2025年高考数学总复习专项突破练：立体几何中的翻折问题、探究性问题（含答案）

专题突破练16立体几何中的翻折问题、探究性问题2025

年高考总复习优化设计二轮专题数学课后习题专题突破练含

答案专题突破练(分值：90分)

■♦学生用书P178

主干知识达标练

1.(15分)(2024安徽池州模拟)如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,△EA8与是两个全等

的直角三角形，且FA=4,FC与AD交于点G,将RtAEAB与RtAFAD分别沿AB^D翻折，使瓦/重合

于点尸,连接PC,得到四棱锥P-ABCD.

(1)证明:8。_12。；

(2)若M为棱PC的中点，求直线3M与平面PCG所成的角的正弦值.

\\

A

(1)证明由题可知PA±AD,PA1AB,SLABLAD.

又A2nAD=A,A2/r)u平面ABCD,^以PA_L平面ABCD.

又BOu平面ABC。,所以E4_LBD连接AC,则AC±BD.

又PAnAC=A,E4,ACu平面PAC,所以BD_L平面PAC.

又PCu平面PAC,所以3O_LPC.

f>>

⑵解以点A为坐标原点人民AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标

系.

由题可得△PAGs^CDG,所以空="=2.

GDCD

4/|4%

又4。=2,所以AG,则B(2,0,0),C(2,2,0),G10,|,07(0,0,4),

所以——GC>=।，2,12,0\,——PC>=(2,2,-4)——,BP>=(-2,0,4).

又点M为PC的中点，所以丽=g丽=(1,1,-2),所以而？=BP+PM=(-1,1,2).

(n.pc=of2%+2y-4z=0,

设平面PCG的一个法向量为n=(x,y,z),则"'即。,2n

In-GC=0,12x+-y=0.

令y=3,得x=-l,z=l,所以平面PCG的一个法向量为n=(-l,3,l).

设直线5M与平面尸CG所成的角为仇

则sin6»=|cos<n,前>|=庄型=一尸=绊，所以直线与平面PCG所成的角的正弦值为绊.

|n||BM|V11XV61111

2.(15分)如图，棱柱ABCD-AiBiCrDi的所有棱长都等于2,且NA3C=NAiAC=60。,平面A4CC，平面

ABCD.

(1)求平面D4Al与平面GC4A1所成角的余弦值.

⑵在棱CG所在直线上是否存在点尸,使得2尸〃平面ZMiG?若存在，求出点P的位置;若不存在，说

明理由.

解⑴如图，取AC中点O,连接4OACJ3D

因为棱柱各棱长均为2,且/A8C=60。,所以四边形A8CD是菱形,ZvlBC是等边三角形，所以8。过点

O,AC=2,AC±BD.

又因为A4]=2,/4AC=60°,所以△4AC是等边三角形，所以AiO_LAC.又平面A41cle，平面ABCD,

平面AAiGCn平面A8CZ)=AC,4Ou平面AAiGC,所以4。_1_平面ABCD.

又AC,BDu平面ABCD,所以AxO,AC,BD两两垂直.

以点。为原点,分别以O8,OC,O4所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则

D(-V3,0,0)4(0,-1,0)41(0,0,73),所以育=(,,-1,0),西=(V3,0,V3).

设平面D44的一个法向量为m=(x,y,z),

ci(m-DA=V3x-v=0,

则，一>「广

[m-DA1=V3x+v3z=0.

取x=l,则y=g,z=-l,所以平面D4Al的一•个法向量为m=(l,V3,-l).

易知平面GCAA1的一^法向量为ii=(l,O,O),则cos<m,n>=E^7=吃=坐，所以平面0AAi与平面

\m\\n\V55

CiCAAi所成的角的余弦值为

(2)存在.因为。1(02W),。(0,1,0)网百。0),所以西=(遮2遍),西>=(0,1,遍),左=(-遍,1,0).

因为点尸在CG上,可设而=2鬲=((M,A③I),所以前=BC+CP=(-V3,1+^,V3A).

设平面DArCi的一个法向量为s=(〃力,c),

n,(s-DA-,=V3a+V3c=0,

则，一二lr-

[s-DQ=V3a+2b+v3c=0.

取a=l,则6=0,c=-l,所以平面D41cl的一个法向量为s=(l,0,-l).

因为2尸〃平面ZMiG,所以前J_s,所以s•丽=-百一百；1=0,所以；l=-l,

所以而=-南,即点尸在GC的延长线上，且CP=CC

3.(15分X2024河北张家口模拟)如图,在矩形ABC。中,42=鱼,4。=2.将△A3。沿对角线3。折起，形

成一个四面体A-8C。,此时AC=m.

(1)是否存在实数加，使得同时成立?若存在，求出机的值;若不存在,请说明理由.

(2)求当二面角A-CD-B的正弦值为多少时,四面体A-BCD的体积最大？

解(1)不存在，理由如下：

假设存在实数加，使得AB±CD,AD1BC同时成立.

因为A8J_CZ),A8_LAZ),AZ)nCZ)=£),AO,COu平面ACD,所以平面ACD.

因为8C_LAO,BC_LCZ),AOncr>=O,AD,C£)u平面ACQ,所以8cl平面ACD,所以AB〃BC,或AB与

8C重合.

又A8n8C=8,矛盾，所以不存在实数九使得AB±CD,AD±BC同时成立.

(2)因为ABCD的面积为定值，要使四面体A-BCD的体积最大，所以只需让平面BCD上的高最大即可,

易知此时平面A3Z5_L平面BCD.

过点A作AOLBD于点O,连接0A

因为AOu平面AB。,平面A8£)n平面8。=次),所以AOJ_平面BCD.

以点。为原点，以在平面BCD中过点。且垂直于8。的直线为无轴,分别以00,04所在直线为y

轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.

在RtAABO中皿=山132+心=倔所以人。=螺£=孚，所以20=，^同谈=噂过点C作

BD33

CE_LBD,交BD于点瓦则CE^AO^-,DE=BO=^-,OE=BD-BO-DE=^-MA0,0,^),C(^,y,0

）,D（0呼,0），所以①=（竿，郛），而=（0呼，一竽）.

设平面ACD的一^个法向量为n=（%,〉,z）,

（777?2V3V6

n-CD=-—%+—y=n0,

则J《33

-r-2V62V3n

n-AD=——

I3J3=0.

取工=1,得厂鱼,z=2,所以平面AC。的一个法向量为n=（l,V2,2）.

易知平面BCD的一个法向量为m=（0,0』）,所以cos<m,n>=E”===竺，所以二面角A-CD-B的正

\m\\n\777

弦值为sin9=在华2=子.

关键能力提升练

4.（15分）（2024湖南长沙模拟）如图，在直角梯形ABGH中,AB〃G//,48_LBG,A8=5,HG=1,N

BAH=6（T,C,。分别为线段3G与AH的中点，现将四边形CDHG沿直线C。折成一个五面体AED-

BFC.

⑴在线段8尸上是否存在点M使CM〃平面ADE?若存在，找出点〃的位置;若不存在，说明理由.

⑵若二面角F-DC-B的大小为60。,求平面ADE与平面DEFC的夹角的余弦值.

解⑴存在〃为8尸的中点，证明如下:

如图，令M为B尸的中点，取AE中点N,连接MN,DN,则MN〃AB,MN=^^=3.

因为C,。分别为的中点，所以。。〃48,。=再署=3,

所以CD〃MN,CD=MN,所以西边形CMN。为平行四边形，所以CM〃DN.又CMC平面AED,DNu平

面AOE,所以CM〃平面ADE.

(2)因为FCLCD,BC_LCD,FCnBC=C,FC,BCu平面FCB,所以CZ)_L平面FCB.叉CZ)u平面ABC。,所

以平面A8CZ)_L平面FCB.

因为平面EFCDn平面4BCD=Cr>,所以/FC8为二面角RDC-B的平面角，所以/FC8=60°.又

FC=CB,所以△FCB为等边三角形.

在直角梯形中,48〃6〃,&8_186,43=5,〃6=1,/54"=60。,可得8G=4百，所以

FC=BC=BF=2®过点、尸作PO_LBC交2C于点O,则点。为8C的中点.

取AO中点P,连接0P,。氏易知OP〃C£),所以。尸_L平面尸C8又尸O,BCu平面ECB,所以OP,BC,FO

两两垂直.

以点。为原点,分别以0P,08,。尸所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则

4(5,百,0),。(3,-百,0),反1,0,3),0；0,-百,0),所以屁=(-2,遮,3),反=(-3,0,0),^1=(2,2百,0).

爪=-2%+8％+34=。,取”=旧,则

设平面OEFC的一个法向量为m=(xi,yi,zi),则

m=-3%1=0.

xi=O,zi=-l,所以平面OEFC的一个法向量为m=(0,V3,-l).

设平面ADE的一^法向量为n=(X2,y2,Z2),

则|痂,几=-2X2+75y2+3Z2=0,

[DA-TI=2%2+275y2=0・

取血二百,贝U丁2=-1/2=e，所以平面ADE的一个法向量为11=(遍,-1,旧),则cos<m,n>=^-=-^=-

|?7l||?2|ZXV/

手，所以平面ADE与平面ZJEFC的夹角的余弦值为-苧.

5.(15分X2024山西运城一模)如图，在矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=2,沿AC将△AOC折起，使点。到

达点P的位置，点尸在平面ABC上的射影H落在AB上.

(1)求A8的长度；

(2)若M是PC上的一个动点，是否存在点M,使得平面AAffi与平面PBC的夹角的余弦值为学?若存

4

在，求CM的长度;若不存在，说明理由.

解⑴如图，作PE_LAC,交AC于点E,连接EH.

因为点尸在平面ABC上的射影H落在上，所以PH_L平面ABC.

又ACu平面48C,所以PH±AC.

又PHCPE=P,PH,PEu平面尸”£,所以AC_L平面PHE.

又EHu平面所以AC_LEH,

由题可知AP=2,PC=4,所以AC=2代，所以尸石=笥含=#,所以A£=VAP2_pE2=手,易知△ABCs

△AEH,所碟=笫

t-rr,,,AE-AC坐x2遥

所以AHrr=——一二1

（2）存在.因为平面ABC,AB,BCu平面ABC,所以两两垂直.

以点X为坐标原点,以过点X且平行于BC的直线为y轴，分别以HB,PH所在直线为x轴、z轴，建立

如图所示的空间直角坐标系.

则A(-1,0,0),P(0,0,遮),2(3,0,0),C(3,2,0),所以屈=(4,0,0),丽=(0,2,0),丽=(3,2,-b).

设两=2丽=(342；1,-百/1),/16[0,1],则而=~PB-PM=(3-3/l,-27l,V3A-V3).

设平面的一个法向量为m=(无i,yi,zi),所以[竺爪=4”1=°'「广

=(3-3A)x1-2Ay1+(遮;I-b)z1=0.

令以=b；1-旧，则xi=0,zi=2九所以平面AMB的一个法向量为m=(0,V3A-V3,2/l).

设平面P8C的一个法向量为n=(X2,y2,Z2),

所以，而丑=3X2+2y2-V3z2=0,

{BC-n=2y2=0-

取X2=l,则丁2=0/2二8,所以平面尸5C的一个法向量为11=(1,0,百).

因为平面AMB与平面PBC的夹甬的余弦值为£所以cos<m,n>=-^-=―J解得入芸或

4Im|in|2月紊43

力=-1（舍去），所以两=g无，所以CM=||PC|=|.

核心素养创新练

6.（15分X2024陕西西安一模）如图，在三棱锥P-ABC中，侧面PAC是边长为1的正三角

形,BC=2,A8=花,E］分别为PC,PB的中点，平面AEF与平面ABC的交线为I.

⑴证明:/〃平面PBC;

(2)若三棱锥P-ABC的体积为在直线/上是否存在点。，使得直线PQ与平面AEP所成的角为a,异

面直线尸。与所成的角为以且满足a+/三?若存在，求出线段AQ的长度;若不存在,请说明理由.

⑴证明因为瓦尸分别为PC,PB的中点，所以E尸〃BC.又BCu平面ABC,EF(t平面A8C,所以〃平面

A8C.又Eft平面AEF,平面AE/S平面ABC=/，所以EF〃l，所以/〃BC.又BCu平面PBCN平面PBC,

所以/〃平面PBC.

⑵解存在.

取AC的中点，连接PD因为是边长为1的正三角形，所以AD=^,PD=\/PA2-AD2=y.

由题可得AC?+8。2=44,所以AC_Lgo,所以/XABC的面积为^AC-BC=^x1x2=1.

设点P到平面ABC的距离为/?,

贝*x〃=。，所以公孚=PD

362

所以PO_L平面A8C.

取A8的中点M连接。河,则。/〃BC,所以DM±AC.

又ACJDMu平面ABC,所以PD,AC,DM两两垂直.

以点。为坐标原点，分别以所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标

系，则4|0,0),P|0,0亭,E(q,O,净,A[,1,分，所以版=(怖,0,争，而=(0,1,0).

设。打0；,则而=(0<0),丽=

AE-n=-1x+^-z=Q,

设平面AEF的一^个法向量为n=(%,y,z),则

、EF・n=y=0.

取z=B,则x=l,尸0,所以平面AE尸的一个法向量为n=(l,0,V3),

—.13

所以cos〈n,PQ>="里=—ZX==--2==,

\n\\PQ\271+t22y11+t2

1

所以sinot=|cos<PQ,n>|=-

rn.L.PQEFt

又cos<PQ,EF>=^^r=r=.——

Y\PQWEF\石/

所以cosB=\cos<PQ,EF>|=-^L_=.

Vl+r

因为a+£=5,所以5吊。=34即1三=悬声所以|升=去

当二时，而=(0,却),所以40=1砌=；；

当Q涉，而=(0,-|,0)，所以4。=|砌总

综上所述，这样的点。存在，且有AQ=g.

专题突破练（分值：102分）

・学生用书P185

主干知识达标练

1.（2023北京,5）（2“1）5的展开式中含x的项的系数为（）

A.-80B.-40C.40D.80

答案D

解析（2久1）5的展开式的通项为"+1=慧（2元）53J*=（-iy,25-*C*»,令5-24=1,得左=2,所以（2久-孑的

展开式中含x的项的系数为（-1>23髭=80.故选D.

2.（2024山东聊城模拟）三名男同学和两名女同学随机站成一列，则两名女同学相邻的概率是（）

1212

ABCD

6-5-3-3-

答案B

解析五名同学排成一列的排法有Ag=120（种），其中两名女同学相邻的排法有=48（种），所以两名女

同学相邻的概率是娥=|.故选B.

9

3.(2024广东湛江二模)已知(1-2X)9=〃O+〃IX+…+〃9%9,则〃o+Z0=()

1=2

A.-2B.-19C.15D.17

答案D

解析令%=1,得〃O+Q1+...+〃9=(1-2)9=-1.

（1-2媛的展开式的通项为7kl=器（-2无»=（-1）七§2型/=0,1,...,9）,所以ai=（-l>xx2=-18,所以

9

ao+Z©=-l-（-18）=17.故选D.

i=2

4.（2024辽宁沈阳二模）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由6个爻组成，爻分

为阳爻“------------”和阴爻“------------”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,记事件

A=“取出的重卦中至少有1个阴爻“，事件3=”取出的重卦中至少有3个阳爻”，则尸（同4）=（）

答案C

解析P（A）=与=跟事件42="取出的重卦中有3阳3阴或4阳2阴或5阳1阴''，则

264

p（AB）=ci+|+c1=、则尸（相尸需=春故选C.

/.OT1r1/1105

5.有5名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期日两天,每天从中任选2人参加服务，则恰有1人

连续参加两天服务的选择种数为（）

A.120B.60

C.40D.30

答案B

解析（方法一）先在5名志愿者中安排1名在这两天都参加社区服务，有5种安排方法,再在星期六、

星期日，每天从剩下的4名志愿者中安排1名不同的志愿者参加社区服务，有4x3=12（种）安排方法.由

分步乘法计数原理得恰有1人在这两天都参加的不同的安排方法共有5x12=60（种）.

（方法二）在5名志愿者中安排2名在星期六参加社区服务，有量=10（种）安排方法.再从星期六参加社

区服务的2名志愿者中安排1名及从剩下的3名志愿者中安排1名在星期日参加社区服务，有

2x3=6（种）安排方法.由分步乘法计数原理得恰有1人在这两天都参加的不同的安排方法共有

10x6=60（种）.

（方法三）从5名志愿者中，在星期六、星期日两天各安排2名参加社区服务，有髭X髭=100（种）安排

方法，星期六、星期日两天的志愿者全不相同的安排方法有髭x禺=30（种）,全相同的安排方法有

釐=10（种），所以恰有1人在这两天都参加的不同的安排方法共有100-30-10=60（种）.故选C.

6.（多选题X2024河北衡水模拟）对于（正-；）6的展开式，下列说法中正确的是（）

A.常数项是《

B.各项系数的和是64

C.第4项的二项式系数最大

D.奇数项的二项式系数的和是32

答案ACD

解析‘〃一会’6的展开式的通项为A+1=C”（«）6"（-抒=谶•（［）/次（%=0」…,6）,令3-|左=0,

得左=2,所以常数项为髭X（力2=字,故A正确；

24

令x=l,得）6*所以各项系数的和是专，故B错误；

第4项的二项式系数最大，故C正确；

奇数项的二项式系数的和为gx26=32,故D正确.

故选ACD.

7.（多选题）某班星期一上午要安排语文、数学、英语、物理4节课，且该天上午总共4节课，下列结论

正确的是（）

A.若数学课不安排在第一节，则有18种不同的安排方法

B.若语文课和数学课必须相邻，且语文课排在数学课前面，则有6种不同的安排方法

C.若语文课和数学课不能相邻，则有12种不同的安排方法

D.若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排，则有3种不同的安排方法

答案ABC

解析对于A,先安排数学课，有3种排法，再安排其他3节课，有种排法，故总共有3A：18（种）排法，故

A正确;对于B,采用捆绑法，有A；6（种）排法，故B正确;对于C,先排英语课和物理课，有A4种排法，再采

用插空法排语文课和数学课，有A专种排法，故总共有A^A专=12（种）排法，故C正确;对于D,4节课共有A3

种排法，语文课、数学课、英语课的排列顺序共有Ag种，所以有1=4（种）排法，故D错误.故选ABC.

A3

8.（5分X2024甘肃定西一模）已知某厂甲、乙两车间生产同一批衣架,且甲、乙两车间的产量分别占

全厂产量的60%,40%,甲、乙车间的优品率分别为95%,90%.现从该厂这批产品中任取一件,则取到

优品的概率为.（用百分数表示）

答案93%

解析从该厂这批产品中任取一件，设4=”取到的产品由甲车间生产"鼻2=”取到的产品由乙车间生

产”乃=“取到的产品为优品”.

由题可得P（AI）=0.6,P（A2）=0.4,P（B|AI）=0.95,P（B|A2）=0.9,

故尸（B）=尸（AI）P（B|AI）+P（A2）P（B|A2）=0.6X0.95+0.4x0.9=0.93=93%.

9.（5分X2023新高考I,13谋学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课

中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作

答）.

答案64

解析（方法一直接法）若选2门课，只需体育类和艺术类各选1门，有心x第=16（种）不同的选课方

案；

若选3门课,则需体育类选1门、艺术类选2门，或体育类选2门、艺术类选1门，有Qx谶+C/x

玛=48（种）不同的选课方案.综上，共有16+48=64（种）不同的选课方案.

（方法二间接法）由题意可知，从8门课中选择2门或者3门共有a+a=84（种）不同的选课方案，只

选择体育类或艺术类的选课方案有玛鬣+禺盘=20（种），则符合题意的共有84-20=64（种）不同的选课

方案.

关键能力提升练

10.（2024山东临沂一模）将1到30这30个正整数分成甲、乙两组，每组各15个数，使得甲组的中位数

比乙组的中位数小2,则不同的分组方法数是（）

A.2（咯yB.2CI3CI4

C.2Cf4czD.2（C：4）2

答案B

解析因为甲组、乙组均为15个数，所以其中位数也均为从小到大排列的第8个数，即各组小于中位数

的有7个数，大于中位数的也有7个数.因为甲组的中位数比乙组的中位数小2,所以甲组的中位数和

乙组的中位数中间有1个数，所以小于甲组的中位数的数至少有7x2-1=13（个），至多有7义2=14（个），所

以甲组的中位数为14或15.

若甲组的中位数为14,则乙组的中位数为16,15一定在乙组,此时从1~13中选7个数放到甲组，剩下

的6个数放到乙组，再从17-30中选7个数放到甲组，剩下的7个数放到乙组，此时有C；3c入种分组方

法；

若甲组的中位数为15,则乙组的中位数为17,16一定在甲组,此时从1~14中选7个数放到甲组，剩下

的7个数放到乙组，再从18-30中选6个数放到甲组，剩下的7个数放到乙组，此时有种分组方

法.

综上可得不同的分组方法数是C%C；4+C〃C？3=2C；3c入.故选B.

11.（多选题）（2024广东广州一模）甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱

中的球除颜色外没有其他区别）,先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件4和4表示从甲箱

中取出的球是红球和白球;再从乙箱中随机取出两球,用事件8表示从乙箱中取出的两球都是红球，则

（）

3

A.P（Ai）--

11

B.P（2）=而

9

C.P（B|Ai）=-

2

D.P（A2|B）=^

答案ABD

解析依题意可得P（AI）=|,P（A2）=|.

2

若从甲箱中取出红球，则乙箱中有3个红球和2个白球，所以P（8|Ai）=与=之

C510

2

若从甲箱中取出白球，则乙箱中有2个红球和3个白球，所以P（B|A2）=与=白，所以

^51°

oao111

P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=-X-+-X-=为故A,B正确,C错误;

1ji

P⑶出尸曙=叫沪=警=2故D正确•

故选ABD.

12.（2024山东济南一模）某公司现有员工120人,在荣获“优秀员工”称号的85人中，有75人是高级工

程师，既没有荣获“优秀员工”称号又不是高级工程师的员工共有14人，公司将随机选择一名员工接受

电视新闻节目的采访，被选中的员工是高级工程师的概率为（）

答案C

解析由题意得，试验的样本空间◎的样本点总数为120,即“@）=120.

每个样本点都是等可能的，所以这是一个古典概型.

设事件A=”被选中的员工是高级工程师”，则”（4）=120+75-85-14=96,所以所求概率为=含=

g.故选C.

13.（多选题）（2024山东日照一模）从标有1,2,3,…,8的8张卡片中有放回地抽取两次，每次抽取一张，依

次得到数字。，瓦记点A（a力）,2（1,-1）,。（0,。）,则（）

A.ZAOB是锐角的概率为《

16

B./A8。是直角的概率为2

C.AAOB是锐角三角形的概率为，

64

D.AAOB的面积不大于5的概率为券

64

答案ACD

解析由题可知点A位于第一象限.

用图表表示点A的坐标，如图.

b

a

12345678

1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(1,7)(1,8)

2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(2,7)(2,8)

3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(3,7)(3,8)

4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)(4,7)(4,8)

5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)(5,7)(5,8)

6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)(6,7)(6,8)

7(7,1)(7,2)(7,3)(7,4)(7,5)(7,6)(7,7)(7,8)

|8|(8,1)|(8,2)|(8,3)|(8,4)|(8,5)|(8,6)|(8,7)|(8,8)|

可以得到，试验的样本空间包含的样本点的个数为”(。)=禺禺=64,且每个样本点都是等可能的，所以

这是一个古典概型.

对于A,如图,设直线/过点0,且与0B垂直，因为%B=-1,所以仃=无，所以当a<b时,NA0B是锐角.设

A^ZAOB是锐角”,则“(4)=28,所以P(A)=噌=,=，故A正确；

71(12)6416

对于B,如图,设直线m过点8,且与OB垂直，所以/y+1=苫-1,即仃=尤-2,所以当b=a-2时,是直

角.

设B="NAB0是直角”，则“(2)=6,所以P(B)=嘿=三=之故B错误；

n(J2)6432

对于C,如图，若△A05为锐角三角形，则点A位于直线/和根之间，由题易知点A位于直线y=x-l上，

所以当b=a-l时,ZkAOB为锐角三角形,设C="Z\A0B为锐角三角形”,则“(0=7,所以尸(。=咚=，

n(JJ)64

故C正确；

对于D,如图,|08|二&,直线OB:y=-x^Px+y=O.设直线〃:y=-x+c,即x+y-c=0,c>0,直线OB与直线n的

距离为则

d,V22

若△AO8的面积为5,则g|O8|d=5/吟苧=5,解得c=10,即w:y=-x+10,所以当任a+10,即a+b<lO

时,SZVIOBSS.

设的面积不大于5”,则w(D)=43,所以尸(。)=怒=葛故D正确.故选ACD.

14.(多选题X2024山东济南一模)下列等式中正确的是()

88

A.2鹰=28B.X鬃=玛

k=lk=2

82

D.Z(啕=/6

答案BCD

8

解析对于A,因为(1+%)8=A+玛%+釐—+…+C打8,令%=1,得28=1+禺+禺+…+砥=1+Z魔,则

fc=l

8

£谶=2盯,故A错误;

k=l

8

对于B,因为鬣+鬣=C苒1，所以E*=禺+髭+鬣+…+禺=c|+c|+鬣+…+髭=c|+

k=2

量+...+C然…+C|=C■，故B正确；

11(k-l)(kl)!_k-1

对于C，因为两一百

々!(々-1)!kl(k-l)\―TT，

8kl81111,1111.1.r

所以Z导=2F…H=1,故L/C正确；

(fc-1)!kl1!2!-2!3!-----7!8!---8!''

k=2K・k=2

对于D,(l+X)16=(l+x)8(l+x)8,对于(1+方6的展开式,其含有f的项的系数为底6,对于(l+%)8(l+x)8的展

开式，要得到含有f的项的系数濒从第一个式子的展开式中取出含式攵=0,1,…,8)的项,再从第二个式

888

子的展开式中取出含犬*的项,它们对应的系数相乘后求和，得zc翼y=2(砥)2,所以2(《)2=

k=0k=0k=0

/6,故D正确.故选BCD.

15.(5分X2024广东佛山模拟)已知a=l+禺o2+C至22+C,o23+…+C翡22。,贝I]°除以10所得的余数

为.

答案1

232O221O1O1092

解析a=l+C|02+C|02+C^02+...+C^2=(1+2)°=3°=9=(1O-1)=C?010-Cj010+...+C?010-

98

C?olO+Clg=lO(C°olO-CjolO+...+CfolO-C?o)+l,

故a除以10所得的余数为1.

16.(5分X2024河北邢台模拟)将1,2,3,...,9这9个数填入如图所示的格子中(要求每个数都要填入，每

个格子中只能填一个数)，记第1行中最大的数为。，第2行中最大的数为瓦第3行中最大的数为c,则

a<b<c的填法共有种.

第1行

第2行

第3行

答案60480

解析由题可知,c=9,c可选的位置有3个，第3行其余2个位置任取2个数,共有禺Ag种情况;第2行，取

剩下6个数中最大的数为伍可选的位置有3个，其余2个位置任取2个数,共有玛Ag种情况;第1行，剩

下3个数任意排列，则有Ag种情况.故共有禺A^&AgA；60480(种)填法.

核心素养创新练

17.(17分X2024江苏苏州模拟)在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1,2,3,4的四个外观相同的空箱子

中随机选择一个,放入一件奖品，再将四个箱子关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是主持

人请抽奖人在这四个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由获奖人获得.现有抽奖人甲选择了

2号箱,在打开2号箱之前，主持人先打开了另外三个箱子中的一个空箱子.按游戏规则，主持人将随机

打开甲的选择之外的一个空箱子.

(1)计算主持人打开4号箱的概率；

(2)当主持人打开4号箱后，现在给抽奖人甲一次重新选择的机会，请问他是坚持选2号箱，还是改选1

号或3号箱?(以获得奖品的概率最大为决策依据)

解⑴设4="7号箱里有奖品'”=1,2,3,4),2=“主持人打开4号箱”，则a=aiM2UA3UA4,且4/2,444

两两互斥.

由题意可知,尸(4)=尸(42)=尸(A3)=P(A4)=QCB|AI)=*(5|A2)=*(B|A3)="(8|A4)=0.由全概率公式，得

4ZDZ

41(I1111

P(B)=/]P(4)P(BA)甘x4+l+2=?

(2)在主持人打开4号箱的条件下,1号箱、2号箱、3号箱里有奖品的条件概率分别为

g_P(AlB)_P(Ai)P(B|Ai)__3

&A1⑻-p(B)

p|RX_P(A2B)_P(A2)P(B|A2)__I

P((A2出)-E_p(B)一飞一―不

P(A,nx_P(A3B)_P(A3)P(B|A3)—晟_3

P(A3|B)-E-―丽厂-T--8'

所以甲应该改选1号或3号箱.

专题突破练(分值：58分)

■♦学生用书P187

主干知识达标练

1.（多选题）某学校共有2000名男生，为了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了其中100名男生

的体重情况.根据所得样本数据绘制的频率分布直方图如图所示，则（）

距

A.样本数据的众数的估计值为67.5

B.样本数据的80%分位数的估计值为72.5

C.样本数据的平均数的估计值为66

D.该校男生中低于60kg的人数大约为300

答案ABD

解析对于A,在频率分布直方图中，体重在区间［65,70）内的学生最多，所以样本数据的众数的估计值为

67.5,故A正确;

对于B,因为（0.03+0.05+0.06）x5=0.7,0.7+0.04x5=0.9,所以80%分位数落在区间［70,75）内.设80%分位

数为无，则0.7+0.04（x-70）=0.8,解得x=72.5,所以样本数据的80%分位数的估计值为72.5,故B正确；

对于C,样本数据的平均数的估计值为

5x57.5x0.03+62.5x0.05+67.5x0.06+72.5x0.04+77.5x0.02=66.75,故C错误；

对于D,被抽到的100名男生中体重低于60kg的频率为0.03x5=0.15,故可估计该校男生体重低于60

kg的概率为0.15,所以该校男生中低于60kg的人数大约为2000x0.15=300,故D正确.

故选ABD.

2.（多选题）（2024甘肃陇南一模）某厂近几年陆续购买了几台4型机床，该型机床已投入生产的时间

x（单位:年）与当年所需要支出的维修费用y（单位:万元）有如下统计资料：

23456

元2.23.85.56.57

A

根据表中的数据可得到经验回归方程为＞=1.23彳+a,则（）

A

A.a=0.08

B.y与x的样本相关系数r＞0

C.表中维修费用的第60百分位数为6

D.该型机床已投入生产的时间为10年时,当年所需要支出的维修费用一定是12.38万元

答案ABC

解析根据表中的数据可得元=4,歹=2.2+3.8+：.5+6.5+7=5,所以经验回归直线过点（4,5）.将（4,5）代入经验

AA

回归方程y=1.23x+a,可得a=0.08,故A正确；

由表中数据可得y随着x增大而增大，尤与y正相关，所以相关系数/■＞（）,故B正确;

维修费用从小到大依次为2.2,3.8,5.5,65,7,因为5x60%=3,所以第60百分位数为用吧=6,故C正确;

根据回归分析的概念，回归模型只能用来近似变量的关系，不能准确判断变量的值.故D错误.

故选ABC.

3.（多选题）（2024山东德州模拟）进入冬季,哈尔滨旅游火爆全网，下图是一周内哈尔滨冰雪大世界和中

央大街日旅游人数的折线图，则（）

人此乃

■冰・大情界

—中央大餐

1日2日3H4日SB6日7日日期

A.中央大街日旅游人数的极差是1.2万

B.冰雪大世界日旅游人数的中位数是2.3万

C.冰雪大世界日旅游人数的平均数比中央大街大

D.冰雪大世界日旅游人数的方差比中央大街大

答案BC

解析中央大街日旅游人数的最大值为2.8万，最小值为0.9万，所以极差为1.9万，故A错误；

冰雪大世界日旅游人数由小到大依次为1.7,1.8,1.9,2.3,2.4,2.6,2.9,所以其中位数为2.3,故B正确;

中央大街日旅游人数的平均值为26+2・8+24+277+1.1+0.9+1.3=2（万爆与,故C正确；

冰雪大世界日旅游人数的方差为1.72+1.82+1.92+2?+2.42+2.62+2.92_（||）2二春_（||）2<5.2-2.22=0.36,

中央大街日旅游人数的方差为2"+262+2.42+2；2+1./+092+132_4=嘤切出叉前，

故冰雪大世界日旅游人数的方差比中央大街小，故D错误.

故选BC.

4.（17分X2023全国乙，理17）某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配

对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工

艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率,甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为

=1,2,…,10）,试验结果如下：

试验序号i12345678910

伸缩率Xi545533551522575544541568596548

伸缩率》536527543530560533522550576536

记Z尸尤f（7=1,2,...,10）,记Zl,Z2,...,Z10的样本平均数为2,样本方差为s2.

⑴求2,52;

(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如

果2>2代，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提

\10

高,否则不认为有显著提高).

解⑴.：Zi=Xi-yi,

/.Z1=9/2=6/3=8/4=-8/5=15/6=11/7=19/8=18/9=20/10=12,

•••z=-^X(9+6+8-8+15+11+19+18+20+12)=11,.,.?=^-X[(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-

11)2+(11-11)2+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2]=x(4+25+9+361+16+0+64+49+81+1)=61.

(2)；2患=2相1<11,即第<z,

可判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.

关键能力提升练

5.(多选题)(2024广东汕头一模)某次考试后，为分析学生的学习情况,某校从某年级中随机抽取了