2025年中考数学一轮复习难点专练：关于二次函数系数、几何变换、最值等问题（6大热考题型）原卷版

难点与新考法06关于二次函数系数'几何变换'最值等问题

（6大热考题型）

题型一：关于二次函数系数a,dc的结论判断问题

题型二：二次函数与一元二次方程关系

题型三：二次函数图像的平移

题型四：二次函数图像的对称

题型五：确定自变量取值范围内的二次函数最值

题型六：已知自变量的取值范围和最值,求参数

.精淮理分

题型一：关于二次函数系数如b.C的结论判断问题

;藉「Mi承

!一、二次函数与mbxc的关系

关系符号图象特征

a决定抛物线a>0开口向上⑷越尢抛物线的开口小.

的开口方向

a<0开口向下

a、b共同决b=0对称轴是y轴

定抛物线对

ab>0（a,b同号）对称轴在y轴左侧左同右异

称轴的位置

ab<0（（a,b异号））对称轴在y轴右侧

c决定了抛物c=0抛物线经过原点

线与y轴交

c>0抛物线与y轴交于正半轴

点的位置.

c<0抛物线与y轴交于负半轴

由b?-4ac确b2-4ac>0抛物线与X轴有两个交点

定抛物线与X

b2-4ac=0抛物线与X轴有一个交点

轴交点的个

b2-4ac<0抛物线与X轴没有交点

数

二、引入其他参数的相关结论判断

1.引人的参数为点坐标，常常考虑结合坐标轴求解；

2.引入的参数是与系数a,b,c结合的不等式，常常将该参数视为抛物线上点的横坐标，结合最值求解;

3.引人的参数在一元二次方程中，常常把该方程看成抛物线与直线的交点问题，根据交点个数求解

【中考母题学方法】

【典例11（2024•四川,中考真题）二次函数产渥+云+。（。>0）的图象如图所示，给出下列结论：①c<0；

②-白>°；③当-l<x<3时，”0.其中所有正确结论的序号是（）

2a

A.①②B,①③C.②③D.①②③

【变式1-1］（2024・四川眉山・中考真题）如图，二次函数丫=加+笈+。（"0）的图象与x轴交于点4（3,0）,

与>轴交于点8,对称轴为直线x=l,下列四个结论：①历<0；②3a+2c<0；③⑪2+云力+6;④若

84

-2<c<-1,则――<a+b+c<一一，其中正确结论的个数为（）

33

A.1个B.2个C.3个D.4

【变式1-2】难点判断需变形的关于6c的关系式

（2024•山东泰安・中考真题）如图所示是二次函数了=加+桁+。（。二0）的部分图象，该函数图象的对称轴是

直线x=l,图象与，轴交点的纵坐标是2,则下列结论：①2a+b=0；②方程加+fec+c=0一定有一个

根在-2和-1之间；③方程以2+法+,-1=0一定有两个不相等的实数根；@b-a<2.其中，正确结论的

个数有（）

C.3个D.4个

【变式1-3】难点引入其他参数的相关结论判断

（2024•黑龙江绥化•中考真题）二次函数丁=加+及+4。#0）的部分图象如图所示，对称轴为直线尸-1,

则下列结论中:

①—>0②an/+bmWa-b（机为任意实数）③3a+c<l

c

④若/（王»）、N（z，y）是抛物线上不同的两个点，则%+%3.其中正确的结论有（）

B.2个C.3个D.4个

【中考模拟即学即练】

1.（2024•山东东营•中考真题）已知抛物线+bx+c（awO）的图像如图所示，则下列结论正确的是（）

B.a-b=O

C.3a—c=0D.am2+bm<a—b（m为任意实数）

2.（2024,广东•模拟预测）如图，抛物线y=ox2+bx+c（aw0）的对称轴是直线％=1,与无轴交于A,8两点,

且03=304.给出下列4个结论：①取?<0；②a—6+c=0；③7a+3c>0；④若机为任意实数，则

am2+bm-b>a-其中正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

3.（2024•湖北•模拟预测）如图，已知开口向下的抛物线y=a/+匕％+。与1轴交于点（6,0）,对称轴为直

线久=2.则下列结论正确的有（）

①必c<0；②a—b+c>0；③方程cf+bx+Qu。的两个根为玉=（，%=-：；④抛物线上有两点P（%i，yi）

26

4.（2024•广东•模拟预测）如图所示是抛物线>=以2+"+°（〃。0）的部分图象，其顶点坐标为（1,〃），且与x

轴的一个交点在点（3,0）和（4,0）之间，则下列结论：①该抛物线与x轴的另一个交点在点（-4,0）和（-3,0）之

间；②a-h+c>0；③。2=4Q（C-几）；④关于x的一元二次方程加+Z?x+c=〃+l有实数根.其中正确的

结论是（）

C.②③D.②④

5.（2024•四川广安•中考真题）如图，二次函数>=以2+"+。（。，b,。为常数，QWO）的图象与％轴交

于点A、|，0；对称轴是直线尤=-；，有以下结论：①而。<0；②若点（T,%）和点（2,%）都在抛物线上,

（加为任意实数）；④3a+4c=0.其中正确的有（）

C.3个D.4个

6.（2024・四川宜宾•中考真题）如图，抛物线产加+法+c,<o）的图象交x轴于点A（一3,0）、3（1,0）,交

y轴于点C以下结论：①a+b+c=0；②。+3人+2c<0；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三

角形时，c=S；④当c=3时，在△AOC内有一动点P,若6>尸=2,则CP+|AP的最小值为孝.其中

C.3个D.4个

7.（2024・四川广元•中考真题）如图，已知抛物线丁="2+原+。过点。（0,-2）与彳轴交点的横坐标分别为4,

X],且2<x2<3,则下列结论:

①a—b+c<0；

②方程依2+b%+c+2=0有两个不相等的实数根;

③a+Z?>0；

④a>g；

@b2-4ac>4a2.其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.（2024•广东•模拟预测）如图，抛物线丫=◎2+陵+。（。W0）与工轴交于点4（1,。）和8,与y轴的正半轴交

于点C.下歹！］结论：@abc>0；②4a-26+c>0；③2a-b>0；®3a+c<0,其中正确结论是.

9.（2024・湖北•模拟预测）抛物线y=内2+法+1（°<0）,对称轴为x=-l.下列说法；①一元二次方程

/+法+1=0有两个不相等的实数根；②对任意的实数加，不等式。（加-1）+6（〃,+1）<0恒成立；③抛物

线,=苏+笈+1经过点（-2,1）；④若"z<",J=Lm+n+2>0,则+勿〃>加+加.正确的有（填

序号）.

10.（2024・四川德阳・中考真题）如图，抛物线y=a%2+bx+c的顶点A的坐标为与x轴的一个交点

位于0和1之间，则以下结论：①而c>0；②5>+2c<0；③若抛物线经过点（-6,yj,（5,%），贝5>%;

④若关于x的一元二次方程依,+版+0=4无实数根，则”<4.其中正确结论是（请填写序号）.

题型二：二次函数与一元二次方程关系

|Si¥............

一元二次方程a*+bx+c=O（a^O）的解就是二次函数户加九火九二。图象与x轴交点的横坐标.

b2-4ac与0的关系二次函数与x轴交点个数一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况

b2-4ac>02个交点有两个不相等的实数根

b2-4ac=01个交点有一个不相等的实数根

b2-4ac<00个交点没有实数根

【中考母题学方法】

【典例2】（2024•四川达州•中考真题）抛物线了=-/+云+，与x轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于

1,另一个交点的横坐标小于1,则下列结论正确的是（）

A.b+c>lB.6=2C.b2+4c<0D.c<0

【变式2-1］（2024•四川南充・中考真题）已知抛物线G：y=，+wx+根与x轴交于两点A,B（A在8的左

侧），抛物线Cz：y=尤2+〃尤+〃（相二⑶与无轴交于两点c,D（C在。的左侧），且AB=CD.下列四个结论:

①G与交点为（-LD;@m+n=4；③什讥>0；@A,。两点关于（T,0）对称.其中正确的结论

是—.（填写序号）

【变式2-2］（2024•江苏扬州•中考真题）如图，已知二次函数k-f+Zu+c的图像与x轴交于A（-2,0）,8（1,0）

两点.

（2）若点尸在该二次函数的图像上，且右叩的面积为6,求点尸的坐标.

【变式2-3】难点二次函数图象与y=m的交点问题

（2024•吉林・中考真题）小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）

所示，输入X的值为-2时，输出y的值为1；输入尤的值为2时，输出y的值为3；输入尤的值为3时，输

出y的值为6.

开始

（图1）（图2）

⑴直接写出上a,b的值.

（2）小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图像，如图（2）.

0.当y随x的增大而增大时，求x的取值范围.

13.若关于x的方程依2+》X+3T=O（r为实数），在0〈尤＜4时无解，求r的取值范围.

0.若在函数图像上有点尸，。（尸与。不重合）.尸的横坐标为相，。的横坐标为-根+1.小明对P,。之间

（含P,。两点）的图像进行研究，当图像对应函数的最大值与最小值均不随机的变化而变化，直接写出机

的取值范围.

【中考模拟即学即练】

1.（2024・湖北•中考真题）抛物线丁=依2+法+。的顶点为抛物线与>轴的交点位于无轴上方.以

下结论正确的是（）

A.a<0B.c<0C.ci—b+c=-2D.Z;2—4-cic=0

2.（2024・山西大同・模拟预测）已知”>〃>0,若关于x的方程/一2%-"=0的解为％I,%（兀<%）,关于x

的方程f_2%_根=0的解为冷羽（%3<羽），则下列结论正确的是（）

A.xx<x2<x3<x4B.羽<%3<%<为

C.工3<为<工2<%4D.x3<x4<xt<x2

3.（2024.浙江宁波.二模）已知二次函数y=o?+6x+c（a,仇c是常数且。>0）的图象与x轴的交点坐标是

(x,,0),(x2,0),<x2<m+k,当工=帆时，y=p,当x=〃?+左时，丫=4,贝!]()

A.P，q至少有一个大于"1B.P，4都小于*丝

44

C.P，4至少有一个小于也D.P，q都大于处1

44

4.（2024贵州•模拟预测）已知抛物线y=aW-2x-3a的图象上有三点4（和％）,矶/，%），C（0,-3）,其

中药<-1<%<3,则下列说法镣误的是（）

方程同-2…J+b有3个根,则T

A.

B.%>必

C.关于x的一元二次方程办2-2x-3a-〃z=0O>0）的两根为X3，Z，且三<七，贝！］鼻<T<3<匕

D.抛物线的顶点坐标为（LT）

5.（2024•内蒙古呼伦贝尔・三模）如图，已知坐标平面上有一顶点为A的抛物线，A点坐标为（-3,0）,若此

抛物线又与直线>=2交于8、C两点，且VABC为正三角形，则可求得此抛物线与y轴的交点坐标为

6.（2024・福建厦门•二模）己知抛物线小y=a（x-4-2（aw0）的顶点为点C,与》轴分别交于点A,B（点

A在点B左侧），抛物线4与抛物线人关于x轴对称，顶点为点£>,若四边形为正方形，贝"的值

为.

7.（2024.浙江宁波.二模）二次函数y=/-x+3与坐标轴的交点个数为个.

8.（2024・湖北武汉•模拟预测）已知抛物线y+bx+c（a,6,c为常数，且。片0）经过点（m+l,“）和（2-加,”），

有如下结论：①抛物线对称轴为尤=；；②abc＞0；③若（3,%）,（4,%）两点在抛物线上，且必％＜。，则方程

改2+fcv+c=0有一根满足-1＜玉＜。；④过点Q,。-2”）与抛物线有且只有一个公共点的直线有两条.其中

F碗的结论有（填正确结论的序号）.

9.（2024・湖南•模拟预测）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，与x轴有交点的函数称为“零点函数”，交

点的横坐标称为“零点”，例如：函数＞=x-l与x轴的交点坐标是（1,0）,所以函数＞=x-l是“零点函数”，1

是该函数的“零点”.

（1）请完成以下两个小题：

①下列函数中，是“零点函数''的为（）

2,

A.y=2x+3B.y=—C.y=x~+2x+2

x

②请写出下列函数的“零点”：一次函数y=2x+2的“零点”是」二次函数y=f-2x+l的“零点”是二

⑵已知二次函y=修+26x+3c是，零点函数”（a,b,c是常数，。40）.

①若。=l,（b+c）（6-c）=16,函数的“零点”是三,%,且函数与x轴的两个交点之间的距离为8,与y轴的交

点在正半轴上，请求出这个函数的解析式；

②若一次函数y=2x-2c与二次函数y=加+20+l）x+c相交于点A（x3，%）和3（x4，y4），“零点函数”

y=*+2人无+3＜:满足下列条件：①a-A+c=O,（2）（3a-2Z?-c）（3a-2/?+5c）＞0,试确定线段AB长度的取

值范围.

10.（2024•浙江宁波•二模）已知抛物线y=x2-（2/n-3）x-3m-6,点A（孙％）和点3（孙％）是该抛物

线与x轴的交点.

(1)若占<0,3<%<4,求〃？的取值范围；

(2)若占+%=1，现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，若直线y=与新得到的函数图象至少

有三个交点，求〃的取值范围.

题型三：二次函数图像的平移

I指I点I迷I津I

:方法一：

ii

⑴将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k,其顶点坐标为(h,k);

ii

(2)保持抛物线y=ax2的形状不变，将其顶点平移到(h,k)处，

ii

方法二：

(1)将抛物线y=ax2+bx+c沿y轴向上(或向下)平移个单位，得抛物线y=ax2+bx+c+m(；5

1।

y=ax2+bx+c-m);

(2)将抛物线y=ax2+bx+c沿x轴向左(或向右)平移个单位，得抛物线y=a(x+my+b(x+m)+c(或

\\

y=〃(x-")2+贴_刈+。)具体平移方法如下：

平移方式(n>0)一般式y=ax2+bx+c顶点式y=a(x-h)2+k平移口诀

左加

向左平移n个单位y=a(x-^-n)2+b(x+n)+cy=a(x-h+n)2+k

向右平移n个单位y=a(x-n)2+b(x-n)+cy=a(x-h-n)2+k右减

向上平移n个单位y=ax2+bx+c+ny=a(x-h)2+k+n上加

向下平移n个单位y=ax2+bx+c-ny=a(x-h)2+k-n下减

【中考母题学方法】

【典例3】（2024・山东济宁・中考真题）将抛物线y=V-6x+12向下平移上个单位长度.若平移后得到的抛

物线与x轴有公共点，则左的取值范围是.

【变式3-1］（2024•福建泉州•模拟预测）二次函数y=/-2x-3的图象与x轴交于点AB（A在B的左侧），

将该函数图象向右平移租（m>0）个单位后与x轴交于点CD（C在。的左侧），平移前后的函数图象相交于

点E,若NAED=90。，则小的值为.

【变式3-2］（2024•四川德阳•中考真题）如图，抛物线>=炉-x+c与x轴交于点A（-l,0）和点8,与V轴交

⑴求抛物线的解析式；

（2）当0<xV2时，求y=炉-x+c的函数值的取值范围；

⑶将抛物线的顶点向下平移:个单位长度得到点点尸为抛物线的对称轴上一动点，求PA+或PM的

45

最小值.

【变式3-3］难点将抛物线沿斜直线平移转化为2次沿坐标轴平移

（2024•四川泸州・二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-无2+法+c的图象与坐标轴相交于A、5、

C三点，其中A点坐标为（3,0）,8点坐标为（-1,0）,连接AC、BC.

图1图2

⑴求抛物线的解析式；

（2）将△CO3沿x轴水平向右平移，平移过程中当C点再次落在抛物线上的位置记作C',求C'的坐标和

tanNC4c的值；

⑶动点尸从点A出发，在线段AC上以每秒&个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点。从点8出发，

在线段54上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接P。,

设运动时间为f秒.在产、。运动的过程中，当f为何值时，四边形8CPQ的面积最小，最小值为多少？

【中考模拟即学即练】

1.（2024•四川眉山・二模）若将抛物线y=Y-2x+l先沿x轴方向向右平移1个单位，再沿>方向向下平移2

个单位，得到一条新抛物线，则新抛物线的解析式变为（）

A.y-X1-2B.y=x1+2

C.y=（x—2）~+2D.y=（无一2）——2

2.（2024•云南曲靖•一模）将抛物线y=-7（x+3）2-l平移得至=下列平移方法正确的是（）

A.先向左平移3个单位，再向下平移1个单位

B.先向右平移3个单位，再向上平移1个单位

C.先向左平移1个单位，再向下平移3个单位

D.先向右平移1个单位，再向下平移3个单位

3.（2024•广东惠州•模拟预测）函数y=3/+6x+4的图形向右平移3个单位向上平移1个单位长度后的解

析式为.

4.（2024•贵州贵阳•一模）二次函数丁=元2-6尤+5的图象经过平移，其顶点恰好为坐标原点，则平移的最短

距离为.

5.(2024・湖南•三模)如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，且awO)与x

轴交于A。,。)，8两点，与y轴交于点。(0,-3),且抛物线的对称轴为直线x=T.

(2)在直线2C下方的抛物线上有一点尸，过点P作PMLx轴，垂足为M,交直线于点M若的

面积为2胃5，试求出点尸的坐标；

O

⑶在(2)的条件下，将抛物线沿射线C4的方向平移师个单位长度，得到新的抛物线V,如图2,点E

为新抛物线V上一点，点厂为原抛物线对称轴上一点，是否存在以点B，P,E,尸为顶点的四边形是平行

四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

6.(2024・重庆・一模)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax1+bx+^^a,b是常数，"0),与无轴交于点A(-6,0)

和点3(2,0),与y轴交于点C.

⑴求该抛物线的函数表达式；

(2)如图1,连接AC,点尸为直线AC上方抛物线上的一动点，过点尸作无轴的垂线，垂足为E,交直线AC

于点F,过点P作尸AC,垂足为求尸周长的最大值以及此时点P的坐标；

(3)将抛物线丁=依2+版+4(a,6是常数，aw。)，沿射线CB方向平移6个单位长度得到新抛物线y',点

。是新抛物线上一点，连接C。，当NACQ=NCBA-N0R时，请求出点。的坐标.

7.(2024•重庆•三模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线丫=3尤2+版+。与天轴交于4(—4,0),8两点，与

y轴交于点C(0,-4),连接AC,BC.

\u

图1图2

⑴求抛物线的解析式；

（2）如图1,点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点尸作PQ〃BC交AC于点Q,求P。最大值及此时点产

的坐标；

⑶如图2,将抛物线沿射线C4方向平移2A/2个单位长度得新到抛物线儿新抛物线与直线AC交于点M,

N（M在N的左侧），E是新抛物线V上一动点，当NNME=NCAB-NOCB时,写出所有符合条件的点E

的坐标，并写出求解点E的坐标的其中一种情况的过程.

8.（2024•黑龙江绥化•中考真题）综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线＞=--+法+。与直线相交于A,8两点，其中点A（3,4）,5（0,1）.

⑴求该抛物线的函数解析式.

（2）过点B作BC〃无轴交抛物线于点C,连接AC,在抛物线上是否存在点尸使tan=JtanZACB.若

6

存在，请求出满足条件的所有点尸的坐标；若不存在，请说明理由.（提示：依题意补全图形，并解答）

⑶将该抛物线向左平移2个单位长度得到％=4*+4》+9（%工0）,平移后的抛物线与原抛物线相交于点。,

点E为原抛物线对称轴上的一点，尸是平面直角坐标系内的一点，当以点8、D、E、尸为顶点的四边形

是菱形时，请直接写出点尸的坐标.

9.（2024•重庆•模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线'=办2+陵+3与无轴交于点A（T,。）、3（4,

0）两点，交y轴于点c.

图1

⑴求抛物线的表达式;

(2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，连接AC,过点尸作交于点。，求线段PD长的最

大值及此时P的坐标;

⑶在(2)中线段PO长取得最大值的条件下，过尸点作BC的平行线，交y轴于点尸，将该抛物线向左平

3

移2个单位长度，再向上平移］个单位得到抛物线八点•为y上的一动点，过“点作y轴的平行线,

交直线尸尸于点N,连接将线段"N沿直线板翻折得到线段MK,当点K在，轴上时，请写出所有

符合条件的点K的坐标，并写出求解点K坐标的其中一种情况的过程.

10.(2024•重庆•模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，抛物线>=渥+法+2与无轴交于A(-LO),8(4,0)两

点(点A在点8的左侧)，与>轴交于点C.

⑴求抛物线的表达式;

（2）连接2C,点尸直线3c上方抛物线上（不与8、C重合）的一动点，过点尸作尸尸〃交x轴于点

尸石〃X轴交直线于点E,求PE+拽PF的最大值及此时点P的坐标;

5

⑶将原抛物线沿射线2C方向平移26个单位得到新抛物V,点。为新抛物上y轴左侧的一动点，过点。作

QN〃y轴，过点C作CN〃x轴，直线QN与直线CN相交于点N,连接QC,将AQCN沿直线QC翻折,

若点N的对应点N'恰好落在坐标轴上，请直接写出点N'的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程；若

不存在，请说明理由.

11.（2024•重庆南岸模拟预测）如图，抛物线＞=加+法+2与无轴交于点A（-l,0）,3（4,0）两点（点A在点8

的左侧），与y轴交于点C.

备用图

⑴求抛物线的表达式；

(2)连接BC,点尸是直线BC上方的抛物线上一动点，连接尸CP8,求四边形PCQB面积的最大值及此时点

尸的坐标；

⑶将抛物线y="2+法+2沿射线BC方向平移2君个单位得到新抛物线y',点。为新抛物线上》轴左侧的一

动点，过点。作QN〃y轴，过点C作CN〃尤轴，直线QN与直线CN相交于点N,连接QC,将△QCN沿

直线QC翻折，若点N的对应点N'恰好落在坐标轴上，请直接写出点N'的坐标，并选择一个点写出求解过

程；若不存在，请说明理由.

12.(2024•重庆•三模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-；f+bx+c与直线A3交于点42,0),

B(0,3).直线BC经过点C(T,0).

⑴求该抛物线的函数表达式；

（2）点P是直线2C上方抛物线上的一动点，过点尸作3c于点M,作于点N,求

5PM-而PN的最大值及此时点P的坐标；

⑶将抛物线沿射线54方向平移屈个单位长度得到新抛物线y,点。为平移后的抛物线y与x轴负半轴的

交点，将点。向下平移一个单位得到点E,在直线AE上确定一点。，使得乙BAE=2/BQA,请直接写出

所有符合条件的点。的坐标.

13.（2024・重庆九龙坡•模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2-x+c与无轴交于A,

以2,0）两点，与y轴交于点C,如图所示.点。为抛物线的顶点，点是抛物线上的一点.

⑴求抛物线的解析式;

（2）点P是直线AE上方抛物线上一动点，过点P分别作尸河〃3C交无轴于点M,小〃了轴交直线AE于点

N.求拽PM+PN的最大值及此时点P的坐标；

5

⑶将抛物线沿AE方向平移递个单位长度得到新抛物线，点M是新抛物线的顶点，点p是点£平移后的

2

对应点，点G是新抛物线上一动点，连接班\当NZXB尸+ZFBG=90。时，请直接写出所有符合条件的点G

的坐标.

14.（2024•重庆•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线>=以2+"-3与x轴交于A（-l,。），3两点,

交y轴于点c,抛物线的对称轴是直线苫=坐.

⑴求抛物线的表达式；

(2)点P是直线2C下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点尸作轴交抛物线于点。，作PE，3c于点E,

求PD+好PE的最大值及此时点P的坐标;

2

⑶将抛物线沿射线3C方向平移6个单位，在尸。+包%取得最大值的条件下，点/为点尸平移后的对应

2

点，连接AF交y轴于点点N为平移后的抛物线上一点，若ZNMF-ZABC=45。,请直接写出所有符

合条件的点N的坐标.

15.(2024•重庆开州・模拟预测)如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于4(-2,0),5(4,0)

两点，与y轴交于点C,连接BC.

图1图2

⑴求该抛物线的解析式；

(2)如图1：尸是直线上方抛物线上一动点，连接尸8、PC,求四边形PBOC面积的最大值以及此时点尸

的坐标；

⑶如图2,将抛物线沿射线AC的方向平移20个单位长度得到新抛物线％,。为新抛物线,K上一动点，作

直线BQ交AC所在的直线于点。，是否存在点。满足条件NAD3+ZABC=NC4B,若存在，请写出所有

符合条件的点Q的坐标，并把求其中一个点。的坐标的过程写出来.

题型四：二次函数图像的对称

I指I点I迷I津

1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=-F的差的绝对值相等；

2a

2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称；

2a

3二次函数y=〃/+Z?x+c与ynad-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数丁二。%2+法+。^y=-ax2-bx-c的

图象于x轴对称.

【中考母题学方法】

【典例4】（2024・陕西西安・模拟预测）已知二次函数y=ox2+bx+c（a、b、c为常数，且。<0）的图象经

过A0L6,m），B（4-n,m）,M（-3,r+10）,N（d,6f）四点，且点8在点A的右侧，则［的值不可能是（）

A.-4B.-2C.2D.4

【变式4-1］（2024•内蒙古包头•模拟预测）已知抛物线>=-27湛+4皿+5（”N0）经过（-3,77）和5,77）两点,

则。值为.

【变式4-2］根据局部对称后求交点个数

（2024•湖南常德•一模）将抛物线>=一/+2x+3中x轴上方的部分沿无轴翻折到x轴下方，图像的其余部分

不变，得到的新图像与直线y=“+7篦有4个交点，则机的取值范围是（）

2121

A.m<-5B.---<m<-5C.----<m<-3D.m>-3

44

【变式4-3］根据对称特征确定参数值

（2024•吉林・二模）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线、=办2-6依+。经过点A和3（5,0）（点A在点B

（2）点。为抛物线的顶点，点P在抛物线的对称轴上（不与点。重合），将线段PD绕点P顺时针旋转90。，

点D恰好落在抛物线上的点。处.

①点。的坐标为.

②求点。的坐标.

⑶如图②，将图①中抛物线在x轴下方部分图象沿尤轴折叠到无轴上方，与原抛物线在x轴上方的图象组

成新的图象.

①当尤<1时，图象所对应的解析式为.

②再将新图象沿了轴向左平移机个单位长度，若平移后的图象在TVx<0范围内，y随x的增大而增大，

直接写出机的取值范围.

【中考模拟即学即练】

1.（2024・湖北武汉•模拟预测）我们定义一种新函数：形如y=|依2+6x+c|（awO,〃一4ac>0）的函数叫做"鹊

桥”函数.数学兴趣小组画出一个"鹊桥"函数y=|Y+灰+c|的图象如图所示，下列结论正确的是（）

B.函数值>随x的增大而增大，则x23

C.关于尤的方程产+6元+c|=3的所有实数根的和为4

D.当直线与该图象恰有三个公共点时，则m=1

2.（2024.黑龙江大庆•模拟预测）平面直角坐标系中，已知抛物线%=办?+3办-4a（a是常数，且a<0）,

直线AB过点（0,〃）（-5<〃<5）且垂直于y轴.当。=-1时，沿直线A3将该抛物线在直线上方的部分翻折，

其余部分不变，得到新图象G,图象G对应的函数记为%，且当-5Vx<2时，函数内的最大值与最小值之

差小于7,则”的取值范围为.

3.（2024・江苏无锡•二模）已知二次函数,=方2+及+2（4<0）,点4（左,另），B（6,y2）,C（k+4,yJ均在该二

次函数的图象上，且2<%<必，则上的取值范围为.

4.（2024・四川达州・二模）如图，将抛物线、=-丁+2丈+3在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得

到一新函数图象.若一次函数机的图象与新函数图象有4个公共点，则优的取值范围

是

5.(2025•上海奉贤•一模)二次函数)+bx+c(aw0)的图象经过点A(0,m),B(2,-ni),C(-2,n),£)(-6,-rri),

其中小〃为常数，那么生的值为.

n

s।srsrs范围内的二次函数最值

自变量取值范围图象最大值最小值

无当乂=-二时，二次函数取

2a

得最小值铲

a>04a

当乂=-；时，二次函数取无

全体实数2a

得最大值『

a<04a

当x=x2时，二次函数取当x=-5时，二次函数取

2a

得最大值y2

得最小值丝注

-5--------[AX4a

0.X2

当x=xl时，二次函数取当X一擀时，二次函数取

2a

iL得最大值yi

得最小值用

1X24a

xl《x<x2a>0

当x=x2时，二次函数取当x=xl时，二次函数取

\lx得最大值y2得最小值yi

-W^2

【中考母题学方法】

【典例5】（2024・四川内江・中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上猪肉粽的进价比豆沙粽

的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中，该

商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒.

⑴求这两种粽子的进价；

（2）设猪肉粽每盒售价x元（52WXW70）,，表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），求，关于x的函数表

达式并求出y的最大值.

x+l(x<—5)

【变式5-1］（2024•四川眉山,二模）若函数＞=;当0VxW3时，此时该函数的最小值是

x~—4x+7(x2—5)

A.3B.4C.7D.52

【变式5-2］难点求已知对称轴和自变量取值范围的含参二次函数最值

（2024•安徽蚌埠•模拟预测）已知二次函数y=—+fov+c的图象过4（0,3）,3（2,3）,以3,6）三点

⑴求函数的解析式；

⑵问是否存在优，n（>n<n）,使函数在根4x4〃范围内的最小值是2心，最大值是2九？若存在，求出机，及；