2025年中考数学总复习：一元二次方程及其应用

微专题07一元二次方程及其应用

考点精讲

构建知识体系

,一元二次方程/特殊/[一的判别式及其应制

_[ft象为V学校P■”加、（根勺系数的关匐

,J直接开平方法

因式分解法*

!方

/公式捺程

配方法

,I___检验

小际问题的时-----方程的程x=1理TlK

_________________2g

考点梳理

1.一元二次方程的相关概念

⑴概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是①的整式方程

⑵一般形式：ax2+Z?x+c=0（a,b,c为常数，a②0）

2.一元二次方程的解法（6年4考）

解法适用情况或步骤

直接开（1）当方程缺少一次项时，即方程aP+cuOmWO,ac<0）；

平方法（2）形如（%+机）2="（"之0）的方程

⑴常数项为0,即方程依2+版=0（存0）；

因式分

（2）一元二次方程的一边为0,而另一边是易于分解成两个一次因式的乘积

解法

注：方程求解过程中，等式两边不能同时约去含有相同未知数的因式

适用于所有一元二次方程，求根公式为③仅2—4比>0）

步骤：（1）使用求根公式时要先把原一元二次方程化为一般形式，方程的

公式法右边一定要化为0;

（2）判断属一4℃的正负：若廿―4比④0,则原方程无实数解；若

〃一4ac⑤0,则原方程有实数解

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注：将a,b,c代入公式时应注意其符号

适用于：(1)二次项系数化为1后，一次项系数是偶数的一元二次方程］

(2)各项的系数比较小且便于配方的情况

步骤：以2/一8%+4=0为例

(1)变形：将二次项系数化为1,得％2—4%+2=0；

酉己方法

(2)移项：将常数项移到方程的右边，得炉一4%=—2；

(3)配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得4%+4=—2

+4,即(%—2，=2；

(4)求解：用直接开平方法求解，得％1=2+应，%2=2—V2

3.一元二次方程根的判别式及根与系数的关系(6年2考)

⑴根的判别式：b2-4ac叫做一元二次方程

⑵一元二次方程根的情况与判别式的关系：

①左一4«c>00方程有两个丕相等的实数根；

②82—4ac=00方程有两企相等的实数根；

③左一4ac<0用程没有实数根

(3)根与系数的关系：若一元二次方程依z+bx+cMog/),加―4。仑0)的两实数根

分别为为1，%2，则％1+%2=—'，X1-X2=£(2022年版课标调整为考查内容)

CLCL

4.一元二次方程的实际应用

(1)变化率=鬻*100%；

平均基础量

变化(2)设。为原来量，当机为平均增长率，增长次数为2,。为增长后的量时，

率问则⑥-----=戾

题(3)设。为原来量，当机为平均下降率，下降次数为2,。为下降后的量时，

则⑦=b

利润(1)利润=售价一成本；

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问题（2）利润率=瞿*1。。％；

（3）每每问题：单价每涨。元，少卖8件.若涨价y元，则少卖的数量为2y

件

面积

r-A-

问题s阴影=（。一S阴影=(〃一

S阴影=(a-%)(/7-%)

2x）（Z?-2%）x)(Jb-x)

练考点

1.若关于％的方程（左一3M2—8%—10=0是一元二次方程，则k的取值范围

是.

2.解方程:x2—3%+2=0.

3.一元二次方程/—X+4=0的根的情况为（）

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根

D.没有实数根

4.关于％的一元二次方程％2—m+3=0的一个根是1,则该方程的另一个根

为.

5.为了满足师生的阅读需求，某校园图书馆的藏书从2022年至2024年两年内由

5万册增加到7.2万册，则这两年藏书的年平均增长率为.

6.某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元.调查发现，当销售价为2900元

时，平均每天能售出8台.调查发现，若销售价每降低50元，则平均每天能多售

出4台.

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⑴若销售价降低1元，则平均每天能多售出台；

⑵已知商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，设每台冰箱降价

%元，可列方程为.

高频考点

考点1一元二次方程及其解法(6年4考)

例1(人教九上习题改编)用适当的方法解下列方程：

(1)5(X—3)2=45；(2)x2+4x=12；

(3)V—4%+3=0；(4)X2+3X+1=0.

变式1(2024东莞一模改编)用配方法解一元二次方程3x2+6x-l=0时，将它

化为(%+。)2=》的形式，则a+b的值为()

A.—B.-C.2D.-

333

考点2一元二次方程根的判别式(2024.13)

例2已知关于x的一元二次方程(左一2)_?+4%—1=0,请回答下列问题：

(1)若原方程有实数根，则k的取值范围是；

(2)若原方程有两个相等的实数根，则上的取值范围是；

(3)若原方程有两个不相等的实数根，则上的取值范围是:

(4)若原方程没有实数根，则k的取值范围是,

易错警示

本题容易出现的错误是忽略“一元二次方程中二次项的系数不等于0”这个条件.

变式2若方程(%—1)2=机+2无实数根，则冽的取值范围为()

A.m<—2B.m<-2C.m>_2D.m>-2且m#0

变式3(2023广州)已知关于%的方程(2左一2)%+R—1=0有两个实数根，则

J(k—1)2—12—4)2的化简结果是()

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A.-1B.1C.-l~2kD.2k~3

考点3一元二次方程的根与系数的关系(2019.9)

例3(人教九上习题改编)设为，乃是方程％2—6%+2=0的两个实数根，则:

(2)町+好=；

(3)%1%2+%1%2=.

变式4(2024佛山二模)若一个关于％的一元二次方程的两根互为相反数，请你

写出一个满足条件的方程：.

考点4一元二次方程的实际应用

例4根据市场需求，某公司的业务规模快速扩大，如图是该公司用来生产一种

无盖长方体容器的矩形原料，该矩形原料的长为20cm,宽为16cm.

(1)随着技术逐年更新，该矩形原料的成本不断下降，前年一张矩形原料的成本是

50元，今年一张矩形原料的成本是32元，求这种矩形原料成本的年平均下降率;

例4题图

(2)将该矩形原料的四角剪去四个相同的小正方形，然后把剩余部分(阴影部分)

沿虚线折起可做成一个无盖长方体容器.若该无盖长方体容器的底面积为140

cmz,求剪去的小正方形的边长；

(3)若该无盖长方体容器的成本是50元/个，如果以100元/个销售，每天可以售

出200个，为尽可能大地让利购买者，同时减少产品库存积压，公司决定降低售

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价，市场调查发现销售单价每降低1元，销售数量就增加20个，则当该公司将

销售单价定为多少元时，每天的销售利润为16000元？

真题及变式

命题点1一元二次方程及其解法（6年4考）

1.（2022广东14题3分）若％=1是方程f一2%+。=0的根，则a=.

2.（2021广东14题4分）若一元二次方程炉+"+c=0S，c为常数）的两根即，％2

满足一—1,1<%2<3,则符合条件的一个方程为.

命题点2一元二次方程根的判别式（2024.13）

3.（2024广东13题3分）若关于X的一元二次方程x2+2x+c=0有两个相等的实

数根，则。=.

命题点3一元二次方程根与系数的关系（2019.9）

4.（2019广东9题3分）已知％1,%2是一元二次方程％2—2%=0的两个实数根，下

列结论苗送的是（）

A.B.2xi=0C.%I+%2=2D.%:％2=2

4.1变思维——结合两根关系求系数

（2024乐山改编）若关于x的一元二次方程r一2%+p=0两根为xi,%2,且工+工=

X1%2

3,则尸的值为（）

22

-B-

A.33

C.-6D.6

新考法

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5」数学文化］我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有

圆田一段，中间有个方池.丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边

三步无疑.内方圆径若能知，堪作算中第一.”其大意为：有一块圆形的田，中间有

一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边

到圆周，每边相距3步远.如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水

平就是第一了.如图，设正方形的边长是工步，则列出的方程是.

6.［综合与实践］

【主题】探究日历中的奥秘.

【素材】2024年10月1日是我国成立75周年纪念日，本月日历如图所示.

步骤一：在本月的日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）；

步骤二：设这四个数从小到大依次为a,b,c,C.

【观察】小方框中的4个数a,b,c,d,总存在着某种数量关系.

【猜想与应用】（1）请用含。的式子表示。，c,d-,

⑵若圈出的4个数中，最小数与最大数的乘积为128,求这个最大数.

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考点精讲

__-Z?±b2-4ac一

①2②W③%=-$-----@<⑤》

2a

⑥。(1+mF⑦。(1-m)2

练考点

1.厚3

2.角星：/="—4ac=(一3>一4x1x2=1,

•%=5或%=3

••A2与XjA2，

.,.x=2或％=1；

一题多解法

(x—1)(%—2)=0,

%—1=0或%—2=0,

解得％=1或x=2.

3.D【解析】，.Z=1,b=~l,c=4,•,./="—4"=(—1>—4xlx4=—15<0,

方程没有实数根.

4.3【解析】'.'a=l,c=3,且%r%2=£,由题可知，xi=l,.,,X2=3,即另一

a

个根为3.

5.20%

6.⑴亲(2)(2900—%—2500)(8+||)=5000

高频考点

例1解：（1）等式两边同除以5,得（%—3>=9,

开平方，得％一3=±3,

解得％1=6,迫=0;

(2)等式两边同加上4,得％2+4%+4=16,

即(％+2)2=16,

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/.x+2=±4,

•=X2=-6；

(3)原方程可变形为(%—3)(%—1)=0,

••.%—3=0或%—1=0,

•=%2=1；

(4)Va=l,b=3,c=l,

.".J=b2—4ac=32—4xlxl=5,

.-b±lb^-4ac_3±V5

••%=-------=-----,

2a2

•_—3+V5_—3—V5

••X]，X2・

22

变式1B【解析】,.,3%2+6%—1=0,...3X2+6%=1,x2+2x=|,则％?+2%+1

=-+1,即(X+1)2=±,...0=1,/?=-,.,.a+b=~.

例2⑴左2且厚2【解析】由题意得，42—4x(^—2)x(—1)>0,且左一2声0,

解得左N—2且左彳2.

(2)左=—2【解析】由题意得，42—4x(左一2)x(—1)=0,且左一2四，解得上=—

2.

(3)左>—2且^【解析】由题意得，42—4x(左一2)x(—1)>0,且左一2和，解得

左〉一2且左#2.

(4)左<—2【解析】由题意得，42—4x(左一2)x(-1)<0,且左一2加，解得左<—

2.

变式2A【解析】.方程(%—1)2=机+2无实数根，...7九+2<0,...机<—2.

变式3A【解析】,关于％的方程X2—(2左一2)%+左2—1=0有两个实数根，

=［一(2左一2)F—4xlx(R—1巨0,整理得一8左+8N0,：.k<l,：.k~l<0,2~k>0,

—(2—k)2=—(k—l)—(2—k)=­l.

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例3(1)3【解析】・・・x2—6x+2=0,.•・沏+%2=—2=6,x\xi=-=2,/.—+—=

CLdX-y%2

比2+%—2

Xi%2'

⑵32【解析】由(1)得％I+%2=6,%I%2=2,.,.淄+/=(%1+%2)2—2即%2=36—4

=32.

⑶12【解析】由(1)得％l+%2=6,XlX2=2,X1X2+x\xl=X2X1(X1+%2)=2x6=

12.

变式4%2—4=0(答案不唯一)【解析】设所求方程式％2+"+c=o,♦.•方程的

两根互为相反数，•••一？=一匕=%1+%2=0,£=c=%r%2<0,•,•所求方程为X?+c

aa

=0(c<0),.•.满足条件的方程可以为炉一4=0(答案不唯一).

例4解：(1)设这种矩形原料成本的年平均下降率为％,

由题意得50(1—%)2=32,

解得％i=1.8(舍去),%2=0.2=20%.

答：这种矩形原料成本的年平均下降率为20%；

(2)设剪去的小正方形的边长是％cm,则长方体容器底面的长为(20—2%)cm,宽

为(16—2%)cm,

由题意得(20—2%)(16—2%)=140,

解得％i=3,X2=15,

•.•当％=15时，16—2%<0,，％=15不符合题意，舍去，

答：剪去的小正方形的边长为3cm；

⑶设该公司将销售单价定为％元，

由题意得(%—50)[200+20(100―创=16000,

整理，得工之一160%+6300=0,

解