2025年中考数学二轮复习：圆与三角函数综合训练（含答案）

2025年中考数学二轮复习专题：圆与三角函数综合训练

1.如图，△ABC为等腰三角形，O是底边的中点，腰AC与半圆O相切于点。，底边

与半圆。交于E,尸两点.

(1)求证：AB与半圆O相切;

(2)连接。4.若05=4,CF=2,求sin/OAC的

值.

2.如图，在菱形ABCD中，DH_LAB于〃，以D"为直径的分别交AD,BD于点、E,F,

连接EP.

(1)求证：①C。是。。的切线；

②ADEFsADBA；

(2)若AB=5,DB=6,求sin/OEE.

3.如图，AB是O。的直径，点、E,C在。。上，点C是前的中点，A£垂直于过C点的直

线DC,垂足为。，的延长线交直线。C于点尺

(1)求证：0c是。。的切线；

(2)若AE=2,sinZAFD=A,

3

①求OO的半径；

②求线段£>£的长.

4.如图，ZVIBC内接于。。，尸是OO的直径AB延长线上一点，ZPCB=ZOAC,过点O

作BC的平行线交PC的延长线于点D.

(1)试判断PC与的位置关系，并说明理由；/一'''、

(2)若PC=4,tanA=A,求△OCD的面积.-----TV~~^A

5.如图，已知D为上一点，点C在直径区4的延长线上，BE与。。相切，交C。的延

长线于点E,5.BE=DE.

(1)判断CD与。。的位置关系，并说明理由；

(2)若AC=4,sinC=A,

①求。。的半径；B一~----------

②求BD的长.

6.如图，AB为的直径，点C在直径AB上(点C与A,B两点不重合)，OC=3,点。

在O。上且满足AC=A。，连接。C并延长到E点，使BE=BD.

(1)求证：BE是。。的切线；

E

(2)若8£=6,试求cos/C/M的值.\

7.如图，阴、PB是。。的切线，A、3是切点，AC是。。的直径，连接。尸，交。。于点

D,交AB于点E.

(1)求证：BC//OP；

(2)若E恰好是。。的中点，且四边形。4P3的面积是16y，求阴影部分的面积;

(3)若sin/BAC=L,且AO=2畲，求切线外的长.

3

8.如图，已知AB是。。的直径，C为。O上一点，ZOCB的角平分线交。。于点D,F

在直线上，＞DF1BC,垂足为E,连接A。、BD.

(1)求证：。尸是OO的切线;

(2)若tan/A=L,OO的半径为3,求EF的长.

2

9.如图，。是以为直径的。。上一点，过点。的切线DE交A3的延长线于点E,过点

B作BC±DE交AD的延长线于点C,垂足为点F.

(1)求证：A8=8C；

(2)若。。的直径AB为9,sinA=

3

①求线段的长；

②求线段BE的长.

10.如图，在RtzXABC中，ZABC=90°,。为BC边上一点，以。为圆心，02长为半径

的O。与AC边相切于点D,交BC于点£.

(1)求证：AB=AD；

(2)连接若tan/EDC=」，DE=2,求线段EC的长.

11.如图，在△ABC中，ZBAC=90°，点E在BC边上，过A,C,E三点的。。交AB边

于另一点凡且尸是右的中点,AD是O。的一条直径,连接DE并延长交边于M点.

(1)求证：四边形CDMF为平行四边形；

(2)当CZ)=2A3时，求sin/ACF的值.

5

12.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,以斜边AB上的中线CD为直径作与BC

交于点M,与AB的另一个交点为E,过M作MAUAB,垂足为N.

(1)求证：是。。的切线；

(2)若。。的直径为5,sin5=3,求ED的长.

5

13.如图，在RtZXABC中，ZABC=90°,以AB为直径的交AC于点D,AE与过点。

的切线互相垂直，垂足为E.

(1)求证：平分/BAE；

(2)若CD=DE,求sin/BAC的值.

13.如图，在RtzSABC中，ZC=90°,平分/BAC交BC于点。，。为AB上一点,

经过点A、。的O。分别交A3、AC于点瓜F.

(1)求证：BC是。。的切线；

(2)若BE=8,sinB=旦，求的半径；

13

(3)求证：AD2=AB-AF.

参考答案

1.【解答】(1)证明：连接O。，OA,作于H,如图,

:△ABC为等腰三角形，。是底边BC的中点，

J.AOLBC,A0平分NBAC,

：AC与。。相切于点Q,

：.OD±AC,

而

：.OH=OD,

是OO的切线;

(2)由(1)知OD_L4C,

在RtZXOCZ)中，CD=4,0C=0F+CF=0D+2,OD2+CD2^OC2,

：.OD2+42=(OD+2)2

：.OD=3,

CD=1

OC?

在RtAOCA中，cosC=2^=9

AC5

；.sinNOAC=^=匹

AC5

2•【解答】（1）证明：①•••四边形ABC。是菱形,

：.AB//CD,

'：DH±AB,

：.ZCDH=ZDHA=9Q°,

：.CD±OD,

VO为O。的半径的外端点,

.♦•。）是。0的切线；

②连接HF,

：.ZDEF=ZDHF,

；。口为。0直径,

：.ZDFH=9Q°,

ZDHF=9Q°-ZBDH,

:/DHB=90°,

：.ZDBA=90°-ZBDH,

：.ZDHF=ZDBA=ZDEF,

'：ZEDF=ZBDA,

.♦.△DEFSADBA；

(2)解：连接AC交BD于G.

:菱形ABCD,BD=6,

：.AC±BD,AG=GC,DG=GB=3,

在Rt^AGB中，AG=^Ag2_GB2=4,

：.AC=2AG=S,

菱形ABCD=LAC.8O=AB.。”，

2

由ADEFsADBA知：ZDFE=ZDAH,

24

sinZDFE=sinZDAH=

AD525

3.【解答】(1)证明：连接OC,

'CADLDF,

：.ZD=90°,

:点C是熊的中点,

•••CE=CB>

：.ZDAC=ZCAB,

：.OA=OC,

：.ZCAB=ZOCA,

：.ZDAC=ZOCA,

：.AD//OC,

：.ZOCF=ZD=90°,

：0(^是。0的半径，

•..DC是O。的切线；

(2)解：①过点。作OGLAE,垂足为G,

：.AG=EG=^AE=\,

2

•;OG±AD,

/.ZAGO=ZDGO=90°,

VZD=ZAGO=90°,

：.OG//DF,

：.ZAFD=ZAOG,

VsinZAFD=^-,

3

/.sinZAOG=sinZAFD=」,

3

在RtZXAGO中，AO=————=—=3>

sinZAOG1

3

•••。。的半径为3；

②：/OCF=90°,

：.ZOCD=ISO°-ZOCF=90°,

；/OGE=/D=90°,

四边形OGDC是矩形,

OC=Z)G=3,

VG£=1,

:.DE=DG-GE=3-1=2,

线段。E的长为2.

4.【解答】解：(1)尸C是O。的切线，理由如下:

,：AB是。。的直径，

；.NAC8=90°,

：.ZOAC+ZOBC=90°,

OB=OC,

：.ZOBC=ZOCB,

•：ZPCB=ZOAC,

：.ZPCB+ZOCB^90°,

ZPCO=90°,即OC±PC,

•；OC是半径，

.♦•PC是。。的切线；

(2)在RtZXACB中，tanA=里,

AC

tanA=—,

2

•BC=1

'ACT

.*ZPCB=ZOAC,ZP=ZP,

•.△PCBsAR4c,

•PB=PC=BC=2

,PCPAAC

：PC=4,

,.PB=2,B4=8,

\AB=PA-PB=8-2=6,

\0C=0B=0A=3,

：BC//OD,

•.电型，即2上，

CDOBCD3

\CD=6,

：OC±CD,

-SAOCDVOC'CD=1X3X6=9'

5•【解答】解：（1）结论：CD是。。的切线;

理由：如图，连接OD

■:EB=ED,OB=OD,

:./EBD=/EDB,ZOBD=ZODB,

•IB石是。。的切线，03是半径，

OB±BE,

：.ZOBE^90°,

：./EBD+/OBD=90°,

；.NEDB+NODB=90°,

：.OD±DEf

•・・。。是半径，

・・・CD是。。的切线;

(2)①设OD=OA=r,

'：OD±CD,

0D=^

OC5

•r=1

"THy

，OO的半径为2；

②在RtACOZ)中，CD={UC2_UD2=^62_22=4祀,

,：AB是直径，

AZADB^90°,

：.ZDBA+ZBAD=9Q°,

,：OD^OA,

：.ZOAD=ZODA,

'：ZADC+Z0DA=9Q°,

ZADC=ZCBD,

vzc=zc,

/.△CDA^ACBD,

.AD=AC=4=&

"BDCD4V22'

设AD=Mk,BD=2k,

'：AD1+BD1=AB1,

：.(&%)2+⑵)2=42,

：.k=^-(负根已经舍去)，

3

:.BD=2k=4通.

3

6.【解答】(1)证明：为。。的直径,

/.ZADB=9Q°,

AZBDE+ZADC=90°,

'：AC=AD,

：.ZACD=ZADC,

'：ZACD=ZECB,

:・NECB=NADC,

•；EB=DB,

：./E=/BDE,

：.ZE+ZBCE=90°,

AZEBC=180°-(NE+NECB)=90°,

〈OB是。。的半径，

・・・35是。。的切线；

(2)解：设。。的半径为厂，

OC=3,

：.AC=AD=AO+OC=^r,

•；BE=6,

；・BD=BE=6,

在RtAABO中，B£>2+A£>2=AB2,

A36+(r+3)2=(2r)2,

n—5,n—~3(舍去)，

：.BC=OB-OC=5-3=2,

在RtAEBC中，EC=/EB2+BC2==2^/10，

cosNEC2=幽=―\,

EC2^/1010

AcosZCDA=cosZECB=,

_10

：.cosZCDA的值为H.

10

7.【解答】(1)证明：：孙，尸8是。。的切线，

：.PA=PB,

"：OA=OB,

：.OP±AB,

-AC是直径，

ZABC=90°,

：.BC.LAB,

：.BC//OP.

(2)神军：VOE=DE,AB±OD,

：.AO=AD,

：.AD=OA^OD,

•••△AO0是等边三角形，

・・・NAO£>=60°,

设0E=机，则加，OA—2m,OP—4m,

*/四边形OAPB的面积是16次，

・・.JL・OP・A5=16V§,

2

AZAOD^ZBOD^60°,

AZAOB=2ZAOD=120°,

「・S阴=S扇形OAB-S/^AOB—12°兀'/_岂X4EX2=&L-4V3.

36023

(3)解：在RtZ\AOE中，sin/CAB=i^=L,

AO3

•••可以假设OE=X,则。4=。。=3%DE=2x,AE=I/QA2-0E2=V(3X)2-X2=2^

X，

在RtZ\A。5中，A£)2=AE2+DE2,

・・・(273)2=(2缶)2+⑵)2,

.\x=l或-1(舍弃)，

：.OE=l,OA=3,AE=2点,

・・・胡是切线，

：.PA±OA,

：.ZOAP=90°,

：.ZCAB+ZBAP=90°,NAPO+NB45=90°,

：.ZCAB=ZAPO,

，sin/APE=sin/CAB=」=理^

3PA

PA=3AE=6•■[2■

8.【解答】解：（1）如图，连接OD,

OC=OD,

：.ZODC=ZOCD,

：CZ）平分/OCS

ZOCD=ZBCD,

：.ZODC=ZBCD,

C.OD//CE,

：.ZCEF=ZODE,

\'CE±DF,

：.ZCEF=90°,

ZODE=90°,即ODLDF,

；.DF是。。的切线；

（2）：AB是。。的直径，

ZADB=90°,

.,.tanZA=-^=A,则AD=2BD,

AD2

在中，NADB=90°,AB=2r=6,

：.BD2+AD2=AB2,即BZ）2+（28。）2=62,

解得瓦）=旦区，

5

由（1）知o尸是。o的切线，

：.ZBDF=ZA,

,：BELDF,

：.ZBEF=90°,

：.tanZBDF=^=^~,则。E=2BE,

DE2

在RtZkBOE中，BD=旦叵，

5

由勾股定理可得，BE1+DE1=Bb1,即B烂+（2BE）2=（逃）2,

解得BE=旦，则

55

由（1）知

9.【解答】解：（1）证明：连接OD,如图1,

•・・。石是。。的切线，

：.ODA.DE.

VBCXDE,

J.OD//BC,BE

：.ZODA=ZC,

•・・Q4=OO,

：.ZODA=ZA.

：.NA=NC.

：.AB=BC.

(2)①连接5。，则NAD8=90°,如图2,

在中，

・.・sinA=@U」，AB=9,

AB3

：.BD=3.

•：OB=OD,

：・/ODB=/OBD.

VZOBD+ZA=ZFDB+ZODB=90°,

NA=/FDB.

/.sinZA=sinZFDB.

在/中，

VsinZBZ?F=^=A,

BD3

：.BF=\.

②由(1)知：OD//BF,

，△EBFs^EOD.

.BEBF

••---------------•

OEOD

解得：BE=9.

7

10.【解答】(1)证明：3c=90°,

：.ABLOB,

,：AB经过OO半径的外端点B,

切。。于点B,

又。。与AC边相切于点D,

：.AB=AD.

(2)解：如图,

连接8。，

,:BE为OO的直径，

:./BDE=9U°,

:.NCDE+/ADB=90°,

又

ZADB=ZABD,

：.ZCDE+ZABD=90°,

VZABC=90°,

ZABD+ZEBD=9Q°,

ZEBD=ZEDC,

又：tan/EDC总，

tan/EBDV，

即迈」，

BD2

"：DE=2,

BD=4,BE=2,

又ZEBD=ZEDC,

:.ACDEsACBD,

.CEDCDE1

，'DC'BC"BD'"2，

设CE=x,则。C=2x,

（2X）2=X（X+2\/5>

AXI=O（舍去），x12遥,

x23

即线段EC的长为R支.

3

11.【解答】（1）证明：连接EF,

VZBAC=90°,

•••PC是的直径，

是源的中点，

AF=EF>

ZADF=ZEDF,

'：OF=OD,

：.ZADF=ZOFD,

：.ZOFD=ZEDF,

：.FC//DM,

"：OA=OD,OF=OC,ZBAC=9Q°,

四边形AFL>C为矩形，

：.AF//CD,

.••四边形CDMP为平行四边形；

（2）解：：四边形AFDC为矩形，四边形CDMF为平行四边形,

：.CD=AF=FM=EF,

•：CD=^AB,

5

：.CD=2（2CD+BM）,

5

：.CD=2BM,

■:BM//CD,

,△BEMsACED,

.BM=BE=2

"CDEC~2

：.EC=2BE,

设BM=a,则CD=2a,BF=3a,EF=2a,

在RtABEF中,BE=JBF2-EF1='、'5a,

D

.,.EC=2y/Sa,

在RtZ\C£尸中，FC=I/EF2+EC2=A'

在Rt△砌C中，sin/ACF=£E=/=9

FC276a6

12.【解答】（1）证明：连接。W,如图1,

"：OC=OM,

：.ZOCM=ZOMC,

在RtAABC中，CD是斜边AB上的中线,

:.CD=LAB=BD,

2

：.ZDCB=ZDBC,

：.ZOMC=ZDBC,

J.OM//BD,

'：MN±BD,

：.OM±MN,

过O,

:.MN是OO的切线；

(2)解：连接。M,CE,

：CO是。。的直径，

ZCED=90°,NDMC=90°,

BPDMIB