海南省海口市2025届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)

2024-2025学年海南省海口市九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.化简的结果是(

)A.2 B. C.4 D.2.下列运算正确的是(

)A. B. C. D.3.已知二次根式与是同类二次根式，则m的值可以是(

)A.6 B.7 C.8 D.94.当时，代数式的值是(

)A.1 B.2 C. D.5.将一元二次方程化成的形式，则b等于(

)A.3 B.4 C.7 D.136.关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和3，则(

)A.， B.，

C.， D.，7.用一条长为40cm的绳子围成一个面积为的长方形，a的值不可能为(

)A.20 B.40 C.100 D.1208.如图，AD为的角平分线，交AC于点E，若，则等于(

)A.

B.

C.

D.9.如图，在中，，，则等于(

)A.

B.C.

D.10.如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BC边上的中点，若，，则▱ABCD的周长为(

)A.9

B.16

C.18

D.2011.如图，矩形ABCD中，点P是AB边上一动点与点A、B不重合，连接PD，过点D作交BC的延长线于点E，若，则PD：DE的值为(

)A.

B.

C.

D.12.如图，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时，测得自身影子CD的长为1米，他继续往前走3米到达点E处即米，测得自己影子EF的长为2米，已知小明的身高是米，那么路灯A的高度AB是(

)

A.米 B.6米 C.米 D.8米二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。13.若成立，则x的取值范围是______.14.某药品经两次降价后，每瓶零售价比原来降低了，则平均每次降价的百分率是______.15.某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面坡度由1：改为1：如图，若改动后电梯的坡面AC长为13米，则改动后电梯水平宽度增加部分BC长为______米.

16.如图，在纸片中，，，，点D，E分别在AB，AC上，连结DE，将沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上，若FD平分，则AD的长为______.

三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.本小题16分

计算：

；

；

18.本小题10分

某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？19.本小题10分

如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、，是的边AB上一点．

画出将向右平移2个单位，再向下平移1个单位后的，并写出点A、P的对应点、的坐标；

以原点O为位似中心，在y轴的左侧画出的一个位似，使它与的相似比为2：1，并分别写出点A、P的对应点、的坐标；

判断与，能否是关于某一点Q为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心Q，并写出点Q的坐标．20.本小题10分

一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有数字1，2，3，每个小球除数字外其他都相同．甲先从袋中随机取出1个小球，记下数字后放回；乙再从袋中随机取出1个小球记下数字．

用画树形图或列表的方法，求取出的两个小球上的数字之和为3的概率；

求取出的两个小球的数字之和大于4的概率．21.本小题10分

小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量.如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东方向上，他沿西北方向前进米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西方向上，点A、B、C、D在同一平面内.

填空：______，______；

求点D到点A的距离；

求隧道AB的长结果保留根号22.本小题16分

如图1，把两个全等的等腰直角和叠放在一起，使的锐角顶点E与的斜边中点重合，其中，，固定不动，将绕点E沿顺时针方向旋转旋转角满足条件：设射线ED与射线BA相交于点P，射线EF与线段CA相交于点

如图1，当射线EF经过点A，即点Q与点A重合时，易证：∽此时，的值为______；

当旋转到图2的位置时，

①的值是否改变？请说明理由；

②与相似吗？请说明理由；

如图3，当时，线段EP交CA于点

①求证：；

②若，求CQ的值.

答案和解析1.C

解：

故选：

根据算术平方根的性质直接进行计算即可．

本题考查的是算术平方根的定义，把化为的形式是解答此题的关键．2.C

解：A、与不能合并，故A不符合题意；

B、，故B不符合题意；

C、，故C符合题意；

D、，故D不符合题意；

故选：

根据二次根式的加法、减法，乘法，除法法则进行计算，逐一判断即可解答．

本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．3.C

解：A、当时，，与不是同类二次根式，故本选项错误；

B、当时，，与不是同类二次根式，故本选项错误；

C、当时，，与是同类二次根式，故本选项正确；

D、当时，，与不是同类二次根式，故本选项错误．

故选：

将各选项的值分别代入，化简后被开方数为3的即为正确答案．

本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．4.C

解：当时，

故选

先把x的值代入中，然后利用完全平方公式计算．本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．5.D

解：把方程的常数项移到等号的右边，得到，

方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到，

配方得

则，

故选：

在本题中，把常数项移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方．

此题考查了配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：

形如型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．

形如型，方程两边同时除以二次项系数，即化成，然后配方．6.B

解：根据题意得，，

所以，

故选

根据根与系数的关系得到，，然后解一次方程即可得到b与c的值．

本题考查了根与系数的关系：若二次项系数不为1，则常用以下关系：，是一元二次方程的两根时，，7.D

【分析】

本题考查了一元二次方程的应用及根的判别式，找到等量关系并列出方程是解题的关键．

设围成面积为的长方形的长为xcm，由长方形的周长公式得出宽为，根据长方形的面积公式列出方程，整理得，由，求出，即可求解．

【解答】

解：设围成面积为的长方形的长为xcm，则宽为，依题意，得

，整理，得，

，

解得，

则a的值不可能是

故选：8.B

解：为的角平分线，

，

，

，

，

，

，

，

，

∽，

，

故选：

根据角平分线的定义、平行线的性质得到，得到，证明∽，根据相似三角形的性质解答即可．

本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理、找准对应关系是解题的关键．9.B

解：过点A作BC的垂线，垂足为M，

，，，

在中，

故选：

过点A作BC边的垂线，构造出直角三角形，再结合余弦的定义即可解决问题．

本题主要考查了解直角三角形及等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的性质及余弦的定义是解题的关键．10.C

解：四边形ABCD是平行四边形，

，，

是BC边上的中点，

是的中位线，

，

，

▱ABCD的周长，

故选：

证明OE是的中位线，由三角形中位线定理得出，即可得出▱ABCD的周长．

本题考查了平行四边形的性质、三角形的中位线定理；熟练掌握平行四边形的性质，由三角形中位线定理得出是解决问题的关键．11.A

解：四边形ABCD是矩形，

，

，

，

，

，

∽，

，

故选：根据矩形的性质得到，求得，根据垂直的定义得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．

本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质和相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．12.B

解：，

∽，

，即①，

，

∽，

，即②，

，解得，

，解得，

即路灯A的高度AB为

故选

由可判断∽，根据相似三角形的性质得，同理可得，然后解关于AB和BC的方程组即可得到AB的长．

本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．13.

解：要使原式成立，必须，，

解得：，

故答案为：

根据二次根式的定义得出，，求出即可．

本题主要考查对二次根式的定义，二次根式的乘除法等知识点的理解和掌握，能根据法则得出和是解此题的关键．14.

解：设平均每次降低的百分率是x，

或舍去

故平均每次降低的百分率是

故答案为：

设平均每次降低的百分率是x，根据某药品经过连续两次降价，价格下降了，可列方程求解．

此题主要考查了一元二次方程的应用，这是个增长率问题，经过了两次变化，且结果知道，从而可列方程求解．15.3

解：在中，：：，米，

由，得，

负值不合题意，舍去，

米，

在中，：：，

米，

米，

故答案为：

在中，已知了坡面AC的坡比以及坡面AC的值，通过勾股定理可求AD，DC的值，在中，根据坡面AB的坡比可求BD的值，再根据即可求解．

此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．16.

解：如图，过点D作于H，

在纸片中，，

由勾股定理得：

将沿DE翻折得，

，，

平分，

，

，设，

在中，，

，

，

∽，

，

，

，

故答案是：

由翻折得出，，再根据FD平分，得出，然后借助相似列出方程即可．

本题考查了以直角三角形为背景的翻折问题，紧扣翻折前后对应线段相等、对应角相等来解决问题，通过相似表示线段和列方程是解题本题的关键．17.解：原式

；

原式

；

原式

先化简二次根式，再计算减法即可；

先计算乘除，再计算加法即可；先代入特殊角的函数值，再计算乘方和除法，最后算加减即可．

本题考查了二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解决本题的关键．18.解：设每千克水果应涨价x元，

依题意得方程：，

整理，得，

解这个方程，得，

要使顾客得到实惠，应取

答：每千克水果应涨价5元．

设每千克水果应涨价x元，得出日销售量将减少20x千克，再由盈利额=每千克盈利日销售量，依题意得方程求解即可．

解答此题的关键是熟知此题的等量关系是：盈利额=每千克盈利日销售量．19.解：如图所示，，；

如图所示，，

能关于某一点Q为位似中心的位似图形，；

本题考查作图-位似变换，作图-平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握位似变换、平移变换的性质，属于中考常考题型．

根据平移规律，画出、、即可；

根据位似图形的性质，画出即可；

对应点连线的交点即为位似中心；20.解：

或甲

和

乙123123423453456和为；

因为共有9种等可能的情况，和大于4的有3种，

所以和大于

列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．

考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21.75

90

解；由题意可知：，，

；

故答案为：，；

在中，

米，

答：点D与点A的距离为300米．

过点D作于点E，是东西走向，

，，

在中，

米，

在中，

米，

米，

答：隧道AB的长为米．

根据方位角图，易知，，；

解即可求解；

过点D作于点分别解，求出AE和BE，即可求出隧道AB的长．

本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．22.18

解：的锐角顶点E与的斜边中点重合，

是等腰的中线，

，AE平分，

，，

，

∽，

，

，

是等