2025年中考数学二轮复习：二次函数与韦达定理练习（含答案）

2025年中考数学二轮复习专题二次函数与韦达定理练习

二次函数与韦达定理(一)

思考：1.已知一元二次方程欠2+6x+C=0(。W0)

(1)求根公式产______________________

(2)若方程有实根，则;若方程有两个不相等的实根，则

(3)韦达定理：为+a=眉苞=

(4)求上-刃值(用含a、b>c的式子表示)

2.如果抛物线y=x2-4x+3与x轴交于A,B两点,则AB的长为

【例1】已知二次函数-(2加-3)x+(阳2+1),其图象与x轴有两个不同

交卢

(1)求加的取值范围；

(2)试说明抛物线与x轴的交点都在轴的负半轴上.

【变式训练1】已知关于x的方程(2Z-3)x+廿+1=0有两个不相等的实数

根X1,X2o

(1)试说明X[<0,9<0；

(2)若抛物线y=/—(24-3)x+42+1与x轴交于A、B两点，点A、点B到原

点的距离分别为0A、0B,且0A+0B=20A•0B-3,求k的值

【变式训练2】已知抛物线+机X-亘机2(m>0)与X轴交于Z、8两点.

4

(1)求证：抛物线的对称轴在y轴的左侧；

(2)若」(点。是坐标原点)，求抛物线的解析式；

OB0A3

【例2】已矢口函数y=x2-mx+m-2.

(1)求证：无论能取什么值，它的图象与x轴总有两个交点；

(2)当机取何值时，这两个交点间的距离最小？并求出最小距离.

【变式训练3】如图，抛物线>=-炉+2了+3与x轴相交于45两点，与y轴交

于点C,顶点为。，抛物线的对称轴。尸与8c相交于点E,与x轴相交于点

F.设过E的直线与抛物线相交于点M(xi,ji),N(X2,/),试判断当|xi

-X2|的值最小时，直线"N与X轴的位置关系，并说明理由；

【变式训练4】已知：函数-(3a+l)x+2a+l(a为常数).

(1)若该函数图象与坐标轴只有两个交点，求a的值；

(2)若该函数图象是开口向上的抛物线，与x轴相交于点N(xi,0),8(x2,0)

两点，与y轴相交于点C,且X2-XI=2.求抛物线的解析式；

【变式训练5］若实数m、n满足m+n=mn且〃W0时，就称点P(m,则)为“完

n

美点”，直线/：>=-x+b的图象经过“完美点”(-3,力，且直线/与二次

2

函数-6+庐+3左有交点C,D(C,。可以重合)，设C,。两点的横坐

标分别为XI,X2,求短+小的最大值.

【变式训练6】我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对

称，则把该函数称之为“X函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“X

点”.若关于x的'函数"^="2+28+3c(a,b,c是常数)同时满足下列

两个条件：@a+b+c=O,②(2c+Z)-a)(2c+b+3a)<0,求该函数”截

x轴得到的线段长度的取值范围.

【变式训练7】已知：抛物线"2+fcc+c(aWO)的图象经过点(1,0),一条

直线y=ax+b,它们的系数之间满足如下关系：a>b>c.

(1)求证：抛物线与直线一定有两个不同的交点；

(2)设抛物线与直线的两个交点为4B,过43分别作x轴的垂线，垂足

分别为出、51.令女工，试问：是否存在实数左，使线段幺山1的长为幺历.如

a

果存在，求出左的值；如果不存在，请说明理由.

【例3］若关于尤的二次函数>=/+法+。(a>0,c>0,a,b,c是常数与x轴交于

两个不同的点4占,0),3(%,0)(0<占<%),与y轴交于点P,其图像顶点为点

点O为坐标原点.

(1)当士=c=2,a=g时，求％与6的值；

(2)已知a=2,b=-4,若为等边三角形，求c的值。

(3)已知a=2,b=-4若4ABM为等腰直角三角形，求c的值

【变式训练8】若抛物线与x轴的两个交点及其顶点构成等边三角形，则称该抛

物线为“等边抛物线”

(1)若对任意加，〃，点M(根，〃)和点N(-m+4,n)恒在“等边抛物线”

Ci：y=ax2+bx1.,求抛物线Ci的解析式；

(2)若抛物线C2：y=ax2+bx+c为“等边抛物线“，求〃-4ac的值；

二次函数与韦达定理(二)

【例1】已知抛物线y=x2-2mx+m2+2与直线y=-3x+l有两个不同的交点A(xi,yD

和B(x2,y2).

(1)求m的取值范围；(2)试说明.VO,x2<0；(3)若AB=VI^,求m的值.

【例2】如图，直线y=[x+1与y轴交于点Z,与双曲线■在第一象限交于

B、C两点，B、C两点的横坐标分别为xi,X2,则xi+%2的值是.

【变式训练1】如图，直线y=[x+1与y轴交于点4与双曲线■在第一象

限交于B、C两点，B、C两点的纵坐标分别为yi,y2,则yi+户的值是.

【例3】如图，直线y=[x+b与了轴交于点Z,与x轴交于点。，与双曲线y上

在第一象限交于8、C两点，且4B・AD=4,贝1]左=.

【变式训练2】如图，直线＞=一返x+b与了轴交于点4与双曲线＞=上在第一

3x

象限交于8、C两点，且48・ZC=12,则左值为.

【例4】如图，抛物线y=x?+2x-3与x轴的交点为Z(-3,0)、8(1,0),与

j轴的交点为C,直线/：y=kx+2与抛物线交于M、N两点.连接OM、ON,

若/MON=90°,求左的值.

\C\c

y=--x

【变式训练3】如图，已知抛物线C：2与直线，：>=依-2左-4交于p、Q

两点，在抛物线C上存在一个定点。，使NPDQ=90°,

求点。的坐标.为

【变式训练4】已知抛物线y=工（x-1）2,过点（3,1）,。为抛物线的顶点.直

线/：>=丘+4-左经过定点4如图，直线/与抛物线交于P,0两点.

①求证：ZPDQ=90°；

②求△尸。。面积的最小值.）'八

［例5］如图，在平面直角坐标系xOv中，一次函数j=-且x+型的图象与x

■.1212

轴交于N（-1,0）,与了轴交于点C以直线x=2为对称轴的抛物线Ci：>=

-工x2+x+9经过2、C两点，并与x轴正半轴交于点瓦设点。（0,空），若尸

4412

是抛物线Ci：y="2+bx+c（aW0）对称轴上使得尸的周长取得最小值的点，

过尸任意作一条与了轴不平行的直线交抛物线C1于Ml（XI,yi）,Ml（X2,J2）

两点，试探究，■+，是否为定值？请说明理由.

M।F

【变式训练5】直线y=kx+3交抛物线y=/于E、F两点，问在y轴的负半轴

上是否存在一点P,使4PEF的内心在y轴上？若存在，求出点P的坐标；若不

存在，说明理由。

【拓展提升】如图，在平面直角坐标系xOv中，以直线x=|■对称轴的抛物线:

j=x2-5x+5＞与直线/：y=kx+m(左＞0)交于Z(1,1),8两点，与y轴交于

。(0,5),直线/与y轴交于点D若在x轴上有且仅有一点P,使N4P5=90°,

求上的值.

二次函数与韦达定理(一)

【例1】解：(1)•.,二次函数y=%2-(2m-3)x+(m2+l其图象与x轴有两

个不同交点，

-(2zn-3)]2-4XlX(m2+l),得机<卡；

(2)设抛物线与x轴的交点坐标为;(xi,0),(电0),

222+>

,.)=0时，x-(2m-3)x+(m+l)=0,*,•X1x2=ml>0

.'.xi,X2同号，又,；XI+X2=27〃-3,m<—,.*.xi+x2<0,X2都为负数，

12

故抛物线与x轴的交点都在x轴的负半轴上.

【变式训练1】解:

(1)•方程有两个不相等的实数根

：.b2-4ac=-12左+5>0,

12

,

(2)由f-(2左-3)%+产+1=0可知XI+%2=2左-3,Ax1*AxrQ.=Xkx+X1

;K.x=k2+1>0,・・.xi和X2同号，'：k<-^,：.2k-3<-M,

X1x2K1126

.,.x\+x2=2k-3<0,/.xi<0,X2<0；

(3)设Z(xi,0),B(X2,0),

.,.OA+OB=-xi+(-X2)=-(xi+%2)=3-2k,OA,OB=-xi,(-X2)=

X・xc=k2+l，，3-2左=2(庐+1)-3,解得左=1或左=-2,又,：k<工,

X1x2K1]2

:・k=~2.

【变式训练2】(1)证明：•.•机>0,

...x=-A=-蚂<0,・•.抛物线的对称轴在y轴的左侧;

2a2

(2)解：设抛物线与x轴交点为/(xi,0),B(X2,0),

则%1+x2=-加VO,XleX2=--m2<0,「.Xl与X2异号，

4

又.•表/谒2：.OA>OB,

由(1)知：抛物线的对称轴在y轴的左侧，

/.Xi<0,X2>0,/.CM=|xi|=-xi,OB=xi,

代入专工用得：工，勺+'2=2,从而谓.

0A3x-x।xXj3Xx3

221'2"7m

解得机=2,经检验机=2是原方程的根，

，抛物线的解析式为>=炉+2%-3；

【例2】解：(1)令y=0,得：x2-mx+m-2=0,

则△=*-4(m-2)=m2-4m+8=(m-2)2+4,:(m-2)2^0,

...(«-2)2+4>0,无论也取什么值，它的图象与x轴总有两个交点;

(2)设二次函数图象与X轴交点的横坐标为XI,X2；

根据(1)可知，xi+x2=m>xiX2=m-2,

X1-2=2J

I刈(x1+x2)-4x1x2V(m-2)+4

要使抛物线的图象与x轴的两个交点的距离最小，即|当机=2时,|xi-刈最小,

此时最小值为2.

【变式训练3】设直线"N的解析式为(1,2),：.2=k+b,

：.k=2-b,I.直线跖V的解析式y=(2-3)x+b,

:点M、N的坐标是P'2：)x+b的解，整理得：'2_为+33=0,

y=-x+2x+3

，Xl+X2=ZbX\X2—b-3；

=22

"1-X2尸d（X「X2）2d（X[+X2）2-4X[X2=7b-4（b-3）=V（b-2）+8）

.•.当b=2时，|xi-X2|最小值=2&,,"=2时,y=（2-ZJ）x+b=2,

直线〃N〃x轴.

【变式训练4】（1）函数歹="2-（3a+l）x+2a+l（4为常数），

若。=0,则y=-x+l,与坐标轴有两个交点（0,1）,（1,0）；

若aWO且图象过原点时，2a+l=0,a=-1,有两个交点（0,0）,（1,0）；

2

若aWO且图象与x轴只有一个交点时，令y=0有：

△=（3a+l）2-4a（2a+l）=0,解得a=-1,有两个交点（0,-1）,（1,

0）.

综上得：。=0或-工或-1时，函数图象与坐标轴有两个交点.

2

（2）①•.•函数与x轴相交于点/（xi,0）,B（%2,0）两点，

/.Xi,\2为62-（3a+l）x+2a+l=0的两个根，

•I一3a+l一2软+1

.>X1+X2—>X1X2—>

aa

•X2~XI=2,

.*.4=（X2-xi）2=（xi+x2）2-4x1X2=（d）2-4・2a+l,

aa

解得a=-工（函数开口向上，a>0,舍去），或。=1,

3

**._y=x2-4x+3.

【变式训练5】•.•点（-旦，/）是“完美点”，.•.由⑵知/=-g-1=-5,

222

则此“完美点”坐标为（-且，-臣），根据题意，将（-3,-$）代入＞=

2222

-x+b,得：—+&=--,解得6=-4,-'-y=_x_4,

22

y二—x一4

由《知一+（1-左）％+於+3左+4=0,

y=x-kx+k+3k

则x\+x2=k-1,XIX2=F+3%+4,

且4=（1-左）2-4（F+3左+4）20,

「・-33-14k—1520,即3F+14左+15W0,

解得：-3W左W--,

3

VXI2+%22—（XI+%2）2-2xiX2=（左-1）2-2（F+3左+4）=-A2-8左-7

=-（左+4）2+%

・,.当左＞-4时，X12+X22的值随k的增大而减小，：-3W左W-反,

3

：.k=-3时，K2+及2取得最大值，最大值为8.

【变式训练6】'：y=ax2+2bx+3c函数”，

f2

・・.设H(p,q)和(-p,-夕)，代入得到aP+2bp+3c=q,

ap2-2bp+3c=-q

解得印2+3C=0,2bp=q,•.•p2〉o,.•.〃，0异号，:.acVO,Va+b+c=O,

/.Z?=-a-c,•「(2c+b-a)(2C+Z?+3Q)<0,

/.C2c-a-c-a)(2c-Q-c+3a)<0,(。-2。)(C+2Q)<0,

2

：.c2<4a2,・・・J<4,・・・-2V£V2,

2A

设f=£,贝！J-2V，V0,

a

设函数与X轴交于（XI,0）,（X2,0）,

/.xi,l2是方程af+26x+3c=0的两根,

2<t<0,

/.2<|xi-X2\<2^[7.

【变式训练7】解：⑴根据题意得：a+b+c=O

ax+b=aj^+bx+c*.*tz>Z)>ca+b>0,a>0,cVO,«x2+(Z>-a)x+c-b=0,

ax^+(6-6z)x-a-b-b=0,

Qb-a)2-4。(-a-1b)=(a+b)?+4a(a+b)>0,

・・・抛物线与直线一定有两个不同的交点；

(2)不存在设点4,5的横坐标分别为xi,X2,ax2+(b-a)x+c-b=0,

.•.xi+x2=.a一°,\l・X2=f

aa

22

根据题意得：=|xi-X2|=J(x-x)=J(x+x)-4X.X2

乙V1MXit

J卢zL「_4(c-b)=4加

a

2A

・・・（£）一些=32，・・・--4左-32=0,・••左=8或左=-4,•・・〃>（）,c<0：.k=-4,

aa

,当左=-4时，£=-4得到C=-4a,又a+6+c=0,即a+6-4a=0所以6=3a

a

a>0,.,.b>a,a>b>c,；"=-4不符题意舍去，

..•不存在符合题意的左值.

【例3】略

【变式训练8】解：（1）由题意得，点8和点N关于对称轴对称，

对称轴x=m-m+4=2,又,；x=-也=2,.”=-4a,

22a

.,.y=ax2-Aax,

①当a>0时，顶点坐标为（2,-2爪），__

代入》="2-4办，得：-2正=4a-8a,解得：a=1.,：.丫=立~好-2、足；

22

②当。<0时，顶点坐标为（2,273）,__

代入y=-4"，得：2M=4a-8a,解得：a=-零，."._y=-^-x2+2y[3x；

综上，>=运炉-2、j&或y=-退x?+2日x；

22

（2）设等边抛物线与x轴的两个交点分别为Z（xi,0）,B（X2,0）,

y=ax2+bx+c=0,.，.x=b±\/b-4ac,

22

：.AB=\xi-X2|=|Z^Vpzlac~b-Vb2-4ac2Vb-4ac।_iVb-4ac

2；I--―H|—

2

又•.•抛物线的顶点坐标为（-上，4ac-b）,

2a4a

|4ac-b)।

=V3,,：b2-4ac^0,.•油2一4=返,...b2-4ac=i2；

jjb2-4ac।2412

二次函数与韦达定理（二）

【例11略

【例2】解：..,直线y=1x+l与了轴交于点4与双曲线了=.有交点,

「・把^=区代入直线y=—^-x+1得，—=-^x+L即x2-2x+2左=0,

**.XI+X2=2.故答案为：2.

【变式训练1】解：・・、*，・•・％=必将X=K代入y=1x+l,

Xyy2

得2y2-2y+k=0.\yi+y2=--=-1，故答案为1.

9a2

【例3】g.

5

【变式训练2】解：设直线了=一堂x+b与x轴交于点。，作轴于E,CF

_Ly轴于足,.）=一坐■x+6,

・•.当y=0时，x=43b,即点。的坐标为（J为，0）,

当x=0时，y=b,即幺点坐标为（0,b）,：.OA=b,OD=43b-

：在Rt^ZOQ中，tanNADO=&_=士=昱,：.ZADO=30°.

ODV3b3

•.♦直线y=一返x+b与双曲线y=区在第一象限交于点5、C两点,

3x

-^L±x+b=—,整理得，-1/+加：-左=0,

V^-=cos30°=迎，：.AB='^-EB,同理可得：AC=^-FC,

AB233

：.AB*AC=（3匹EB）（,正于。=1E5*FC=AXA/3^=12,

3333

解得：k=3g.

［例4］过点M作MHLx轴交x轴于点H,过点N作HK±x轴交x轴于点K,

A\0\

VZMON=90°,AZMOA+ZNOB=180°-/MON=90°,而NCWB+N

NOB=9Q°,ZMOA=ZONB,

设：点〃、N的坐标分别为（xi,yi）、（X2、J2）,

-Xiyrr

tanZMOA=-----=tanZONB=—=9~,即：yiy2=-x\xi,

将二次函数表达式与直线表达式联立并整理得:

x2+(2-左)x-5=0,贝！JX1+%2=左-2,X1X2=-5,

ZMOA=ZONB,/.tanZMCU=^^-=tanZ(9A®=-^-,BP：yiy2=-xixi,

了1x2

而yi=fen+2,yi=kx2~^~2,

即：（Axi+2）（AX2+2）=5,

化简得：3庐+4k+1=0,解得：左=-1或-」，

3

【变式训练3】如图2,过。作£尸〃x轴，作PELEF于E,。尸，EF于

F,

设。(a,b),P(xi,yi),Q(%2,/),

"y=kx-2k-4

联立］i2，得f+2日-4左-8=0

y="2X

・・xi+x2=-2k,x\xi=-4k-8,

由△尸E'Qs△。尸。得，署

DE*DF=PE•QF,/.(。-xi)(%2一a)=(6-ji)(6一/),

121_2

b=yi

2尹2

(%2-a)=(—2-^2)(—2-X2)

(a-xi)xaxa

212222

(a-xi)(X2-a)=—(a+xi)(a+x2)(xi-a)(X2-a),

4

-4=(a+xi)(a+x2),.*.xiX2+a(xi+%2)+a2=-4,

-4k-8+a(-2k)+a2=-4a2-4-2ak-4左=0,

(a+2)(a-2)-2k(a+2)=0,•.味为任意实数,

。+2=0,・・。=-2,・・/?=-2,

D(-2,-2).

【变式训练4】解：（1）如图1,

过点P作PELx轴于E,过。作QF±x轴于F,

设点尸（XI,Jl）,Q（X2,J2）,:.E（XI,0）,F（X2,0）,

,：D(1,0),：.DE=1-xi,DF=X2-1,

联立直线和抛物线解析式得，，

y=kx+4-k

2

Ax-(4左+2)x+4k-15=0,，XI+X2=4k+2,XLX2=4左-15,

:・DE・DF=(1-Xl)(X2-1)=-X1X2+(X1+X2)-1

=-(4k-15)+(4k+2)-1=16,

Vyi=A(XI-1)2,yi=—(X2-1)2,

44

/.PE*QF=y\y2=(xi-1)2e—(X2-1)2——[(xi-1)2(X2-1)2]

4416

22

=A[(xi-1)(X2-1)]=A[X1X2-(xi+%2)+1]=A[4^-15-(4左+2)

161616

+l]2=_l_x162=16,

16

：.DE'DF=PE*QF,上迈迪，,:/PED=/DF。,

PEDF

:.XPEDS/\DFQ,:.NDPE=/QDF,VZPDE+ZDPE=90°,

AZPDE+ZQDF=90°,AZPDQ=90°；

(2)如图2,连接4D,

由(1)知，抛物线解析式为y(x-1)2,

,4

：.D(1,0),

由(1)知，A(1,4),

...4D〃y轴，40=4,

设点尸(xi,yi),Q(X2,J2),

由(2)知，XI+X2=4左+2,xiX2=4左-15

：.S^PDQ=^AD<X2-X^=2(%2-xi)=24(x2-xi)2=2j(x[+x2)2-4x1X2

=2V(4k+2)2-4(4k-15)=2V16k2+64=8Vk2+4'

二・当左=0时，S^PDQg/js=8X2=16.

【例5】要使△川0尸的周长取得最小，只需AF+DF最小

连接BD交,x=2于点F,因为点B与点A关于x=2对称，

根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AF+DF最小.

令天=-工：2+%+$中的》=0,则％=-1或5;・5（5,0）

44

,:D（0,空）.•.直线8。解析式为y=-巨x+空,

12.1212

：.F（2,1）.令过尸（2,-|）的直线解析式为y=fcc+bi,

4

则$=2左+历，.•.历=$-2k则直线MxMi的解析式为丁=丘+$-2k.

444