2025年中考数学一轮复习难点专练：相似三角形的常考题型（9大热考题型）原卷版

难点10相似三角形的常考题型

（9大热考题型）

麴型盘点G

题型一：比例的性质

题型二：黄金分割

题型三：相似多边形的性质

题型四：平行线分线段成比例定理

题型五：相似三角形的判定

题型六：相似三角形的性质

题型七：相似三角形的性质与判定的综合

题型八：相似三角形的实际应用

题型九：图形位似

.睛淮提分

题型一：比例的性质

【中考母题学方法】

【典例1】（2024・四川成都・中考真题）盒中有x枚黑棋和>枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别.从盒中随

oY

机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是J,则一的值为______.

8y

【变式1-1］（2023•甘肃武威・中考真题）若!=：,则必=（）

2b

32

A.6B.—C.1D.一

23

【变式1-2］（2023・浙江・中考真题）小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是

一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程.图中横线处应填：_

当%=尸时当@=▲时

ay6—a_babI-

=b=c^

xcb~c----------------

比例线段出现比例中项线段出现特殊线段比

YY—V

【变式1-3］（2023•四川甘孜・中考真题）若二=2,则一-=.

yy

【中考模拟即学即练】

n+hh+cn+c

1.（2024.安徽蚌埠•模拟预测）已知。历/0,M—=—==那么上的值是（）

cab

A.2B.-1C.2或0D.2或-1

2.（2024•浙江宁波•二模）已知3a=2b（ab^0）,则下列比例式正确的是（）

Aa2abb2a2

A.—=-B.—=—C.—=—D.—=—

3b32a3b3

nhc

3.（2024・广东深圳•一模）已知一=—二一。0,且2c=6,那么6=.

654

4.（2025•上海闵行•一模）如果£=3,那么二I的值为____.

b2a-b

abc3x+2y—z

5.（2024•江西九江•模拟预测）已知一=一二一,则^—若一（其中3%-2y+zw0）的值是__________

xyz3x-2y+z

题型二：黄金分割

【中考母题学方法】

【典例1】（2023・四川达州・中考真题）如图，乐器的一根弦AB=80cm,两个端点A,B固定在乐器面板上,

支撑点C是靠近点2的黄金分割点，即AC2=A9BC,支撑点。是靠近点A的黄金分割点，则两个支撑

点C,。之间的距离cm.（结果保留根号）

【变式2-1］（2024・山西・中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格书写的汉

字“晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A,B分别在习字格的边尸。上，且“晋”

字的笔画“、”的位置在A3的黄金分割点C处，且生=尘二1,若NP=2cm,则2C的长为cm（结

AB2

果保留根号）.

【变式2-2］（2022・陕西・中考真题）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种

“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果.如图，利用黄金分割法，所做所将矩形窗框ABCD分为

上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即BE2=AB.已知A3为2米,则线段BE的长为米.

【中考模拟即学即练】

1.（2024・广东•模拟预测）大自然是美的设计师，校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美.如图,

V5-1叵口这个无理数约是（）

2

C.0.707D.0.828

2.（2024.安徽合肥.三模）古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于

中国各地.若古筝上有一根弦AB=90cm,支撑点C是靠近点A的一个黄金分割点，则BC=（）

A.（4575+45）cmB.（9075-45）cm

c.（454-45）cmD.（135-456）cm

3.（2024・湖南长沙•模拟预测）黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与

较大部分的比值，其比值为避二L这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割.如图，

2

乐器上的一根弦长AB=80cm,两个端点A,8固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点8的黄金分割点，支

撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C,。之间的距离为cm.（结果保留根号）

4.（2024•江苏苏州•一模）如图，将。。的圆周分成五等份，依次隔一个分点相连，即成一个正五角星形.此

时点M是线段仞，砥的黄金分割点，也是线段NE,AH的黄金分割点，则MN?鲁=.

A

5.（2024.福建厦门•模拟预测）活动一：某数学兴趣小组在研究“黄金比例与黄金矩形”，阅读课本时发现可

以通过折叠得到黄金矩形.请根据每一步的操作完成以下填空.（假设原矩形纸片的宽为2cm）

如图，已知线段。，请你根据以下步骤作出以2a为腰长的黄金三角形AAB'C.（要求：尺规作图，保留作

图痕迹，不写作法）

a

步骤一：作一条线段GH,使得GH的长度等于AAB'C的腰长;

步骤二：作一条线段P。，使得P。的长度等于AA?C'的底边长；

步骤三：作黄金三角形AA'3'C'.

6.（2024.江苏盐城.二模）【教材呈现】苏科版数学九年级下册课本P52第2题

如图1,点P是线段的黄金分割点，且M表示以以为一边的正方形的面积，邑表示以为

长、尸3为宽的矩形的面积，请根据教材内容，尝试解决以下两个问题：

（1）若AB=1O,则上4=_（结果保留根号）；

（2）HS2（填“〈”或“=”）.

【初步探究】

（3）将图1补成矩形。EG/,如图2,小明猜想点尸在矩形DEG/的对角线£>G上，请帮助小明判断其猜

想是否正确，并说明理由.

【深入探究】

（4）如图3,已知线段A8为。。的弦，请利用无刻度直尺和圆规，在线段A3上作一点尸，在圆上作一点

.使得胃=[=空.（不写作法’保留作图痕迹）

DHE

P

~PA

S2

FIG

图1图2

DHE

\

\

\

\P

\

\

\

\

\

\

\

\

\

\

X

\

\

\

FIG

题型三：相似多边形的性质

【中考母题学方法】

【典例1】（2022•广西梧州•中考真题）如图，以点。为位似中心，作四边形ABCD的位似图形ARC'D,已

知等=5,若四边形的面积是2,则四边形ABC。的面积是（）

Cz/iJ

A.4B.6C.16D.18

【变式3-1］（2023・山东・中考真题）如图，四边形是一张矩形纸片.将其按如图所示的方式折叠：使

D4边落在DC边上，点A落在点H处，折痕为OE；使CB边落在CO边上，点8落在点G处，折痕为CF.若

矩形HEFG与原矩形ABCD相似，AD=1,则CD的长为（)

C.72+1D.75+1

【中考模拟即学即练】

1.（2024•云南昆明•模拟预测）如图口ABCD与YAEFG关于点A成位似图形，若他们的位似比为2:3,则

645CD与YAE尸G的面积比为（）

C.2:3D.1:3

2.（2023•浙江宁波•模拟预测）如图，装裱一幅宽45cm、长60cm的矩形画，要使装裱完成后的大矩形与原

矩形画相似，装裱上去的上下部分宽都为12cm,若装裱上去的左右部分的宽都为无cm（尤＜20）,则了=（）

—45f

A.9B.12C.16D.18

3.（2024・重庆渝北•模拟预测）我国习惯上对开本的命名是以几何级数来命名的，全张纸对折后的大小为对

开，再对折为4开纸，再对折为8开纸，再对折为16开纸，以此类推，如图，全张矩形纸A3CD沿口对

Afi

开后，再把矩形纸片皿沿G”对开，依此类推.若各种开本的矩形都相似，那么而等于（）

4.（2024•浙江宁波•一模）如图，点。为四边形内的一点，连结。4,08,OC,。。，若

Q/Vcn'i

*='=号=为则四边形AB'C'D的面积与四边形ABCD的面积比为（）

OAOBOCOD4

A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16

5.（2024•浙江宁波•模拟预测）如图，已知QABCD中，点E,F,G,H分别为AB,CD,AD,BC±

的点，且EF〃台C,GH//AB,GH分别与斯，8尸相交于点M,N,若口AEMS口EBCF,则△BHN

的面积一定可以表示为（）

A.-(^aEBCF~aAEFD)B.~(ebhn-SaGMFD)

C.3(S0AB的—S0GHeD)D.—(SaEBHN—SaAEMG)

6.(2023・海南海口•模拟预测)有一张矩形纸片ABCD(A5<3C),M、N分别是AD,BC的中点，现沿线

段MN将矩形纸片一分为二，如果所得的两张矩形纸片与原来的矩形纸片相似，那么AB:3c的值为.

题型四：平行线分线段成比例定理

【中考母题学方法】

【典例1】（2024•山东济南・中考真题）如图，在正方形ABCD中，分别以点A和3为圆心，以大于的

2

长为半径作弧，两弧相交于点E和尸，作直线所，再以点A为圆心，以仞的长为半径作弧交直线即于

点G（点G在正方形A3CD内部），连接。G并延长交BC于点K.若3K=2,则正方形ABCD的边长为（）

Q3+A/5

D.V3+1

,2

【变式4-1］（2024.山东.中考真题）如图，点E为口ABCD的对角线AC上一点，AC=5,CE=1,连接DE

并延长至点尸，使得EF=£）E,连接即，则所为（）

D.4

2

【变式4-2］（2024.吉林长春.中考真题）如图，在VABC中，。是边的中点.按下列要求作图:

①以点8为圆心、适当长为半径画弧，交线段80于点。，交BC于点E；

②以点。为圆心、8。长为半径画弧，交线段于点F;

③以点P为圆心、DE长为半径画弧，交前一条弧于点G,点G与点C在直线43同侧;

④作直线OG,交AC于点下列结论不一定成立的是（）

B.ZOMC+ZC=180°

C.AM=CMD.OM=-AB

2

【变式4-3］（2024・重庆・中考真题）如图，在VABC中，延长AC至点。，使C£»=C4,过点。作OE〃CB,

且=连接AE交2C于点尸.Z.CAB=Z.CFA,CF=1,则

D

E

力之^--------------->R

【变式4-4］（2023・湖南益阳・中考真题）如图，在口ABC。中，AB=6f4）=4,以A为圆心，AO的长为

半径画弧交A3于点E,连接DE,分别以DE为圆心，以大于1。石的长为半径画弧，两弧交于点尸，作

射线AF,交。E于点M,过点M作交2C于点N.则MN的长为.

【中考模拟即学即练】

1.（2024•浙江宁波•二模）如图，已知直线a//b//c,直线m分别交直线a,b,c于点AB,C,直线”

Af!Q

分别交直线a,b,c于点、D,E,F,若—DF=22，则所=（）

BCo

2.（2024・陕西咸阳・模拟预测）如图，在7ABC中，。为边上一点，且AD平分/BAC,若=5,AC=4,

则△ABO与AACD的面积比为（）

3.（2024.湖南.二模）如图，在VABC中，D,E分别为边AB,AC上的点，且OE〃3C,若

AD=2,BD=6,AE=\,则AC的长为

4.（2024•湖南长沙•模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,8。相交于点。，且3C=OC.点

E为03的中点，过点E作。C的平行线，交BC于点、F.在所的延长线上取一点G,使得尸G=砂.连接

EC,BG,CG.

（1）求证：四边形ECG3是矩形；

⑵若BD=12,EG=5,求A3的长.

5.（2024・湖北武汉.模拟预测）如图，已知正方形ABCD,点尸是边上的一个动点（不与点B、C重合）,

点E在DP上，满足AE=AB,延长BE交CD于点P.

⑴求证：/BED=135。；

（2）连接CE,当CEL■时，求”的值.

题型五：相似三角形的判定

【中考母题学方法】

【典例1X2024・广东广州•中考真题）如图，点E,尸分别在正方形A3CD的边2C,CO上，BE=3,EC=6,

CF=2.求证：八ABESAECF.

【变式5-1］（2023•黑龙江大庆•中考真题）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展

数学活动.有一张矩形纸片如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN,点A对应的点

记为点若点M恰好落在边。C上，则图中与一定相似的三角形是.

【变式5-2］（2022•江苏盐城・中考真题）如图，在VABC与AA'3'C'中，点。、力分别在边2C、9C'上,

DF）ID>T\>ADArDr

且△ACDS^A，CT），，若,则八42g"z，。，.请从①等=**；②言=篝；③

JLXjL-XV'JL-*

这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明.

BDCB'D'

【变式5-3］（2022•山东荷泽・中考真题）如图，在必AABC中，/ABC=90。，E是边AC上一点，且BE=3C,

过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点。，求证：△ADES^MC.

【中考模拟即学即练】

1.（2024•黑龙江绥化•模拟预测）如图，点P在VABC的边AC上，要判断A/WPSAACB,添加一个条件,

下列不正确的是（）

B

ApAB「APAB

A.ZABP=ZCB.ZAPB=ZABCC.——=——D.----=-----

ABACBPCB

2.（2024・贵州贵阳•模拟预测）如图,AD与相交于点O,要使VAO3与△OOC相似，可添加的一个条

件是（）

A.ZA=ZDB.ZA=ZBC.ZC=ZDD.ZAOB=NDOC

3.（2023•广东佛山•模拟预测）如图,△ABC中，。、E分别是48、AC的点，要使AADES/CB,需添加

一个条件是.（只要写一个条件）

由2A是公共角，根据相似三角形的判定方法，即可得要使AADES»ICB,可添加：ZADE=ZACB^

4DAF

ZA£D=ZABC或吗=空等.

ACAB

此题考查了相似三角形的判定.此题属于开放题，答案不唯一.注意掌握两组对应边的比相等且夹角对应

相等的两个三角形相似与有两组角对应相等的两个三角形相似是解此题的关键.

解：•「NA是公共角,

AnAP

•••要使△AD£S&4CB,可添加：NAD£；=NACB或NA£Z)=NABC或一=——等.

ACAB

AF）Ap

故答案为：如NAD£=NACB或NAED=NABC或——=—等（此题答案不唯一）.

ACAB

4.（2024•湖北武汉•模拟预测）如图，将VABC绕点8逆时针旋转得到△加•,连接AM,CN.求证：AABM

sKBN.

c

5.（2024•陕西咸阳•模拟预测）如图，已知VABC,ZB>ZC,请用尺规作图法在AC边上作一点P,使得

△A5PsAACB.（保留作图痕迹，不写作法）

A

6.（2024・北京•模拟预测）如图，四边形为正方形，DELEF,FG±AB.

DC

AEBG

（1）证明：ADAE^AEGF

（2）不添加辅助线，添加一个角的条件，证明△ZME四△EGF

题型六：相似三角形的性质

【中考母题学方法】

【典例1】（2024.重庆•中考真题）若两个相似三角形的相似比是1:3,则这两个相似三角形的面积比是（）

A.1:3B.1:4C.1:6D.1:9

【典例2】（2024•四川内江・中考真题）已知VABC与△ABC相似，且相似比为1:3,则VABC与△A与G的

周长比为（）

A.1:1B.1:3C.1:6D.1:9

【变式6-1］（2024•四川巴中•中考真题）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案.若。4=1,则。G=

KL

【变式6-2］（2023・山东聊城・中考真题）如图，该几何体是由一个大圆锥截去上部的小圆锥后剩下的部分.若

该几何体上、下两个圆的半径分别为1和2,原大圆锥高的剩余部分。为四，则其侧面展开图的面积为

（）

A.岳B.2&C.3岳D.4辰

【变式6-3］（2023•重庆・中考真题）如图，已知AABCSAEDC,AC:£C=2:3,若A3的长度为6,则DE的

【中考模拟即学即练】

1.（2023广东阳江•一模）已知AABCSADEF,若VA3C与AZ无尸的相似比为2:5,则VABC与ADE尸的

面积之比为（）

A.2:5B.5:2C.25:4D.4:25

2.（2023•浙江宁波•三模）如图。4:00=7:5,ZA=«,ZB=/3,^OAB^^ODC,△OAB与AOCD的面

积分别是距和邑，与AOCD的周长分别是G和G，则一定成立的等式是（）

A

3.（2024・上海杨浦•一模）如图，在VABC中，点G是重心，过点G作GD〃3C,交边AC于点。，联结BG,

如果ABC=36,那么S四边形BGDC=

4.（2024•江西.模拟预测）将一把直尺与VABC按如图所示的方式摆放，与直尺的一边重合，AC,BC

分别与直尺的另一边交于点D,E.若点A,B,D,E分别与直尺上的刻度4.5,8.5,5,7对应，直尺

的宽为1cm,则点C到边43的距离为cm.

C

D

'567\89

hidiiMuihi川川山川1川山川,冰山"卜”1

AB

5.（2024•浙江宁波•模拟预测）如图，在VABC中，己知AC=4,BC=3,。是A2上一点，连接CO.若

AD=2DB,ABC4ABAC,则CD的长为.

：

6.（2024•云南•模拟预测）如图AAOESAACB,BC=5,^^ADES四边形5CEO-9：16,则DE为

A

7.（2024.浙江绍兴.模拟预测）如图，在6x6的正方形网格中，点A,B,C均在格点上，请按要求作图.

⑴在图1中画一个格点VADE,使△ADEs^ABC.

⑵在图2中找一点E使ZAFC=2ZABC.

题型七：相似三角形的性质与判定的综合

【中考母题学方法】

【典例1】（2024•山东德州•中考真题）在VABC中，AC^BC,NACB=120°,点。是A3上一个动点（点

。不与A,8重合），以点。为中心，将线段。C顺时针旋转120。得到线

图1图2图3

（D如图1,当NACD=15。时，求N3DE的度数；

（2）如图2,连接BE,当0。<448<90。时，NABE的大小是否发生变化？如果不变求，NABE的度数；

如果变化，请说明理由；

（3）如图3,点加在8上，且。0:闻。=3:2,以点C为中心，将线CM逆时针转120。得到线段CN,连接

EN,若AC=4,求线段EN的取值范围.

【变式7-1］（2023•浙江绍兴・中考真题）如图，正方形ABCD中，AB=3,点E在边4）上，DE=2AE,F是

8E的中点，点打在CD边上，NEFH=45。，则TH的长为（）.

.3MD375„5A/5八2M

4243

【变式7-2］（2023・四川绵阳•中考真题）如图，在VABC中，ZACB=90°,AC=8,将VABC绕点C按逆

时针方向旋转得到△A'C，满足人声||AC,过点2作BELAC，垂足为£，连接AE,若以,上=3S^CE，

【变式7-3］（2024•山西•中考真题）如图，在DABCD中，AC为对角线，AE，8c于点E,点尸是AE延长

线上一点，且NACF=/C4F,线段的延长线交于点G.若AB=5AD=4,tanZABC=2,则8G的长

为.

【变式7-4］（2024.山东日照.中考真题）如图，以口ABCD的顶点B为圆心，长为半径画弧，交8C于点

E,再分别以点A,E为圆心，大于:AE的长为半径画弧，两弧交于点尸，画射线所，交AD于点G,

交CD的延长线于点a.

H

（1）由以上作图可知，4与N2的数量关系是

（2）求证：CB=CH

（3）若AB=4,AG=2GD,ZABC=60°,求VM的面积.

【变式7-5］（2023•浙江绍兴・中考真题）如图，在矩形ABCD中，A3=4,BC=8,点E是边AD上的动点,

连结CE,以CE为边作矩形CEFG（点。，G在CE的同侧），且CE=2屈F,连结郎.

（1）如图1,当点E为AD边的中点时，点8,E,尸在同一直线上，求跖的长.

（2）如图2,若N3CE=30。，设CE与所交于点K.求证：BK=FK.

（3）在点E的运动过程中，郎的长是否存在最大（小）值？若存在，求出8尸的最值；若不存在，请说明理

由.

【中考模拟即学即练】

1.（2024・安徽合肥.模拟预测）如图，在QABCD中，AC,3。相交于点。，将口ABCD绕点C旋转至口EOCF

的位置，点2的对应点恰好落在点。处，2,。,D,E四点共线.（1）己知NCQ5=a,贝叱氏刀=（用

含a的代数式表示）；（2）若30=2,则2c的长为.

2.（2025•上海普陀•一模）己知：如图，梯形ABCD中，AD//BC,3D为对角线，BD2=ADBC.

AD

(1)求证：ZABD=ZC；

(2)E为BC的中点，作NDEF=NC,砂交边AD于点孔求证：2AB-DE=BD-EF.

3.(2024•浙江宁波•二模)已知在等腰7ABe中，AB=AC,E是2C的三等分点且靠近点B,F是AC

的中点，过点C作CE>〃交所延长线于点。.

(1)求EF:DF的值；

(2)连接AE,若ZDEA=ZB,BE=2,求AE的值.

4.(2025・湖南娄底•一模)如图1,在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,点E是线段AD上的动点(点E不

与点A。重合)，连接CE,过点E作EFLCE,交A3于点F.

备用图

(2)如图2,连接CF,过点5作3GLCF,垂足为G,连接AG,点M是线段BC的中点，连接GM.

①求AG+GN的最小值；

②当AG+GN取最小值时，求线段AF的长.

5.(2025・安徽・模拟预测)如图①，在四边形ABCD中，ZABC=ZDCB,E为BC上一点,S.DE//AB,过

点8作时〃AD交DE的延长线于点F,连接CE,CF=BF.

图①图②

(1)求证：△ADE部△FCD；

(2)如图②，连接交AE于点G.

①若AG=DC,求证：BC平分NDBF；

②若O3〃C尸，求工的值.

BD

6.(2025・广东•模拟预测)如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等

腰直角三角形ABC中，CA=CB,ZC=90°,过点5作射线或)2AB,垂足为5,点尸在CB上.

如图②，若点尸在线段CB上,画出射线上4,并将射线上4绕点尸逆时针旋转90。与3。交于点E,根据题

意在图中画出图形，图中NPBE的度数为度;

⑵【问题探究】

根据(1)所画图形，探究线段以与PE的数量关系，并说明理由;

(3)【拓展延伸】

如图③，若在直角VA3C中，ZA=30°,NABC=60。，点尸在线段CB上，将射线PA绕点尸逆时针旋转90。

与BD交于点、E,探究线段54,BP,BE之间的数量关系，并说明理由.

7.(2025•甘肃・模拟预测)【模型建立】

(1)如图1,在正方形ABCD中，点E,尸分别在边。C,2C上，＞AE±DF,求证：DE=CF

【模型应用】

(2)如图2,在矩形ABC£＞中，AB=3,5c=5,点E在边A£＞上，点M,N分别在边AB,CD上，且

BE

求市的值;

【模型迁移】

AB_2

（3）如图3,在四边形A3CD中，ZS4D=90°,AB=BC,AB=BC,点E,尸分别在边AB,

AD-3

图3

8.（2024・广东深圳•模拟预测）在四边形A3CD中,产为对角线BD延长线上的一点，过点尸作?EII8交

射线力。于点E,连接CE.过点尸作「F||CE交射线DC于点F.

（1）如图1,若四边形为正方形，求证：ABCF^ACDE

（2）若四边形ABCD为菱形，且加C=a（CP<a<90。），连接8P并延长，交直线CE于点G.

①如图2,当G为CE中点，求若的值；

②如图3,若尸点为射线8D上一点，当ACFG为等腰三角形时，请直接写出NE尸产的度数（用含。的代数

式表示）.

题型八：相似三角形的实际应用

【中考母题学方法】

【典例1】（2024・四川自贡.中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测

量方法.

图1（利用影子）图2（利用镜子）图3（利用标杆）

（1）如图1,小张在测量时发现，自己在操场上的影长班恰好等于自己的身高OE.此时，小组同学测得旗

杆AB的影长2C为11.3m,据此可得旗杆高度为m；

（2）如图2,小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C,并通过镜面观测到旗杆顶部A.小组同学测得小

李的眼睛距地面高度DE=1.5m,小李到镜面距离EC=2m,镜面到旗杆的距离CB=16m.求旗杆高度；

（3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大.在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显

提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度.方法如下：

图4（找水平线）图5（定标高线）图6（测雕塑高）

如图4,在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M,N两点始终处于同一水平

线上.

如图5,在支架上端尸处，用细线系小重物。，标高线P。始终垂直于水平地面.

如图6,在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部8处于同一水平线的£>,G两点，并标

记观测视线ZM与标高线交点C,测得标高CG=1.8m,ZX7=1.5m.将观测点。后移24nl到露处，采用同

样方法，测得C'G'=1.2m,DG=2m.求雕塑高度（结果精确到1m）.

【变式8-1］（2024.江苏镇江・中考真题）如图，小杰从灯杆的底部点B处沿水平直线前进到达点C处,

他在灯光下的影长CD=3米,然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（）

A

DCB

A.4.5米B.4米C.3.5米D.2.5米

【变式8-21］（2024•江苏扬州•中考真题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性

实现图像投影的方法.如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）A3经小孔。在屏幕（竖直放置）上成像A9.设

AB=36cm,AB'=24cm.小孔。到A8的距离为30cm,则小孔。到AE的距离为cm.

|<—30cm―>|«-?cm-*|

【变式8-3］（2024・湖北・中考真题）小明为了测量树A3的高度，经过实地测量，得到两个解决方案：

方案一：如图（1）,测得C地与树相距10米，眼睛。处观测树A3的顶端A的仰角为32。：

方案二：如图（2）,测得C地与树A3相距10米，在C处放一面镜子，后退2米到达点E,眼睛。在镜子C

中恰好看到树AB的顶端A.

已知小明身高1.6米，试选择一个方案求出树A3的高度.（结果保留整数，tan32Oy0.64）

【变式8-4］（2023•江苏南京•中考真题）如图，玻璃桌面与地面平行、桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光

源。与铅笔AB所确定的平面垂直于桌面.在灯光照射下，A3在地面上形成的影子为CD（不计折射），

AB//CD.

（1）在桌面上沿着方向平移铅笔，试说明C。的长度不变.

（2）桌面上一点尸恰在点。的正下方，且。尸=36cm,上4=18cm,AB=18cm,桌面的高度为60cm.在点

。与AB所确定的平面内，将AB绕点A旋转，使得C。的长度最大.

①画出此时A3所在位置的示意图；

②C。的长度的最大值为一cm.

【变式8-51］（2023•四川攀枝花•中考真题）拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰

县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品.某

数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度.东塔的

高度为AB,选取与塔底8在同一水平地面上的E、G两点，分别垂直地面竖立两根高为1.5m的标杆EF和

GH,两标杆间隔EG为46m,并且东塔AB、标杆和GH在同一竖直平面内.从标杆E77后退2m到。处

（即ED=2m）,从D处观察A点，A、F、D在一直线上；从标杆G7/后退4m到C处（即CG=4m）,从

C处观察A点，A、H、C三点也在一直线上，且8、E、D、G、C在同一直线上，请你根据以上测量数

据，帮助兴趣小组求出东塔的高度.

A,

、、、、、

BEDGC

【中考模拟即学即练】

1.（2024•浙江宁波•模拟预测）如图，已知箱子沿着斜面向上运动，箱高AB=1.2m.当3C=2.5m时，点8

到地面的距离3E=L5m,则点A到地面的距离4）为（）

C.2.46mD.2.22m

2.（2024.浙江温州•三模）图1是《九章算术》中记载的“测井深''示意图，译文指出：“如图2,今有井直径

CD为5尺,不知其深AD.立5尺长的木CE于井上，从木的末梢E点观察井水水岸A处，测得“入径CF”

为4寸，问井深是多少？（其中1尺=10寸）”根据译文信息，则井深入。为（）

立木

入径

井深

井水水面

图2

A.500寸B.525寸C.550寸D.575寸

3.（2025•广东深圳•一模）2022年2月20日北京冬奥会花样滑冰表演赛，中国男单一哥金博洋登场，他使

用的地面光影直到结束后都让人意犹未尽.如图，设聚光灯。的底部为4金博洋的身高（3D）为1.7m,

金博洋与点A的距离43为10.2m,他在聚光灯下的影子8C为3.4m,则聚光灯距离地面的高度。4为

m.

4.（2024•吉林松原•三模）如图①是液体沙漏的平面示意图（数据如图），经过一段时间后的液体如图②所

5.（2024•广东•模拟预测）学习相似三角形后，小红利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度.如图，

已知小红的身高是1.5米，他在路灯下的影长为2米，小红距路灯灯杆的底部4米，则路灯灯泡距地面的高

度是米.

6.（2024.山西晋中•模拟预测）普救寺位于山西省运城市永济市蒲州古城内，是我国历史名剧《西厢记》故

事的发生地，寺庙规模宏伟，内部有很多著名建筑.其中，最著名的便是莺莺塔（如图1）.数学兴趣小组根

据光的反射定律（如图2）,把一面镜子放在离古塔（CD）72m的点尸处，然后观测者沿着直线CP后退到

点B处.这时恰好在镜子里看到塔顶端。，量得3尸=3m,已知观测者目高AB=1.5m,那么该古塔（CO）

7.（2024・广东东莞•一模）如图1是一张折叠型方桌子，图2是其侧面结构示意图，支架4D与CB交于点0,

测得AO=3O=50cm,CO=DO=30cm.

（2）将桌子放平后,两条桌腿叉开角度24如=106°,求4B距离地面的高.（结果保留整数）（参考数值

sin37°~0.60,cos37°®0.80)

8.（2024•江苏苏州•二模）【数学眼光】