2025年中考数学一轮复习考前突破：阅读理解、函数与几何探究、综合实践题（4大必考题型）原卷版

考前突破07阅读理解'函数与几何探究'综合实践题（4大必考题型）

题型一：函数与图象探究题

题型二：阅读理解题

题型三：几何探究题

题型四：综合与实践

.精淮理分

题型一：函数与图象探究题

【中考母题学方法】

1.（2022•湖北襄阳•中考真题）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图

象特征，概括函数性质的过程.结合已有经验，请画出函数>的图象，并探究该函数性质.

|x|

⑴绘制函数图象

①列表：下列是x与y的几组对应值，其中a=.

X....-5-4-3-2-112345....

y....-3.8-2.5-1155a-1-2.5-3.8....

②描点：根据表中的数值描点（无，>）,请补充描出点（2,a）；

③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；

（2）探究函数性质，请写出函数>=含-lxl的一条性质：_____;

IxI

⑶运用函数图象及性质

①写出方程5Txi=5的解____；

IxI

②写出不等式尤区1的解集.

2.（2020•重庆•中考真题）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特

12

征，概括函数性质的过程.结合已有的学习经验，请画出函数y=-一二的图象并探究该函数的性质.

x+2

X回-4-3-2-101234回

_2_12_2

y回~3a-2-4b-4-2~U~3回

（1）列表，写出表中〃，人的值：a-,b=.

描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象.

（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（在答题卡相应位置正确的用‘V’作答，错误的

用〃x〃作答）:

①函数y=的图象关于y轴对称；

x+2

12

②当九二0时，函数y=-一2^有最小值，最小值为-6；

x+2

③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小.

9in12210g

（3）已知函数〉=-；尤-5的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式-<——x-可的

X2+23

解集.

3.（2021•湖北荆州•中考真题）小爱同学学习二次函数后，对函数y=-（忖进行了探究，在经历列表、

描点、连线步骤后，得到如

下的函数图像.请根据函数图象，回答下列问题:

（1）观察探究：

①写出该函数的一条性质：;

②方程-（国-1）2=-1的解为：；

③若方程-（卜|-1）2=“有四个实数根，则。的取值范围是.

（2）延伸思考：

将函数>=-（忖-1）2的图象经过怎样的平移可得到函数%=-（|尤-2|-丁+3的图象？写出平移过程，并直接

写出当2<%V3时，自变量x的取值范围.

4.（2021•广西河池,中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y=-（元-1丫+4与无轴交于A,8两点（A在8

的右侧），与y轴交于点C.

（2）如图，直线工=机与抛物线在第一象限交于点。，交CA于点E,交x轴于点RDGLC4于点G,若

E为GA的中点，求相的值.

（3）直线＞=加+”与抛物线交于“（为,％）,N优,%）两点，其中再＜%.若无2-%＞3且%-%＞。，结合

函数图象，探究w的取值范围.

5.（2024•宁夏•中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数＞=2尤+1的图象可以由函数y=2元的图象平移得

到.依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究.

(1)【动手操作】

列表：

XL-5-4-3-2-112345L

2_21_22j_2

>二一L-1-221L

X52332I

_3

XLL

-5-4-3-2~2~20123

2_22J_

y=—L-1-2-4421L

x+l~2-335

22

描点连线：在已画出函数＞=—的图象的坐标系中画出函数＞=—;的图象.

①将反比例函数y=V的图象向平移个单位长度得到函数y='的图象.

②上述探究方法运用的数学思想是()

整体思想B.类比思想C.分类讨论思想

⑶【应用延伸】

①将反比例函数y=-工的图象先___________，再___________得到函数y=-一二-1的图象.

xx-2

②函数y=-一二-1图象的对称中心的坐标为__________.

x-2

【中考模拟即学即练】

L（2024•北京石景山•二模）中国茶文化博大精深，自古以来中国人有饮茶的传统.某校茶文化社团探究了

刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的时间.部分内容如下：

a.探究活动在同一社团活动室进行，室温25℃；

b.经查阅资料得知，茶水口感与茶叶类型及水的温度有关.某种普洱茶用95。。的水冲泡，等茶水温度降至

60℃饮用，口感最佳；某种绿茶用85℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳；

c.同时用不同温度的热水冲泡茶叶，记放置时间为无（单位：min）,普洱茶茶水的温度为%（单位：℃）,

绿茶茶水的温度为内（单位：。C）.记录的部分数据如下：

X0.01.02.03.04.05.06.07.08.09.010.0

95.088.582.677.272.468.064.060.357.154.151.4

为85.079.574.570.065.862.058.655.552.750.247.9

对以上数据进行分析，补充完成以下内容.

⑴可以用函数刻画％与X、乃与尤之间的关系，在同一平面直角坐标系xOy中，已经画出口与x的函数图

象，请画出力与龙的函数图象；

O\I234567891011>

（2）探究活动中，当绿茶茶水的放置时间约为min时，其饮用口感最佳，此时普洱茶茶水的温度

约为℃（结果保留小数点后一位）；

⑶探究活动中，当普洱茶茶水的温度为90℃时，再继续放置6min,测得其温度为加C,则〃?60

（填"或

2.（2024・广东深圳•三模）在初中阶段的函数学习中，我们经历了"确定函数的表达式好利用函数图象研究其

性质-运用函数解决问题”的学习过程.结合学习函数的经验，探究函数y=|x-1+a的图象与性质，探究过

程如下，请补充完整.

（1）列表：

X-101234

y-2-3-4b-2-1

（2）描点并连线.

5

4

3

2

—

（3）观察图象并填空：

®a=,b=

②写出该函数的一条性质：

③图象与x轴围成的三角形面积为

④当y>1时，直接写出x的取值范围

3.（2024•河南商丘•二模）有这样一个问题：探究函数y=（尤+iy（x-2）的图象与性质，小明根据学习函数

的经验，对函数y=（尤+1）2（尤-2）的图象与性质进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整:

（1）自变量尤的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如下表：

_7_35_3_795_

X-2-1012

-4~2~2242442

9_2549

-4-2.110m-3.80-1.8902.64

y_7_5-2~4一1"1"

-8-8

其中m二

（2）在如图所示的平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点.并画出该函数的大致图象;

⑶观察函数图象，写出一条该函数的性质;

⑷进一步探究函数图象发现：

①函数图象与x轴有一个交点，所以对应的方程（龙+元-2）=0有个互不相等的实数根;

②若关于x的方程（尤+1）2（x-2）=。有3个互不相等的实数根，则a的取值范围是

4.（2024•陕西咸阳•模拟预测）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图

象特征，概括函数性质的过程.结合已有经验，请画出函数y=2|x+l|-2的图象，并探究该函数性质.

⑴绘制函数图象

列表：下列是X与y的几组对应值，其中m=

X-4-3-2-101234

y420m02468

描点：根据表中的数值描点（％y）；

连线：请用平滑的线顺次连接各点，在图中画出函数图象;

（2）探究函数性质

请写出函数y=2|x+[-2的一条性质：；（写一条即可）

⑶运用函数图象及性质

根据图象，求不等式2归+1|-2<0的解集.

5.（2024•河南商丘•模拟预测）《函数）复习课后，为加深对函数的认识，李老师引导同学们对函数

的图象与性质进行探究，过程如下，请完成探究过程:

(1)初步感知：函数y的自变量取值范围是

⑵作出图象：①列表:

_7_3__5_3

X-3-20123

-4~2~4~4~2~4

2J_22

y2m35-3-1n

2~3~274

表中"2=,n=；

②描点，连线：在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图

象；

⑶研究性质:

x1

小明观察图象，发现这个图象为双曲线，进一步研究中，小明将函数y转化为1—7,他判断该函数

x+1x+1

图象就是反比例函数y=通过某种平移转化而来,反比例函数y=-1是中心对称图形，对称中心为(0,0),

XX

则函数二后的对称中心为

⑷拓展应用：当1<XW4时，关于无的方程区+1=已有实数解，求上的取值范围.

1

6.(2024・广东深圳•模拟预测)小明在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数>=一而的图

象与性质.其探究过程如下：

⑴绘制函数图象，如图，

列表：下表是x与y的几组对应值，其中机=,

X-3-2-1123

~22

_2_

-1-2机-1

y~3~2~2-3

描点：根据表中各组对应值(％y),在平面直角坐标系中描出各点；

连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整;

⑵通过观察函数图象，写出该函数的一条性质：.

⑶利用函数图象，解不等式2%-3+3<0.

7.(2024・山东济南•二模)【发现问题】

小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形.那么，面积为定值的矩形中，其周长

的取值范围如何呢？

【解决问题】

小明尝试从函数图象的角度进行探究：

(1)建立函数模型

设一矩形的面积为4,周长为机，相邻的两边长为尤、y,贝U.孙=4,2(x+y)=m,即y=?y=-尤+/,那

么满足要求的(x,y)应该是函数>==与y=-x+?的图象在第象限内的公共点坐标.

(2)画出函数图象

①画函数的图象；

X

②在同一直角坐标系中直接画出y=-x的图象，则函数y=T+£的图象可以看成是函数丁=-%的图象向

上平移个单位长度得到.

(3)研究函数图象

平移直线〉=-乙观察两函数的图象；

①当直线平移到与函数y=±(x>o)的图象有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为，周长根的值

X

为;

②在直线平移的过程中，两函数图象公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应数值相

的取值范围.

【结论运用】

(4)面积为8的矩形的周长机的取值范围为.

8.(2024•山东济南•二模)探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特

征，概括函数性质的过程.数学兴趣小组的同学们准备结合已有的学习函数的经验，画出函数＞=£的图

X+1

象并探究该函数的性质，

(1)【图象初探】列表，写出表中的值：。=,b=；并观察表格中数据的特征，在所给的

平面直角坐标系中补全该函数的图象.

(2)【性质再探】观察函数图象，下列关于函数＞=£的结论正确的是_______.

X+1

①函数y=M的图象关于y轴对称.②函数的图象不经过第三、四象限.③当尤=0时，函数

有最大值，最大值为6.④在自变量的取值范围内，函数y的值随自变量X的增大而增大.

4

⑶【学以致用】写出直线与函数丁=一7+1有两个交点时，。的取值范围，并说明理由.

X+1

9.(2024•辽宁•模拟预测)一次数学课上，张老师让同学们在网格纸上画出函数y=-J/+i6的图象，下

16

面是小宇同学通过列表、描点、连线画函数图象的过程的一部分，请你完善探究过程，并解决相关问题.

X-16-8-404816

y0a1516b120

⑴绘制函数图象：

①如表是y与x的几组对应值，则表中。=，b=

②在如图1所示的平面直角坐标系中，已描出了表中部分坐标对应的点，请描出表中剩余坐标对应的x点，

并画出这个函数图象；

(2)如图2,小宇同学准备了若干张等腰直角三角形纸片，其中？O90?,DE=DF=60.

探究一：若按照如图3方式将两张等腰三角形纸片摆放在平面直角坐标系中，其中点。在X轴上，边跖所

在直线始终与无轴平行，点厂和点E'重合，D,E,尸三点按顺时针顺序排列，请通过计算说明当DEF,

△DE尸全部落在x轴上方抛物线内部(不包括边界)时，最左边三角形纸片顶点E的横坐标机的取值范

围是多少？

⑶探究二：如图4,若等腰直角刀砂在平面内平移运动，并且边跖所在直线始终与x轴平行，抛物线始

终与边。尸相交于点。，且。，E,尸三点按顺时针顺序排列，抛物线始终与直线E尸交于点P.（运动时,

点尸不与点E,E两点重合）

①当尸O=时，等腰直角，）EF左右平移时，求出点E横坐标机的最大值；

②在①条件下，当PQ=4忘时，求出点E的坐标.

题型二：阅读理解题

【中考母题学方法】

1.（2021・贵州贵阳・中考真题）（1）阅读理解：我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代

的数学著作《周髀算经》中.汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的"弦图"，后人

称之为"赵爽弦图根据"赵爽弦图"写出勾股定理和推理过程；

（2）问题解决：勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE的中心。，

作将它分成4份.所分成的四部分和以为边的正方形恰好能拼成以A3为边的正方形.若

AC=12,BC=5,求跖的值；

（3）拓展探究：如图③，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外

作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形.设大正方形N的边长为定值"，小正方形

A,B,C,D的边长分别为a,b,c,d.已知Zl=Z2=Z3=a,当角«（0°<a<90°）变化时，探究6与c的关系式，

并写出该关系式及解答过程（6与c的关系式用含〃的式子表示）.

图③

2.（2020•内蒙古赤峰•中考真题）阅读理解:

材料一：若三个非零实数x,y,z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实

数X,»Z构成“和谐三数组

_hc

材料二：若关于X的一元二次方程。/+陵+。=0（80）的两根分别为X],12，则有玉+兀2=—，X-X=—.

ax2a

问题解决：

（1）请你写出三个能构成〃和谐三数组〃的实数」

（2）若巧，%是关于%的方程0（〃，b,c均不为0）的两根，工3是关于X的方程bx+c=0（b，C均不

为0）的解.求证：XI,X2,%3可以构成''和谐三数组〃；

一4

（3）若A（zn,yi）,B（m+1,笫），C（m+3,竺）三个点均在反比例函数y=—的图象上，且三点的纵坐标恰

好构成”和谐三数组〃，求实数机的值.

3.（2023•江苏徐州•中考真题）【阅读理解】如图1,在矩形中，^AB=a,BC=b,由勾股定理，得

AC2=a2+b2,同理皿2=6+凡故4c2+必=2（/+〃）.

【探究发现】如图2,四边形ABCD为平行四边形，^AB=a,BC=b,则上述结论是否依然成立？请加以

判断，并说明理由.

4+〃22

【拓展提升】如图3,已知30为VASC的一条中线，AB=a,BC=b,AC=c.求证：BO2=^^-—.

24

【尝试应用】如图4,在矩形中，若A5=8,3C=12,点尸在边的＞上，则尸笈+尸。2的最小值为

4.（2020・山东日照•中考真题）阅读理解：

如图1,RtS48c中，a,b,c分别是她，SB,回C的对边，回C=90。，其外接圆半径为R.根据锐角三角函数

的定义：sinA=—,sinB=-,可得一=—^=c=2R,即：=2R,（规定sin90。

ccsinAsinBsinAsinBsinC

如图2,在锐角a48c中，q,b,c分别是EA,fflB,回C的对边，其外接圆半径为R,那么：二_____二

sinAsinB

（用＞、=或＜连接），并说明理由.

sinC

事实上，以上结论适用于任意三角形.

初步应用：

在0ABe中，a,b,c分别是0A,0B,EIC的对边，0A=6O°,05=45°,a=8,求6.

综合应用：

如图3,在某次数学活动中，小凤同学测量一古塔C。的高度，在A处用测角仪测得塔顶C的仰角为15。，

又沿古塔的方向前行了100m到达8处，此时A,B,。三点在一条直线上，在B处测得塔顶C的仰角为45。，

求古塔CO的高度（结果保留小数点后一位）.（6=1.732,$访15。=近二也）

5.（2024•江苏镇江•中考真题）主题学习：仅用一把无刻度的直尺作图

【阅读理解】

任务：如图1,点。、E分别在VABC的边A3、AC上，DE//BC,仅用一把无刻度的直尺作DE、8C的

中点.

操作：如图2,连接BE、CD交于点P,连接AP交DE于点M,延长AP交2C于点N,则M、N分别为。E、

2c的中点.

理由：由小〃加可得一孙12曲及△曲所以瑞=笫，/黑.所以，

DMBN「皿»人preDMMPEMMP.DMCN.

——=—.同理，由ADMPs£A\CNP及.AAEMPs乙ABNP,可得——=—,——=—.所Cr以HI——=——.所Cr

EMCNCNNPBNNPEMBN

BNCN

以而=而'则BN=CN'DM=EM,即〃、N分别为DE、2c的中点.

【实践操作】

请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹.

（1）如图3,k〃k，点、E、/在直线乙上.

----------------------------h

图3

①作线段族的中点；

②在①中作图的基础上，在直线乙上位于点尸的右侧作一点P，使得PF=EF;

（2）小明发现，如果重复上面的过程，就可以作出长度是已知线段长度的3倍、4倍、倍&为正整数）

的线段.如图4,4〃*已知点A、2在4上，他利用上述方法作出了心A=6乙=45.点£、/在直线4

上，请在图4中作出线段所的三等分点;

A

图4

【探索发现】

请仅用一把无刻度的直尺完成作图，要求：不写作法，保留作图痕迹.

（3）如图5,DE是VABC的中位线.请在线段EC上作出一点°,使得QE=；CE（要求用两种方法）.

6.(2023・四川凉山•中考真题)阅读理解题：

阅读材料：

如图1,四边形ABC。是矩形，△AEF是等腰直角三角形，记一班E为2FAD为B,若tanc=g,则

tan夕=-.

易证AAEB必EFC(AAS)

团EC=2k,CF=k,

团FD-k,AD=3k

DFk1

团tanBn==——=一，

AD3k3

若a+尸=45。时，当tana=g,贝1|tan〃=；.

同理：若。+/?=45。时，当tana=；,贝！Jtan尸=：.

根据上述材料，完成下列问题：

如图2,直线y=3x-9与反比例函数y=—(%>0)的图象交于点A,与％轴交于点5.将直线A3绕点A顺

x

时针旋转45。后的直线与y轴交于点E,过点A作AM_L%轴于点M,过点A作AN，V轴于点N,已知

04=5.

⑴求反比例函数的解析式；

⑵直接写出tan44M、tan/A54E的值;

⑶求直线AE的解析式.

7.（2021・广西•中考真题）【阅读理解】如图1,〃〃2，VA3C的面积与△D3C的面积相等吗？为什么？

图1

解：相等，在VABC和△£）3c中，分别作AE_L4，DF112,垂足分别为E,F.

:.ZAEF=NDFC=9Q。,

AE//DF.

Q〃4，

，四边形AEFD是平行四边形，

:.AE=DF.

又SVMC=〈BC.AE，SADBC=^BCDF,

..^AABC=S&DBC•

【类比探究】问题①，如图2,在正方形ABCD的右侧作等腰二CDE,CE=DE,AD=4,连接AE,求VADE

图2

解：过点E作EF1CD于点尸，连接AF.

请将余下的求解步骤补充完整.

【拓展应用】问题②，如图3,在正方形ABCD的右侧作正方形CEFG,点8,C,E在同一直线上，AD=4,

连接8。，BF,DF,直接写出VB/m的面积.

图3

【中考模拟即学即练】

1.（2024•浙江杭州•模拟预测）阅读理解

教学实践活动：910班测量雷峰塔高度实践的相关数据

/4

活如图，A点为塔顶，将一根木棒立在。处，AC的连线交地面于。点，

动同理将相同长度的木棒立在尸处，同时得到尸点.若移动木棒使得z

1CD=QD,在E点的仰角为30。，则/尸AQ=___________.p力aE

/7Q1DL

4

活如图，小组2设计了此测量方法，若CO的长度为18m,已知Nc=37。，

。，则可以得到塔的高度大约为___________(

动4=30.73=1.732)

2(sin370工0.602,cos37°®0.799,tan37°®0.754)

1/?CD

总结与取优

老师做了一个小小的总结，并且设计了一个新的方案，已知塔前有一高4

米的小树CO,发现水平地面上点E、树顶和塔项A恰好在一条直线上，测

得班＞=57米，D、E之间有一个花圃无法测量，然后在E处放置一个平面皿

镜，沿8E后退，退到G处恰好在平面中看到树顶C的像，此时EG=24米，乜

1I317EG

测量者眼睛到地面的距离FG为1.6米，求出塔高AB.花圃

2.(2024•广东深圳•一模)综合与应用

为促进中学生全面发展，培养良好体质，某班同学在"大课间"开展"集体跳绳”运动.跳绳时，绳甩到最高处

时的形状是抛物线y="2+6x+c的部分图象，以点。为原点建立如图所示的平面直角坐标系，若摇绳的两

9

人之间间距为6米，摇绳时两人手离地面均为而米；已知小丽身高1.575米，在距离摇绳者A的水平距离1.5

米处，绳子刚好经过她的头顶.

----4，---►

OX

【阅读理解】

(1)求图中抛物线的解析式；(不需要求自变量取值范围)

【问题解决】

(2)体育龙老师身高1.82米，请问他适合参加本次运动吗？说明理由；

(3)若多人进入跳绳区齐跳，且大家身高均为1.7米，要求相邻两人之间间距至少为0.6米，试计算最多

可供几人齐跳.

3.(2024•河北邯郸•二模)【阅读理解】在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点(x,y)移动到

点(X-2,y)称为一次甲方式；从点(x,y)移动到点(x,y-2)称为一次乙方式.例点尸从原点0出发连续移动

2次：都按甲方式，最终移动到点M（T,O）；若都按乙方式，最终移动到点N（O,Y）；若按1次甲方式和1

次乙方式，最终移动到点后（-2,-2）.

【应用】点A从原点0出发连续移动机次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点3（x,y）.其中，按

甲方式移动了〃次.

⑴当机=10时，若点B恰好落在直线y=；x+l上，求〃的值；

（2）无论〃怎样变化，点8都在自变量x的系数为定值的直线/上，P（-8,0）,2（-10,-6）,

①若点P、点。位于直线/的两侧，求机的取值范围；

②若点。关于直线/的对称点落在V轴上，直接写出m的值.

4.（2024•江苏徐州•二模）［阅读理解］如图1,在学习三角形的中位线时，我们发现三角形的三条中位线在三

角形内部构成一个新的三角形，则其面积与原三角形面积的比是，

［探究思考］如图2,已知。，E,产分别是VABC三边的三等分点，且空=等=冬=：,依次连接

ABBCCA3

EF、FD,则OEF与VABC的面积比是定值吗？如果是，请求出该数值；如果不是，请说明理由.

［发现结论］如图3,已知。，E,歹分别是VABC三边的n等分点，且空=段=/=!_,依次连接DE、EF、

ABBCCAn

FD,则J）EF与VABC的面积比是_.

5.（2024•福建泉州•模拟预测）某中学九年级（1）班开展"发现与探究黄金分割”为主题的综合实践活动，爱

思考的小丽积极响应，认真做好下面项目及任务.

、收集资料，阅读理解

两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus,约前408年一前355年）发现：将一条线段A3分割成

PRAp

长、短两条线段AP、PB,若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即芸（此时线段反

APAB

叫做PB、AB的比例中项），则可得出这一比值等于0.618….这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，

点P叫做线段AB的黄金分割点.

APB

黄金分割被视为最美丽的几何学比率，并广泛地应用于建筑和艺术中，如埃及的金字塔，女神维纳斯的雕

像等，就是在日常生活中，黄金分割也处处可见.如演员在舞台上表演，站在黄金分割点上，台下的观众

看上去感觉最好.有人发现，人的肚脐高度和人体总高度的比值接近于黄金比.就连普通树叶的宽与长之

比，蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比也都接近于0.618.还有黄金矩形（即长与宽之比为黄金比）、黄金

三角形（顶角为36。的等腰三角形）等，五角星中更是充满了黄金分割.让我们去发现大千世界中奇妙无比

的黄金分割吧！

二、动手操作，直观感知

任务一：如图1,己知正方形ABCD,点尸是A3的中点.连结PC,以点P为圆心，PC为半径作弧，与

的延长线交于点尸，过点歹作瓦，班'于尸，与DC的延长线交于点E,则所得到的四边形3CEF是黄金

①根据题意，利用尺规作图，将图1补充完整；

②写出黄金矩形3CEF的两边与CE之比，即丝=______（结果保留根号）

CE

三、探究延伸，灵活运用

任务二：如果正n边形的中心角等于72°,其外接圆半径为R,则»=,其边长％与R的关系式为

（用三角函数表示）

任务三：如图2,在Rt^ABC中，已知/2=90。,/。=18。，求sinC的值.（结果保留根号）

请结合上述材料，解决下面问题：

⑴补全任务一①、②所缺的内容；

⑵根据任务二，写出〃=，边长与R的关系式为；（用三角函数表不）

⑶完成任务三问题的解答•

6.（2024•吉林长春•模拟预测）阅读理解:

AAD

图1

图2图4

⑴【学习心得】

章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使

问题变得非常容易.我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”.这类题目主要是两种类型.

①类型一："定点+定长J如图1,在VA3C中，AB^AC,ABAC=44°,。是VA3c外一点，且AD=AC,

求/即C的度数.

解:若以点A（定点）为圆心，AB（定长）为半径作辅助圆。4,（请你在图1上画圆）则点C、。必在（:A

上，N7MC是A的圆心角，而/BDC是圆周角，从而可容易得到=°.

②类型二：“定角+定弦j如图，△△ABC中，ABLBC,AB=6,BC=4,尸是VABC内部的一个动点，

且满足NK4B=/PBC,求线段CP长的最小值.

解：0ZABC=9O°,ElZABP+ZPBC=90°,®NPAB=NPBC,SZBAP+ZABP=90°,

0ZAPB=,（定角）

回点尸在以AB（定弦）为直径的，。上，请完成后面的过程.

（2）【问题解决】

如图3,在矩形A3CD中，已知钻=6,BC=8,点尸是边上一动点（点尸不与B,C重合），连接AP,

作点B关于直线AP的对称点M,则线段MC的最小值为.

⑶【问题拓展】

如图4,在正方形ABCD中，AD=4,动点E,尸分别在边DC,CB上移动，且满足DE=CF.连接AE和。尸，

交于点P.点E从点。开始运动到点C时，点P也随之运动，请直接写出点尸的运动路径长.

题型三：几何探究题

【中考母题学方法】

1.（2024•甘肃兰州•中考真题）综合与实践

【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在VABC

中，点N分别为A3,AC上的动点（不含端点），且AN=3M.

【初步尝试】（1）如图1,当VABC为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转120。得到

连接BD,则=请思考并证明：

【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2,在VABC中，AB=AC,ZBAC=90°,

AE，MN于点E,交BC于点尸，将M4绕点M逆时针旋转90°得到MD,连接DA,DB.试猜想四边形AFBD

的形状，并说明理由；

【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3,在VABC中，A5=AC=4,ABAC=90°,连接BN,

CM,请直接写出aV+CN的最小值.

2.（2023•江苏・中考真题）如图1,小丽借助几何软件进行数学探究：第一步，画出矩形ABCD和矩形EFGH,

点E、F在边4B上（EF<AB）,且点C、D、G、H在直线4B的同侧；第二步，设置一=m,——=n,

ADEH

矩形EFGH能在边48上左右滑动；第三步，画出边E尸的中点0,射线与射线力。相交于点P（点P、D

不重合），射线OG与射线BC相交于点。（点。、C不重合），观测DP、CQ的长度.

⑴如图2,小丽取AB=4,EF=3,m=l,"=3,滑动矩形EFGH,当点E、A重合时，CQ=；

⑵小丽滑动矩形EFGH,使得。恰为边力B的中点.她发现对于任意的〃件“DP=CQ总成立.请说明理由;

⑶经过数次操作，小丽猜想，设定〃?、〃的某种数量关系后，滑动矩形EFG”，OP=CQ总成立.小丽的猜

想是否正确？请说明理由.

【中考模拟即学即练】

3.（2024.甘肃兰州.模拟预测）综合与实践

【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题.若四边形ABCD是

正方形，M,N分别在边CD,BC上，且/A£4N=45。，我们称之为"半角模型"，在解决"半角模型"问题时,

旋转是一种常用的方法.

⑴【初步尝试】如图1,将“D暇绕点A顺时针旋转90。，点。与点8重合，得到ABE,连接MN.用

等式写出线段DM,BN,MV的数量关系，并说明理由;

（2）【类比探究】小启改变点的位置后，进一步探究：如图2,点N分别在正方形的边CD,的

延长线上，ZAWV=45°,连接MN,用等式写出线段MN,DM,BN的数量关系，并说明理由；

⑶【拓展延伸】李老师提出新的探究方向：如图3,在四边形ABC3中，AB^AD,ZBAD=120°,

/3+/。=180。，点N,M分别在边3C,CD上，ZMAN=60°,用等式写出线段3N,DM,MN的数量关

系，并说明理由.

4.（2024•福建莆田,二模）在数学兴趣小组活动中，小明同学对几何动点问题进行了探究:

问