2025年中考数学二轮复习：三角形的性质与判定（解析版）

专题04三角形的性质与判定

目录

题型特训-精准提分

题型01三角形的三边关系

题型02与三角形有关线段的综合问题

题型03三角形内角和定理与外角和定理综合问题

题型04三角形内角和与外角和定理的实际应用

题型05线段垂直平分线和角平分线综合

题型06特殊三角形的性质与判定

题型07勾股定理、勾股定理逆定理与网格问题

题型08与三角形有关的折叠问题

题型09赵爽弦图

题型10利用勾股定理解决实际问题

题型11求最短距离

题型12勾股定理逆定理的拓展问题

题型13判断图形中与已知两点构成等腰三角形的点的位置

题型14判断图形中与已知两点构成直角三角形的点的位置

・干中个考心逆次袭~•间高双效宋集叫训--------------------（时间：60分钟）

题型特训-精准提分

题型01三角形的三边关系

1.（2023•广东广州•广州市越秀区明德实验学校校考模拟预测）等腰三角形的一边长是3,另两边的长是关

于x的方程/—10%+k=0的两个根，则上的值为（）

A.21B.25C.21或25D.20或24

【答案】B

【分析】结合根与系数的关系，分已知边长3是底边和腰两种情况讨论.

【详解】解：设关于x的方程x2-10x+k=0的两个实数根分别为b.

方程x2-10x+^=0有两个实数根，则△=100-4心0,得K25.

①当底边长为3时，另两边相等时，则。+6=10,

.•.另两边的长都是为5,

・•k'='db'='25；

②当腰长为3时，另两边中至少有一个是3,则3一定是方程10尤+左=0的根，

则32-10x3+4=0

解得k=21

解方程/-10尤+21=0

解得另一根为：x=7.

V3+3<7,不能构成三角形.

••"的值为25.

故选：B.

【点睛】本题考查了一元二次方程以2+云+°=0和）的根的判别式△=〃-4ac：当A>0,方程有两个不

相等的实数根；当△=（）,方程有两个相等的实数根；当△<（）,方程没有实数根.也考查了三角形三边的关

系以及等腰三角形的性质.

2.（2021•甘肃兰州•模拟预测）如图，在△ABC中，AB=4,AC=2,点。为BC的中点，则的长可能是

)

A

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】延长AD到E,使。E=A。，连接BE.证AADCZZXEOB(SAS),可得2E=AC=2,再利用三角

形的三边关系求出AE的范围即可解决问题.

【详解】解：延长A£)到E,使。E=A£>,连接BE,

在AAOC和AEDB中，

'AD=ED

/.ADC=4EDB，

.CD=BD

；.AADC咨/XEDB(SAS),

：.BE=AC=2,

在AABEfp,AB-BE<AE<AB+BE,

即2<24D<6,

解得1<AO<3,

故选：B.

【点睛】本题考查了三角形的全等判定和性质，三角形三边关系定理，熟练证明三角形的全等是解题的关

键.

3.(2023•河北・统考模拟预测)已知一个三角形的第一条边长为3a+b,第二条边长为2a-6

(1)求第三条边长机的取值范围；(用含a,b的式子表示)

(2)若a,b满足|a-5|+(b-2)2=0,第三条边长小为整数，求这个三角形周长的最大值

【答案】(l)a+2b<m<5a

(2)49

【分析】(1)根据三角形三边关系定理即可得出结论；

(1)根据绝对值和平方的非负性可确定a,b的值，从而得出M的最大值，即可得出结论.

【详解】(1)解：二•三角形的第一条边长为3a+b,第二条边长为2a-b,

二第三条边长m的取值范围是3a+b-(2a-b)<m<3a+b+(2a-b),

即a+2b<m<5a,

第三条边长m的取值范围是a+2b<m<5a；

(2)\'a,b满足|a-5|+(b-2)2=0,第三条边长zn为整数，

.fa-5=0

F-2=0'

.(a—5

=2'

5+2x2<m<5x5,即9<m<25,

则三角形的周长为：3a+b+(2a—b)+m—5a+m-25+m,

为整数，

rn可取最大值为24,

此时这个三角形周长的最大值为25+24=49,

•••这个三角形周长的最大值为49.

【点睛】本题考查三角形三边关系定理，绝对值和平方的非负性，不等式组的整数解，三角形的周长.掌

握三角形三边关系定理是解题的关键.

4.(2023•广东江门•二模)己知关于x的方程/+(3k—2)x—6k=0.

(1)求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；

(2)若等腰三角形448(7的一边。=6,另两边长仇c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长.

【答案】(1)见解析

⑵14

【分析】(1)计算方程的根的判别式，若A=F-4ac20,则方程总是有实数根；

(2)已知a=6,贝ija可能是底，也可能是腰，分两种情况求得b、c的值后，再求出△48C的周长，注意两

种情况都要用三角形三边关系定理进行检验.

【详解】(1)证明：：△=所一4ac

=(3fc-2产—4•(-6k)

=9/—12k+4+24k

=9fc2+12/c+4

=(3k+2¥>0,

.♦•无论k取何值，方程总有实数根；

(2)解：①若a=6为底边，贝！|b,c为腰长，b=c,△=0,

.•.(3k+2/=0,

解得：fc=­I，

此时原方程化为一一4x+4=0,

二%=%2=2,即b=c=2,

此时△ABC三边为6,2,2不能构成三角形，故舍去；

②若a=6为腰，则b,c中一边为腰，

把x=6代入方程，62+6(3/c—2)—6k=0,

k=—5,

则原方程化为％2-8x+12=0,

(%—2)(%—6)=0,

••%1=2,%2=6,

此时AABC三边为6,6,2能构成三角形，

综上所述：△ABC三边为6,6,2,

周长为6+6+2=14.

【点睛】本题主要考查了根的判别式及三角形的三边关系定理，注意求出三角形的三边后，要用三边关系

定理检验.

题型02与三角形有关线段的综合问题

1.(2023•浙江杭州・统考二模)如图，在RtZkABC中，AABC=90°.

A

BC

(1)若4C=32。，求乙4的度数.

(2)画乙4BC的平分线BD交AC于点D,过点。作DE14B于点E.若4B=3,BC=4,求0E的长.(画图工

具不限)

【答案】(1)乙4=58。

(2)作图见解析；DE=卷

【分析】(1)根据直角三角形两锐角互余求出乙4的度数即可；

(2)根据题意作图，过点。作DF1BC于点R根据角平分线的性质得出DE=DF,根据S—BC=S0BD+

SACBD得出+BC)XDE=6,求出DE即可.

【详解】(1)解：VRtAXBC^，/.ABC=90°,NC=32°,

/.Z.A=90°-Z,C=90°-32°=58°；

(2)解：如图，BD为所求作的角平分线，DE为所求作的垂线；

过点。作DF1BC于点尸，

平分4aBC,DE1AB,DF±BC,

：.DE=DF,

11

■:S^ABC=3xABxBC=-x3x4=6,

又,^LABC=S〉ABD+S^CBD

11

=-ABxDE+-BCxDF

22

=^-1(AB+BC)xDE,

：.^AB+BC)XDE=6,

即：(3+4)XDE=6,

【点睛】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的性质，三角形面积的计算，解题的关键是理

解题意，作出辅助线，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等.

2.（2023・陕西西安•一模）（1）请在图中过点4画一条直线，将△ABC分成面积相等的两部分;

（2）如图，在平行四边形2BCD中，请过顶点力画两条直线将平行四边形4BCD的面积三等分，并说明理由;

（3）如图，农博园有一块四边形A8CD空地，其中48=60m,BC=80m,CD=100m,XD=120m,=90°,

点P为边力。的中点.春天到了，百花齐放，农博园设计部门想在这片空地上种三种不同的花卉，要求三种

花卉的种植面积相等，现规划，从入口P处修两条笔直的小路（小路的面积忽略不计）方便游客赏花，两条

小路将这块地的面积三等分，请通过计算、画图说明设计部门能否实现规划，若能，请确定小路尽头的位

置；若不能，请说明理由.

D

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）能实现.点。在BC上，当CQ=62.5米时，PQ,PC将四边形ABC。的

面积三等分，即小路为PQ、PC.

【分析】（1）取BC的中点D,作直线AD即可；

（2）分别取BC、DC边上的两个三等分点D、E,且CE=^CD,作直线2D,4E即可；

（3）连接PC,PB,PB交AC于点J,过点P作于点点Q在BC上，连接PQ,设CQ=x米.首先证

明S-CB=S—PC=SACDP，再利用面积法求出CQ,可得结论.

【详解】解：（1）如图，取BC的中点。，作直线4。，则直线2。即为所求.

(2)如图，分别取BC、DC边上的两个三等分点D、E,且CD=18C,CE=Q,作直线4D,AE,则直

线4。、4E即为所求.

理由：连接4C.

•e•^LABC=S^ACD=2$团4BCD

〈CD—BC,CE=-CD,

33

.2121

•,^^ABD=^LABC~3^ABCD9LADE=LADC~^^\ABCD

,・S四边形/QCE=S目ABC。—^^ABD~LADE=3^^ABCD9

•・S^ABD=SAADE=S四边形4DCE.

(3)能实现.理由如下:

能，理由如下:

PB交4c于点),过点P作PH1C8于点H.点Q在BC上，连接PQ,设CQ=x米.

•••AB=60米，BC=80米，4ABe=90°,

•••AC=yjAB2+BC2=V602+802=100米,

•••CD=100米,

CA=CD,

■：AP=PD=60米,

・•・CP1AD,

・•・CP=y/AC2-AD2=V1002-602=80米,

/.AB=AP,CB=CP,

在和△4PC中，

AB=AP

BC=PC,

AC=AC

/.△ABC三△APC(SSS),

•••S—CB=S^APC=S〉CDP1

vAB=AP.CB=CP,

ACIBP,BJ=PJ,

1i

•••LAB,BC=LAC,BJ,

22J

・•.PB=2BJ=96米，

•・•PHIBC,

・•.Z.PHC=Z.ABC=90°,

・•・AB\\PHf

・•・（ABJ=乙BPH,

•••cosZ-ABJ=cos乙BPH,

.巴..也

ABPB1

.48_PH

,,—,

6096

・•・PH=76.8米，

当SMCQ=S—CB时，-xxx76.8=-x60x80,

•*,x—62.5,

・•・当CQ=62.5米时，PQ,PC将四边形/BCD的面积三等分，即小路为PQ、PC.

【点睛】本题属于四边形综合题，考查了四边形的面积，三角形的面积，全等三角形的判定和性质等知识,

解题关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.

3.（2023•湖北武汉•校考一模）如图，已知△力BC,M为边4C上一动点，AM=mMC,。为边8c上一动点,

BD=nDC,BM交4。于点N.

A

M

(1)【问题提出】三角形的三条中线会相交于一点，这一点就叫做三角形的重心，重心有很多美妙的性质,

请大家探究以下问题

若租=n=1,则黑=______(直接写出结果)

MN

(2)【问题探究】若机=1,猜想黑与“存在怎样的数量关系？并证明你的结论

(3)［问题拓展】若m=1,n=2,则S'=______(直接写出结果)

S四边形CDNM

【答案】⑴2

c、BN„

⑵丽=2n

(3)|

【分析】(1)连接DM,根据m=n=l,AMmMC,BD=nDC,可得MD是△ABC的中位线，从而可证

ANDM〜4NAB,即可得到现=丝，即可求出结果；

MNMD

⑵过点B作BEIIAC,交4D的延长线于点E,根据m=1可得"=2AM,证明△BDE-△CD4可得第=等=

n,从而可得BE=再证明△ANMENB,即可求出结果；

(3)过点A作4。IBM,AG1BC,根据巾=1,n=2,可得BM是△4BC的中线，BD=2DC,由(2)

可知翳=2n-4,设4。-a,AG-b,MN=x,分别表示出SAANM=|ax,S四边形=\ax'即可求解.

【详解】（1）解：如图，连接0M,

m=n=1,AM=mMC,BD=nDC,

AM=MC,BD=DC,

・••点I）、M分别是BC、ZC的中点，

・•・MO是△48C的中位线，

AB=2MD,MDWAB,

••・Z-MDA=乙BAD,Z-BMD=Z.ABM,

.*.△NDM〜△NAB,

BN_AB_2MD_?

MN~MD~MD~'

故答案为：2.

（2）解：过点5作BEII/C,交的延长线于点E,

vm=1,

AC=2AM.

•・•BE\\ACf

Z.AEB=Z-CAE,乙CBE=Z.ACB,

•••ABDE—△CDA,

—BD=—BE,

DCAC

又BD=nDC,

BEnDC

二一=—=n,

ACDC

・•・BE=nAC=nx2AM—2nAM,

又•；（MAN=^NEB,乙AMN=LEBN,

・•・△ANM〜&ENB,

BNBE2nAM仁

•••——=—=---=2Tl.

MNAMAM

A

(3)解：过点A作ZO_LBM,AGIBC,

•:m=n=2,

AM=MC,BD=2DC,

・•・8M是的中线，

•••^LABM-^LBMC9

设4。=a,AG=b,MN=x,

由(2)可知空=2n=4,

NM

・•.BN—4x,

,:SkANM=-XaXMN=-CLX,

S>ABN=5xax4x—2a%,

S△力BM=~ax+2ax—~ctx,

*,•S>ABC=2x~ctx,—5tzxf

又因为S—BC=5xbxBC=-xbx3DC=3s△公。「

c1c1K-5

,,S〉ADC—gS^ABc=&x5ax--ax,

Q_SC_51_7

四边形=

•'3NOCM=*^Ai4DC-~CLX—~aX=~aXf

ax

•,•-S-^-A-N--M-----_72--—_—3.

S四边形CONM6aX7

A

8GDC

【点睛】本题考查了中位线的性质和判定、三角形相似的性质和判定和平行线的性质及中线的性质，准确

作出辅助线，构造相似三角形是解题的关键.

题型03三角形内角和定理与外角和定理综合问题

1.（2022.安徽.一模）将两个直角三角板如图摆放，其中NBC4=NEDF=90。，=45°,乙4=30。，BC与

DE交于点P，AC与。尸交于点。.若力BIIEF,贝UNDPC—NDQC=（）

A.40°B.32.5°C.45.5°D.30°

【答案】D

【分析】根据常用直角三角板的角度，先把各角表示出来，再利用平行线性质及外角性质分别求出乙DPC和

Z.DQC,作差即可.

【详解】解:在RtAZBC中,2LBCA=90°,乙4=30。,则NB=60。,

在RtADE尸中,Z.EDF=90°,NE=45。,则ZF=45。,

•••ABWEF,

.­./.ACF=NA=30°,/.BCE=NB=60°,

•••乙DPC=NE+乙BCE=45°+60°=105°,ADQC=NF+/.ACF=45°+30°=75°,

.­./.DPC-乙DQC=105°-75°=30°,

故选：D.

【点睛】本题考查求角度问题，涉及到常见三角板的内角、平行线性质和外角性质，准确将题中数据与图

形对应起来得到关系是解决问题的关键.

4.（2022・安徽合肥・二模）如图是一款手推车的平面示意图，其中AB〃CD,43=150。，zl=30°,则42的

A.60°B.70°C.80°D.90°

【答案】A

【分析】如图/3的顶点用厂表示，N2的顶点用E表示，根据AB〃C£>,得出Nl=/A=30。，根据领补角

互补得出/4匹=180。-/3=180。-150。=30。，根据三角形外角性质求解即可.

【详解】解：如图/3的顶点用尸表示，N2的顶点用E表示，

'：AB//CD,

/.Zl=ZA=30°,

VZ3+ZAFE=180°,

二ZAFE=180°-Z3=180°-15O°=3O°,

是△AE尸的外角，

Z2=ZA+ZAFE=3O°+3O°=6O°.

【点睛】本题考查平行线性质，领补角互补性质，三角形外角性质，掌握平行线性质，领补角互补性质，

三角形外角性质是解题关键.

3.（2023・广东广州•统考一模）在“玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸片的一角，如图所示，发现得

到的N1与N2的和总是一个定值.则N1+Z2=度.

【分析】由等边三角形的性质可得乙4=60。，再根据三角形外角的性质和内角和定理即可求解.

【详解】解：如图，

A

•*.Z-A=60°,

•・•41=+Z-AED,42=匕4+乙ADE,

..・41+42=+/.AED+4/+Z-ADE,

vZ.AED+4/+/.ADE=180°,

.•・41+42=乙4+180°=60°+180°=240°,

故答案为：240.

【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形外角的定义和性质，三角形内角和定理等，解题的关键是掌

握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.

4.（2022•河北秦皇岛•统考一模）如图，用铁丝折成一个四边形A8CZX点C在直线8。的上方），且/A=70。，

ZBCD=120°,若使/ABC、NA£）C平分线的夹角NE的度数为100。，可保持NA不变，^ZBCD（填

【分析】利用三角形的外角性质先求得/ABE+NADE=30。，根据角平分线的定义得到NABC+NA£>C=60。,

再利用三角形的外角性质求解即可.

【详解】解：如图，连接AE并延长，连接AC并延长，

ZBED=ZBEF+ZDEF=ZABE+ZBAD+ZAZ)E=100°,

"?/BAD=70。,

：.ZABE+ZADE=30°,

,:BE,OE分别是/ABC、NAOC平分线，

/.ZABC+ZADC=2(ZABE+ZADE)=60°,

同上可得，ZBCD=ZBAD+ZABC+ZADC=130°,130°-120°=10°,

增大了10°.

故答案为：增大，10.

【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，熟练运用题目中

所给的结论是解题的关键.

5.(2022•江西吉安・统考二模)如图，在A4BC中，NABC的平分线交NACB的平分线CE于点O.

(1)求证：A.BOC=+90°.

(2)如图1,若乙4=60。，请直接写出BE,CD,BC的数量关系.

(3)如图2,ZA=90°,尸是瓦)的中点，连接PO.

①求证：BC-BE-CD=2OF.

②延长R9交BC于点G,若。尸=2,ADE。的面积为10,直接写出OG的长.

【答案】(1)见解析

⑵BE+CD=BC,

(3)①见解析；②0G=5

【分析】(1)先根据三角形内角和得：ZBOC=180°-(ZOBC+ZOCB),由角平分线定义得：ZOBC^ZABC,

ZOCB^ZACB,最后由三角形内角和可得结论；

(2)在8C上截取证明ABOE四△80M,推出/BOE=/BOAf=60。，再证明AOCOg△MCO可得

结论；

(3)①延长。尸到点使证明AO。/丝AAffi/(SAS),推出OD=£M.过点。作CE,8。的垂

线，证明AOBE丝AOBKIAAS)和△OOCgAOHC,推出EO=OK,OD=OH=EM,BE=BK,CD=CH.据止匕即

可证明结论；

②利用①的结论以及三角形面积公式即可求解.

【详解】(1)证明：平分/ABC,C£1平分NAC2,

11

AZOBC=-ZABCZOCB=-ZACB,

22f

：./BOC=l80o—(NOBC+NOCB)

=180。-：(ZABC+ZACB)

=1800-1(180。-NA)

一NA+90。；

2

(2)解：BE+CD=BC.

在3C上截取5M=BE,连接OM,如图：

1

ZBOC=-ZA^90°=nO°,

2

：.ZBOE=60°,

0平分NA3C,

JNEBO=/MBO,

/.^BOE^ABOM,

：.ZBOE=ZBOM=60°,

：.ZMOC=ZDOC=60°,

・・,OC为NDCM的角平分线,

ZDCO=ZMCO,

在△OC。与△MCO中，

2DCO=匕MCO

OC=OC,

ZMOC=乙DOC

：.ADCO^AMCO(ASA),

:.CM=CD.

：.BC=BM+CM=BE+CD；

(3)①证明：如图，延长。尸到点M,使MF=OF,连接EM,

・・,/是EO的中点，

：.EF=DF,

・・・NDFO=NEFM,

.,.△ODF^AMEF(SAS),

JOD=EM.

过点。作CE,B£＞的垂线，分别交5。于点K,H,

：.ZOCK+ZOKC=90°.

ZA=90°,

・•・ZACE+ZAEC=90°

/ACE=/OCK,

：./AEO=/OKC,

：.ZBEO=ZBKO,

・•・ZkOBE丝△03K(AAS),

同理可得△ODC2△O〃C,

：.EO=OK,OD=OH=EM,BE=BK,CD=CH.

由（1）可知/。0£*=N50。=多90。+90。=135。，

・•・ZBOE=ZCOD=45°,

：./OEM=/KOH=45。,

:・&0ME”2KH0,

:・KH=OM,

：.KH=20F.

,：BC-BK-CH=KH=20E,

：.BC—BE-CD=KH=20F；

②解：♦：AOME/AKHO,

：.ZEOM=ZOKH,

：.FG±BC.

由①可知KH=2OF=4,△ODF沿kMEF,

：.DEO=OME=S^KHO=10,

i

：.KHxOGx-=10,

2

：.OG=5.

【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形全等的性质和判定.解题的关键是灵活

运用所学知识解决问题.

6.（2023•山东青岛・统考一模）【阅读理解】

三角形内角和定理告诉我们：如图①，三角形三个内角的和等于180。.

如图②，在△ABC中，有N4+乙4BC+NC=180。，点。是延长线上一点.由平角的定义可得NABC+

^CBD=180°,所以NCBD=N4+NC.从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻

的两个内角的和.

A

AAA

图①图②图③图④

【初步应用】

如图③，点。，£分别是AZBC的边AB,"延长线上一点，

(1)若44=60。，ZC5D=110°,贝UNACB=°；

(2)若N4=60°,4CBD=110°,贝U/CBD+乙BCE=°；

(3)若Z71=ni°,则NCBD+N8CE=°.

【拓展延伸】

如图④，点。，E分别是AABC的边AB,AC延长线上一点，

(4)若乙4=60。，分别作NC8D和N8CE的平分线交于点O,则NBOC=°；

(5)若NA=60°,分另I]作NCBD和N8CE的三等分线交于点。，5.ZCB0=|zC5D,乙BCO=，BCE,贝1|

ZBOC=°；

(6)若N4=zn。，分另!J作NCBD和NBCE的”等分线交于点O,MzCSO=-^CBD,^BCO=-ABCE,贝(]

nn

ABOC=°.

【答案】(1)50；(2)240；(3)(m+180)；(4)60；(5)100；(6)(180-q-詈).

【分析】(1)根据三角形外角的性质求解即可；

(2)根据三角形外角的性质结合三角形内角和定理求解即可；

(3)由(2)同理求解即可；

(4)根据角平分线的定义可得出NCB。=，CBD,乙BCO=3LBCE,即可求出NCB。+NBC。=

|(ZCF£)+ZSCE),再结合(2)即得出NCB。+ABCO=120。，最后由三角形内角和定理求解即可；

(5)由4CB0=14C8D,乙BCO=g乙BCE,即可求出NCBO+NBCO=[(NCBD+NBCE),再结合(2)即

得出NC8。+NBC。=80°,最后由三角形内角和定理求解即可;

(6)由NCBO=^NCB。，ABCO=-ABCE,即可求出NCBO+NBC=L(NCBD+NBCE),结合(3)可知

nnn。

ACBO+^BCO=-(m+180)°,最后由三角形内角和定理求解即可.

n

【详解】(1)由三角形外角的性质可得出N4CB=NCBD—41=110。—60。=50。.

故答案为：50；

(2)VzCBD=^A+AACB,^BCE=^A+^ABC,

•Z-CBD+Z-BCE=Z-A+Z-ABC+z-A+Z-ACB.

Vz7l=60°,乙ABC+NA+^ACB=180°,

；・CCBD+乙BCE=240°.

故答案为：240；

(3)由(2)同理可得NCBD+NBCE=NA+N4BC+Na+NACB.

'：/.A=m°,/.ABC+AA+乙4cB=180°,

：.^CBD+ABCE=m°+180°=(m+180)0

故答案为：(6+180)；

(4).."CBD和NBCE的平分线交于点O,

:.乙CBO=-Z.CBD,乙BCO=-2.BCE,

22

111

乙CBO+乙BCO=-乙CBD+-乙BCE=-(乙CBD+乙BCE).

222'"

由(2)可知NCBD+NBCE=240。，

:.乙CBO+乙BCO=120°,

:.乙BOC=180°-(乙CBO+ZBCO)=60°.

故答案为：60；

(5),:乙CBO=-Z.CBD,乙BCO=-A.BCE,

33

ill

：.Z.CBO+乙BCO=-ACBD+-Z.BCE=-{/.CBD+乙BCE).

由(2)可知NC80+乙BCE=240°,

:.乙CBO+ABCO=80°,

：.^BOC=180°-(NCB。+NBC。)=100°.

故答案为：100；

11

(6),:4CBO=-Z.CBD,Z.BCO=-/.BCE,

nn

:.乙CBO+NBC。=-/.CBD+-/.BCE-QCBD+乙BCE）,

nnn

由（3）可知NCBD+乙BCE=（m+180）°,

乙CBO+Z.BCO=（（m+180）°,

乙BOC=180°-i（m+180）°=（180一:一詈）

故答案为：（180—詈）.

【点睛】本题考查三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，角平分线的定义和角的”等分点的定义.利

用数形结合的思想是解题关键.

题型04三角形内角和与外角和定理的实际应用

1.（2023•江西吉安•模拟预测）苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的.随着研究的不断深入，发

现苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等（如图1）,组成了一个

完美的六边形（正六边形），图2是其平面示意图，贝此1的度数为（）

图1图2

A.130°B.120°C.110°D.60°

【答案】B

【分析】根据正六边形的内角和公式求出NB4F的度数，再根据等腰三角形的性质求乙4BF的度数，同理可

得NE4F的度数，根据三角形内角和定理即可求解.

【详解】解：,••六边形力BCDEF是正六边形，

：.AB^AF^EF,NB4F=鱼论理=120。，

6

：./.ABF=AAFB=IQ—"。。=30。，

2

同理4E/F=30°,

Azl=180°-30°-30°-120°,

故选：B.

【点睛】本题考查正多边形内角和的计算以及三角形公式，”边形的内角和为180。•（＞-2）.

2.（2023・山西太原•模拟预测）绿色出行，健康出行，你我同行.某市为了方便市民绿色出行，推出了共享

单车服务.图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中ZB,CD都与地面平行,

乙BCD=68°,乙BAC=52°.已知4M与CB平行，贝IJNMAC的度数为（）

图1图2

A.70°B.68°C.60°D.50°

【答案】C

【分析】根据平行线的性质可得乙4BC=乙BCD=68°,根据三角形的内角和定理可得乙4cB=180°-68°-

52°=60。，再根据平行线的性质即得答案.

【详解】解：'：AB,CD都与地面平行,乙BCD=68°,

：.AB||CD,

:.乙ABC=4BCD=68°,

£.BAC=52°,

:.乙ACB=180°-68°-52°=60°,

'JAM||CB,

J.Z.MAC=Z.ACB=60°；

故选：C.

【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，属于基础题型，熟练掌握平行线的性质是解题

关键.

3.（2024•陕西西安・一模）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心。的

光线相交于点P,点尸为焦点.若N1=155。，Z2=30°,则43的大小为（）

C.55°D.65°

【答案】C

【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键.利用平行线的

性质及三角形外角的性质即可求解.

・・・41+489。=180°,

C.Z.BFO=180°-155°=25°,

■:乙POF=42=30°,

・・・43="OF+(BFO=30°+25°=55°,

故选：C.

题型05线段垂直平分线和角平分线综合问题

1.（2023•浙江杭州•二模）如图，AABC中，ABAC=70°,4B的垂直平分线与NB4C的角平分线交于点。,

则乙4B。的度数为（）

A

'0

BC

A.35°B.30°C.25°D.20°

【答案】A

【分析】根据角平分线的定义得出AB力。=l^BAC=35。，再根据垂直平分线的性质得到。4=OB,最后根

据等边对等角得到结果.

【详解】解：平分NB力C,

J.^BAO=-^BAC=35°,

2

垂直平分AB,

OA=OB,

：./.ABO=4BAO=35°,

故选A.

【点睛】本题考查了角平分线的定义，垂直平分线的性质，等边对等角，属于基本知识，这几个知识点经

常组合考查，关键是要能够将它们关联起来.

2.（2023•山东枣庄•一模）如图，在RtAABC中，^ACB=90°,^ABC=30°,CD平分NACB.边4B的垂直

平分线DE分别交CD,AB于点£）,E.下列结论中正确的有（），

®/.BAC=60°；®CD<2BE；®DE=AC-,®y/2CD=BC+-AB

-----------

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】利用直角三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识对各选

项的说法分别进行论证，即可得出结论.

【详解】解：如图，连接BD、AD,过点D作CM1BC于M,DN1C4的延长线于N,

D

\A

/：E^c\

/I

BMC

①在RtZk/BC中，2LACB=90°,/.ABC=30°,

：.Z.BAC=60°.故①说法正确；

②:DMIBC,DN1CA,则四边形DMCN是矩形，

，乙DNC=ADMC=乙MDN=Z.ACB=90°,

CD平分

：ZDCN=乙DCM=45°,

；ZDCN=(CDN=45°,

ACN=DN,

则^CDN是等腰直角三角形.

同理可证：△CDM也是等腰直角三角形，

CD=yjDN2+CN2=y/2DN,CD=y/DM2+CM2=V2DM,

：.DM=DN=CM=CN,乙MDN=90°,

TOE垂直平分48,

：.BD=AD,AB=2BE,

丁CO平分N/CB,

：.DM=DN

在Rt△BDM和Rt△/ON中，

(BD=AD

iDM=DN

：.Rt△BDM=RtAZON(HL),

，乙BDM=乙ADN,

：./-BDM+4ADM=乙ADN+Z,ADM=乙MDN,

:•(ADB=90°,

：.AB=>JBD2+AD2=V2AD,

即2BE=&/O,

在中，ZD是斜边，DN是直角边,

：.AD>DN,则金4。>&DN,

：.AB>CD,

：.2BE>CD.故②说法正确.

@'：BD=AD,/.ADB=90°,

...△4BD是等腰直角三角形，

：.DE=-AB,

2

在Rt△48c中，Z.ACB=90°,/.ABC=30°,

：.AC=-AB,

2

：.DE^AC.故③说法正确.

@'：ABDMm4ADN,

：.BM=AN,DM=DN,

.,•矩形DMCN是正方形，

CN=CM,

：.CN=AC+AN=AC+BM=CM,

：.BC=BM+CM=AC+2BM,

VCD=/CN,

：.y[2CD=2CN=2AC+2BM=AC+2BM+AC=AC+BC,

'：AC^-AB,

2

：.<2CD=~AB+BC.故④说法正确.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，准确作出辅助

线并灵活运用所学知识是解题的关键.

3.(2023•山西吕梁•模拟预测)如图：在△ABC中，

(1)实践与操作：利用尺规作NB4C的角平分线交BC于点D,作线段4D的垂直平分线EF,交边力B于点E,交

边AC于点F,交4。于点。（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）

（2）猜想与证明：连接DE.试猜想线段DE与力尸的数量及位置关系，并加以证明.

【答案】（1）见解析

（2）DE\\AF,DE=AF,理由见解析

【分析】（1）按照角平分线和垂直平分线的的尺规作图步骤作图即可；

（2）根据角平分线及垂直平分线可证AAOE三A40F,从而得证平行四边形ZECF、AD1EF,最后得证菱

形4EDF即可得出结论.

【详解】（1）解：如图线段AD、EF为所求作线段.

理由如下:

•••4。平分NB4C,

•••Z.EAO=Z.FAO,

•••EF是AD的垂直平分线，

.­./.AOE=Z.AOF=90°,

AO=AO,

■■■AAOE三△4。尸(ASA)

OE=OF,

■■■OA=OD,

••・四边形4ED尸是平行四边形,

AD1EF,

・•・平行四边形4EDF是菱形，

DEWAF,DE=AF.

【点睛】本题考查角平分线及垂直平分线的的尺规作图方法、性质，全等三角形的性质及判定，平行四边

形的判定，菱形的性质及判定，掌握相关定理并能理解是关键.

4.(2023•江苏连云港•二模)“关联”是解决数学问题的重要思维方式.角平分线的有关联想就有很多……

【问题提出】

⑴如图①，PC是APTIB的角平分线，求证：告=嗡.

①

小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点8作B0IP4交PC的延长线于点。，利用“三角形相似”.

小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等“，过点C分别作CD1P力交P4于点D,作CE1PB交

PB于点E,利用“等面积法”.

请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明.

【理解应用】

(2)如图②，在RtZkABC中，ABAC=90°,D是边BC上一点.连接2D,将△ACD沿4D所在直线折叠，使点C

恰好落在边48上的E点处，落AC=1,AB=2,则DE的长为.

【深度思考】

(3)如图③，AABC中，AB=6,AC=4,4。为NB4C的角平分线.4D的垂直平分线EF交BC延长线于点F,

连接4/，当BD=3时，2尸的长为

F

【拓展升华】

(4)如图④，PC是APAB的角平分线，若4C=3,BC=1,贝必P4B的面积最大值是.

若

(3)6

(4)3

【分析】⑴选择小明的思路，过点B0I4P交PC的延长线于点D,易证A4CP“ABC0,得到瞿=若，由

BDBC

角平分线的性质和平行线的性质得NBPC=ND,可得PB=BD,等量代换即可证明；选择小红的思路，根

据角平分线的性质得至北。=CE,再利用等面积警=~

rDDC

(2)利用⑴中的结论得到黑再利用勾股定理即可解答;

(3)利用⑴中的结论得到桀=署，再利用垂直平分线的性质得到NB=N凡4C,再根据相似三角形得到

AF的值;

(4)作A4PB的外角平分线PD,交4B的延长线于£),在4P的延长线上截取PE=PB,易得△BPQm△

EPD(SAS),由⑴结论可得看=仁，由等量代换可得9=告利用⑴中的结论得到9=黑，求得O。的

DAPAPDDDPDBD

半径为|,当尸运动到点P',P'OIAD时，AAPB的面积最大，计算即可.

【详解】(1)解：选择小明的思路，如图，过点BDII4P交PC的延长线于点£),

p

✓Iz

D

9

：BD\\APf

：.Z.APC=乙D,

又・.・N/CP=乙BCD,

:,XACP~〉BCD,

.PA_AC

**BD-BC

〈PC是△24B的角平分线，

Z.^APC=乙BPC,

：.Z.BPC=ZD,

：.PB=BD,

.PA_AC

**PB-BC；

选择小红的思路，如图，过点C分别作COJ_PZ交P/于点0,作CE交PB于点瓦作PFIBC于点F,

〈PC是△P4B的角平分线，

ACD=CE,

-1111

,•S^PAC=£'04,CD，S^PBC=3,PB，CE,S^PAC=--AC-PF,SLPBC=--BC-PF,

：.BC,PF=PB,CE,PA-CD=AC-PF,

RC-PF

：.PA-^-L=AC-PF,

PB

.PA_AC

••PB一BC，

(2)解：・・,将△4C0沿/O所在直线折叠点C恰好落在边上的E点处,

・・・/0平分

,AB_BD

*'AC-CD'

9：AC=1,AB=2,

・

.•一2=BD,

1CD

：.BD=2CD,

V^BAC=90°,

：.BC=yjAC2+AB2=V5,

：.BD+CD=V5,

A3CD=V5,

：.CD=—,

3

：.DE=—；

3

故答案为争

(3)解：为乙B4C的角平分线，

4BAD=4DAC,

ACCD

中，48=6,AC=4,BD=3,

.6_3

**4-CD'

：.CD=2,

40的垂直平分线EF交BC延长线于尸,

：.AF=DF,

：.Z.FAD=4FDA,

U：Z.FAD=Z.FAC+4O/C,Z.FDA=ZB+乙BAD,

；2B=/.FAC,

9：^AFB=Z.CFA,

：.△FBAfFAC,

,ABAF

>•---=—,

ACCF

，..6一_=AF,

4AF-2

••AF—6,

故答案为6.

(4)解：如图,

如图，作AAPB的外角平分线PD,交4B的延长线于

在4P的延长线上截取PE=PB,

；P£)是AAPB的外角平分线,

"BPD=乙EPD,

又,：PD=PD,

,.△SPOSAEPDCSAS),

'.DB=DE,ABDP=AEDP

.DE_PE

*DA~PAf

CPE=PB,DB=DE

.PA_AD

・PB-BD'

・,PC是△APB的角平分线,

.PAACQ

PBBC

,ADQ

BD

・AB+BDf

・4+BD

・F=

\BD=2

*.CD=3,

,/乙CPB+乙DPB=-x180°=90°,

2

.•.点尸在以半径为T的o。上，

如图，当尸运动到点P',p'o,an时,

△4P8的面积最大，最大值为=[x4x|=3,

故答案为：3.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线、中垂线、等腰三角形的性质及勾股定理，熟练

掌握角平分线的性质是解题的关键.

5.（2022•浙江温州•模拟预测）已知：如图，/MAN为锐角，4。平分/MAN,点、B,点C分别在射线4M和4V

上，AB=AC.

备用图2

（1）若点E在线段C4上，线段EC的垂直平分线交直线力。于点F直线BE交直线4D于点G,求证：4EBF=

NC4G；

（2）若（1）中的点£运动到线段C4的延长线上，（1）中的其它条件不变，猜想NEBF与NC4G的数量关系并

证明你的结论.

【答案】（1）见解析；

（2）见解析.

【分析】（1）如图1,连接EF、CF,由中垂线的性质就可以得出EF=CF,就有4FEC=ZFCE,由A4FB三

△4尸。就可以得出/48/=ZXCF,由NFEC+2LFEA=180。就可以得出Z_FEC+/.FEA=180°,得出A、B、

F、E四点共圆，再得出NEBF=NC4G；

（2）如图2,连接EF、CF,由中垂线的性质就可以得出EF=CF,就有/FEC=乙FCE,由A4FB三△4FC就

可以得出乙4BF=NACF,就有NAEF=N4BF,