2025年高考数学新高考情景下的结构不良问题

新高考情景下的结构不良问题

e-----------题型归纳•定方向-----------*>

目录

题型01解三角形结构不良.......................................................................1

题型02数列结构不良...........................................................................3

题型03立体几何结构不良.......................................................................5

题型04圆锥曲线结构不良.......................................................................8

♦>-----------题型探析•明规律----------*>

题型01解三角形结构不良

【解题规律•提分快招】

工厂;，结柝示直间版函廨藤链昭--—————

（1）题目所给的三个可选择的条件是平行的，无论选择哪个条件，都可解答题目；

（2）在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分,

但计算要细心、准确，避免出现低级错误导致失分.

二、“正弦定理”与“余弦定理”的选用策略

在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某

个定理的信息.

（1）如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；

（2）如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；

（3）以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.

三、“边化角”或“角化边”的变换策略

（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；

（2）若式子中含有a、b、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；

（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；

（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；

（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；

（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.

1

【典例训练】

一、解答题

1.(2024・北京•三模)在VN8C中，J叵,cosA=—.

a510

(1)求证：V/3C为等腰三角形；

(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使V/3C存在且唯一，求6的值.

JT15

条件①：NB=g条件②：V/5C的面积为:；条件③：边上的高为3.

2.(2024・四川宜宾・二模)在VABC中，角4'C所对的边分别是a,6,c,在下面三个条件中任选一个作为

条件，解答下列问题，三个条件为：

①26cos/=ccos/+acosC；②asiiifi=;③cosC+(cosB-cos/1=0.

(1)求角A的大小；

⑵若。=V7,6+C=4,求6c的值.

3.(2024・全国•模拟预测)在①(2-sin/)cos_8-l=cos/sin8-2cos_8sinC；②(2a-c)cos8=6cosC两个

条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.在V/8C中，角/,B,C所对的边分别是a,b,

(1)求角B的大小：

(2)若点。在3c的延长线上，且BD=2BC,AD=3,求V4BC面积的最大值.

4.(2024•四川南充・三模)已知函数/'(x)=4cos[x-t)sinx-2sin]-；+2xJ-l.

(1)求函数〃无)的单调递增区间；

(2)在VN8C中，a,b,c分别是角/、B、C所对的边，记V4BC的面积为S,从下面①②③中选取两个作

为条件，证明另外一个成立.

①/(N)=l；②S=—ab；③°2=b2+bc.

2

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

5.(2024・全国•模拟预测)已知V4BC中，内角4民。的对边分别为。，瓦c,且

2

75acosC-43bcos2A=也asinZsinB-csin4•

(1)求角/；

(2)若a=V7,角/的平分线交边3C于T,在下列三个条件中选择一个作为已知，求N7.

①就.瓦5=-3;②点/在以民C为焦点的椭圆更+.=1上；③V/3C的面积为逆.

2592

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

题型02数列结构不良

【解题规律•提分快招】

二丁薮制而的结构不直向函一「

1.“结构不良问题”：题目所给的三个可选择的条件是平行的，即无论选择哪个条件，都可解答题目，而且,

在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分.

2.数列求和的常用方法：

(1)对于等差等比数列，利用公式法直接求和；

(2)对于｛%"｝型数列，其中｛%｝是等差数列，｛4｝是等比数列，利用错位相减法求和；

(3)对于｛%+，｝型数列，利用分组求和法；

(4)对于型数列，其中｛4｝是公差为d(dwO)的等差数列，利用裂项相消法求和.

^anan+l_

3.常见的裂项公式：

1_1M__

")"(〃+后)k\nn+k)'

1一1______

⑵(2〃—1)(2〃+1)一式2〃—1—2〃+1「

111

(3)---------------=----------------------；

〃(〃+1乂〃+2)2++

(4)------------—F=-1/--------=!(-，?+♦〃+：)；

7n+'n+kkv7

2n11

(s)----------------------

(2"-1)(2H+1-1)T-12,,+1-l'

3

【典例训练】

一、解答题

S73

1.（2024•广西贺州一模）在①星-3%=0,②&=14,③”二石这三个条件中任选一个，补充在下面的

问题中，并解答.

设｛4｝是递增的等比数列，其前〃项和为S“，且电=4,.

⑴求｛4｝的通项公式；

⑵若数列低｝满足“a偶数,求数列低｝的前2〃项和凡.

（注：若选择多个解答，按第一个解答计分）

2.（2024•全国•模拟预测）已知正项数列｛%｝满足q=L

（1）从下面两个条件中任选一个作为已知条件，求数列｛%｝的通项公式;

条件①：当〃N2时，an-an_x=2M-1；

条件②：数列｛«｝与，均为等差数列；

⑵在（1）的基础上，设S.为数列的前〃项和，证明：S„<^.

注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

3.（2024•青海西宁・二模）已知数列｛%｝,.请从下列两个条件中任选一个，补充在上面的

问题中并解答.（注:如果选择多个条件,按照第一个解答给分.）①数列｛%｝的前〃项和为E,=2%-2（〃6N*）;

②数列｛0“｝的前〃项之积为/=2的罗（«eN,）.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）令4=%+log2an,求数列也｝的前"项和北.

3

4.（2024•陕西西安・模拟预测）在①％=1,4%，为成等比数列，②出+。4=6,③2%=6,

i=l

这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答.

Z=1

问题：已知数列｛4｝是公差为正数的等差数列，.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

4

⑵数列的前〃项和为s“，对任意的〃wN+有加-3<S,〈加恒成立，求机的取值范围.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

5.(2024•四川德阳•三模)已知｛%｝是等差数列，也｝是等比数列，且也｝的前〃项和为

S“2—(%-%)，在①4=4电-4)，②%=5“+2这两个条件中任选其中一个，完成下面问

题的解答.

⑴求数列｛%｝和也｝的通项公式；

⑵设数列［去］的前〃项和为Tn,是否存在机,〃eN*,

使得北=品若存在，求出所有满足题意的也"；若不

存在，请说明理由.

6.(2024•广东广州•三模)已知数列｛%｝的各项均为正数，的>%，记E为｛%｝的前〃项和.

(1)从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.

①数列｛2｝是等差数列；②数列是等差数列；③。2=2%.

⑵若q=1,在(1)的条件下，将在数列｛的,｝中，但不在数列｛2%｝中的项从小到大依次排列构成数列他,｝,

求数列也｝的前20项和.

题型03立体几何结构不良

【解题规律•提分快招】

二厂空商向毫写王徐冗标的泰廨虫式

(1)异面直线成角：设0,6分别是两异面直线3/2的方向向量，则/1与72所成的角6满足：cos。=照;

同向

(2)线面成角：设直线/的方向向量为°,平面a的法向量为〃，。与〃的夹角为£,

则直线I与平面a所成的角为。满足：sin0=|cos川="川.

\a\\n\

(3)二面角：设“1，〃2分别是二面角a—/一£的两个半平面a,£的法向量，

则两面的成角。满足：COS8=COS〈”1,“2〉="1"2；

|m|MI

注意：二面角的平面角大小是向量如与物的夹角或是向量m与改的夹角的补角，具体情况要判断确定.

(4)点到平面的距离：

5

如图所示，已知为平面a的一条斜线段，〃为平面a的法向量,

则点8到平面a的距离为：|防尸擘川，即向量前在法向量〃的方向上的投影长.

二、几种常见角的取值范围

①异面直线成角G(0,手；②二面角口0,兀]；③线面角G[0,1]；④向量夹角d[0,K]

三、平行构造的常用方法

①三角形中位线法；②平行四边形线法；③比例线段法.

四、垂直构造的常用方法

①等腰三角形三线合一法；②勾股定理法；③投影法.

五、用向量证明空间中的平行关系

(1)线线平行：设直线/1和，2的方向向量分别为VI和V2,则/1〃仅或/1与/2重合)OV1〃V2.

(2)线面平行：设直线/的方向向量为v,平面a的法向量为小贝心〃a或/Ua=vJ_M.

(3)面面平行：设平面a和.的法向量分别为由,"2,贝Ua〃夕〃“2.

六、用向量证明空间中的垂直关系

(1)线线垂直:设直线和/2的方向向量分别为VI和V2,则20Vl_LV2=V「V2=O.

(2)线面垂直：设直线/的方向向量为v,平面a的法向量为w,则/_La="〃w.

(3)面面垂直：设平面a和£的法向量分别为in和02,则a，pO"i_L"2Q〃[a2=0.

七、点面距常用方法

①作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；②等体积法；③向量法

一项丽菊

一、解答题

1.(2024•北京西城•二模)如图，正方体的棱长为2,£为8c的中点，点M在8口上.再

从下列三个条件中选择一个作为已知，使点M唯一确定，并解答问题.条件①：MA=MC；条件②：EM1AD；

条件③：£必//平面CD2G.

aG

(1)求证：M为8。的中点;

6

⑵求直线EM与平面MCD所成角的大小；

（3）求点E到平面MCD的距离.

注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解

答计分.

2.（2024•北京东城•一模）如图，在五面体48CDE/中，底面N8CD为正方形，AB=4,EF=\.

EF

⑴求证：AB//EF；

⑵若7/为。的中点，W为■的中点，EM1BH,EM=273，再从条件①、条件②这两个条件中选择一

个作为已知，求直线C尸与平面NDE所成角的正弦值.

条件①：ED=EA；

条件②：AE=5.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分

7T

3.（2024•江苏镇江•三模）如图，三棱锥尸-中，NABC=—,AB=BC=2,PA=PB,。是棱N8

2

（1）下面有①②③三个命题，能否从中选取两个命题作为条件，证明另外一个命题成立？如果能，请你选取

并证明（只要选取一组并证明，选取多组的，按第一组记分）；

①平面PAB_L平面ABC；

②DEJ.AC；

③尸E_L/C.

2

（2）若三棱锥尸-/8C的体积为:，以你在（1）所选的两个条件作为条件，求平面尸DE与平面P8C所成二

面角的大小.

4.（2024•河南开封•三模）已知四棱锥尸-48C。的底面N8CD是正方形，给出下列三个论断：①PC=PD；

7

@AC1PD；③HD/平面P/C.

(1)以其中的两个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题，并证明;

⑵在(1)的条件下，若尸/=1,求四棱锥P-48cZ)体积的最大值.

5.(2024•北京•三模)如图，在四棱锥尸-N8CD中，底面N3CD是边长为2的菱形，ZABC=60°,PA=PC,

M为尸/中点，PC=3NC.

(1)设平面尸48c平面尸CD=/,求证：ABHI；

(2)从条件①，条件②，条件③中选择两个作为已知，使四棱锥尸-/3C。存在且唯一确定.

(i)求平面AGVD与平面N8CD所成角的余弦值；

(ii)平面跖忆＞交直线尸8于点。，求线段尸。的长度.

条件①：平面PNC,平面48CD；

条件②：PB=PD；

条件③：四棱锥的体积为速.

题型04圆锥曲线结构不良

【典例训练】

一、解答题

1.(2024・辽宁・模拟预测)已知定点厂(1,0),动点N在直线/:x=-l上，过点N作/的垂线，该垂线与M的

垂直平分线交于点7,记点T的轨迹为曲线E.

⑴求E的方程；

⑵已知点动点45在£上，满足且与x轴不垂直.请从①尸在£1上；②4民0

8

三点共线；③5-7=4/+〃=0中选取两个作为条件，证明另外一个成立.

注：如果选择不同的组合分别解答，按第一个解答计分.

2.（2024・全国•模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知圆N：（x-2『+/=4,点8（—2,0）,点尸为圆

/上任意一点，线段的垂直平分线和半径NP所在直线相交于点。，当点P在圆上运动时，点。的轨迹

为C

⑴求C的方程.

（2）斜率存在且不为0的直线/与C交于N两点，点。在。上.从下面①②③中任选两个作为已知条件，

证明另外一个成立.

①DMLx轴；②直线/经过点；③D,B,N三点共线.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

22

3.（2024・全国•模拟预测）已知双曲线C:0-5=1（。>0/>0）的左、右焦点分别为昂巴，从下面3个条

ab

件中选出2个作为已知条件，并回答下面的问题：

①点P卜3a1）在双曲线C上；②点。在双曲线C上，/。片乙=90。，且|M=；；③双曲线C的一条渐近

线与直线V=3x-3垂直.

（1）求双曲线C的方程；

（2）设48分别为双曲线C的左、右顶点，过点（0,-1）的直线/与双曲线C交于两点，若»=-。，求

直线/的斜率.

4.（2024•福建漳州•一模）已知过点耳（TO）的直线/与圆巴：（xT，y2=16相交于G,〃两点，G8的

中点为E,过（汨的中点下且平行于即的直线交〃于点P,记点P的轨迹为C.

（1）求轨迹。的方程.

⑵若43为轨迹。上的两个动点且均不在V轴上，点可满足的=4刀+〃砺（2,〃eR）,其中。为坐

标原点，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.

3

①点M在轨迹C上；②直线CU与OB的斜率之积为-^；③万+/?=i.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

5.（2024•福建泉州•二模）已知抛物线C:/=2抄5>0）的焦点为尸，。为坐标原点，抛物线C上不同两点

9

A,8同时满足下列三个条件中的两个：①|£4|+|£8上|/8|；②|ONH目/0=8』；③直线N3的方程

为y=6p.

(1)请分析说明a3满足的是哪两个条件？并求抛物线。的标准方程；

⑵若直线经过点"(0,⑼(加>0),且与(1)的抛物线C交于4,8两点，N(0,〃)，若ZMNA=NMNB,

求气的值；

n

(3)点4B,E为(1)中抛物线C上的不同三点，分别过点4B,£作抛物线C的三条切线，且三条切线

两两相交于"，N,P,求证：△M7VP的外接圆过焦点?

舱-----------题型通关•冲高考-----------*>

一、解答题

1.(2024•北京・高考真题)在VA8C中，内角4瓦。的对边分别为见瓦。，/Z为钝角，a=7,

•。D石>D

sin2B=——bcosB•

7

⑴求//；

(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得V45。存在，求V/5C的面积.

条件①：6=7；条件②：COS8=¥；条件③：csin^=1V3.

142

注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解

答计分.

2.(2024•江西宜春•三模)在VA8C中，设角/,B,C所对的边分别为a,b,c.已知C=120。，V4BC的

周长为15,面积为”生.

4

(1)求V/8C的外接圆面积；

(2)设。是边45上一点，在①CD是边48上的中线；②CD是NNC5的角平分线这两个条件中任选一个，

求线段CD的长.

3.(2024・北京•三模)已知函数f(x)=2A/3sincoxcoscox+2cos2cox,{co>0)的最小正周期为兀.

(1)求刃的值；

(2)在锐角VZBC中，角4B,。所对的边分别为访b,cc为/(x)在0卷上的最大值，再从条件①、条

件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围.条件①：QCOSB+6COS/=2ccosC；条

件②：2asin4cosB+bsin2Z=VJa;条件③：V45。的面积为S,且S=+’——0..注：如果选择多

4

10

个条件分别解答，按第一个条件计分.

4.(2024高三下•全国・专题练习)在①b(sin4+sinB)=(c+a)(sinC—sin/),@tanB+tanC=—，

CCQSB

(3)V3Z?sin+B

=csinB

这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.

在V4BC中，内角A,B,。的对边分别为“，b,c,且

(1)求角。的大小；

⑵已知c=7,。是边4g的中点，且CDLC5,求CD的长.

5.(23-24高三上•浙江绍兴•开学考试)从①外,七成等差数列；②可，%+1，%成等比数列；③5=|

这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答下列问题.

已知5“为数列｛%｝的前〃项和，3S“=a“+2%(〃eN*),qwO,且.

(1)求数列｛。“｝的通项公式；

'〃为偶数

⑵记》4aV求数列｛%｝的前2〃+1项和&+i.

为1奇数

注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

6.(2024•云南昆明•模拟预测)已知各项均为正数的数列｛%｝的首项4=1,其前〃项和为5"，从①耳=2庖-1；

②S“+I+SI=2(S“+1)(〃22),且星=4；③2=£+反(〃22)中任选一个条件作为已知，并解答下列

问题.

(1)求数列｛。“｝的通项公式；

17

⑵设“=不，设数列低｝的前〃项和7；,证明：7；,<4，

(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.)

7.(2024•全国•模拟预测)记7；为数列应｝的前〃项的积，%>0,g=32,千4眄)".

(1)求q,并证明anan+2=a*.

(2)从下面两个条件中选一个，求数列仍“｝的前”项和S,.

3〃+4^73〃一1

①£=;②bn=----

n(n+I)an+iQ〃+i

11

8.(24-25高三上•北京海淀•期末)如图，在四棱锥尸-/BC。中，底面/2CO为矩形，PALAB，PA=AB=\,

AD=2,尸是尸4的中点，E在棱8c上，且斯〃平面尸CD.

(1)求证：£是3c的中点；

⑵再从条件①，条件②中选择一个作为已知，求平面跖D与平面夹角的余弦值.

条件①：平面平面48C。；

条件②：PC=®

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

9.(23-24高三•山西•阶段练习)A在三棱锥中，△BCD是等边三角形，AADB=AADC,M是BC

边的中点.

(1)求证:3C_L4D；

(2)儿勿=3,5C=2A/3，从以下两个条件中任选一个，求直线与平面/CD所成角的余弦值.①平面/3C

Ojr

与平面8C。所成二面角为牛；②三棱锥4-BCD的体积为3省.

10.(23-24高三上•山东荷泽•阶段练习)在如图所示的五面体48CDEF中，43EF共面，△/£＞尸是正三角

2兀,

形，四边形为菱形，/ABC=w，EF〃平面ABCD,AB=2EF=2,点、M为BC中点.

12

(1)在直线C。上是否存在一点G,使得平面EMG〃平面2DF,请说明理由;

(2)请在下列条件中任选一个，求平面与平面BEC所成二面角的正弦值•

①cosNBDF=—；②EM=2.

11.(23-24高三上•湖南张家界•阶段练习)如图①，在梯形中，ABHDC,AD=BC=CD=2,AB=4,

E为48的中点，A