2025年湖南省长沙市某校高考数学一模试卷（含答案）

2025年湖南省长沙市雷锋学校高考数学一模试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.将函数/(%)=cos(3%+枳3>0)的图象向右平移号个单位长度后得到函数g(%)的图象，若函数g(%)在区

间《,令上单调递减，则3的最大值为()

A.6B.5C.3D.2

2.已知正四棱锥底面边长为2,且其侧面积的和是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为()

3.设向量为=(%—1),b=(%,4),贝h=-2是五16的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.设函数r(%)是函数/(%)(%ER)的导函数，若/(%)-/(一%)=2%3,且当％之0时，/'(x)>3%2,

则不等式/(%)-f(x+1)+3%2+3%+1>0的解集是()

11

A.(-co,--)B.(-00,-2)C.(--,+00)D.(-2,+8)

5.已知〃%)=后；：：。,则不等式〃％+3)</(/+3%)的解集是()

A.(-3,1)B.(0,1)

C.(-00,-3)U(l,+oo)D.(1,+8)

6.已知向量落3满足：|句=1,|五+23|=2,且(另一2砌1万,则㈤=()

A.|B.苧C.苧D.1

7.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=c,。为AC的中点，加出4=2sin^ABD,则BC=()

A.1B./2C.73D.2

8.已知集合A={x||x—1|W1},B={x\y=lg(x2+x-2)},则ACB=()

A.[-2,1)B,[0,1)C.[0,2]D.(1,2]

二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知几>2,且neN*,下列关于二项分布与超几何分布的说法中，错误的有()

A.若X〜8(*),则E(2X+1)=我+1

B.若X〜BO，》，则D(2X+l)=1n

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C.若X〜Bog),则P(X=1)=P(x=n-1)

D.当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布

10.函数/'(久)=，丞in(o)x+9)(0<co<2,-^<(p<今的部分图象如图所示，则

下列说法正确的有()

AA.0=-71]

B.f(x)在或普)上单调递减

Zo

C.f(x)的表达式可以写成/'(%)=v~2cos(2x+y)

D.若关于X的方程f(x)=1在(0,机)上有且只有4个实数根，则机e(y,y]

11.已知函数f。)=2cos(3X+9)(3>0,\(p\<5)的部分图象如图所示,

则()

A.3=2

B./Q)的单调递减区间为(而+雪水兀+S，kez

C./Xx)的图象可由函数y=2cos2%的图象向右平移匾个单位得到

D.满足条件(/(%)—/(—十))(/(%)—/(9))>0的最小正整数%为2

43

12.已知。€R,双曲线C：x2cosd+y2sin26=1,贝!]()

A.。可能是第一象限角B.。可能是第四象限角

C.点(1,0)可能在C上D.点(0,1)可能在C上

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

55432

13.已知(％+Z?)=a5x+a4x+a3x+a2x+a1x+a0,若<23=40,则b=.

14.三棱锥P-ABC中，AB=AC=y[2,ABLAC,平面P8C_L平面ABC,5.PB=PC.记P-ABC的体积为U,

内切球半径为r,则2—拗最小值为

15.已知数列出九｝的通项公式为g=Mcos等，〃是数列｛,｝的前几项和，则73九=-

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16.设函数/(%)=sin(o)x+£)3>0).

4

①给出一个3的值，使得/(%)的图像向右平移亲后得到的函数9。)的图像关于原点对称，3=；

②若/'(X)在区间(0,兀)上有且仅有两个零点，则3的取值范围是.

四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题12分)

设neN,数对(%,%)按如下方式生成：(的,瓦)=(。，0)，抛掷一枚均匀的硬币，当硬币的正面朝上时，若

an>5，则5+14+1)=(an+l,bn+1),否则(M+L+I)=(an+1也);当硬币的反面朝上时，若匕>

an,贝!](即+1，%+1)=(即+1,g+1)，否则(％1+1，g+力=(a.％+1)・抛掷几次硬币后，记%的概率

为匕.

(1)写出(。2，与)的所有可能情况，并求匕，P2；

(2)求己.

18.(本小题12分)

在概率统计中，我们常常通过观测到的实验结果应用极大似然估计法来估计某参数的取值.设X为其分布列与

未知参数加有关的离散型随机变量，其中小的取值范围为S.若对已知结果X=k,有Hi。GS且VrnieS,有

P(X=k\m=m0)>P(X=k\m=机力成立，则称7no为m在X=k下的一个极大似然估计.

(l)(i)若X服从二项分布B(2,m),求血在X=1下的极大似然估计；

(讥)若X服从二项分布B(mJ),求m在X=3下的极大似然估计.

(2)若某台抽奖机上有一个按钮，参与者需要连续快速点击按钮来累积积分换取奖品.已知每次点击按钮后，

获得1积分的概率为p(0<P<1)，不获得积分的概率为1-p.小丽参加这个抽奖活动后总共获得了k积分，

用极大似然估计的方法估计她点击按钮的总次数瓶的取值为加，证明：m<-,并指出等号成立的条件.

0P

19.(本小题12分)

若数列5｝的各项均为正数，且对任意的相邻三项&T，at,at+1,都满足W哈则称该数列为“对

数性凸数列”，若对任意的相邻三项at,at+1,都满足仰_1+即+1W2%,则称该数列为“凸数列”.

(1)已知正项数列｛5｝是一个“凸数列"，且an=e%,(其中e为自然常数，nGN*),证明：数列｛册｝是一

个“对数性凸数列”，且有的的0<a5a6；

2

(2)若关于x的函数/(x)=瓦+b2x+b3x+九炉有三个零点，其中仇>0(i=1,2,3,4).证明:数列瓦，b2,

b3,九是一个“对数性凸数列”；

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(3)设正项数列劭，的,…，曲是一个“对数性凸数列”，求证：(击£20g)(去£；戈叼)之

（2见）□"•）.

20.(本小题12分)

已知双曲线C：胃―，=l(a>0">0)的左、右焦点分别为F1，F2,双曲线C的虚轴长为2,有一条渐近线

方程为y=^x,如图，点4是双曲线C上位于第一象限内的点，过点a作直线I与双曲线的右支交于另外一

点B,连接4。并延长交双曲线左支于点P,连接P&与P&，其中/垂直于N&PF2的平分线rn,垂足为D.

(I)求双曲线C的标准方程;

(II)求证：直线M与直线。4的斜率之积为定值;

(M)求3的最小值.

^AAPD

21.(本小题12分)

设抛物线c：y2=2Px(p>0)的焦点为F,已知点F到圆E：(x+3)2+y2=1上一点的距离的最大值为6.

(1)求抛物线C的方程.

(2)设。是坐标原点，点设抛物线P(2,4),A,B是抛物线C上异于点P的两点，直线PA,P8与y轴分别相交于

M,N两点(异于点。)，且。是线段MN的中点，试判断直线是否经过定点若是，求出该定点坐标；若不

是，说明理由.

22.(本小题12分)

如图(1)所示，在平面四边形SBC。中，△SBD是边长为2的等边三角形，BDIBC,^BCD=30°,A为边SD

的中点，将△SBD沿4B折成直二面角，得到如图(2)所示的四棱锥S—4BCD.

(I)若M为棱SC的中点，证明：〃平面SAD；

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(II)求二面角。-SB-C的正弦值.

S

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1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】A

6.【答案】B

7.【答案】A

8.【答案】D

9.【答案】BC

10.【答案】ABD

11.【答案】ABD

12.【答案】BD

13.【答案】±2

14.【答案】<6+2

15.【答案】史要

16.【答案】|（答案不唯一）（„]

17.【答案】解：（1）当抛掷一次硬币结果为正时，（的,瓦）=（1,0）；

当抛掷一次硬币结果为反时，（的,瓦）=（0,1）；

当抛掷两次硬币结果为（正,正）时，（。2也）=（2,1）

当抛掷两次硬币结果为（正,反）时,（。2也）=（1,1）

当抛掷两次硬币结果为（反,正）时，&也）=（1,1）

当抛掷两次硬币结果为（反,反）时,@也）=（1,2）

一一71

所以，P1=0,^2=4=2;

（2）由题知,K-bnl<1,

当an>bn,贝！l(an+i，b7t+i)=(an+1,+1),否则(ai4+i)=(an+1也);

且掷出反面时,有@+1，%+1)=(an,bn+1),此时an+i=bn+1,

当<bn,则(an+i，bn+i)=(an+l,bn+1),否则@+1也+i)=(an,bn4-1).

且掷出正面时，有（an+i，bn+D=（a”+1,b”），此时a”+i=bn+1,

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所以4+1=22(即>bn)+-P(an<.)=^[P(an>bn)+P{an<篇)]=万(1—七),

111

所以Pn+i_§=_2(4一§)，

所以{匕-m是以&—弓=—，为首项，—2为公比的等比数列，

所以4_〉招X(—扔T,所以4=A,x(-扔T.

18.【答案】解：(1)⑴因为X〜3(2,TH),

1

2+

所以P(X=1)=C，m(l—m)=2m—2m2=-2(m2-

故当m=，寸取最大值，其极大似然估计为最

(讥)由题得mGN*,且m>3,

因为X〜B(m,全，

所以P(X=3)=C2义(1)m=血啜姬一2),

人_〃(一T)(6一2)

。租一谈'

(m+l)m(m—1)

[T||[flm+1_6-2八+1——+1

人」am-"(…乂2)-2m-4’

6.2m

其中TH之3,2m—4>0,

当m<5时，m+1>2m-4,即——T>1,则%+!.>“；

2m—4

当=5时，m+1=2m—4,即丁+：=i,则。=

2m-4°a°

当26时，m+1<2m-4,即普3V1,则%+!.<%n，

2m-4"e

故a7n在血=5或7n=6时取得最大值，

则血在X=3下的极大似然估计为5或6；

(2)证明：显然有血>匕设瓶次点击后获得的积分为随机变量X,

由题可知X〜B(zn,p),

则P(X=k)=瑞P气1-p)m-k,

设

am=*pkQ_p)m-k,

|j||lam+l_4+l/(l_p)7n+1卜_P)_(1-P)m+l-p

、-C治kQ—p)m-k-m!-m-k+1，

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当(1—p)m+1—p<m—fc+1,即zn>^—1时，am+1<am,

当加<，一1时，dm+i>am,当m=，-l时，am+1=am,

①若K-l为整数，则对爪的极大似然估计犯)为A-1和2满足恤三与当月6N*时等号成立，

pupppp

②若X-1不为整数，记N为小于A—1的最大整数，则N+1>A—1,

ppP

当l时，cim+i>口小；当mNN+1>，-1时，am+1<am,

则小的极大似然估计如为N+1<-,

P

故加0<5

综上可得：m0<~,等号能成立的条件为A6N*.

PP

19.【答案】解：(1)因为即=e%,所以&=Inc1n9n>0),因为正项数列｛0｝是一个“凸数列

所以。七一1+Q+i42q,

所以"4_1+lnat+1<2lnat,所以4_i4+i<嫌，

所以数列是一个“对数性凸数列"，"=上，

atat-i

所以£12<^2<...<变形可得到。1的0<a2a9<a3a8<a4a7<aa,

。9a8a2al56

所以数列｛即｝是一个“对数性凸数列”，且有的的0Wa5a6-

(2)根据题意及三次函数的性质易知((x)=b2+2b3x+有两个不等实数根，

所以&=463—4x3b2b4>0=>>3b2b4,

又仇>0(i=1,2,3,4),所以丛>3b2b4>b2b4,

显然x=0nf(0)=瓦>0,即乂=0不是/(%)的零点，

又=瓦+①(3+为(；)2+%(；)3,

1

2

令t=p则f(t)=必+b2t+b3t+b4t3也有三个零点，

即/(工)=如出空虻&有三个零点，

XX6

2

令0(%)=瓦/+b2x+b3x+64»

2

则gQ)=瓦%3+b2x+b3x+84有三个零点，

所以g'(x)=3瓦%2+2b2x+匕3有两个零点，

所以同上有4=4场—4X3瓦无>0=%>3瓦以>b1b3,

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故数列瓦，b2,b3,久为一个“对数性凸数列”；

1111

(3)记S=+a2-\---F。九一1.则欲证不等式(在［2忆0见)(^^岑工％)之("X^o七)(12；=1初，

2

可化归为九2(S+劭+an)S>(n—1)(5+a0)(S+an),即(S+a0)(S+an)>712aoa九①，

由数列｛%J为对数性凸数列知四<^<….，BPaoan<叩X<a2an_2<…，

ala2an

故s=£屋"+产>akan_k>(n-1)^aoan

再由a。+an>2yJaoan,

222a22

得(S+a0)(S+an)=S+(a0+an)S+aoan>S+2^aoanS+(^/aoan)=(S+a0n)Nna0an

故式①成立.从而，原不等式成立.

20.【答案】解：(I)因为双曲线C的虚轴长为2,

所以2b=2,

解得6=1,

因为双曲线C一条渐近线方程为y=导,

所以a=V-3,

2

则双曲线C的标准方程为yr一V=1；

(II)证明：不妨设2(a/0)，

因为点4与点P关于原点对称，

所以P(一%o，—yo),

易知直线m的斜率存在，

不妨设直线m的斜率为k,

记五=(1,k),

因为直线m为乙RPB的平分线，

所以唯=鹫，

1^11IP&I

因为4尸两点均在双曲线上，

2

所以v年—%=1,

此时久0><3,

22

贝1」|耐|=V(-2+x0)+7o=J(-2+x0)+y-1=容尤o—

同理得|巨豆|=亨通+，百，

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因为尸Fi=(%o—2,y。)，PF?=(%o+2,"),

PF^a_PFya

乂丽^=丽？

西]、|(%0-2,%>(1«)_(x0+2,y0)-(l,/c)

所以孚50-苧比+与，

整理得g=3奴0，

则3,k=}k=3,

%04

故直线。4与直线m的斜率之积为定值；

(III)由(II)知通=3ky0,

因为%o>0,y0>0,

所以k>0,

xo=3kyo

联立k21,

昼-据=1

又Xo>

3fe

解得出=,,y0=i[=，

J3/C2-1J3/-1

所以~^^=)水>苧，k屋,

J3k2-1J3k2TJ2k2TJ3k2-l

不妨设直线TH的方程为y=kx+n,

因为点p在直线血上，

解得?i=V3fc2-1,

所以直线zn的方程为y=kx+V3k2-1,k>?

因为直线AB的斜率为-j

k

不妨设直线SB的方程为x=-ky+t,

因为点4在直线4B上，

解得t=丁4,

J3k2—1

所以直线48的方程为刀=—ky+〒三，A(x1,yi),B(x2,y2),

』3k2—1

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消去久并整理得（1一3）y2--^=y+哙=0,

J3k2-13kT

OL.27k2+3

由韦达定理得%+y2=------1------,y/2=

（F-3）J3k2-l（必-3）（3/-1）'

因为<0,

所以忆2GG，3),

2

此时|AB|=V1+k21yl-y2|=V1+fcJ（yi+丫2）2-4yly2=------1—=

（3-/C2）J3/C2-1

所以建四=幽=3（必+1）2z3（必+1）2=3,

入△APD—|4叫一（3-/C2）（3/C2-1）-（必+1）2-'

当且仅当3-1=31—1,即上2=1时，等号成立，

故当k=l时，口取得最小值，最小值为3.

^AAPD

21.【答案】解：(1)易知抛物线C的焦点尸©,0),

因为点F到圆E上一点的距离的最大值为合+3+1=6,

解得p=4,

则抛物线C的方程为y2=8%；

(2)不妨设直线2B的方程为％=ty+zn,4(%,乃)，B(x2,y2)»

联立D二:m,消去“并整理得了2—8ty-8m=0,

此时/=64/+32m>0,

由韦达定理得yi+y2=8t,yry2=-8m,

易知直线24的方程为y-4=红1(%-2),

令I=0,

解得丫“=段等，

同理得3/'=受