2025年高考数学总复习《运用分类讨论的思想方法解题》专项测试卷及答案

2025年高考数学总复习《运用分类讨论的思想方法解题》专项测试卷

及答案

学校:___________姓名：班级：考号：

・题型01由情境的规则引起的分类讨论

i.三个男生三个女生站成一排，已知其中女生甲不在两端，则有且只有两个女生相邻的概率是（）

2393

A.-B.—C.—D.一

510205

2.有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两

条公路，据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布情况如下表所

小

所用时间（天数）10111213

通过公路1的频数20402020

通过公路2的频数10404010

假设汽车A只能在约定日期（某月某日）的前11天出发，汽车2只能在约定日期的前12天出发（将频

率视为概率），为了在各自允许的时间内将货物运至城市乙，汽车A和汽车8选择的最佳路径分别为（）

A.公路1和公路2B.公路2和公路1C,公路2和公路2D.公路1和公路1

3.某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1,2,3,4,5的五个小

球，每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连

号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球，若与第一次取出的两

个小球号码相同，则中奖.按照这样的规则摸奖，中奖的概率为（）

4192341

A.—B.—C.—D.--

52550100

4.某地每年的七月份是洪水的高发期，在不采取任何预防措施的情况下，一旦爆发洪水，将造成1000（

万元）的经济损失.为防止洪水的爆发，现有4（i=1,2,3,4）四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用

10-z

4。=1,2,3,4）预防措施后不爆发洪水的概率为p.=飞_«=1,2,3,4）,所需费用为/⑴=100—20,（

万元）（7=1,2,3,4）.

⑴若联合使用A和4措施，则不爆发洪水的概率是多少？

（2）现在有以下两类预防方案可供选择:

第1页共29页

预防方案一：单独采用一种预防措施；

预防方案二：联合采用两种不同预防措施.

则要想使总费用最少，应采用哪种具体的预防方案？

（总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.）

一题型02由定义引起的分类讨论

5.大约公元前300年，欧几里得在他所著《几何原本》中证明了算术基本定理：每一个比1大的数（每

个比1大的正整数）要么本身是一个素数，要么可以写成一系列素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中

的顺序，那么写出来的形式是唯一的，即任何一个大于1的自然数N（N不为素数）能唯一地写成

N=p?.（其中p,是素数，q是正整数，度巾k,Pl<p2<--<Pk）,将上式称为自然数N的标

准分解式，且N的标准分解式中有6+出+…+%个素数.从120的标准分解式中任取3个素数，则一共

可以组成不同的三位数的个数为（）

A.6B.13C.19D.60

6.（多选题）已知函数〃力=依2+21nx（aeR）有两个不同的零点%,马，符号[幻表示不超过x的

最大整数，如[0.5]=0,[1.2]=1,则下列结论正确的是（）

A.a的取值范围为

B.a的取值范围为（一J,。）

c.[xj+[x2]..3

D.若[xj+[x2]=4,则〃的取值范围为-2黑

7.（多选题）定义Hn=%+2%+-一+2"%为数歹u｛4｝的“优值”.己知某数列｛为｝的“优值”

n

%=2",前w项和为S“，则（）

第2页共29页

A.数列｛4｝为等差数列B.数列｛为｝为递减数列

C

^20202023D.S,邑，＞成等差数列

'202022

8.若函数/（x）的定义域为R,对任意的看,巧，当为一々©。时，都有“占）-〃马）€。，则称

函数/（%）是关于。关联的.已知函数/（%）是关于｛4｝关联的，且当xe[-4,0）时，〃尤）=炉+6尤.则：①

当x«0,4）时，函数/（X）的值域为；②不等式。＜/（尤）＜3的解集为

・题型03由平面图形的可变性引起的分类讨论

9.（多选题）已知圆跖（x+cos8）2+（丁一sin6*）2=1,直线/：y=kx,下面四个命题中是真命题

的是（）

A.对任意实数左与。，直线/和圆M相切；

B.对任意实数左与。，直线/和圆M有公共点；

C.对任意实数。，必存在实数左，使得直线/与和圆M相切

D.对任意实数也必存在实数。，使得直线/与和圆M相切

Q

10.已知直线X—阳+1=0与GC：（x-iy+y2=4交于A、B两点，写出满足“&4BC面积为二”的根的

一个值__________

221

11.设椭圆E:=+斗=l（a〉6〉0）的离心率为不，其左焦点到P（2,l）的距离为

a~b2

⑴求椭圆E的方程；

（2）椭圆E的右顶点为。，直线/：y=Ax+m与椭圆E交于A,8两点（A3不是左、右顶点），若其满足

DA.DB=Q，且直线/与以原点为圆心，半径为9的圆相切；求直线/的方程.

221

12.已知椭圆C：一+£=l（a〉b〉0）的离心率为,，且椭圆上动点尸到右焦点最小距离为1.

⑴求椭圆C的标准方程;

第3页共29页

(2)点M,N是曲线C上的两点，。是坐标原点，|MV|=2应，求WON面积的最大值.

一题型04由变量的范围引起的分类讨论

13.已知关于x的不等式2/-5111%+〃110+1)-2..0在［0,乃］上恒成立，则实数t的取值范围是

14.已知函数/(%)="-左sinx.

⑴当k=1,时，求的单调区间；

(2)若/(x)在区间内存在极值点々・

①求实数人的取值范围；

②求证：/(无)在区间(。,乃)内存在唯一的尸，使/(分)=1,并比较用与2e的大小，说明理由.

px-1

15.已知函数/(%)=为自然对数的底数)

e+1

⑴若不等式〃无)>£=恒成立，求实数x的取值范围；

'7e+1

(2)若不等式<ax+g-aIn2在xe(In2,+8)上恒成立，求实数。的取值范围

16.⑴证明：当0〈尤V1时，x-x2<sinx<x;

(2)已知函数/(x)=cosox-妨(1-f),若％=0是/(x)的极大值点，求〃的取值范围.

・题型05由空间图形的可变性引起的分类讨论

17.如图，正方体A5CD-A4GR的棱长是1.若G,E是所在棱的中点，尸是正方形AADD1的中

心，则封闭折线8Gb在该正方体各面上的射影围成的图形的面积不可能是()

第4页共29页

18.如图，在AABC中，AC=1,BC=5c=%,点。是边AB（端点除外）上的一动点.若将

△ACD沿直线CD翻折,能使点A在平面BCD内的射影A'落在巫CD的内部（不包含边界），且AC=昱

3

设">=/,则，的取值范围是

19.如图，矩形8DEF所在平面与正方形A8CQ所在平面互相垂直，DB=2DE,点P在线段EF上.给

出下列命题:

①直线直线AG

②直线尸。与平面ABC。所成角的正弦值的取值范围是

③存在点P，使得直线平面ACF；

④存在点P,使得直线PDH平面ACF.

其中所有真命题的序号是.

4

20.直棱柱ABC-431cl中，底面三角形的三边长分别为3、4、5,高为―①>0）.过三条侧棱中点的

a

截面把此三棱柱分为两个完全相同的三棱柱，用这两个三棱柱拼成一个三棱柱或四棱柱，小明尝试了除原

第5页共29页

三棱柱之外的所有情形，发现表面积都比原三棱柱ABC-4与G的表面积小，则。的取值范围是

参考答案

4题蛰01由情境的规则引起的分类讨论

1.三个男生三个女生站成一排，已知其中女生甲不在两端，则有且只有两个女生相邻的概率是()

2393

A.-B.—C.—D.一

510205

【答案】D

【解析】

从三个男生三个女生站成一排，已知其中女生甲不在两端，共有痣蜀=480种不同排法,

女生甲不在两端，同时有且只有两个女生相邻分两类

⑴女生甲单独站，则有制=72；

(2)女生甲和另一个女生站一起，则有看=72+144=216

所以，已知其中女生甲不在两端，则有且只有两个女生相邻的概率是芸=3.

4805

故答案为：D.

2.有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两

条公路，据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布情况如下表所

示

第6页共29页

所用时间（天数）10111213

通过公路1的频数20402020

通过公路2的频数10404010

假设汽车A只能在约定日期（某月某日）的前11天出发，汽车3只能在约定日期的前12天出发（将频

率视为概率），为了在各自允许的时间内将货物运至城市乙，汽车A和汽车B选择的最佳路径分别为（）

A.公路1和公路2B.公路2和公路1C.公路2和公路2D.公路1和公路1

【答案】A

【解析】

频率分布表如下：

所用时间（天数）10111213

通过公路1的频率0.20.40.20.2

通过公路2的频率0.10.40.40.1

设A，4分别表示事件“汽车A选择公路1时在约定时间内将货物运至城市乙”和“汽车A选择公路

2时在约定时间内将货物运至城市乙”，

耳，不分别表示事件“汽车2选择公路1时在约定时间内将货物运至城市乙”和“汽车2选择公路2

时在约定时间内将货物运至城市乙”，

以频率估计概率得P（A）=02+0.4=0.6,尸（4）=0.1+0.4=0.5,尸（耳）=0.2+0.4+02=0.8,

P（B2）=0.1+0.4+0.4=0.9,

所以汽车A和汽车8选择的最佳路径分别为公路1和公路2.

故选A

3.某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1,2,3,4,5的五个小

球，每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连

号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球，若与第一次取出的两

个小球号码相同，则中奖.按照这样的规则摸奖，中奖的概率为（）

4192341

A.-B.—C.—D.---

52550100

【答案】C

【解析】

第7页共29页

由题意可知中奖的情况有两类：

442

第一类：第一次摸球中奖，概率为化=厘=伍=不

第二类：第一次摸球不中奖，第二次摸球中奖，

C2-463

概率为0=余=而=而’

故中奖的概率为P="+P22A3=23

故选C.

4.某地每年的七月份是洪水的高发期，在不采取任何预防措施的情况下，一旦爆发洪水，将造成1000（

万元）的经济损失.为防止洪水的爆发，现有4G=1,2,3,4）四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用

4。=1,2,3,4）预防措施后不爆发洪水的概率为p=茏io-1Z。=1,2,3,4）,所需费用为/«）=100-20，（

万元）«=1,2,3,4）.

⑴若联合使用A和4措施，则不爆发洪水的概率是多少？

（2）现在有以下两类预防方案可供选择：

预防方案一：单独采用一种预防措施；

预防方案二：联合采用两种不同预防措施.

则要想使总费用最少，应采用哪种具体的预防方案？

（总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.）

【解析】⑴依题意有：

预防措施AAAA

P0.90.80.70.6

费用（万元）80604020

设事件c：表示使用A和4措施不爆发洪水,

则P（C）=1—P（$-4）=1-1xQ2=0.98.

（2）预防措施一：有四种情况：

单独用A：总费用为：80+1000x0.1=180（万元）;

第8页共29页

单独用4：总费用为：60+1000x0.2=260（万元）；

单独用4:总费用为：40+1000x0.3=340（万元）；

单独用44：总费用为：20+1000x0.4=420（万元）.

预防措施二：有六种情况：

44联合：总费用为80+60+1000x0.1x0.2=160（万元）；

AA联合：总费用为80+40+1000x0.1x0.3=150（万元）；

AA4联合：总费用为80+20+1000x0.1x0.4=140（万元）;

儿4联合：总费用为60+40+1000x0.2x0.3=160（万元）；

44联合：总费用为60+2。+1000x02x0.4=160（万元）；

&人4联合：总费用为：40+20+1000x0.3x0.4=180（万元）.

所以，预防方案采用A4联合使用最好，使得总费用最少.

・题型02由定义引起的分类讨论

5.大约公元前300年，欧几里得在他所著《几何原本》中证明了算术基本定理：每一个比1大的数（每

个比1大的正整数）要么本身是一个素数，要么可以写成一系列素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中

的顺序，那么写出来的形式是唯一的，即任何一个大于1的自然数N（N不为素数）能唯一地写成

N=pf.（其中P,是素数，可是正整数，琛小k,A<A<-"<A）>将上式称为自然数N的标

准分解式，且N的标准分解式中有区+出+…+4个素数.从120的标准分解式中任取3个素数，则一共

可以组成不同的三位数的个数为（）

A.6B.13C.19D.60

【答案】B

【解析】

根据自然数N的标准分解式可得120=23/3x5，

故从2,2,2,3,5这5个素数中任取3个组成三位数，有下列三种情况：

①选取3个2,可以组成1个三位数；

第9页共29页

②选取2个2后，再从3或5中选一个，可以组成C；xC；=6个不同的三位数;

③选取2,3,5,可以组成用=6个不同的三位数，

所以从120的标准分解式中任取3个素数，一共可以组成1+6+6=13个不同的三位数.

故选B.

6.(多选题)已知函数"x)=ax2+21nx(aeR)有两个不同的零点石，/，符号[幻表示不超过x的

最大整数，如[0.5]=0,则下列结论正确的是()

A.a的取值范围为(一1,+8)

B.a的取值范围为[一：,。]

C.[^]+[X2]..3

D.^[xj]+[x2]=4,则a的取值范围为-——

【答案】BD

【解析】

函数f(x)=ax2+2\nx的定义域为(。,+8)，

r(x)=2ax+2-=2("+1)

XX

当a.O时，/'(%)..0,函数/(x)=ax2+21nx在(0,+oo)上单调递增,

函数/(x)=ax2+21nx在(0,+<a)上至多只有一个零点，与条件矛盾,

一闩舍去),

当QV0时，由/'(无)=0可得%=--或入二

a

当0<%<J-一时，/'(%)>0,函数/(%)=办2+2inx单调递增,

f\x)<0,函数jf(x)=ax2+21nx单调递减,

因为函数%)=32+21n%有两个不同的零点不42,可得--)>。，

所以ax(—)2+21nJ—>0,所以ln(—)<1,

VaVaa

第10页共29页

所以一A错误，8正确；

C

不妨设石<42，

因为J---->&，f(1)—<0,所以X£(11-----),X?〉J----'

Va\a\a

当/—..2时，［再］..1,［x2］..2,则［%］+LxJ•3,

Va~

当G<A/--<2时，贝！J一工va<,

Vae4

1厂

所以f(2)=4a+2如2,当‘<a<-In四时，/(2)<0,

此时［%21=1，［石］+5］=2,C错误,

因为［XJ+［%2］=4,

若［石］=1则㈤=3,/(2)>0,/(3).,0,/(4)<0,

所以4a+21n2>0,9a+21n3..O,16a+21n4Vo,

byIn22In3ln2

所以”--—a>-------

294

2In3In2

所以-----<a<-------，

94

若［x］=2,贝也%］=2,/(2)<0,/(3)<0,且2<C<3,

所以4a+21n2v0,9Q+21113V0,—<a<—,

49

七〜ln221n311

/VT以av------,Q<--------,—<a<—,

2949

—In211

所以a<------,——<a<——,

249

又ln2>:，所以—ln2<—L所以-乎<一,故满足条件的。不存在,

2224

所以0的取值范围为［-等，-竽）。正确

故选3D

7.（多选题）定义”“=%+2%+…+2〃％,为数列｛4｝的“优值”.己知某数列｛”"｝的，，优值，，

n

%=2”,前〃项和为S",则（）

A.数列｛a,J为等差数列B.数列｛4｝为递减数列

第11页共29页

S20202023

cD.S,S,反成等差数列

,2020224

【答案】AC

CL+2%+…+2〃1Q

【解析】依题意可得——------------=2\

n

/.q+2%+…+2〃一%〃二〃・2〃.

n-1nn+1

%+2%+.•.+2an+2an+l=(n+1)-2,

/.2〃•%+i=5+l)・2〃+i—〃・2〃，

•.・%=〃+2，

当〃=1时，1=2,

:.an=n+l.

「•数列｛〃J为首项为2,公差为1的等差数列，故A对8错误；

e—X2020x（2+2021）M「十市

5020二21）二2023,故C正确；

2020—2020—2

52=5,54=14,S6=27,

因为S6—S4=13,84—82=9,故。错误.

故选AC

8.若函数/（X）的定义域为R,对任意的看,%2，当%—%6。时，都有，则称

函数”X）是关于。关联的.已知函数“X）是关于｛4｝关联的，且当xe[-4,o）时，/（x）=x?+6尤.则：①

当xe[0,4）时，函数/（X）的值域为；②不等式。＜/（x）＜3的解集为.

【答案】[-5,4）；（百+1,20+1”（6,7）

【解析】

①.由函数/⑴是关于｛4｝关联可得：当马—石=4时，/（x2）-f（^）=4.

当X]e[—4,0）时,“%）=4+6X[e[—9,0）,

第12页共29页

当无2=占+4«0,4)时，/(x2)=/(x1)+4e[-5,4),即当xe[0,4)时，函数/(X)的值域为[-5,4)；

②.由①可知，当占«<。)时，〃菁)=犬+6〃«-9,0),显然不满足0<f(x)<3：

当马=%+4«0,4)时，有〃尤2)=〃%)+4,则0<〃尤2)<3等价于-4</&)<一1,

即—4<xJ+6X]<—1,解得一3+逝<—3+2夜，故&+1<%<20+1；

当天=匕+8e[4,8)时，有/(毛)=/(占)+8,则0</(毛)<3等价于_8</(占)<_5,

即一8<X；+6Xj<-5,解得一2<%]<-1,故6<%<7；

当尤4=%+12e[8,12)时，有〃%)=〃％)+12«3,12),显然不满足0<"无)<3；

显然当xe[12,+8)时，〃x)>3,不满足0<〃尤)<3.

综上，不等式0<〃x)<3的解集为(6+1,2虎+l)u(6,7).

一B型03由平面图形的可变性引起的分类讨论

9.(多选题)已知圆M：(x+cos8)2+(y—sin8)2=1,直线/：y=kx,下面四个命题中是真命题

的是()

A.对任意实数左与。，直线/和圆M相切；

B.对任意实数左与。，直线/和圆M有公共点；

C.对任意实数。，必存在实数鼠使得直线/与和圆M相切

D.对任意实数也必存在实数。，使得直线/与和圆/相切

【答案】BD

【解析】

V圆心到直线/的距离为

卜ZcosO-sinH

dJl+k2'

,k2cos261+sin261+2A;sin0cos0,

:.d--1=-----------------；---------------1

1+k2

左2(cos?61-l)+(sin23-1)+2ksin61cos0

―1+P

第13页共29页

-k2sin20-cos20+2ksin0cos0

1+P

（ksinS-cosef

=--------I7P

，42,,1恒成立，但等号不一定恒成立，「.5项对，A项不一定对；

若当d=1时，左sin。=cos0,

「•当sin6=0时，%不存在；

当女给定时，。存在；二。项对，。项不对.

故答案选：BD.

Q

10.已知直线X—阳+1=0与3：（左一1）2+9=4交于A、8两点，写出满足“&4BC面积为1”的机的

一个值__________

【答案】g（答案不唯一）

【解析】

由题知GC：（x—Ip+y=4的圆心为（1,0）,半径为2,

设圆心到直线的距离为d,则|AB\=2也_/=2,4-/，

2

于是，S^ABC=-\AB\-d=-x2^-dxd=~,得相=3或6/2=4,

X22555

若取/=乎，则［=勺5,此时有了m2解得〃z=:或〃?=-2，

55#+（-〃?）2522

若取才=¥,则］=垣，此时有+H二=¥，解得加=2或机=一2,

故答案为：g（答案不唯一）.

221

11.设椭圆£：・+£=1（。〉6〉0）的离心率为5,其左焦点到P（2,D的距离为所.

⑴求椭圆E的方程；

（2）椭圆E的右顶点为。，直线/：y=Ax+s与椭圆£交于A,8两点（A5不是左、右顶点），若其满足

DADB=Q，且直线/与以原点为圆心，半径为之的圆相切；求直线/的方程.

第14页共29页

【解析】⑴由题意可知，椭圆的焦点位于X轴上，即椭圆的左焦点为月（-C,。），

因为左焦点到P（2,l）的距离为M，

所以|P周=J（2+cy+（l_0）2=质，即（2+C『=9,解得c=l或c=—5（舍）,

又因为椭圆E的离心率为-,

2

C111

所以e=—二—,即—=—,解得a=2,

a2a2

所以b2=a2—c2=3，

22

故所求椭圆E的方程为土+匕=1.

43

⑵由题可得。（2,0）,设（松为），

j22

由彳〉=去+加彳+\=1,消去y,得（3+4左2）/+8m^+4机2-12=0,

所以A=-4（3+4fc2）（4w2-12）>0,即3+4/一苏>0,

8mk4m2-12

所以玉+%=—

3+4左2'*%-3+4左2

24m2-12（8mk23〃/-12左2

所以X%=（g+机）（仇+机）=左2%%2+加（％1+%2）+机2=K•——--^-+km\-+m=-------

3+4/3+4左2

因为DADB=O>

所以（七一2,%）・（%2—2,%）=石工2-2（%+九2）+4+X%=。，

222

4m-12.（8nlk）.3m-12k,art。._za,„2k

所以2d.2-2,-T-—77+4+2=0，即7帆+16征+4左2=0,角牛得m=-2k或rn=一--,

满足3+4左2—机2>0,

当根二一2左时，/:y=Ax-2左过点。，不合题意，

所以加=一半①,

又直线/与以原点为圆心半径为-的圆相切，

7

Iml1

所以/2=亍②，

Jl+k27

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联立①②,解得＜k=与m=一挈或"=-y-m=呼，

所以直线/的方程为y=l—空或y一叵x+空.

321-321

221

12.已知椭圆C：=+:=l(q〉b〉O)的离心率为不，且椭圆上动点尸到右焦点最小距离为1.

ab~2

⑴求椭圆C的标准方程；

(2)点M,N是曲线C上的两点，。是坐标原点，|MN|=20',求WON面积的最大值.

［解析］⑴依题意，［e=-=^-a-c=la1=b2+c2,解得3=26=6，

［Q2I

22

所以椭圆C的标准方程为土+匕=1.

43

(2)①当MN斜率不存在时，即直线MNYx轴，不妨设M"吟,则|引=孚，

.闯=白2代写=手；

②当直线MN斜率存在时，设直线MN方程为y=+m,

(22

由=ly=kx+m,得(4左2+3)Y+8Amx+4〃/-12=0,

贝I]A=（8M2-4（4A:2+3）-（4m2-12）=48（4^2-m2+3）＞0,

设"（七，乂），N（x,y）,则x+x=-nW-12

22l2二

4k+31248+——37------

所以|MN|=+k2+少了-4%%2

P8kmY4（4疗-]2）

=2五,

4k2+3）4左2+3

即即=4r+3-0：+9.

6（^2+1）

记原点。到直线MN的距离为d,

24/+3（止+3）2（4/+3）.（2/+3）

则d~=

lc+\6位+1）26（如+1）2

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14左2+3+2/2+3)

-6(.+,-=2

(当4左2+3=28+3,即左=0时取等，验证满足题意)

所以S：IMNI&；x2日后省,

又因为豆＞半，所以5.恤取最大值为色.

4-2t1

注：求d2的最大值还可以这样处理，设4、p虫=4-—1—43,4),则d2=t--=--1(t-3)2+q-„a-(

k+1k+16622

当/=3,即左=0时取等).

W04由变量的范围引起的分类讨论

13.已知关于尤的不等式2/-5m无+八110+1)-2..0在［0,乃］上恒成立，则实数t的取值范围是

【答案】[―1,+8)

【解析】

令/(尤)=2e'-sin%+Hn(x+1)-2,xe[0,1],

贝U/(O)=。，

由题意知，Vxe[0,/r],/(%)../(0),

f\x)—2e"—cosxH----,

x+1

令m(x)—2e*x—cosx——--,

x+1

则mf(x)=2ex+sinx------

(x+1)

①当f..O时，对任意的xe[0,乃],cosxe[-1,1],2e*..2,

则广(无)>。，此时函数〃龙)在[0,万]上单调递增，

故/(无)../(0),符合题意；

②当f<0时，〃/(%)>0对任意的xe[0,恒成立，

所以/'(%)在[0,万]上单调递增，

因为广(0)=f+l,(⑺=2^+1+—,

万+1

⑴当t+L.O,即当一L"<0时，对任意的/'(x)..O且/'(%)不恒为零,

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此时函数/(X)在［0,万］上单调递增，则/(x)../(0),符合题意；

(万)当/(0)<0且/'(万)>0,即当一("+l)(2e"+1)<t<-1时，

由零点存在定理可知，存在％e(0,万)，使得1(%)=0,且当xe［0,x0)时，f'(x)<0,

则函数〃幻在［0,%)上单调递减，所以/(尤。)</(0),不合题意；

(访)当/'(»),,。，即当-(乃+l)(2e"+l)时，对任意的xe［0㈤,r(x),,0且尸(x)不恒为零,

此时，函数f(函在［0,加上单调递减,则/"),"(0),不合题意.

综上所述，A..-1,

故实数t的取值范围是［-1,+8).

故答案为［T,E).

14.已知函数/(»=/-左sinx.

⑴当k=1,时，求/(x)的单调区间；

(2)若/⑴在区间(0,9内存在极值点外

①求实数左的取值范围；

②求证：/(元)在区间(。,万)内存在唯一的分，使/(力)=1,并比较(与2夕的大小，说明理由.

【解析】⑴当k=l时，若,/(x)-ex-sinx,贝l|f'(x)=-cosx>1-cosx>0,

所以，函数/(x)的增区间为，无减区间.

JI/

(2)①因为0<x<一,r(x)=ex-左cosx=cosx(---------k),

2cosx

.ex4।八九、ex(cosx+sinx)八

令g(x)=-------,其中0<x<一,则g(x)=-------------2--------->0，

cos九2cos兀

所以，函数g(x)在fo,1l上单调递增，

作出函数g(x)与y=k的图象如下图所示：

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由图可知‘当％"】时,对任意的xe°曰,小)=3x(3-左)>。,

则函数于⑺在°，］上为增函数，不合乎题意;

当k>l时，由图可知，直线y=k与函数g(x)的图象有且只有一个交点，设交点的横坐标为a,

ex

当Ovxvc时，/X%）=cosx（------左）vO,

cosx

jre"

当a<x<—时，r（%）=cos%（------k）>0,

2cos%

此时函数/(x)在°，，只有一个极值点，且为极小值点,

综上所述，实数上的取值范围是(L+8)；

②要证明存在唯一的0GQ,兀),使得/(分)=1,

令m(x)=f(x)-l=ex-ksinx-l,只需证明存在唯一的0e(O,兀),使得加(£)=0,

因为mr(x)=ex-kcosx=ff(x),

由①可知，函数m(x)在(0,。)上单调递减，在(私会)上单调递增，

兀

又当—<X<7T时，〃z'(x)="-后COS无>0,

所以，函数rn(x)在(0,«)上单调递减，在(口,万)上单调递增，

当0<x<cr时，m(x)<m(0)=0,且m(a)<m(0)=0,

又因为〃7(%)=e"-l>0,所以，函数m(x)在(0,。)内无零点，在(％万)内存在唯一零点,

即存在唯一的4口0,乃)使得砥0=0,即/(/?)=1,

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由①可知，e"=左cosa>l，

所以，m(2a)=e2a—ksin2a-1=e2a—2ksinacosa-1=e2a—2easina—1,

jr

令h(x)=e2x-2exsinx-1,其中Ovxv^,

则hr(x)=2e2x-2ex(sinx+cosx)=2ex(ex-sinx—cosx),

冗

令夕(无)=e"-sinx—cos尤，其中0<x<一，

2

贝ljp'(x)=ex-cosx+sinx>1-cosx+sinx>0,

所以，函数0(X)在f0,^1上为增函数，故当Ovxv^l时，p(x)>p(0)=0,

故当0<x<W时，〃。)>0,所以，函数Mx)在1^0,IJ上为增函数,

TT

因为0<a<—,m(2a)>0,所以，m(2a)>=0,

2

因为m(x)在