2025年九年级中考数学三轮冲刺二次函数与面积的综合训练（含解析）

2025年九年级中考数学三轮冲刺二次函数与面积的综合训练

1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=/+b尤+c的图象与x轴交于点A(-1,0)、B

(3,0),与y轴交于点C.

(1)b=

(2)若点。在该二次函数的图象上，且右43。=25”8。求点。的坐标；

(3)若点尸是该二次函数图象上位于X轴上方的一点，且SzsAPC=S"P8,直接写出点尸

的坐标.

2.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y=a/+bx+c交x轴于A(-1,0),B(3,0)

两点，与y轴交于点C(0,-1).

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)如图1,点。为第四象限抛物线上一点，连接过点B作8E，。。，垂足为E,

若BE=2OE,求点。的坐标；

(3)如图2,点M为第四象限抛物线上一动点，连接AM,交BC于点、N,连接记

△BMN的面积为Si,3BN的面积为S2,求兽的最大值.

1

3.如图，在平面直角坐标系尤Oy中，一次函数丫=-分+3的图象与x轴交于点A,与y轴

交于点8,点C的坐标为(-2,0),抛物线经过A,B,C三点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)直线AD与y轴负半轴交于点。，且NBAO=ND4。，求证：OB=OD；

(3)在(2)的条件下，若直线与抛物线的对称轴/交于点E,连接BE,在第一象

限内的抛物线上是否存在一点尸，使四边形BEAP的面积最大？若存在，请求出点尸的

坐标及四边形2E4尸面积的最大值；若不存在，请说明理由.

4.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=o%2+6尤+4QW0)经过点A(-2,0)

和点B(4,0).

(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；

(2)点尸为该抛物线上一点(不与点C重合)，直线CP将△ABC的面积分成2：1两部

分，求点P的坐标；

(3)点M从点C出发，以每秒1个单位的速度沿y轴移动，运动时间为/秒，当NOC4

=N0C2-N0AM时，求f的值.

5.如图，在平面直角坐标系中，直线+3与x轴交于点A,与y轴交于点8,抛物线

y=^C+bx+c经过坐标原点和点A,顶点为点M.

(1)求抛物线的关系式及点M的坐标;

(2)点E是直线下方的抛物线上一动点，连接EB,EA,当△E48的面积等于万时，

求E点的坐标；

(3)将直线42向下平移，得到过点M的直线y=Mv+",且与龙轴负半轴交于点C,取

点、D(2,0),连接。求证：ZADM-ZACM^45°.

6.如图，抛物线(川+3)尤一(6m+9)与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,已

知2(3,0).

(1)求相的值和直线BC对应的函数表达式；

(2)尸为抛物线上一点，若S#BC=SAABC,请直接写出点P的坐标；

(3)。为抛物线上一点，若NACQ=45°,求点。的坐标.

7.抛物线y=1?+法+c与x轴分别交于点A,B(4,0),与y轴交于点C(0,-4).

(1)求抛物线的解析式.

(2)如图1,回2CPQ顶点P在抛物线上，如果aBCP。面积为某值时，符合条件的点尸

有且只有三个，求点尸的坐标.

(3)如图2,点M在第二象限的抛物线上，点N在延长线上，0M=20N,连接BN

并延长到点。，使ND=NB.MZ)交x轴于点E,/DEB与NDBE均为锐角,tanZDEB

=2tan/O2E,求点M的坐标.

8.如图，抛物线y=/+fcr+c(6,c是常数)的顶点为C,与x轴交于A,8两点，A(1,0),

AB=4,点尸为线段A2上的动点，过尸作尸。〃8C交AC于点Q.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)求△CPQ面积的最大值，并求此时尸点坐标.

9.如图，抛物线y=-x2+fcc+c过点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点尸为抛物线对称轴上一动点，当△PC8是以BC为底边的等腰三角形时，求点尸

的坐标；

(3)在(2)条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得SABCM=SABCP?

若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由.

y

M

10.在平面直角坐标系中，抛物线k-1#+6x+c经过点A(，1，27­)和点B(4,0),与

y轴交于点C,点P为抛物线上一动点.

(1)求抛物线和直线A8的解析式；

(2)如图，点尸为第一象限内抛物线上的点，过点P作垂足为。，作PELx

Si49

轴，垂足为E,交A8于点F,设APDF的面积为Si,ABEF的面积为S2,当言=石时，

求点尸坐标；

(3)点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N,使得直线BC垂直平分线段PN?

若存在，请直接写出点N坐标，若不存在，请说明理由.

备用图

II.如图，抛物线y=-/+bx+c与x轴交于A,8两点，与y轴交于C点，直线BC方程为

y=x-3.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点尸为抛物线上一点，若心必。=请直接写出点尸的坐标；

(3)点。是抛物线上一点，若NACQ=45°,求点。的坐标.

12.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=a/+6x经过A(4,0),B(1,4)两点.P

是抛物线上一点，且在直线的上方.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若△048面积是△B43面积的2倍，求点尸的坐标；

(3)如图，0P交AB于点C,尸。〃3。交A3于点。.记"DP,ACPB,△CB。的面

积分别为Si,S2,S3.判断詈+连是否存在最大值.若存在，求出最大值;

若不存在,

请说明理由.

13.抛物线y=/-4x与直线y=x交于原点。和点8,与x轴交于另一点A,顶点为D

(1)直接写出点B和点。的坐标；

1

(2)如图1,连接。。，尸为x轴上的动点，当tan/PDO='时，求点尸的坐标；

(3)如图2,M是点2关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标

为相(0(根＜5),连接M。，BQ,与直线02交于点E.设△BEQ和的面积

分别为Si和S2,求善的最大值.

14.如图，抛物线y=a/+6尤+3与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点8,点C在直线45

上，过点C作无轴于点。(1,0),将△AC。沿C。所在直线翻折，使点A恰好落

在抛物线上的点E处.

(1)求抛物线解析式；

(2)连接BE,求△BCE的面积；

(3)抛物线上是否存在一点P,使NPEA=/BAE?若存在，求出尸点坐标；若不存在，

请说明理由.

15.已知抛物线y=/+b尤+c与x轴相交于A(-1,0),8两点，与y轴相交于点C(0,-

3).

(1)求b,c的值；

(2)尸为第一象限抛物线上一点，△PBC的面积与△ABC的面积相等，求直线AP的解

析式；

(3)在(2)的条件下，设E是直线8C上一点，点P关于4E的对称点为点P,试探

究，是否存在满足条件的点E,使得点P恰好落在直线BC上，如果存在，求出点P的

坐标；如果不存在，请说明理由.

16.如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=a/+6x+c的图象与x轴交于点A(-2,

0)和点2(6,0)两点，与y轴交于点C(0,6).点。为线段BC上的一动点.

(1)求二次函数的表达式；

(2)如图1,求△A。。周长的最小值；

(3)如图2,过动点。作。尸〃AC交抛物线第一象限部分于点尸，连接B4,PB,记4

B4D与的面积和为S,当S取得最大值时，求点尸的坐标，并求出此时S的最大

值.

17.如图，在平面直角坐标系中，二次函数＞=-/+6x-c的图象与尤轴交于点A(-3,0)

和点B(1,0),与y轴交于点C.

(1)求这个二次函数的表达式.

(2)如图1,二次函数图象的对称轴与直线AC：y=x+3交于点D若点M是直线AC

上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值.

(3)如图2,点P是直线AC上的一个动点，过点P的直线/与BC平行，则在直线/

上是否存在点Q,使点B与点P关于直线C。对称？若存在，请直接写出点Q的坐标；

若不存在，请说明理由.

图1图2

18.如图，抛物线y=/+6x+c过点A(-1,0)、点8(5,0),交y轴于点C.

(1)求6,c的值.

(2)点P(xo,yo)(O<xo<5)是抛物线上的动点.

①当xo取何值时，△P8C的面积最大？并求出APBC面积的最大值；

②过点P作尤轴，交8C于点E,再过点P作PF//X轴，交抛物线于点F,连接EF,

问：是否存在点P,使为等腰直角三角形？若存在，请求出点尸的坐标；若不存

在，请说明理由.

19.已知：y关于x的函数y=(67-2)/+(a+1)x+b.

(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a=4b,则a的值

是;

(2)如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A(-2,0),B(4,0),并

与动直线/：x=m(0<m<4)交于点P,连接PA,PB,PC,BC,其中B4交y轴于点

D,交BC于点、E.设APBE的面积为Si,的面积为

S2.

①当点P为抛物线顶点时，求△PBC的面积；

②探究直线/在运动过程中，S1-S2是否存在最大值？若存

在，求出这个最大值；若不存在，说明理由.

A

X

20.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=/+6刀+c与x轴交于A(-2,0),B(4,

0)两点(点A在点8的左侧)，与y轴交于点C,连接AC,BC.

(1)求抛物线的表达式；

(2)点P为直线8C上方抛物线上一动点，连接。尸交8C于点。，连接BP,当学理=1

SAOBQ2

时，求点尸的坐标；

(3)点M为抛物线上的点，当NBCM=NACO时，直接写出点M的坐标.

21.如图，抛物线y=a/-2以+4(a¥0)与尤轴交于点A(4,0)和点B,与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点。是线段上一动点，过。作。E〃AC交BC于点E,连接C。，当△CQE的

面积最大时，求点Q的坐标；

(3)若平行于x轴的动直线与抛物线交于点P,与直线AC交于点R点。的坐标为(2,

0).问是否存在这样的直线，使得△OOP是等腰三角形？若存在，求出点尸的坐标；若

不存在，请说明理由.

参考答案

L【解答】解：（1）:点A和点B在二次函数y=/+6尤+c图象上,

则｛『二审,解得：尸二，

故答案为：-2,-3；

(2)连接5C,由题意可得：

A(-1,0),B(3,0),C(0,-3),y=x1-2x~3,

1

S/\ABC='x4x3=6,

■:SAABD=2SAABC,设点。(机，m2-2m-3),

11

XABx|yD|=2X6,即3x4X|m2-Im-3|=2X6,

解得：根=1+，历或1一同，代入y=/-2x-3,

可得：y值都为6,

：.D(1+同，6)或(1一同，6)；

(3)设P(«,/-2W-3),

1/点P在抛物线位于x轴上方的部分，

T或n>3,

当点尸在点A左侧时，即

可知点C到AP的距离小于点B到AP的距离，

•'.S^APC<S^APB,不成立；

当点尸在点B右侧时，即”>3,

,.•△4尸。和44尸2都以”为底，若要面积相等，

则点B和点C到AP的距离相等，即BC//AP,

设直线BC的解析式为y—kx+p,

则设直线A尸的解析式为y=x+q,将点A(-1,0)代入，

则-l+q=0,解得：q=l,

则直线AP的解析式为y=x+l,将尸(外后一2〃-3)代入，

即IT-2n-3=«+1,

解得："=4或"=-1(舍)，

n2-2n-3=5,

...点P的坐标为(4,5).

2.【解答】解：(1)依题意，设y=a(x+1)(x-3),

代入C(0,-|)得：-3)=-|,

1

解得：〃=2，

.•.y=2(%+l)(x-3)=^x2-1；

(2)9：BE=2OE,

设OE为x,BE=2x,

由勾股定理得：OG+B彦=OB2,

X2+4X2=9,

解得：X2=(舍)，

..OE=-g-,BE=-g-,

过点E作TG平行于03,T在y轴上，过3作BGJ_TG于G,

•••△ETOs△。码

.ETOETO

・・OE~OB~BE'

：.O序=OB，TE,

45

TE=S=|,

.CTBE6

•."=西飞'

36

：.E(-,—£),

55

・,・直线OE的解析式为y=-2x,

•・•OE的延长线交抛物线于点D,

ry=-2%

i3,

(y=2X2~x~2

解得：Xl=l,X2=-3(舍)，

当x=l时，y=-2,

：.D(1,-2)；

(3)如图所示，延长BC于点RA/〃y轴,过A点作AH1BF于点H,作MT//y轴交

BF于点、T,过“点作尸于点/,

9

：AF//MTf

ZAFH=ZMTJ,

'：AH±BFfMJLBF,

：・/AHF=NMJT=90°,

・•・AAFH^AMJT,

.AHAF

M]~MT'

11

,:Si=»fB・MJ,S2=^NB*AHf

.S]MJMT_

・$~AH~AF9

设直线3。的解析式为y=fcv+。，将5,C两点代入得,

一]=5

«2，

0=3fc-4

r

b=-

解得：1

办

\k=z

直线BC的解析式为尸方-

当x=-1时，y=亍(-1)—=—2,

：.F(-1,-2),

：.AF=2,

1q

设M(x,—J?-x—5),

22

131o313oQ

QQY-Q-TT+石，

•*-MT=-2X-2-(—2x-«■2)=-2(x-2)8

1

Q=—2^^0,

9

-

8

9

•以^MJ_=MT=MTmax_J=_9_

•.iS2JmaX-AH~AF~AF_2_16，

1

3.【解答】解：(1)令y=0,则一尹+3=0，解得尤=6,

令尤=0,贝!|y=3,

.1.A(6,0),B(0,3),

设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,

把A,B,C三点坐标代入解析式，得：

(36。+6b+c=0

jc=3,

(4a-2b+c=0

(1

a=一了

解得：6=J,

9=3

2

抛物线的解析式为y=-1x+x+3;

(2)证明：•.•在平面直角坐标系xOy中,

：.ZBOA^ZDOA^90°,

在△BOA和△OOA中，

2B0A=Z.DOA

0A=0A,

.Z.BAO=/.DAO

：./\BOA^/\DOA(ASA),

：.0B=0D,

(3)存在，理由如下：

如图，过点石作£加，＞轴于点M,

：y=-i?+.r+3=-1(尤-2)2+4,

抛物线的对称轴是直线尤=2,

点的横坐标是2,即EM=2,

,:B(0,3),

：.0B=0D=3,

：.BD=6,

VA(6,0),

；.。4=6,

11

S^ABE=SAABD-SADBE=2x6X6—]x6X2=12,

设点尸的坐标为G,—]+r+3),

连接出,PB,过点尸作PNLx轴于点Hi,交直线A8于点N,过点8作于点

H2,

1

:.N（tf—2什3）,

:・PN=-4金+%+3-（—乎+3）=-4P+

111

9

：AHi+BH2=OA=6fSAABP=SANBP4ANP=^PN*BH2+郎N*AHI=$N*OA,

S/\ABP=2x6（—4P+2'）=—4（/-3）?+

：一＜0,抛物线开口向下，函数有最大值，

27

...当f=3时，△3B4面积的最大值是一，此时四边形2E4P的面积最大，

4

2771

四边形BEAP的面积最大值为1+12=g

1575

当尸点坐标是（3,—）时，四边形BE4P面积的最大值是一.

44

4.【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y=〃（x-xi）（x-%2）,

贝!J（x+2）（x-4）=aj?-2ax-8a,

即-8（7=4,解得a=-2，

故抛物线的表达式为y=-32+/4①；

（2）由点A、B的坐标知，。8=2。4,

故C。将△ABC的面积分成2：1两部分，此时，点尸不在抛物线上;

1

如图1,当85=/42=2时，CH将△ABC的面积分成2：1两部分H\B

即点X的坐标为（2,0）,

则C8和抛物线的交点即为点P,

由点C、H的坐标得，直线CH的表达式为y=-2x+4②,

联立①②并解得匕=6（不合题意的值已舍去），

ky=-8

故点尸的坐标为（6,-8）；

（3）在。2上取点E（2,0）,则/ACO=NOCE,

,：ZOCA^ZOCB-ZOMA,故NAM0=NEC2,

过点E作EBL8C于点R

在RtZXBOC中，由OB=OC知，/OBC=45°,

则EF=*EB=孝（4-2）=鱼=BF,

由点2、C的坐标知，BC=4上,

则CF=BC-BF=4近-V2=3近，

EF_721

贝Utan/ECB=而=近=2=tanZAA/O,

则tan/AMO=W=W=

则0M=6,

故CM=OM±OC=6±4=2或10,

则f=2或10.

11

5.【解答】解：(1)对于y=-尹+3,令》=一尹+3=0,解得％=6,令x=0,则y=3,

故点A、5的坐标分别为(6,0)、(0,3),

•抛物线y=^x^+bx+c经过坐标原点，故c=0,

将点A的坐标代入抛物线表达式得：0=jX36+66,解得b=-2,

故抛物线的表达式为尸jx2-2x；

则抛物线的对称轴为x=3,当x=3时，尸-2尤=-3,

则点M的坐标为(3,-3)；

(2)如图1,过点£作即〃了轴交于点"

设点E的坐标为(x,-?-2x),则点H(x,-%+3),

32

11

则的面积=S/^™+S△由=专XEHXOA=X6X

7

解得x=l或二，

2

_q74K

故点E的坐标为(1,一可)或(1—近)；

(3)：直线A8向下平移后过点M(3,-3),

故直线CM的表达式为y=—压(尤-3)-3=—1,

令尸一=0,解得尤=-3,

故点C(-3,0)；

过点D作DHLCM于点H,

1Q11

直线CM的表达式为y=-分一|,故tanZMCD=右则sinZMCD=言

-1

则。7?=COsinNMCO=(2+3)X三=后

由点。、M的坐标得，DM=5(2—3产+(0+3尸=V10,

则smZHMD=跋=帚=孝’

图2

故NfflW=45°=ZDMC=ZADM-ZACM=45°,

：.ZADM-ZACM=45°.

2

6.【解答】解：(1)将5(3,0)代入(m+3)x-(6m+9),化简得，m?+m=

0,

则m=0(舍)或m=-1,

••rri~~-1,

・••尸-X2+4X-3.

：.C(0,-3),

设直线BC的函数表达式为y=kx+b,

将5(3,0),C(0,-3)代入表达式，可得，

[0=3k+b解得,《二：

1-3=b

直线BC的函数表达式为y=x-3.

(2)如图，过点A作APi〃8C,设直线AP1交y轴于点G,将直线向下平移GC个

单位，得到直线P2P3.

由(1)得直线BC的表达式为y=x-3,A(1,0),

直线AG的表达式为y=x-1,

联立｛二、，一解需二端二；

：.P1(2,1)或(1,0),

由直线AG的表达式可得G(0,-1),

；.GC=2,CH=2,

，直线P2P3的表达式为：y=x-5,

3+V17

x=—2—

-7+T17,

3-V173+V17-7+VT7

：.P2(),尸3();

2222

Q/1_r-j/-JryQi/[ry

综上可得，符合题意的点P的坐标为：⑵1),(1,0))(―,—「丁，

-7+V17

2

(3)如图，取点。使NACQ=45°,作直线CQ,过点A作AOLCQ于点。，过点。

作DF±x轴于点F,过点C作CE±DF于点E,

则△AC。是等腰直角三角形，

:.AD=CD,

:.ACDE沿ADAF(AAS),

C.AF^DE,CE=DF.

设。E=AB=a,贝I]CE=nF=q+l,

由OC=3,贝ijDF=3-a,

.'.a+l=3-a,解得a=l.

：.D(2,-2),又C(0,-3),

「・直线CD对应的表达式为y=g-3,

1

设Q（n,-n-3）,代人y=-x2+4x-3，

17

A-n-3=-n2+4n-3,整理得后一5〃=0.

22

又〃W0,则n=5.

75

Q（―,—彳）.

24

7.【解答】解：（1）由题意得,

Qx42+4h+c=0

1c=—4

.（b=-l

，，，

tc=-4

・\y=/2--x-4；

(2)如图1,

作直线/〃8C且与抛物线相切于点尸1,直线/交y轴于E,作直线机〃8C且直线机到

BC的距离等于直线I到BC的距离，

VBC的解析式为y=x-4,

・••设直线/的解析式为：y=x+m,

11

由一x7——X—4=x+m得，

33

%2-4x-3（m+4）=0,

*/A=0,

-3（m+4）=4,

・.・加二一16可

.,.x2-4x+4=0,y=x-学，

；.x=2,尸-孚

：.Pi（2,一学），

,:E（0,-学），C（0,-4）,

：.F（0,-4X2-（一竽）），

8

即zO\

(--7

\3

8

-X--

・,・直线机的解析式为:3

11

2

y--X--X-4

33

!■<8

—y-X---

I3

=2+2y2x2=2—2v2

JYi=2A/2—,2=—2^2—

22

・••尸2(2-2V2,-2V2-p,尸3(2+2V2,2企一母),

综上所述：点尸(2,一学)或(2-20-2V2-|)或(2+2V2,2迎一|)；

(3)如图2,

作MG_Lx轴于G,作NH_Lx轴于H,作MKJ_Z)F,交O尸的延长线于K,

设。点的横坐标为。，

■;BN=DN,

：.BD=2BN,N点的横坐标为：——,

2

,:NH〃DF,

：.ABHN^ABFD,

.NHBN1

••DF-BD-2’

:.DF=2NH,

D

同理可得：AOMGs△ONH,图？

.MGOGOM

•'NH-OH-ON-'

:・MG=2NH,0G=2OH=〃+4,

:・KF=MG=DF,

*.*tanNDEB=2tanZDBE

DFDF

—=2*—，

EFBF

.1

：.EF=^BF,

VBF=4-a,

1

.*.EF=^(4-a),

'：EF//MK,

：.ADEFs丛DMK,

.EF_DF

・'MK~DK

.-(4-a)1

2a+42

.*.4Z=0,

OG=a+4=4,

：.G(-4,0),

118

当

X--4时---

333

8

：.M(-4,

3

8.【解答】(1)•.•抛物线y=/+fcr+c(b,c是常数)的顶点为C,与x轴交于A,8两

点，A(1,0),AB=4,

：.B(-3,0),

.+b+c=0

**l9-3b+c=O'

解得｛，二：3，

，抛物线的解析式为y=x2+*9Zx-3；

(2)过。作QE_Lx轴于E,过C作CFLx轴于F,

设P(771,0),则B4=l-m,

"'y=j?+2x-3=(x+1)2-4,

C(-1,-4),

.•.CF=4,

'：PQ//BC,

：./\PQA^/\BCA,

.QEAPQE1-m

••—=—,即—=----，

CFAB44

QE=1-m,

AS^CPQ=S/\PCA-S^PQA

11

ii

=2(1一m)X4—2(l-m)(1-m)

=-2(z/z+1)?+2,

・・•-3WmWl,

・•・当加=-1时Sacpo有最大值2,

•••△。尸。面积的最大值为2,此时尸点坐标为(-1,0).

9.【解答】解：(1)由题意得：y=~(x+1)*(x-3),

**y=-f+2x+3；

(2)设尸(1,m),

9：PB1=PC1,

：.(3-1)2+m2=l+(m-3)2,

••m=1,

：.P(1,1)；

(3)如图，

假设存在M点满足条件，

作PQ〃2C交y轴于。，作MN〃BC交y轴于N,

：P。的解析式为y=-尤+2,

：.Q(0,2),

VC(0,3),S4BCM=SABCP,

：.N(0,4),

・,・直线MN的解析式为：y=-x+4,

由-/+2x+3=-x+4得，

3±/5

x=

34~V^3—

・・・M点横坐标为——或——.

22

1127

10.【解答】解：(1)•・,抛物线产一宗2+fct+c经过点A(-1,—)和点5(4,0),

111

-

27一

24-2-8

1

-X+4b+C-O

216

解得忆:,

抛物线的解析式为：y=—#+x+4；

设直线A8的解析式为：y^kx+b',

，心+小圣

14k+b'=0

解得卜=一配

⑵=3

直线AB的解析式为：尸-1r+3.

(2)如图，设直线AB与y轴交于点G,

：.G(0,3),

：.OG=3,02=4,BG=5,

\'PD±AB,PELOB,

:./PDF=/BEF=/GOB=9Q°,

；/P+/PFD=/BFE+/OBG=90°,ZPFE=ZBFE,

:./P=/OBG,

:.APDFsABOG,

：.PD；DF：PF=OB；OG：BG=4：3：5,

43

：.PD=|PF,DF气PF,

：.Si=g・PD・DF=言尸产，

设点尸的横坐标为处则尸(m,—^m2+m+4)(0<m<4),

3

.'.F(m,—4m+3),E(m,0),

PF=—7ym2+m+4-(--rm+3)=BE=4-m,FE=--rm+3,

Z4N44

.*•Sl=TyF(-5■根？+彳机+1)(机-4)之(2徵+1)之

ZuZ4ZUU

113?、。

S2=2*BE9EF=2(4-m)(—^m+3)=g(m-4)2,

・.包_竺

•S2-25，

[-----(m-4)2(2m+1)2]：[—(m-4)2]=TTF，

200825

解得m=3或m=-4(舍)，

(3)存在，点N的坐标为(1,3-V3)或(1,3+V3).理由如下：

法一：由抛物线的解析式可知，C(0,4),

・・・OB=OC=4,

：.ZOBC=ZOCB=45°.

如图，当点尸在直线A3上方时，如图所示，过点尸作工轴的平行线尸〃，过点5作％轴

的垂线交尸〃于点〃，

・・・5。垂直平分PN,

；・BN=BP,NPBC=/NBC,

•：NOBC=NCBH=45°,

：.ZPBH=ZOBN9

•；NH=NBKN=90°,

：.APHB^ANKB(A4S),

：.HB=BK,PH=NK,

・・,抛物线的对称轴为1=1,

:・BK=3,

：・BH=3,

令—=3,

解得％=1+遮或(舍)，

：.PH=4-(1+V3)=3-V3,

:・NK=3-W,

：.N(1,3-V3)；

当点尸在直线AB下方时，如图所示，过点N作x轴的平行线NM,过点3作x轴的垂线

BM交NM于点、M,过点尸作尸。_Lx轴于点0.

•・,5C垂直平分PN,

；.BN=BP,ZPBC=ZNBC,

'：ZOBC=ZCBM=45°,

；.NPBQ=NMBN,

VZM=ZPQB=90°,

：.APQB^ANMB(A4S),

；・QB=MB,PQ=NM,

・・,抛物线的对称轴为1=1,

:・MN=3,

.•.PQ=3,

令—2^-+X+4—3,

解得尤=1+百(舍)或苫=1一旧，

：.BQ=4-(1-V3)=3+代，

.•.BM=3+V3,

：.N(1,3+V3).

综上，存在，点N的坐标为(1,3-V3)或(1,3+V3).

法二：设8C与对称轴交于E,

可得E(1,3),

过E做x轴平行线交抛物线于P1P2,

直线P1P2和直线DE关于直线BC对称，

令一2x~+x+4—3,

解得X—1+V5或x-l-y/3,

此即线Pi和P2的横坐标，

:.P1E=P2E=V3,

:.ENI=EN2=V3,

.,.点N的坐标为(1,3-V3)或(1,3+V3).

11.【解答】解：(1)在＞=%-3中，令x=0,则y=-3,

：.C(0,-3),

令y=0,贝!|x=3,

：.B(3,0),

将B、C两点代入y=-^+bx+c,

.(-9+3b+c=0

**tc=—3

解得匕二,3，

；・y=-f+4x-3；

(2)令尸0,贝卜f+4x-3=0,

解得x=l或x=3,

.e.A(1,0),

：.AB=2,

1

SAABC=ax2X3=3,

..1

•S^PBC—"^S/^ABCf

••S/\PBC-

过点P作PQ-Lx轴交BC于点。，

设P。，-产+4L3),贝!]Q。，L3),

：.PQ=\-?+3?|,

31,

-x3X|-於+34，

日3+J13T3+A/5

解得t=-=^—或t=

3+V13V13—53—V13-5—V133+V5V5_13—y/5

尸点坐标为（一：—，—：—）或（一：-,---：---）或（一：—,——）或（一：—

-1-V5

2）

（3）过点3作交C。于点区过E点作■，入轴交于R

°：OB=OC,

.'.ZOCB=45°,

VZACQ=45°,

：.ZBCQ=ZOCA,

VOA=1,

1

:・tanNOCA=可

1BF

AtanZBCE=1=g!；,

VBC=3V2,

：.BE=V2,

VZOBC=45°,

；・NEBF=45°,

；・EF=BF=1,

：.E(4,-1),

设直线CE的解析式为y=kx+b,

.(b=-3

**Ufc+Z)=-1'

解得卜=2,

业=-3

••y—3,

联立方程组y=**—3,

y=—x2+4%—3

解得二(舍)

75

**•Q(—,--j).

24

12.【解答】解：(1)将A(4,0),B(1,4)代入y=ad+6龙,

=4

，｛言/丁。，解得CL一可

16•

b7==

16

抛物线的解析式为：y=Tx-

（2）设直线A8的解析式为：y^kx+t,

将A(4,0),B(1,4)代入

k=-i

解得

T

VA(4,0),B(1,4),

1

SAOAB=2x4X4=8,

SAOAB=IS^PAB=8,即S△以3=4,

过点尸作尸”，工轴于点“，PM与AB交于点、N,过点8作3片，尸”于点如图,

113

:・SNAB=SNNB+SNNA=^PNXBE+^PNXAM=|PA^=4,

8

E

f--

-3

设点P的横坐标为m,

4

Z2

尸、

(如-16416

K3-Q-An)(1＜机＜4),N(m,--5-),

・DZ-42j_16z416x_8

・・PN=-可机+~(-W机+~3~^=3,

解得m=2或m=3；

16—

：.P(2,—)或(3,4).

3

(3)9：PD//0B,

：.ZDPC=ZBOC,NPDC=NOBC,

:•△DPCsABOC,

:.CP：CO=CD：CB=PD：OB,

••&CDPDS2CPPD

*S2~CB~OB'S3~CO~OB'

SiS22PD

,•S2+S3-OB-

16

设直线A3交y轴于点尺则尸(0,y),

过点尸作尸H_Lx轴，垂足为“，PH交AB于点G,

■:/PDC=NOBC,

：.ZPDG=ZOBF,

,:PG〃OF,

：.ZPGD=ZOFB,

・••△PDGsAOBF,

：.PD：OB=PG：OF,

、r4c16

设P(n,—+-g-n)(1＜九＜4),

42

由

知

2可

PG---+203163

3

S尸

1S22G3159

--2P2

-+----+-

SSOB8228

23OF

Vl<n<4,

・••当〃=擀时，兽+黑的最大值为

2s2s38

13.【解答】解：(1)令y=/-4x=x,

解得％=0或x=5,

：.B(5,5)；

-4x=(x-2)2-4,

・・・顶点。(2,-4).

(2)如图，过点。作轴于点E,

:・DE=2,0丘=4,

1

tanZZ)OE=于

1

VtanZPDO=]

：.ZDOE=ZPDO,

①当点P在线段。。的右侧时，。尸〃y轴，如图，

：.P(2,0)；

②当点P在线段OD左侧时，设直线DP与y轴交于点G,则△ODG是等腰三角形,

：.OG=DG,

设OG=t,则DG=t,GE=4-t,

在RtADGE中,？=22+(4-t)2,

解得t=|,

G(0,—

直线DG的解析式为：尸一永一|，

令y=0，则—4式-2

解得x=-

•*-P(―"^，0).

综上，点P的坐标为(2,0)或(一孚0).

(3):点2(5,5)与点M关于对称轴x=2对称，

：.M(-1,5).

如图，分别过点。作y轴的平行线，交直线。3于点N,K,

：.N(-1,-1),MN=6,

点Q横坐标为m,

Q(m,m2-4m),K(m,m),

••KQ=m-Cm2-4m)=-m2+5m.

VSi=.QK(XB-XE),S2=^MNCXB-XE),

SQK1,15i25

:.—±=-------=——GTT-5m)=--T(m—5)2+57'

S2MN66224

<0,

o