2025届江苏省南京一中、金陵中学、南通海安中学高三11月期中考-数学试卷（含答案）

2025届高三期中学业质量监测试卷数学注意事项：12.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上...如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效.3.本卷满分150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.8540分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.2miR，则实数m1．已知复数（）322332A．．．D．232．已知集合A6,Bxx1AAB（）A．6．6．5D．23．在VABCtanA2，B3C（）A30°．60°D．135°245．函数fxxx3的极大值为（）A．4．01D．4P2与平面所成角的大小为60，则=（）A1．2．D．23π36．曲线y2sinx与yx的交点中，与y轴最近的点的横坐标为（）π5π5ππ6A．．．D．666，，APxAB1xADxR若∥MNx7AMMBBN2NC试卷第1页，共4页（）1374727A．．．D．78．在正四棱柱ABCDABCD3P是线段上靠近C的三等分点，过点111111C与直线PA垂直的平面将正四棱柱分成两部分，则较大部分与较小部分的体积比为（）3252A．．2．D．33618分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9a,b,c是三条直线，，，a//b）A．ac，bc．a/，a，b．，，a，bD．a，b，c，a//c1．已知函数fxx2x，则（）πA．fx的最大值为1．,0是曲线yfx的对称中心2π．fx在上单调递减2D．fx的最小正周期为2π1fx为Rf1xf1x2，f2xf2x4）A．f33．fx为奇函数．xR，fxx1D．xR，fex1fx2000三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.1．已知函数fxsinx0,0的一个单调减区间为,1212，.yx上的两点ABOAOB的中点1M在x轴上，则点M的横坐标为.1O的半径为2ABOCO1的最小值为.577分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步试卷第2页，共4页骤.1．已知，bc分别为VABC的内角ABC的对边，且acosCaCbc.(1)求A；(2)若VABC的面积为3，周长为6，试判断VABC的形状.1．设抛物线C:x24y的焦点为，准线为lP在C上，记P在l上的射影为H.(1)能否为正三角形?若能，求点P的坐标；若不能，请说明理由；(2)设CP处的切线与l相交于点Q，证明：PFQ90.1P中，PAD是ACPAC，且2.(1)A到平面PBD的距离；(2)求平面PAC与平面PBC的夹角的正弦值.1．已知函数fxx2acosx，其中aR.ππ(1)若曲线yfx,f处的切线过原点，求a；22(2)当a1时，证明：fxx1x；(3)若fx在π上单调递增，求a的取值范围.a，a，a…，am（m411123意连续三项的和都能被3整除，那么称数列a，a，a…，am是Pm数列.123(1)写出所有满足a7的P数列；44(2)证明：存在4数列是等比数列，且有无穷个；(3)对任意给定的aat，都存在a，a，a，使得数列a，a，a，a，a是数列，P55523412345试卷第3页，共4页求整数t的最小值.试卷第4页，共4页1B【分析】根据复数的除法运算结合复数的概念运算求解即可.2mim23322ii，【详解】因为mimi11m2m22mi2m3m2RiR，若m21m213m220，解得m.m213故选：2A【分析】利用交集、补集的概念计算即可.【详解】由题意可知B2,3,7，所以AB2,3ðAAB6.故选：AB可得结果.3ππ32π,B,C0,【tanC即3ππ32,B,【详解】因为A23，B33，可知，π3CπAB则，ABABπ4且CAB1，所以C.1故选：4D分析】求函数的导数，求解x0'x0，得到函数fx的单调区间，fxf'f【判断极大值点代入，从而求出极大值.xx32xx33xx3，2【详解】解：f'x0，则1x3f'x0x1或x3，令f'在上单调递增，在3上单调递减，在fx上单调递增，在x1处取得极大值f4.fx故选：D答案第1页，共15页5C的中点DABCP在平面内的投影落在线段内，即PCD60，即可得结果.【【详解】取的中点D，连接PD,CD，2,,3，且D，PD,，可得AB，又因为，所以平面ABC，且平面，由面面垂直的性质可知：点P在平面内的投影落在直线且3，可知点P在平面内的投影落在线段又因为与平面所成角的大小为60PCD60，可知为等边三角形，所以PC3.故选：6Bxxy轴最近的点的横坐标.【π3123【详解】由sinx2sinx，可得sinxx2sinx，2π633即sinxx03sinx0，22ππ则xπ,kZxkπkZ，66π6故x取最小值时，x.故选：B7C答案第2页，共15页x【分析】以,为基底表示向量，因为∥MN，建立与量关系，求解即可.【详解】因为AMMB，BN2NC，所以211212MNBNBMBCBAABBCABAD，32232312又∥MN，所以APMNABADxAB1xAD，2312x则637，解得：，x.271x3故选：C8B【，，的对应三等分点NMQC,N,Q,M111共面，再通过向量数量积证明APCNQM，最后采用割补法求解出较小部分的体积，从而体积比可求.BBNAAAB的三等分点D的三等分点M1111等分点Q，PD,PB,PM,PN,CM,BP,QM,QN，建立如下图所示空间直角坐标系，不妨设AB1，答案第3页，共15页，C0,N1,M,Q2,CNMQC,N,M,QC,N,Q,M共面，又因为，所以A1,0,0,P，1010，所以，,0110，所以C，APCNQM，较小部分的几何体如下图所示，VV1NABCDNCDMNADMQ其体积为，由正四棱柱结构特点易知BM//ADMQ，BM//CDM，11111121所以VVNABCDVBCDMVBADMQ1，33232所以较大部分体积2312，所以较大部分与较小部分的体积比为2，故选：点坐标和空间向量运算能更高效说明线面垂直，另一方面是采用割补法求解几何体的体积，将复杂几何体转化为简单几何体再去计算.9分析】选项A和C，可以在正方体中，通过取平面和直线，满足条件，但得不到a//b，【从而判断出A和C的正误，选项B和D，利用线面平行的判定定理和性质定理，即可判断出选项B和D的正误.【详解】对于选项A，如图，在正方体中，取直线为a，直线BCbBB为c，为，直线1显然有ac，bcabB，所以选项A错误，答案第4页，共15页对于选项，由线面平行的性质可知，选项B正确，对于选项，如图，在正方体中，取平面ABB1A为1B为平面ABCD11为，显然满足，，BCBa,bC错误，对于选项D，因为aacc，ca//c，aa//a，b，所以a//b，故选项D正确，显然有，所以故选：1．A于：举反例说明即可；对于D：根据题意结合最小正周期的定义分析判断.详解】由题意可知：的定义域为，fxꢀ【x,cos2xfxx2x1对于选项A：因为，且f01，所以fx的最大值为1A正确；对于选项：因为fπxπx2πxπx2xx2xfx，π2fπxfx0即,0是曲线ꢁ=ꢂꢃ的对称中心，故B正确；，所以π4π2对于选项：因为ff0在R上连续不断，fxπ2在fx上不单调，故C错误；对于选项D：因为fxx2xx2xfx，答案第5页，共15页由选项Bfπxfx，可得fxπfxfxπfx，则fx2πfxπfxfx，2π为的一个周期，fxa,cos2a1，若0a2π02a4π，可得当cosa1aπ，cos2acos2π11，此时fa11，a2π，fa1f0af0可知对任意a，fx的一个周期；综上所述：的最小正周期为fx2πD正确；故选：．分析】选项A，根据条件，通过赋值，即可求解；选项f1xf1x2【到fx2f2x，进而得到fxf(2x)2，而又由f1xf1x2xf(x)得到fxf2x2f，即可判断选项B的正误；选项C，根据条件得，f1，f2f2xfx2xZf(x)xfx的单调性，即可求解；选项D，构造函数yex1x2，利用导数与函数单调性间的关系，ex1x2，从而有fex1fxf(xf(x)，再结合条件，即可求解.详解】对于选项A，因为f1xf1x2x0，得到f1，【又f2xf2x4x1，得到f3f14，所以f33，故选项A正确，对于选项Bf1xf1x2f2xfx2fx2f2x，又f2xf2x4，所以fx2f2xf(2x)2，f1xf1x2fxf2x2fxf(2x)2f(x)，所以，又的定义域为R，定义域关于原点对称，所以fx为奇函数，故选项fxBA正确，知f1，对于选项，因为f2xf2x4x0，得到f2，由选项答案第6页，共15页又由选项B知f2xfx2fx为奇函数，则当xZf(x)x，所以当xZ时，不存在xRfxx1成立，000当xZ为Rfxfxf([x[xx1（其中[x]表示不0000xC错误，对于选项Dyex1x2yex11yex110，得到x1，所以当x,yex110xyex110，即yex1x2在区间,上单调递减，在区间上单调递增，yex1x2e1(2ex1x2，当且仅当x1时取等号，由选项B知f2xfxf2xfx2为R上的增函数，fxfex1fxf(x2)f(x)，当且仅当x1时取等号，故选项D正确，故选：【C和DxZf(x)xfx的单调性，当xZfxf([x[xx1，再利用0000中[x]表示不超过Dyex1x2x函数的单调性间的关系得到ex1x2fex1ff(x2)f(x)2，即可求解.221．2##33【分析】根据三角函数的单调性和周期性等图象性质易得结果.5πππ，所以2ππ详解】由题意，周期T22，【fx2x，πfsin21π12π当x时，可得，12ππ2π则22π，解得2kπ，12232π又0，所以.3答案第7页，共15页2π故答案为：2；.311e1．e2xxxx0Ax,lnx,Bx,lnx【11221212式可得xx1，代入运算求解即可.12详解】设x,lnx,x,lnxAx,lnx,Bx,lnx【，11221122若OAOBxxlnxlnx0，12121x21x20，又因为线段的中点M在x轴上，则221xx1x，122111则111210，解得11xex或，11e11e1x即可得1或1ee，22e1x212e1e.所以点M的横坐标为211故答案为：e.e211．##2【分析】将AB,AC分别表示为OB,OCOA，然后根据向量数量积的定义表示出，再分析AB,OC的夹角即可求解出的最小值.OA2OB2AB27【详解】因为OAOBAB1，所以cosAOB，OAOB8又2781212OBOAOC224ABOC11cosAB,OCcosAB,OC1111，222当且仅当AB,OC180时取等号，12的最小值为，答案第8页，共15页12故答案为：.π1．(1)A3(2)等边三角形）利用正弦定理和诱导公式及特殊角三角函数值即可求得A的值；2）利用三角形面积公式和余弦定理求得VABC的三边长，进而判断出VABC的形状.）由正弦定理，acosCaCbc可化为sinAC3sinAsinCsinBsinC又VABCBsin(AC)ACAC则上式可化为3sinAsinCsinCcosAsinC，又VABC0CπC0，,则上式可化为3sinAcosA13sinAcosA，π61ππ65π6则sinAA，26π6ππ3则AA6（2abc6，可得bc6a，1πbcsin3，可得4，23则bc26a2，可化为b2c2836a212a整理得b2c2a22812a，ππ3b2c2a2122812aAcos，可化为，32bc84b2解之得a2，解之得，bc4c2则VABC的形状为等边三角形.答案第9页，共15页．(1)P23,3或P23,3；1(2)证明见解析.3）由题可得HPM纵坐标为FMHP，即可得答案；2（2CPQFQFP0证明结论.204x【）设ꢄꢃ,ꢁ，因x24y0Px,.0000又由题可得C:x24y的焦点为ꢅ0,1，准线为：y1.则P在l上的射影H为Hx,.PFH为正三角形，03则应满足HPM纵坐标为FMHP.22042x11023，即当P23,3或P23,3即3022014能使为正三角形；204x2）由题可得Px,x0.00x2x注意到x24yyy，42204x020202Px,yxx0.处的切线斜率为：，则相应切线为：044y0，可将切线方程化简为：2yy.x02002y01,.F,Px,y令则y1，可得Q又，000,2x,y1201，000得FQFP2y2y200PFQ90.00答案第10页，共15页251．(1)5472(2)【H，证明PBD，求出AH得解；,y,z轴的空间直角坐2）以点A为坐标原点，过点A垂直于x分别为标系，求出平面PBC与平面PAC的一个法向量，利用向量法求解.）如图，作H，因为平面PAC，平面PACPD，PAC，PBD，2125在Rt△PAD，5525所以点A到平面PBD的距离为.5（2）由（PBD，BDPBD，所以，又PA，BD，所以，,又PAC，PAAHA，所以BDPAC，又AD1，2，所以DAB60o，AA垂直于x,y,z分别为轴的空间直角坐标系，ꢆ0,0,0，P0,0,2，B0，C0ꢇ0,1,0，3,0,02，PC0,2,2，，n,y,z，设平面PBC的一个法向量为3xy2z03z1y1，x，2y2z03答案第页，共页3n，3又BDPAC3,0,0，设平面PAC与平面PBC的夹角为，n17，n1371131sin1.77472所以平面PAC与平面PBC的夹角的正弦值为.π1．(1)a2(2)证明见详解(3),2）求导，根据导数的几何意义求切线方程，代入原点运算求解即可；2）构建gxfxx1x，利用导数分析其单调性和最值，即可分析证明；（（3ꢂꢃ≥0在πFxfxa′应分析证明.【）因为fxx2axfx2xax，ππ2则f2π，fπa，24ππ2π2π即切点坐标为,，切线斜率kπa，则切线方程为yπax，2424答案第12页，共15页π2若切线过原点，则0πa0，解得a2ππ2.4（2a1fxx2x，gxfxx1xx2xxx1，则gx2x1xx，π4hxgx令hx2sinxcosx22x220，即x0h00，恒成立，则ℎꢃ在上单调递增，且当x0h00gx0x0h00gx0；在,0gx内单调递减，在+∞内单调递增，则gxg00fxx1x.，所以（3在fxπ上单调递增，当a0fxx2在π上单调递增，符合题意；在当a0fxx2axπ上单调递增，符合题意；当a0，由（1）可知：fx2xax，则ꢂ′ꢃ≥0在π上恒成立，Fxfx设Fx2ax，且F00F02a0，解得a2，在若0a2，可知Fx2axπ上单调递增，FxF02a0则，可知ꢅꢃ在,π上单调递增，则FxF00，符合题意；综上所述：a的取值范围为,2.【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题1）分离参数法（第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；答案第13页，共15页第三步：根据要求得所求范围．2）函数思想法第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．1．(1)1，237；，267；，3571，，67.(2)证明见解析；(3)13.）由所给信息，找到满足题意的数列即可；2）即证明存在无穷多个整数，使1qq3整除；q2（（33除余数分为3aa，a，a所属集5234Pa，mNma5并写出相应的数列，后由可确定最小值，即可得答案.5a，mNm）由题可得，a3a6令a22，为使任意连续三项的和都能被3整除，则或；33a32a53a42aa5