2025年中考数学一轮复习难点专练：几何综合模型（5大热考模型）原卷版

难点17几何综合模型（5大热考模型）

题型一：两圆一中垂构造等腰三角形模型

题型二：两垂一圆构造直角三角形模型

题型三：胡不归模型

题型四：阿氏圆模型

题型五：瓜豆原理模型

,精淮握分

题型一：两圆一中垂构造等腰三角形模型

指I点I迷I津

分类讨论：

，若AB=AC,则点C在以点A为圆心，线段AB的长为半径的圆上；

;若BA=BC,则点C在以点B为圆心，线段AB的长为半径的圆上；

:若CA=CB,则点C在线段AB的垂直平分线PQ上以上简称“两圆一中垂”

:“两圆一中垂”上的点能构成等腰三角形，但是要除去原有的点A,B,还要除去因共线无法构成三角形的点MN

I

以及线段AB中点E（共除去5个点）需要注意细节

【中考母题学方法】

【典例1-1】（2022•建湖县一模）如图，每个小方格的边长为1,A,B两点都在小方格的顶点上，点C也是

图中小方格的顶点，并且AABC是等腰三角形，那么点C的个数为（）

A

A.1B.2C.3D.4

【典例1-2】(2020•武汉模拟)平面直角坐标系中，A(3,3)、8(0,5).若在坐标轴上取点C,使△ABC

为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是()

小V

A

・

A.3B.4C.5D.7

【典例1-3】(2022•开州区模拟)如图，在等腰RtZXABC中，AB=BC,。是BC的中点，E为AC边上任意一

点，连接。E,将线段DE绕点。逆时针旋转90°得到线段。F,连接EF,交AB于点G.

(1)如图1,若48=6,AE=H，求ED的长；

(2)如图2,点G恰好是EF的中点，连接BF,求证：CD=42BF；

(3)如图3,若AB=4'R,连接CF,当CF+Y1_BF取得最小值时.请直接写出SMEF的值.

5

【中考模拟即学即练】

【变式1-1］如图，在RtZkABC中,ZACB=90°,4B=2BC,在直线8c或AC上取一点P,使得△fWB为等

腰三角形，则符合条件的点P共有()

【变式1-2】已知直线)/=-遥x+3与坐标轴分别交于点A,B,点P在抛物线y=-(x-)2+4±,能

使aABP为等腰三角形的点P的个数有()

A.8个B.4个C.5个D.6个

【变式1-3］如图，已知点A(1,2)是反比例函数y=K图象上的一点，连接A。并延长交双曲线的另一分

X

支于点B,点P是x轴上一动点；若△以8是等腰三角形，则点P的坐标是.

题型二：两垂一圆构造直角三角形模型

指I点I迷I津

平面内有两点A,B,再找一点C,使得ABC为直角三角形

「若NA=90°,则点C在过点A且垂直于AB的直线上（除点A外）;

若/B=90°,则点C在过点B且垂直于AB的直线上（除点B夕卜）；

若NC=90°,则点C在以AB为直径的圆上（除点A,B外）.

以上简称“两垂一圆”.

“两垂一圆”上的点能构成直角三角形，但要除去A,B两点.

【中考母题学方法】

【典例2-1】（2023•湖南怀化•中考真题）如图，4B是C。的直径，点尸是；。外一点，上4与。相切于点A,

点C为，。上的一点.连接尸C、AC.OC,S.PC=PA.

⑴求证：PC为的切线；

（2）延长尸C与4B的延长线交于点。，求证：PDOC=PAOD；

（3）若NC4B=30。，OD=8,求阴影部分的面积.

【典例2-2】（2023•福建泉州•二模）如图，A8是半圆。的直径，与半圆。相切于点。，连接AD

并延长，交的延长线于点C.

B

（1）求证：PB=PC；

（2）若。的半径为5,AD=8,求取的长.

【中考模拟即学即练】

【变式2-1］在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-1,2）,点B的坐标为（2,6）,点C在坐标轴上，若

△ABC为直角三角形，则满足条件的点C共有（）

A.2个B.4个C.6个D.8个

【变式2-2］（2022•浙江宁波•二模）如图1,四边形ABCD是，。的内接四边形，其中=对角线

AC、血）相交于点E,在AC上取一点尸，使得=过点/作GaJ_AC交（。于点G、H.

⑴证明：AAEDsAADC；

（2）如图2,若AE=1,且GH恰好经过圆心。，求BCCD的值；

（3）若AE=1,EF=2,设BE的长为x.

①如图3,用含有x的代数式表示△3CD的周长；

②如图4,2C恰好经过圆心。，求△3CD内切圆半径与外接圆半径的比值.

【变式2-3］（2021•浙江杭州•一模）如图，点E是正方形ABC。边BC上一点（点E不与8、C重合），连接

BE

AE交对角线3。于点死她。尸的外接圆。交边CQ于点G,连接GA、GE,设==a.

CE

（1）求回E4G的度数.

（2）当a=^■时，求tanIMEG.

（3）用a的代数式表示丝，并说明理由.

D

【变式2-4］（2023•黑龙江哈尔滨•二模）如图LVABC内接于。中，A3为直径，点。在弧BC上，连接

AD,CD.

cCC

D

图1图2图3

⑴求证：ZC4B+ZD=90°；

⑵如图2,连接OC交AD于点尸，若/ZMS+2NC4D=90。，求证：AC=CD；

⑶在（2）的条件下，如图3,点E在线段CP上，连接AE,BE交AD于点H,若ZEHA=2NEAH,AE=6,

OF=也,求线段BE的长.

题型三：胡不归模型

指I点I迷I津

一动点尸在直线"N外的运动速度为%,在直线"N上运动的速度为“，且匕＜4,4、B为定点,

点C在直线上，确定点C的位置使生+生的值最小.（注意与阿氏圆模型的区分）。

2）构造射线AD使得sin/ZMN=Z,—=k,C"=fc4C,将问题转化为求BC+CH最小值.

AC

3）过3点作交MN于点C,交AD于H点,此时8C+CW取到最小值，即BC+fc4c最小.

【解题关键】在求形如“如+红吩'的式子的最值问题中，关键是构造与小2相等的线段，将“RL+d中型问题

转化为“以+PC理.（若Q1,则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。

【最值原理】垂线段最短。

【中考母题学方法】

【典例3-1】（2022•内蒙古鄂尔多斯•中考真题）如图，在EL48c中，AB=AC=4,13cA2=30。，ADISBC,垂

足为D,P为线段上的一动点，连接P&PC.则B4+2P8的最小值为.

,一一4

【典例3-2】（2022•广西梧州■中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线＞分别与x,y轴交于

点A,B,抛物线y=+fcv+c恰好经过这两点.

⑴求此抛物线的解析式；

（2）若点C的坐标是（0,6）,将△ACO绕着点C逆时针旋转90。得到4ECF，点A的对应点是点E.

①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；

②若点尸是y轴上的任一点，求mBP+E尸取最小值时，点P的坐标.

【典例3-3】（2024・四川成都•模拟预测）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探

究.

【尝试初探】

(1)如图①，在四边形ABCD中，若NABC=NADC=90。，AB=AD=5,ZS4D=120°,求AC的长;

【深入探究】

（2）如图②，在四边形ABCD中，若NABC=NADC=90。，ZBCD=45°,AC=8近,求8。的长;

【拓展延伸】

(3)如图③，在四边形ABCD中，若N4BC+/4DC=180。，ZADC=60°,AD=AB=273,延长八4。2相

交于点E,DELCE,P是线段AC上一动点，连接尸求2DP+CP的最小值.

图①图②

【中考模拟即学即练】

【变式3-1］（22-23九年级上•山东济宁•期末）如图，VABC中，AB=AC=15,tanA=2,BE，AC于点E,

。是线段班上的一个动点，则CD+正8。的最小值是（）

【变式3-2］（2023・安徽黄山•模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数>-#x-道的图象

与尤轴交于点A,C两点，与y轴交于点3,对称轴与无轴交于点。，若尸为y轴上的一个动点，连接PD,

人,浮B-TJ6D.产

【变式3-3］（23-24九年级下•江苏南通•阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=依?一2融-3。与x

轴交于A,5两点，若AB=〃z,函数y=o%2-2ox-3a的最小值为“，5.m+n=0.

⑴求该抛物线的解析式;

（2）如果将该抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得到的图象与剩余的图象组成新图形G.当函数

%=日-1+2左的图象与图形6的公共点的个数大于2时，求上的取值范围;

⑶在（2）的条件下，当上取最大值时，函数％=履-1+2左的图象与图形G的对称轴交于点尸，若过尸作平

行于x轴的直线交图形G于点。，过点。作>轴的平行线交函数%=履+1-2%的图象于点尺，。为线段RQ

上的一点，动点C从点R出发，沿RDfOP运动到点尸停止，已知点C在位）上运动的速度为«单位长度

每秒，在DP上运动的速度为1单位长度每秒.求当点C运动的时间最短时，对应的点。的坐标.

【变式3-4］（24-25九年级上•海南三亚•期末）如图1,已知抛物线与x轴交于A（-1,0）,3（3,0）两点，与y轴

交于点C（0,3）.

图1图2

⑴求该抛物线所对应的函数关系式；

⑵已知点M是抛物线的顶点，点E是线段8C上的一个动点（与点8、C不重合），过点E作即轴于

点。，交抛物线于点歹.

①求四边形ABMC的面积；

②求一CEF的边CE上的高的最大值；

③如图2,在②的条件下，在x轴上是否存在点G,使得EG+^AG的值最小？若存在，请求出这个最小值;

若不存在，请说明理由.

【变式3-5］（2023•福建泉州•模拟预测）如图，已知抛物线y=无+2）（尤-4）（%为常数，且左＞0）与x轴

从左至右依次交于A,3两点，与y轴交于点。，经过点5的直线＞且I+人与抛物线的另一交点为o.

3

⑴若点。的横坐标为-5,求抛物线的函数表达式；

（2）在（1）条件下，设厂为线段8。上一点（不含端点），连接AF,一动点〃从点A出发，沿线段AF以每

秒1个单位的速度运动到尸，再沿线段ED以每秒2个单位的速度运动到。后停止.当点E的坐标是多少

时，点”在整个运动过程中用时最少？

【变式3-6］（2023•广西柳州•二模）已知抛物线、="2+版+。（。*0）过点4（1，0）,3（3,0）两点，与V轴交

于点C,OC=3,

⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

⑵点尸为抛物线上位于直线3c下方的一动点，当aPBC面积最大时，求点尸的坐标；

⑶若点。为线段OC上的一动点，问：AQ+#C。是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在,

请说明理由.

【变式3-7］（2022・四川成都•模拟预测）抛物线丫=办2+法+若分别交x轴于点A（l,0）,B（-3,0）,交y轴

于点C,抛物线的对称轴与x轴相交于点。，点M为线段OC上的动点，点N为线段AC上的动点，且MN,AC.

V.

图1

⑴求抛物线的表达式;

(2)线段MN,NC在数量上有何关系，请写出你的理由;

⑶在N移动的过程中，是否有最小值，如果有，请写出理由.

题型四：阿氏圆模型

指I点I迷I津

动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B,动点尸满足PA/PB=k（左为常数，且原1））,

那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯

圆，简称为阿氏圆。

如图1所示，。。的半径为广，点A、8都在。O夕卜，P为。。上一动点，已知F上08（即竺=左），连

0B

接尸A、PB,贝I］当“PA+kPB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？

OPOBOB0P

PC

ZP0C=ZB0P,：.4P0Cs4B0P,:.〜=k，即k-PB=PCo

PB

故本题求“PA+kPB”的最小值可以转化为“P4+PC'的最小值。

其中与A与C为定点，尸为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC，值最小，如图3所示。

阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在

于如何构造母子相似。

阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点（系数小于1）；点在圆内：向外取点（系数大于1）；一内

一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。

注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“HR4+PB”最值问题，其中尸点

轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题.

【中考母题学方法】

【典例4-1】（2020•广西,中考真题）如图，在RtVABC中，AB=AC=4,点E,尸分别是AB,AC的中点，

点尸是扇形AEF的炉上任意一点，连接BP,CP,则TBP+CP的最小值是.

【典例4-2】（2023,浙江衢州模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，A（16,0）,B（0,12）,点C是第一

象限的动点且OC=6,线段OC绕点。在第一象限转动；

（1）在转动过程中，求点C到A3的最近距离=

（2）试求的最小值=.

【典例4-3】（2023•重庆万州•模拟预测）如图，在等腰直角三角形ABC中，NC=90。，过点C作C骁〃AB交

过点8的直线于点。，ZABD=30°,直线3D交AC于".

D

⑴如图1,若钮=2,求的长;

（2汝口图2,过点A作AGL8Z）交3。于点G,交BC的延长线于E,取线段A3的中点F，连接GF,求证:

GF+^3GH=BH.

⑶在（2）的条件下，过点。作。PJ_钻交A3于点P,若点M是线段GF上任一点，连接BM,将33GM

沿折叠，折叠后的三角形记为s3G当且AG'+OG'取得最小时，直接写出tan/PDG的值.

2

【中考模拟即学即练】

【变式4-1］（22-23九年级下•江苏徐州•阶段练习）在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,以点C为

2

圆心,2为半径作圆C,分别交AC,BC于。、E两点，点尸是圆C上一个动点，则PA+-PB的最小值是

【变式4-2］（2023•江苏宿迁•三模）如图，在平面直角坐标系中，A（2,0）、5（0,2）,C（5,2）、。（4,4）,点

尸在第一象限，且/APB=135。，则衣尸O+4PC的最小值为.

【变式4-3］（2020•江苏南京•二模）如图，在0ABe中，0ACB=9O°,BC=12,AC=9,以点C为圆心，6为半

径的圆上有一个动点。连接A。、BD、CD,则245+38。的最小值是.

【变式4-4］（2022•广东广州・一模）已知，是回。的直径，AB=4贬,AC=BC.

⑴求弦的长；

（2）若点。是下方回。上的动点（不与点A,8重合），以C。为边，作正方形CDE尸，如图1所示，若M

是。尸的中点，N是BC的中点，求证：线段MV的长为定值；

（3）如图2,点尸是动点，且AP=2,连接CP,PB,一动点。从点C出发，以每秒2个单位的速度沿线段

CP匀速运动到点尸，再以每秒1个单位的速度沿线段尸8匀速运动到点8,到达点B后停止运动，求点。

的运动时间f的最小值.

【变式4-5】(2022•广东惠州•一模)如图1,抛物线丁=以2+区-4与x轴交于A、8两点，与，轴交于点C,

其中点A的坐标为(-1,0)，抛物线的对称轴是直线尤=].

图1图2

⑴求抛物线的解析式;

（2）若点尸是直线3c下方的抛物线上一个动点，是否存在点P使四边形ABPC的面积为16,若存在，求出点

P的坐标若不存在，请说明理由;

⑶如图2,过点3作板，3c交抛物线的对称轴于点/，以点C为圆心，2为半径作（C,点。为C上的

一个动点，求乎加+W的最小值.

【变式4-6］（2021•重庆九龙坡•二模）在VABC中，NC4B=90。，AC=AB.若点。为AC上一点，连接8。,

将绕点5顺时针旋转90。得到BE,连接CE,交AB于点

⑴如图1,若ZABE=75。,BD=4,求AC的长;

(2)如图2,点G为3c的中点，连接尸G交8。于点H.若=30。，猜想线段0c与线段庞的数量关系，

并写出证明过程；

(3)如图3,若AB=4,。为AC的中点，将绕点5旋转得A'BD,连接AC,AD,当A0+变AC

2

最小时，求小A，5c.

题型五：瓜豆原理模型

指I点I迷I津

瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。

主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线一上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。

古人云：种瓜得瓜，种豆得豆.“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。

条件：1）如图，尸是直线上一动点，连接AP,取AP中点。，当点P在上运动时，。点轨迹是?

结论：当尸点轨迹是直线时，。点轨迹也是一条直线.

证明：分别过A、。向作垂线，垂足分别为M、N,在运动过程中，

因为AP=2AQ,所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线.

条件：2）如图，在AAP。中AP=AQ,为定值，当点尸在直线上运动时，求。点轨迹？

结论：当AP与夹角固定且为定值的话，P、。轨迹是同一种图形。

证明：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的。点的位置，连线即可，

比如。点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。

解题策略：1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值；

2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下四种方法进行确定：

①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，

若存在该动点的轨迹为直线；②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的

坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④若动点轨迹用上述方法都不

;合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。

【中考母题学方法】

【典例5-1】（2021•山东泰安•中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=5,BC=56，点P在线段BC上运

动（含夙C两点），连接竹，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60。到AQ,连接OQ,则线段。。的

最小值为（）

4D

ra

BPC

A.-B.5A/2C.D.3

23

【典例5-2】（2020•江苏宿迁・中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=-gx+2上的一个动点，

将Q绕点P（L0）顺时针旋转90。，得到点Q',连接。。'，则。。'的最小值为（）

丁

Q,

A.逑B.75C.逑D.逑

535

【典例5-3】（2023•北京海淀•三模）在平面直角坐标系xQy中，给定图形W和点P,若图形W上存在两个点

M,N满足PM=6/W且NMPN=90。，则称点尸是图形W的关联点.已知点4-2后0）,5（0,2）.

⑴在点山-"T，鸟卜6,3）,9-26-2）中，是线段A3的关联点；

（2）eT是以点T&0）为圆心，r为半径的圆.

①当年0时，若线段A3上任一点均为Q的关联点，求r的取值范围；

②记线段A3与线段AO组成折线G,若存在/24,使折线G的关联点都是eT的关联点，直接写出厂的最

小值.

【中考模拟即学即练】

【变式5-1］（2024•安徽六安•三模）如图，在等边V43C中，以