江西省上饶市广信区第七中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题(含详解)

2025年江西省上饶市广信七中中考数学模拟试卷（3月份）一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列方程是一元二次方程的是(

)A. B. C. D.2.如图是由五个大小相同的小立方块组成的几何体，则俯看该几何体的形状图是(

)A.

B.

C.

D.3.某超市举办春节抽奖活动，在不透明的袋子中装入5个红色乒乓球，2个白色乒乓球，随机从袋子中摸出一个球，则摸出白色乒乓球的可能性大小为(

)A. B. C. D.4.在同一平面直角坐标系中，函数和函数是常数，且的图象可能是(

)A. B.

C. D.5.如图，在菱形ABCD中，点E是边DC上一点，且，连接AE交BD于点F，若的面积为3，则的面积为(

)A.4

B.

C.16

D.6.在物理课关于光的反射规律探究实验中，某课外兴趣小组在实验环境模拟日常室内场景.如图，一束光从天花板点P射入，经过光滑的地板MN反射到天花板上形成光斑.第一小组和第二小组的入射光线与地板的夹角分别为，已知天花板与地面是平行的，且它们的高度为2m，当，时，则第一小组和第二小组的光斑AB距离为(

)A.2m B. C. D.4m二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。7.将平面直角坐标系中的点绕原点O沿逆时针方向旋转得到点B，则点B的坐标为______.8.圆锥的底面圆直径是6cm，高为4cm，那么这个圆锥侧面展开图的面积是______9.在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同的象限.若反比例函数的图象经过其中两点，则n的值为______.10.在三角形ABC中，已知，都是锐角，且满足，则三角形ABC的形状是______.11.如图，身高的李华同学站在树影AB的端点A处，然后朝着树的方向沿着树影AB由点A向点B走去，当李华同学走到点C时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，用测量仪测得，，则树的高度为______

12.如图，在半径为2的中，弦，过点A作直线l与相切，点P在直线l上运动，若为等腰三角形，则线段PO的长为______.

三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。13.本小题6分

解方程：

；

14.本小题6分

2025年春节期间，南昌市各旅游景区持续火热.小明和小李准备到八一起义纪念塔、滕王阁、南昌八一起义纪念馆、小平小道陈列馆分别记作A，B，C，参加公益讲解活动.

若小明和小李各自随机选择1个景区，则“小明和小李都选择滕王阁”是______填“必然”“不可能”或“随机”事件；

小明和小李在A，B，C三个景区中，各自随机选择1个景区，请用画树状图或列表的方法，求小明和小李选到相同景区的概率.15.本小题6分

某网店专门销售江西特色产品——赣南脐橙，已知每千克脐橙的成本为8元.根据销售大数据分析得出：当每千克脐橙的售价为10元时，平均月销售量为600千克；若每千克脐橙的售价每上涨1元，月销售量就会减少100千克.设每千克脐橙的售价为x元，月销售量为y千克，月销售利润为w元.

求y与x的函数解析式；

月销售利润w是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值.16.本小题6分

如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接BE，CF相交于点D，已知

求证：；

若，求证：四边形ABDF为菱形.17.本小题6分

如图，在的正方形网格中，的顶点A，B，C均在格点上.请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母.

如图1，在线段AC上找一点D，使得；

如图2，在三角形内寻找格点E，使得18.本小题8分

如图，一次函数与反比例函数为常数，的图象在第一象限内交于点，且与x轴、y轴分别交于B，C两点，已知

求一次函数和反比例函数的解析式；

若有一点P在x轴上，且的面积等于6，求点P的坐标.19.本小题8分

天门山索道是张家界天门山景区的重要交通设施与著名景点，如图1所示为天门山索道部分路段情况，它能让游客欣赏到绝美的自然风光.如图2展示的是从天门山某观景平台到山下某一站点一段索道的示意图，点A为天门山观景平台，点B是索道在山下的停靠站点.从山脚D处看A处的仰角为，从A处看B处的俯角为，点A与点D之间的距离，点B到山脚的距离

求点A到山脚CD的距离；

求AB的长.

结果精确到1m，参考数据：，，，20.本小题8分

如图，在中，点D为斜边AB上一点，以BD为直径的交AC于点E，交BC于点F，且点E是的中点.

求证：AC是的切线；

若，，求BD的长度.21.本小题9分

如图，在正方形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC的延长线上，且，连接EF交CD于点G，连接DF，过点D作的角平分线交EF于点H，交BC于点

求证：；

求证：∽；

连接EM，若，时，求EM的长.22.本小题9分

图1展示的是威力强大的红衣大炮，作为古代战场上的关键武器，它发射的炮弹的运动轨迹呈抛物线形，经过精准测量与仔细观察，炮弹发射后，距离发射点水平距离60米时达到最大高度30米，一次演练场地选在一处地势复杂且带有一定坡度的山地，将红衣大炮稳固地安置在山坡底部的点O处，山坡上点A处精心布置了一座模拟敌军营地.营地中的指挥官营帐无疑是关键目标.营帐底部点A与点O的水平距离为90米，与地面的竖直距离为16米，为进一步增强演练的挑战性与真实感，在营帐顶部竖起了一面醒目的旗帜，旗帜顶端B比营帐底部A高出米.以点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系.

求炮弹运动轨迹所在抛物线的解析式；

判断炮弹能否越过旗帜顶端？请说明理由；

若要使炮弹恰好击中旗帜顶端，在抛物线形状不变的情况下，红衣大炮应该向后移动多少米？

23.本小题12分

【综合与实践】

【课本再现】

人教版九年级上册数学教材第60页有一例题：点E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把顺时针旋转，画出旋转后的图形.由作图过程可以得出≌由此，老师进行了延伸拓展，与同学们一起探究.

【例题延伸】

如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的动点，且，试判断BE，EF，DF之间的数量关系.小明把绕点A顺时针旋转得到，使AB与AD重合，试求BE，EF，DF之间有什么数量关系？并说明理由；

【类比探究】

如图2，在矩形ABCD中，已知，，点F为边BC延长线上一点，连接DF，过点B作于点H，交CD于点

①求的值；

②求的值；

【拓展应用】

如图3，在的条件下，平移线段DF，使它经过BE的中点H，交AD于点M，交BC于点N，连接NE，若，请你求出MN的长.

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：A、当a为0时，不是一元二次方程，不符合题意；

B、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；

C、含有一个未知数，最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意；

D、符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，符合题意；

故选：

根据含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程即可求解．

本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．2.【答案】B

【解析】解：俯看该几何体的形状图是：

，

故选：

根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．

本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．3.【答案】C

【解析】解：袋子中装有5个红色乒乓球，2个白色乒乓球，

摸出白色乒乓球的可能性大小为

故选：

先求出球的总数，再根据概率公式求解即可．

本题考查的是概率公式，理解并掌握简单概率计算公式是解题关键．4.【答案】A

【解析】解：A、由一次函数经过第二、三、四象限，得出，，则二次函数的开口向下，且对称轴，符合题意；

B、由一次函数经过第二、三、四象限，得出，，则二次函数的开口向下，且对称轴，不符合题意；

C、由一次函数经过第一、二、三象限，得出，，则二次函数的开口向上，且对称轴，不符合题意；

D、由一次函数经过第二、三、四象限，得出，，则二次函数的开口向下，且对称轴，不符合题意；

故选：

先分析每个选项的一次函数的图象得出a，b的情况，再判断二次函数的图象是否符合要求，如果符合要求，即为正确的选项，否则是错误的选项，即可作答．

本题考查了二次函数的与一次函数的图象的综合，熟练掌握二次函数性质是关键．5.【答案】B

【解析】解：四边形ABCD为菱形，

，，

，

：：4，

：：4，

，

∽，

，

，

的面积为

故选：

先根据菱形的性质得到，，再利用比例性质得到DE：：4，接着证明∽，根据相似三角形的性质即可解答，熟知相关性质是解题的关键．

本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．6.【答案】B

【解析】解：如图，过点C作，垂足为E，过点D作，垂足为F，

由题意得，和都是等腰三角形，

，，

，

，，

，

，

，

，

，

故选：

过点C作，垂足为E，过点D作，垂足为F，根据题意可得，和都是等腰三角形，，从而可得，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出PE的长，从而求出AP的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出PF的长，从而求出BP的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．

本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．7.【答案】

【解析】解：如图所示，分别过点A和点B作x轴的垂线，垂足分别为M，N，

则

由旋转可知，

，，

，

在和中，

，

≌，

，

又点A的坐标为，

，，

点B的坐标为

故答案为：

根据题意画出示意图，利用旋转的性质，再结合全等三角形的判定与性质即可解决问题．

本题主要考查了坐标与图形变化-旋转，熟知图形旋转的性质是解题的关键．8.【答案】

【解析】解：如图是圆锥的轴截面，，有，，，

在中，由勾股定理知，，

则底面周长，圆锥侧面展开图的面积

利用勾股定理易得圆锥母线长，那么圆锥的侧面积=底面周长母线长

本题利用了勾股定理，圆的周长公式，扇形的面积公式求解．9.【答案】

【解析】解：由条件可知点一定在第三象限，

反比例函数的图象经过其中两点，

反比例函数的图象经过，，

，

，

故答案为：

判断反比例函数的图象经过，是解题的关键．根据已知条件得到点在第一象限，求得点一定在第三象限，由于反比例函数的图象经过其中两点，于是得到反比例函数的图象经过，，于是得到结论．

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．10.【答案】直角三角形

【解析】解：，

，，

，

三角形ABC的形状是直角三角形，

故答案为：直角三角形．

先根据非负数的性质确定，继而求出，，即可判断三角形ABC的形状．

本题主要考查特殊角的三角函数值，绝对值和平方式的非负性，熟练掌握以上知识点是关键．11.【答案】

【解析】解：如图所示：

依题意，得，

，，

≌，

，

，，，

，

，

，

解得，

故答案为：

运用两组角分别相等的三角形是相似三角形，证明≌，则，然后代入数值计算，即可作答．

本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．12.【答案】或或

【解析】解：，，

为等腰直角三角形，

为等腰三角形，

当时，

，

过点A作直线l与相切，

，

由条件可知OP垂直平分AB，

，

为等腰直角三角形，

，

；

当时，

，

，

，

，

，

；

当时，

；

综上所述，OP的长为或或，

故答案为：或或

先求出为等腰直角三角形，得出，分三种情况：当时，当时，当时，分别求解即可得解，

本题考查了勾股定理、切线的性质、等腰三角形的定义，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想是解此题的关键．13.【答案】，；

，

【解析】解：，

，

解得，；

原方程整理得，

解得，

根据公式法解答即可；

根据因式分解法解答即可．

本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键．14.【答案】随机；

【解析】解：若小明和小李各自随机选择1个景区，则“小明和小李都选择滕王阁”是随机事件；

故答案为：随机．

列表如下：ABCAAAABACBBABBBCCCACBCC共有9种等可能的结果，其中小明和小李选到相同景区的结果有3种，

小明和小李选到相同景区的概率为

根据随机事件、不可能事件及必然事件的概念求解即可；

列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．

本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．15.【答案】；

月销售利润w存在最大值，最大值为1600元，此时x的值为

【解析】解：设每千克脐橙的售价为x元，那么相比10元上涨了元，则月销售量减少千克，

；

由每千克脐橙的成本为8元，售价为x元，月销售量为件，

月销售利润w为，

，

该函数图象开口向下，存在最大值，

当，可得最大利润，最大利润为元，

答：月销售利润w存在最大值，最大值为1600元，此时x的值为

设每千克脐橙的售价为x元，那么相比10元上涨了元，则月销售量减少千克，列出函数关系式即可；

根据“利润售价-成本销售量”，则月销售利润w为，然后利用二次函数的性质即可求解．

本题考查了一次函数和二次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．16.【答案】见解析；

见解析．

【解析】证明：是由绕点A按逆时针方向旋转得到的，，

，，，

在和中

≌，

证明：由易得和是等腰直角三角形，

，

，

，

，

，

，

，

四边形ABDF为平行四边形．

又，

四边形ABDF为菱形．

根据性质的性质得到，，可证明

≌即可得到结论；

由知，，得到和是等腰直角三角形，继而得到，得出，，可证明四边形ABDF为平行四边形，即可得到结论．

本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形和菱形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．17.【答案】见解析；

见解析．

【解析】解：如图1，点D为所求；

如图2，点E为所求．

取格点E，F，连接EF交AC于D，可证∽，则；

分别作线段BC、AC的垂直平分线，相交于点E，连接BE，CE，AE，根据垂直平分线的性质可得，则点A、B、C在以点E为圆心，BE的长为半径的圆上，根据圆周角定理可得

本题考查了作图-应用与设计作图，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识．18.【答案】，；

点P的坐标为或

【解析】解：一次函数与x轴、y轴分别交于B，C两点，

，

，

一次函数的解析式为；

点

把点代入，得，

反比例函数的解析式为

设点P的坐标为

当时，，解得，则点

的面积等于6，

，

解得或，

点P的坐标为或

由一次函数与x轴、y轴分别交于B，C两点，得到，得到，把两函数的交点A的坐标分别代入，可得到两函数解析式；

设点P的坐标为，利用三角形面积公式得到，然后求出t得到P点坐标．

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：待定系数法，三角形的面积的计算方法，求出点B坐标是解本题的关键．19.【答案】点A到山脚CD的距离为255m；

AB的长为

【解析】解：如图，过点A作于点E，过点B作于点F，

由题意知，，，，

在中，，

，

答：点A到山脚CD的距离为255m；

，，

，

在中，，

，

答：AB的长为

过点A作于点E，过点B作于点F，由即可求解；

先求出，然后由即可求解．

本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．20.【答案】见解析；

【解析】证明：以BD为直径的交AC于点E，交BC于点F，且点E是的中点，如图1，连接OE，

点E是的中点，

，

，

又，

，

，

，

又，

，

是的半径，

为的切线；

解：如图2，连接FD，OE，交OE于点M，

点E是的中点，

，

为的切线，

，

又，

四边形CFME是矩形，

设的半径为r，则，，

在中，由勾股定理得：，

，

解得，

连接OE，根据圆周角定理得，根据等边对等角得，所以，证得，再结合得，即可得证；

连接FD，交OE于点M，证明四边形CFME是矩形，设的半径为r，则，，然后在中，列出勾股定理即可求解．

本题属于圆的综合题，主要考查了圆周角定理、平行线的判定与性质、切线的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．21.【答案】证明见解答过程；

证明见解答过程；

【解析】证明：在正方形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC的延长线上，且，

，，

在和中，

，

≌，

；

证明：由知≌，

，

，

，

，

是等腰直角三角形．

的角平分线交EF于点H，交BC于点M，

，

，

，

∽；

解：，，

，，

，，

∽，

，

，

解得：，

，

在中，由勾股定理得：

先根据正方形性质得，再运用SAS证明≌，即可作答；

结合全等三角形的性质得，然后证明是等腰直角三角形．因为DM平分，则，运用两组角分别相等的三角形是相似三角形，证明∽，即可作答；

结合线段的和差关系得，同理证明∽，把数值代入，得，然后运用勾股定理列式计算，即可作答．

本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、等三角形的判定与性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．22.【答案】；

断炮弹能越过旗帜顶端；理由见解析；

红衣大炮应该向后移动6米．

【解析】解：根据题意可知，点是抛物线的顶点，

设抛物线的解析式为，将点代入，得：

，

即，

解得，

炮弹运动轨迹所在抛物线的解析式为；

断炮弹能越过旗帜顶端；理由如下：

由题可知，点B的横坐标为9