据DEF与△O3C相似，ZDEF=得至ljNDFE=NBCD或

ZEDF=ZBCD,所以分三种情况讨论：①,DEFs,DBC②&EDFs,DBC③

FDEs*DBC,分别求解即可.

【详解】解：8是RCABC斜边的中线，钻=80,

CD=-AB=AD=BD=40,

2

ZA=ZDC4,

当时，

NEFD=NDCB=NB,贝！jDE=EF,

\•在Rt^ABC中，ZA+ZB=90°,

:.ZA+ZDFA=90°,

:.ZADF=90°,贝=尸，

“AC644

cosA==—=一.

AB805

4尸=》:半=50

cosA4,

/.DE=-AF=25,

2

当FDEs05。或OEbsOBC时，

ZDEF=ZB=ZBCD,又ZBCD+ZACD=ZACB=90。,

/.ZDEC+ZECD=90°,

/.ZCDE=180。-(/DEC+NECD)=90°,

AD=CD,

.\ZDCA=ZA9

4

/.cosZDCA=cosA=—.

5'

3

sinZDCA=sinA=—=—

AB805,

CD

-C£_

cosZDCA皆。

5

/.AE=AC-CE=M-50=14

综上所述，AE的长为14或25

故答案为：14或25.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定,

勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角函数的应用，解题的关键

是分情况讨论相等的角.

14.⑴见解析

(2)AC=12

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练利用相似三角形

的判定和性质是解题的关键.

(1)判断即可解答；

(2)利用相似三角形的性质，即可解答.

【详解】(1)解：短=僚=2,ZAEC,BED,

:.：.AECS.、BED,

.*.ZA=ZB,

:.AC//DB；

(2)解：根据(1)中△AECS^BED,

用省AC=CE

」将50DE，

BD=CE,

,AC6

可得AC=12.

15.(1)证明见解析；

(2)证明见解析；

⑶春•

【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似

三角形的判定和性质，判断出MsA£N是解本题的关键.

(1)由正方形的性质可得AB=AD,由"$人"可证"^丝44W，可得

AM=AN；

(2)由题意可得NaW=NMLO=22.5o,NACB=NMMl=45。，即可证

AMCs^AEN,即可证AM'AEAC；

(3)过点Af作MF〃AB交AC于点尸，设3M=*由黑=左，BM=a,

DJVL

BC^k+\]a,再根据可得答案.

【详解】(1)证明：二•四边形MS是正方形，

/.AB=AD,NC4Z>=45o=ZAC3,N3Ar)=90o=NCDA=NB,

/.ZBAM+ZMAD=90°,

\9ZMAN=90°,

ZMAD+ZDAN=9Q0,

：.ZBAM=/DAN,

在一ABM和AMW中，

ZBAM=ADAN

<AD=AB

/ABC=ZADN=90°

/.ABM^ADN(ASA),

/.AM=AN；

(2)证明：\*AM=ANTMAN=90°,

,ZMNA=45°,

9：NCW=2ZM4D=45。，

/NAD=22.5。，

/.ZCAM=ZMAN-ZCAD-ZNAD=22.5°

ZCAM=/NAD,ZACB=ZMNA=45°,

:・_AMCs、_AEN,

.AMAC

,~\E~~AN9

，AMAN=ACAE,

AN=AM,

：.AM2=ACAE；

(3)解：如图，过点/作MF〃四交AC于点厂,

BM=a,

CM7

---------二k,

BM

.\CM=ka,BC=[k+i)a,

AB=CD=BC=(k+\^a,

AABM咨AADN,

/.ND=BM=a,

QMF//AB,

CMFsCBA,

.MF_CM__ka

:.MF=ka,

•MF//AB,

，OMFsONC,

.Q^L_亚_M_k

~ON~~CN~(k+\+\)a~1+2'

故答案为：占.

16.(1)见解析

(2)见解析

【分析】(1)由等边三角形得AB=AC和ZA=60。，结合题意得=

则一ADE为等边三角形，有=120。，由角平分线得4留=NEZ*=60。和

NDEF=NFEC=60°,即可判定QEF为等边三角形；

(2)由等边三角形得£>E=EF和"FE=60。，且AE=£D,则A£=£F.进

一步判定ABEs.EFG,有ZABE=NEFG,则3£>〃EF,同理“尸〃EG,和I

用平行线的性质可得EH//GF,即可判定为平行四边形.

【详解】(1)证明：•「MC为等边三角形，

/.AB=AC,ZA=60°,

又：DB=EC,

JAD=AE,

ADE为等边三角形，

...ZADE=ZDEA=60°,

ZADE+NBDE=180°,

/.NBDE=120。,

又DF平分/BDE,

ZBDF=ZEDF=60°,

同理，NDEF=/FEC=60°,

DEF为等边二角形；

(2)证明：•••工)即为等边三角形，

DE=EF,NDFE=60°,

同理：AE=ED,

故AE=EF.

AE2=EG-AB,

：.AE：EG=AB：EF,

又：ZA=ZFEC=60°,

：.ABEs,EFG,

：.ZABE=AEFG,

ZBDF=ZDFE,

JBD//EF,

同理液〃EG,

*.*BD//EF,

JZABE=ZBEF,

：.ZBEF=NEFG,

...EH//GF,

又：HF//EG,

J四边形EFGH为平行四边形.

【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质、角平分线的定义、

相似三角形的判定和性质、平行线的判定和性质，以及平行四边形的

判定，解题的关键是熟悉等边三角形的性质和平行四边形的判定.

12

17.(1)5,y

(2)①见解析；②见解析

⑶①Y；②2X?

o5

【分析】（1）利用正弦函数的定义求得8c=5,当即，BC时，即取得

最小值，利用等积法即可求解；

（2）①利用尺规作图的方法作出图形即可；

②先求得BF=BE+EF=5=BC,再利I用AAS即可证明△BCE■四△BFG；

（3）①分别用尤表示出台尸，BQ,P。和QE的值，证明ENHS&DEC,利

用相似三角形的性质列式计算即可求解；

②分两种情况讨论，当尸在BE上时，当囱八短时，点4落在CEMV的

边上，即可求出工的范围；当尸在BC上时，如图，过尸作于

。，设MN与直线A3交于”,根据三角函数，分别用工表示出质BP,QE,

证明PQEs.MHE，求出即，Mf,当即2AE且时，点A落在CEMN

的边上或内部，进而求出工的范围即可.

【详解】（1）解：VsinB=1,CELAB,

.CE4

**BC-5，

*.•CE=4,

.4_4

**Hc~3,

JBC=5,

•*.BE=y/BC2-CE2=3,

当EPL3c时，收取得最小值，

"E=*CE=2PE,即3X4=5PE,

••.吟《,即呼的最小值为g

故答案为：5,y;

(2)解：①所作图形如图，

②由作图知4G3=90。,

.*CE1AB,即/CEB=90。,

.*ZCBE=ZFBG,

.*BE=3,

\AE=7-3=4,

••点厂是AE的中点，

EF=-AE=2,

2，

\BF=BE+EF=5=BC,

\BCE^BFG(AAS)；

(3)解：①。落在对角线硒上，如图,

BE=3,BC=5,

...cos於笆=3

BC5

3394412

二.BQ=BP-cosB=£(%-3)=—x~—,PQ=BPsinB=—(x-3)=j%--

5

243

QE=BE-BQ=—--x,

四边形ABC。是平行四边形,

CD//AB,CD=AB=7,

/CDE=/DEA,

CE1AB,

CE上CD,

ZECD=9Q0,

MN.LAB,

ZNHE=ZECD=90°,

_ENHSADEC,

NH_CE

国一而一7

±■="48619224

NH=--------X--X,

775535-35

NH+MH=MN,

192248244

x+—x------=4,

3535---55

解得.墨;

O

②当尸在班上时，如图,

EM=2PE,

EM=2x,

当取24?时，点4落在CE肱V的边上,

.,.2x>4,

解得：x>2,

:.2<x<3,

当尸在8C上时，如图，过尸作尸于。，设MV与直线4?交于”,

PQ^AB,

:.ZBQP=90°,

43

QsinB,cosB=—BP=t-3,

3394412

/.BQ=BPcosB=-(x-3)=-x--,P2=BPsinB=j(x-3)=-x-y

243

:.QE=BE-BQ=—--x9

四边形CEMN是平行四边形,

:.MN//CE,MN=CE=4,

CELAB,

:.MN±AB,

PQ-LAB9

PQ//MN,

:“PQEsMHE,

.EHMHME

'~QE~~PQ~~PE

EM=2PE,

.EHMHME?

'~QE~~PQ~~PE~'

:.EH=2QE=^--^x,MH=2PQ=|x-y,

当团之钻且时，点A落在C矶W的边上或内部，

「486

----x>44

.55

824//

—x-----<4

155

解得：xvg,

3<尤<—,

3'

综上所述，当2Vxvg时，点A落在CEMN的边上或内部.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角函数，勾股定理，相似

三角形的性质和判定，等腰三角形的判定，解题的关键是分类讨论思

想的运用，正确的作图.

18.⑴4

(2)见解析

⑶①见解析；②2石+半

【分析】(1)求含有3。。等腰三角形的面积，作高线，进而求解即可；

(2)延长所到N,使EF=FN,则EN=2E/，连接四、DN,先证明

D/W空CEE(SAS),再证明ABDRACE(SAS),最后证明ADB^ADN(SAS),

再根据已知条件证团=硒即可得证；

(3)根据题意知点G在以B为圆心血为半径的圆上运动，证明

△BCGSAOCQ,所以点。在以点。圆心，以半为半径的定圆0上运动,

当最大时，MQ过点。，求得MO,即可求解.

【详解】(1)解：如图，过点A作加UDE于点尸，

F

D

;将线段AD绕点A逆时针旋转120。，得到线段钻，陋=1,

/.ZZME=120°,AE=AD=1,

/.ZD=ZE=3O°,DE=2DF,

/.AF=AD-sinD=AZ)-sin30°=1x-=-,

22'

DF=AZ)cosD=ADcos30°=l