2025年高考数学二轮复习热点题型专项突破：立体几何中垂直的证明与探究（解析版）

专题8-3立体几何中垂直的证明与探究

模块-'热点题型解读（目录）

【题型1】垂直性质的判定

【题型2】线面垂直证明

【题型3】证明面面垂直

【题型4】已知面面垂直证其他垂直

【题型5】证明异面直线垂直

【题型6】线面垂直的存在性问题探究

【题型7】面面垂直的存在性问题探究

【题型8】异面直线垂直的存在性问题探究

【题型9】存在性问题中确定动点的轨迹与最值

模块二核心题型•举一反三

【题型1】垂直性质的判定

基础知识

部分问题可以转化为一个正方体的棱、面等，进而进行排除

【例1】（2024•四川成都・三模）已知直线/、加、〃与平面a、B,下列命题正确的是（）

A.若/_L〃，mVn,则/〃冽

B.若l〃B，则

C.若/_La,Um,则？w//a

D.若a{\p=m,/_!_〃？，则/_L。

【答案】B

【分析】对于A,由只需之间的位置关系即可判断；对于B,由面面垂直的判定即可判断；对于C,

由线面位置关系即可判断；对于D,由面面垂直的性质即可判断.

【详解】对于A,若/_1_〃，mLn,则/，加平行、相交或异面；

对于B,若/〃则存在使得//〃|,又因为/_La,,而《up,所以a_LQ,故B

正确；

对于C,若/_La,Z±m,则加//a或〃zua,故C错误；

对于D,若C",a^/3=m,I,且如果/不在a内，则不会有/，夕，故D错误.

【例2】（多选题）（2021年全国新高考II卷数学试题）如图，在正方体中，。为底面的中心，尸为

所在棱的中点，M,N为正方体的顶点.则满足MNLOP的是（）

【答案】BC

【解析】设正方体的棱长为2,

对于A,如图（1）所示，连接ZC,则施V//4C,

故ZPOC（或其补角）为异面直线。尸，儿w所成的角，

1/?

在直角三角形。尸C,oc=V2,CP=\,故tan/POC=T=",

故MNJLOP不散立,故A错误.

对于B,如图（2）所示，取NT的中点为。，连接尸。，OQ,则OQ_LNT,PQ1MN,

由正方体S3CM-N4Z）T可得5N_L平面④VDT,而OQu平面力VDT,

故SN1OQ,品SNCMN=N,故。。工平面MV7M,

叉MNu平曲SNTM,OQLMN,而00nPQ=。，

所以肱V_L平面OP0,而POu平面。P0,故MN人OP,故B正确.

对于C,如图（3）,连接即，则BD//MN,由B的判断可得。尸，80,

故0PLMN,故C正确.

对于D,如图（4）,取4）的中点。，的中点K,连接/<?,尸。,。。,「陌。犬，

则ACHMN,

因为DP=PC,故PQHAC,故PQ//MN,

所以ZQPO或其补角为异面直线P0MN所成的角，

图(4)

因为正方体的棱长为2,故PQ=；AC=也,OQ=yjAO2+AQ2=V1+2=73,

PO==QO-<PQ2+OP2,故N0P0不是直角，

故尸O,AW不垂直，故D错误.

【例3】（2024•广东佛山•一模）（多选）已知直线。，6与平面a,B,Y,能使的充分条件

是（）

A.«1/,01yB.ally,01y

C.aC/3=b,联j_t，auaD.allb,b1,aua

【答案】BD

【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系，逐一判断，即可得到结果.

【详解】对于A:al/,/3Ly,a,6也可能平行，故错误；

对于B：若a///,/?!/,则正确；

对于C：aC/3=b,alb,«<=«,由线面垂直的判定定理可知。不一定垂直于£,故也不一

定垂直，故错误；

对于D:由a//6,bS./3,可得：aL/3,再由aua,可证c_L",故正确.

【例4】设机、”是两条不同的直线，a、尸是两个不同的平面，给出下列命题：

①若加_La,nila,贝！）加_L〃.②若加，nlla,贝

③若加_La,alip,则④若加_La,mL（3,则a〃/7.

其中正确命题的序号是（）

A.①③④B.②③④C.①②④D.①②③

【答案】A

【分析】

利用线面平行、线面垂直的性质可判断①；根据已知条件判断线面位置关系，可判断②；利用线面

垂直和面面平行的性质可判断③④.

【详解】对于①，若M/a,过”作平面使得ac0=a,

因为“〃a,nu/3,ac(3=a,则"〃a,因为加_La,aua,则机_La,故①对;

对于②，若nlla,则“//a或机ua或加、a相交（不一定垂直），②错;

对于③，若加_La,OLII/3,则zn_L/7,③对；

对于④，若加_La,mV/3,则a〃/?,④对.

【例5】设加、〃是两条不相同的直线，a、月是两个不重合的平面，则下列命题错误的是（）

A.若nll/3,all/3,则

B.若nlla,,则aJ■尸

C.若掰、〃是异面直线，mua,mlIB,nu。,nila,则a〃£.

D.若见_L〃，机_L〃，则〃〃夕

【答案】D

【分析】利用线面平行和线面垂直的性质可判断A选项；利用线面平行的性质和面面垂直的判定定

理可判断B选项；利用线面平行和面面平行的判定定理可判断C选项；根据已知条件直接判断线面

位置关系，可判断D选项.

【详解】对于A选项，因为加，a,alip,则能，夕，

因为过直线”作平面7,使得6n7=。，则出/〃，如下图所示：

因为冽_L6，auB,则〃?_La,故机J_〃，A对；

对于B选项，因为〃〃a,过直线“作平面/,使得ec/=。，则a〃“，如下图所示:

因为〃_1_0，则。_1_夕，因为aua,则a_L£,B对；

对于C选项，因为M/a,过直线“作平面/,使得acy=a,则〃＞，如下图所示:

因为alln,"u/?,a<x/，则a//£,

又因为加、"是异面直线，alIn,且auc,mc«,

假设a〃加，则,与已知条件矛盾，假设不成立，故加、。相交,

又因为小///?,因此，alip,C对；

对于D选项，若用_L〃，m±/3,则"〃月或"u〃，D错.

【例6】（2024•贵州遵义•二模）已知平面a,⑸？满足a,⑸速，4a,乙下列结论正确的是（）

A.若直线/La,贝肝〃6或"//

B.若直线///a,则/与£和/相交

C.若lua,贝I"，?，且

D.若直线/过空间某个定点，则与46,7成等角的直线/有且仅有4条

【答案】D

【分析】根据给定条件，作出正方体，举例说明判断ABC;利用正方体的体对角线推理判断D.

【详解】在正方体ABCD-//iGA中，平面ABCD,平面ADD{AX,平面CDDg两两垂直，

令平面48a）为平面a,平面为平面£,平面CDAG为平面/,

对于A,直线DD]_La,DD、u仇DD、uy,当/为直线时，lu/3,luy,A错误；

对于B,同耳〃a,当/为直线44时，////,B错误；

对于C,ABua,当/为直线48时，lUy,C错误；

对于D,在正方体/8CD-48]GA中，直线/C]，4G8A，8Q相交于点。，

它们与平面ABCD,平面ADDXA,,平面CDD6所成的角都相等，

而正方体过其中心的直线有且只有4条直线与该正方体各个面所成的角相等，

过空间给定点作直线平行于直线4G及九为0之一，所得直线与与区尸,7所成角相等，

因此直线/过空间某个定点，与劣尸成等角的直线/有且仅有4条，D正确.

故选：D

【巩固练习1】（2024・广东惠州•一模）己知/、〃是两条不同的直线，a、£是不重合的两个平面,

则下列命题中正确的是（）

A.若a〃夕，Iua,nu0,贝（J/〃“B.若a_L夕，/ua,贝!J/J■"

C.若/〃a,al/3,贝D.若/La,1\\J3,则C?

【答案】D

【分析】在A中，/与〃平行或异面；在B中，/与尸相交、平行或/u〃；在C中，/与尸相交、平

行或/u£；在D中，由面面垂直的判定理得a，？。

【详解】由/、〃是两条不同的直线，a、尸是不重合的两个平面，知：

在A中，若a〃6，/ua,nu°,贝卜与〃平行或异面，故A错误；

在B中，若/ua,贝I/与月相交、平行或/up,故B错误；

在C中，若/〃a,al/3,贝I]/与£相交、平行或/u〃，故C错误；

在D中，若翻尸，则由面面垂直的判定理得a，尸，故D正确.

【巩固练习2】（2024•黑龙江•模拟预测）（多选）设a,6表示两条互不重合的直线，«,。表示两

个互不重合的平面，则下列命题正确的是（）.

A.aV0,b//a,all。,贝！la_L6B.aVa,allb,a_L尸，则b//月

C.aLa,bX.（3,alI[3,则a//6D.alia,allb,a10,贝（]6_L?

【答案】AC

【分析】利用线面垂直的性质，结合面面平行的性质逐项分析判断即可得结果.

【详解】对于A,aV/3,al/p,则a_La,又b//a,则a内有直线与6平行，因此:_L、，A正

确；

对于B,ala,allb,则6_La,又知a_L£,则6//月或bu£,B错误；

对于C,aYa,al1/3,则a_L〃，又知b_L£,则a//6,C正确；

对于D,由cz_L£,知a,£相交，当△为交线时，若a（Ztz,allb,得a//（z,此时bu",D错误.

故选：AC

【巩固练习3】设加,〃是两条不同的直线，4月是两个不同的平面.则下列说法错误的是（）

A.若〃7_L_La,〃,贝!Ja_L

B.若根〃”,加_La,〃〃夕，则aJ_£

C.若mLn,m〃a,n〃/3,则a〃,

D.若机〃〃，加_La,〃J■尸，则a〃/?

【答案】C

【分析】

根据空间平面间的位置关系，面面垂直、平行的判定定理判断.

【详解】对于A,由加_La,且W7_L”,得〃〃a或〃ua,又〃_1_户，则a尸，正确;

对于B,若“〃/“，mLa,nUP,过"作平面/交平面户于点直线a,如图：

由nilP得nlla,又mlln,所以mlla,又zw_La,所以”_La,

又au/?,所以a_L尸，正确；

对于C,若加_L",m//a,nlip,则a,/?可能平行也可能相交,

如图：

在长方体48CD-中，取平面4BCQ为平面戊，直线4片为直线加，

平面4M）14为平面，，直线81G为直线〃，满足加_L〃，m//a,nll/3,

而ac。=AD,错误；

对于D,若加〃加，mLa,则〃_La,又〃_L，，则a〃,，正确

【巩固练习4】（2024•湖南•三模）已知冽，〃是两条不重合的直线，/，是两个不重合的平面，下

列命题正确的是（）

A.若mlla,nll/3,allB,则加〃〃

B.若mua,nua,mllB,nll。,则a〃在

C.若加_La,加〃%a_L£,则〃_L，

D.若加，则0_1,

【答案】D

【分析】利用空间线线的关系、面面平行、面面垂直的判定定理和性质逐一判定各选项，即可得出

结论.

【详解】对于A,若〃//，all。,则〃//a或〃ua,则用，〃相交、平行、异面都有可能，A错

、口

沃；

对于B,若加烫％〃a,mlIp.nlI/3,则。与，相交或平行，B错误；

对于C,若加_La,加〃〃，则〃_La,又a_L,,则〃//，或〃u£,C错误；

对于D,由加_La,加_L〃，得〃//a或〃u〃，若〃//cr,则存在过〃的平面与a相交，

令交线为/,则〃/〃，而〃_L〃，于是/_L〃，若〃ua,而〃_L。，则。_1,，

因此a_L,,D正确.

【巩固练习5】设加，〃是空间两条不同的直线，a,，是空间两个不同的平面•给出下列四个命题：

①若加//a,nlI/3,a//p,则冽〃几；

②若a_L/7,ml/?,maa,则加//a；

③若加_L〃，m-La,a〃夕，则〃〃/；

④若a_L/?,aV\P=l,mlla,mH,则加_L〃.

其中正确命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐一分析即可得答案.

【详解】①若加//。，〃//，，a///?,则加与〃平行、相交或异面，故错误；

②若a_L〃，则加ua或加//a,又加ua,则加//a,故正确；

③若加_La,CL"0,则加_L£,又加_L〃，则或〃//，，故错误；

④假设”是加在面a上的投影，mlla,mLI,即加maa,

若。_1,，a^\/3=l,m'ua,得m'工0nm10,故正确.

【题型2】线面垂直证明

基础知识

解决思路：通过线面垂直的判定定理证明直线/与平面&垂直时，关键是在平面a内找到两条与直

线/垂直的相交直线，并证明.

步歌

第一步：证明直线/与平面a内两条相交直线都垂直.

第二步：通过线面垂直的判定定理证明直线/与平面a垂直.

第三步：通过线面垂直的性质证明直线/与平面a内的直线m垂直.

【例1】如图，在四棱锥P-48co中，平面48CD,底部48CD为菱形，E为CD的中点.

(I)求证：8£>_L平面为C；

【分析】⑴由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论:

【详解】(I)证明：因为尸/_L平面4BCD,所以；

因为底面4BCD是菱形，所以AC上BD;

因为P/n/C=Z,尸44Cu平面力。，

所以8D/平面P4c.

【例2】如图，43是圆的直径，平面为C_L面NC3,1.AP1AC.

求证：3C_L平面PNC；

【解析】因为平面以€?_1面4（75,JLAP1AC.,平面E4CC面NC5=AC,/Pu平面&C,

所以刃_L面NC8,又因为3Cu平面P8C,

所以E4_L3C,又因为是圆的直径，所以NC_L8C,

因为/Cn尸/=4/C,尸/u平面尸/C,

所以5C_L平面P/C；

【例3】（2024•四川乐山•三模）如图，平行六面体/BCD-481GA中，底面/BCD是边长为2的菱

形，且/54D=60。，必=«,/^5=/4必,小与平面，3少所成的角为45。,/。与即交于0.

证明：4。，平面48cD；

连结,

•.•底面/BCD是边长为2的菱形，AB=AD.

■：ZA{AB=ZA{AD,倒=倒，

:.'.BAi=D\.

•.,点O为线段BD中点，:.Api.BD.

•.•Z8CD为菱形，.,./C_LBD,/Cc4O=O,/C，4Ou平面A4]C,.18。_L平面yl4c

义BDu平面ABCD,，平面4/CJ■平面N3C。，

二441在平面上的射影为NC,

ZAtAO为直线44］与平面ABCD所成的角，即AAXAO=45°.

在AZ/O中，AAl=y[6,AO=^AC=yl3,ZAlAO=A5°,

AA2+OA2-AO2

cos/4/0―――t{A。=y/3.

1

22xAXAxOA

则4/=Q/

又。4nAD=O,O/u平面48cO,BDu平面48CD,

，4。_1平面48。。.

【巩固练习1】（2023•北京•高考真题）如图，在三棱锥尸-N3C中，尸/,平面/BC,

PA=AB=BC=1,PC=6

（1）求证：平面以2；

⑵求二面角/-尸C-5的大小.

【答案】（1）证明见解析

【分析】（1）先由线面垂直的性质证得P4L5C,再利用勾股定理证得尸3,从而利用线面垂

直的判定定理即可得证；

【详解】（1）因为尸/_!.平面4BC,3Cu平面48C,

所以R4_L3C,同理P/_L48,

所以&PAB为直角三角形，

又因为尸5=痴心匚源=J5,BC=\,PC=^,

所以PB'+BC?=PC'则APBC为直角三角形，故BCLPB,

又因为BC上PA,PAC\PB=P,

所以3cl平面尸48.

【巩固练习2】（2024•高三・湖北武汉•开学考试）如图，在三棱锥P-48c中,

PA=BC=2百,PC=AB=6,PB=回,ZABC=90°,D^JAC上的动点.

若40=退，求证：平面/3C；

在RtZ\/3C中，AB=6,BC=14^>,则NC=4JL

又PA=2区PC=6,所以4c2=PC、P42

由勾股定理可得△/PC为直角三角形，ZAPC=90°,

pcr-

所以tan/PAC—.....=<3,所以Z.PAC-60°

PA

在△P4£»中，因为AD=C,由余弦定理可得：

PD2=AP2+AD2-2AP-AD-cosZPAD=(2廊+(而一2X2苏Jxcos60=9

则尸£>2+402=242,所以PD，/。，

又CD=35N4CB=60°,在△DC8中由余弦定理可得：

BD2=BC2+CD2-2BC-CDcosZACB=(2厨+(3厨-2xx3gxcos60。=21,

则PD?+BD2=PB?,所以

大ADcBD=D,40u平面48C,8Du平面48C,

所以PD_L平面48c

【巩固练习3]

【题型3】证明面面垂直

基础知识

面面垂直的主要证明方法是利用线面垂直同面面垂直.

证明时，先从现有的直线中寻找其中一个平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助

线来解决.

文字语言图形语言符号语言

面面垂直判定一个平面过另一6_La]

y=aJ_/

bu/3、

个平面的垂线，则b

这两个平面垂直

【例1】（2020•全国•高考真题）如图，。为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，是底面的内

接正三角形，P为。。上一点，N/PC=90。.

（1）证明：平面为8_L平面为C；

【分析】（1）根据已知可得P/=P8=PC,进而有△尸/CGAPBC,可得

ZAPC=NBPC=90°,即P3_LPC,从而证得尸C_L平面P48,即可证得结论；

【详解】（1）连接。4。尻。。，•.•。为圆锥顶点，。为底面圆心，平面4BC,

•.•P在。。上，OA=OB=OC,:.PA=PB=PC,

•.•△48C是圆内接正三角形，：.AC=BC,A^C^APBC,

NAPC=ZBPC=90°,即P8_LPC,PAVPC,

尸/n尸8=尸，，尸C，平面尸N2,PCu平面上4C,二平面尸平面R4C；

【例2】（2023•全国甲卷•高考真题）如图，在三棱柱A8C-4耳。中，4C，平面4BC,44cB=90。.

（I）证明：平面NCG4,平面84GC

【分析】（1）由4cd.平面得4CLBC,又因为ZC，8C,可证3C/平面/CQ4,从而证得

平面NCG4，平面BCC向；

【详解】（1）证明：因为4C,平面/3C,5Cu平面4BC,

所以4c_LBC,

又因为//C5=90°,即/C/3C,

4CNCu平面/CG4,AiCoAC=C,

所以3cl平面/CC/1,

又因为3Cu平面8CC圈，

所以平面NCC14_L平面BCC[B].

【例3】如图，在四棱锥P/2CD中，底面/2C。为正方形，P/工底面/BCD,PA=AB=2,E为

线段网的中点，尸为线段5c上的动点，证明：平面/£下，平面P8C

【详解】（1）方法一：

因为P4_L底面ABCD,3Cu平面ABCD,

所以R4_L3C.

因为ABCD为正方形，所以AB上BC,

又因为24口48=/,P/u平面PAB,4Bu平面PAB,

所以8C，平面PAB.

因为/Eu平面PAB,所以/E_LBC.

因为尸/=AB,E为线段PB的中点，

所以,

义因为PBcBC=B,PBu平面PBC,5Cu平面PBC,

所以/E_L平面PBC.

又因为/Eu平面AEF,

所以平面4EF_L平面PBC.

方法二：

因为P4J_底面ABCD,尸Nu平面PAB,

p

E

AB

所以平面尸48_L底面ABCD

又平面P4Bc底面4BCD=AB,BCLAB,BCu平面ABCD,

所以平面PAB.

因为/Eu平面PAB,所以3c.

因为尸/=E为线段PB的中点，所以

因为PBcBC=B,PBu平面PBC,3Cu平面PBC,

所以NE_L平面PBC,

又因为/Eu平面AEF,

所以平面4EF_L平面PBC

解法三：建系(费时间，但是可以为第二问铺路)

因为PN_L底面ABCD,ABLAD,

以A为坐标原点，以刀,25,Q的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向,

建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,

则4(0,0,0),0(2,0,0),C(2,2,0),£)(0,2,0),尸(0,0,2),E。,0,1),

设时=®e[0,2]),则尸(2/0),

所以次=(1,0,1),万=(2,/,0),丽=(2,0,-2),元=(0,2,0),

设元=(X]，M，ZJ为平面AEF的法向量，

n-AE=0,fX+z,=0,

则｛一.所以"八n取"=2,则石=f,4=/,

n-AF=0,[2再+供=0,

则元=(T,2,f),

设而=(工2，%/2)为平面PBC的法向量，

m•PB=0,f—2z=0,

则｛一所以~:?取超=1,贝|%=0,Z2=l,

m-BC=0,12%=0,

则玩=(1,0,1)

因为五•而=V+0+t=0,所以力_L成,

所以平面4EF_L平面PBC

【例4】（24-25高三上•广东肇庆•阶段练习）如图，在四棱锥尸-N2CD中，底面48。为菱形,

ZDAB=60°,是边长为2的等边三角形，PB=瓜.

证明：平面平面/BCD.

【分析】（1）取的中点。，连接80,PO.易证。8_L4D、OPLAD,由勾股定理易证OP_L08,

根据线面垂直的判定定理可得08_L平面PAD,根据面面垂直的判定定理可证平面PAD_L平面

ABCD.

【详解】（1）取4D的中点O,连接50,PO.

所以AaoB为等边三角形.

因为。为/。的中点，所以。B_L40,B0=V22-l2=A/3.

因为是边长为2的等边三角形，所以P0=拒，

则尸笈=尸02+0§2,所以O8_LOP.

火ADcOP=O,所以。8_L平面尸40,

因为03u平面48a）,所以平面尸/D_L平面48a）.

【巩固练习1]（2022・全国乙卷•高考真题）如图，四面体4BCD中,

AD±CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E为/C的中点.

（1）证明：平面BED_L平面/CD；

【分析】根据已知关系证明得到=结合等腰三角形三线合一得到垂直关

系，结合面面垂直的判定定理即可证明：

【详解】因为/D=CD,E为/C的中点，所以/CJ_DE；

在Z\ABD和ACBD中，因为=CD,ZADB=ZCDB,DB=DB,

所以ZXABD空ACBD,所以AB=CB,又因为E为/C的中点，所以/C_LB£;

又因为DE,BEu平面BED,DEcBE=E,所以/C_L平面BE。，

因为/Cu平面/CD,所以平面8ED_L平面/CD.

【巩固练习2】（2021•全国新H卷•高考真题）在四棱锥。-中，底面/3C。是正方形，若

AD=2,0。=QA=45,QC=3.

Cl）证明：平面。40_L平面4BCD；

【答案】（1）证明见解析；

【分析】（1）取4D的中点为。，连接。。,。。，可证。平面4BCD,从而得到面。40,面Z3CD.

【详解】

Q

（1）取的中点为O,连接0O,CO.

因为Q/=QZ）,OA=OD,则

而/。=20=0，ikQ0==2.

在正方形45CD中，因为40=2,故£>0=1,故CO=后,

因为。C=3,故0c2=。。2+。。2,故AQOC为直角三角形且0OLOC,

因为。Cn/O=O,故。。，平面/3C。，

因为。Ou平面。故平面040,平面4BCD.

【巩固练习3】（2024•广东广州•模拟预测）如图，四棱锥P-/BCD中，底面A8CD是平行四边形,

△P4D是正三角形，NBAD=6Q°,PB=AB=2AD=4.

（1）证明：平面尸4D_L平面/BCD;

【分析】（1）取40中点0,连接。尸,。8,根据等比三角形可得尸0,40,由余弦定理求。2长,

再由勾股定理得03，OP,结合面面垂直判定定理证得结论；

【详解】（1）取/。中点O,连接。尸,。8,

因为△"£>是正三角形，。为4D中点，

所以尸O_L4D,且尸。=火40=6，

2

又ZBAD=60°,AB=2AD=4,由余弦定理得

222

OB=OJ4+AB-2OA-AB-cos600=l+16-2xlx4x-=l3,

2

则+=网2,故0B工0P,

因为03c40=0,08,40u平面ABCD,

所以PO_L平面48CD,又尸Ou平面P4D,

所以平面尸40_1_平面48CD

【题型4】已知面面垂直证其他垂直

基础知识

文字语言图形语言符号语言

面面垂直性质两个平面垂直，则一a-LJ3

acB=Q

个平面内垂直于交b>nb-L。

bu自

线的直线与另一个

bLa

平面垂直

【例1】（2021•全国新I卷•高考真题）如图，在三棱锥/-5CD中，平面48。_L平面3cD,AB=AD,

。为AD的中点.（1）证明：OALCD；

【分析】（1）由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可;

【详解】（1）因为=。是AD中点，所以O/_L8。，

因为OAu平面ABD,平面ABD平面BCD,

且平面4BDc平面5cz）=3D,所以。4_L平面BCD.

因为CDu平面BCD,所以。4_LCD.

【例2】（2024•广东佛山•一模）如图，在四棱锥尸-4BCZ）中，平面尸48_L平面/BCD,AB//CD,

AADC=90°，PA_LPB,PA=PB.

（1）求证：平面尸/£>_L平面PBC；

【分析】（1）利用面面垂直性质定理以及线面垂直判定定理证明即可得出结论；

【详解】（1）在底面/BCD中，因为ABUCD,ZADC=90°,所以148.

因为平面尸48_1_平面48CD,平面尸48c平面48CD=48,401^平面48。。,

所以4D_L平面P48.

又因为PBu平面尸48,所以4D_LP5.

又因为尸5_L4P,ADC\AP=A,AD,4Pu平面40尸，

所以尸5_1_平面40尸

又因为PBu平面PBC,所以平面尸4D_L平面P8C

【例3】如图，在三棱台MC—45cl.中，ABLBC,BB,1AC,平面48月4，平面/台。.

求证：平面/3C；

【解析】证明：因为平面48月4,平面48C,且平面/8与4n平面45C=/2,

又因为/B_L8C,且BCu平面43C,所以3C_L平面,

因为u平面,所以BCLBB],

又因为NC_LAB],且BCc/C=C,BC,/Cu平面，所以_L平面4BC.

【巩固练习1】（2024•广东•二模）如图，三棱柱48C-48£的底面是等腰直角三角形，ZACB=90°,

侧面/CCT是菱形，///。=60。,/。=2,平面4BCL平面/CG4.

【分析】（1）利用线面垂直的判定可得4。，平面/4G,然后利用线面垂直性质定理结合平行即可

得证.

【详解】（1）连接"G,由四边形4/CC]为菱形，得/C|_L4C,由N/C8=90。，得3CJ./C,

又平面48C_L平面4CG4,平面48CPI平面NCCM=/C,BCu面4BC,

则8C_L平面/CG4,又4。（=平面/CG4,于是3c，4C,和BCHBG,则片G_L/C,

又NC]C3|G=C1,/C|再Gu平面4BC1,因此4CJ■平面14G,又/耳u平面NB©,

【巩固练习2】（2024•陕西西安•三模）在四棱锥尸-48CD中，平面上切，平面/BCD,AB//CD,

ABIBC,DC=BC=2,AB=4.

p

AB

证明：BD1AP.

ARjr

【解析】因为DC=BC=—^2,所以BD=2亚,^DBA=-,

7116+8-2x4x2。亨=2百，所以

由余弦定理可得AD=\AB^+\BD^-2\AB\\BD\cos—二

4

AD2+BD2=AB2,则4D_L8O-

因为平面R4£>_L平面48CD,且平面P/lDc平面48cz)=4D,40u平面RID,

所以8。1平面PAD.

因为4Pu平面RD,所以8D_L4P.

【巩固练习3】（2024•高三•河南•开学考试）如图，在三棱锥尸中，。为/C的中点，平面尸

平面/3C,Zk4BC是等腰直角三角形，AB±BC,AC=PA=V2,PB=V5.

证明：PA=PC；

【解析】证明：因为V48c是等腰直角三角形，/3,8。,。为/。的中点,

所以/C_L05,/Cu平面/8C,

又因为平面尸03_L平面48C,平面尸08n平面4BC=O8,

所以“C_L平面尸08.

因为POu平面尸。5,所以/C_LPO,又。为NC的中点，

所以AP/C是等腰三角形，故PA=PC.

【题型5】证明异面直线垂直

基础知识

【方法技巧】异面直线的垂直证明如果能建系就优先考虑建系，建系法思路简单且计算量小，而几

何法如果不熟练就容易卡壳

三线合一（有等腰三角形就必用）

共面=>勾股定理（题目中线段数据多）

证明先看两直线位置关系

其他（初中平面几何学习的其他垂直证明方法）

异面n考虑用线面垂直推导异面垂直n找重垂线n在重垂线对应平面内找垂直

【例1】（2023•全国新H卷•高考真题）如图，三棱锥/-BCD中，DA=DB=DC,BDLCD,

AADB=AADC=60°,E为2C的中点.（1）证明：BCLDA-,

【分析】根据题意易证工平面从而证得3CJ_Q4；

【详解】连接/E,DE,因为£为8c中点，DB=DC,所以DEL5c①,

因为'=C8=OC,ZADB=ZADC=60°.所以CO与△48。均为等边三角形,

AC^AB,从而4E_L3C②，由①②，AECDE=E,平面/DE,

所以，3cl平面/DE,而4Du平面所以BdU.

【例2】（杭州二模）在三棱锥S-ABC中，底面△ABC为等腰直角三角

形,/S4B=/SCB=/4BC=90。.求证：ACVSB

【详解】

s

证明：取/C的中点为E,连结SE,BE,

;AB=BC,：.BELAC,

在ASCB和ASAB中，NSAB=ASCB=90°,AB=BC,SB=SB

：.ASCB*SAB,：.SA=SC,

的中点为E,：.SE±AC,

,:SECBE=E,/C_L面SBE,

■:SBu面SBE,AACLSB

法二：构造等腰直角三角形，取SB中点M,易知AM=CM,故EM_LAC

【例3】（2021•全国甲卷•高考真题汨知直三棱柱ABC-44。中，侧面44圈8为正方形，=8C=2,

E,尸分别为/C和CG的中点，。为棱4片上的点.BFL4国

（1）证明：BFLDE-,

【详解】（1）［方法一］:几何法

因为即_1_44,44〃45,所以

又因为BFcBB、=B,所以48工平面8CC4.又因为4B=5C=2,构造正方体

ABCG-4坊。。］,如图所示，

G

过E作NB的平行线分别与/G,5c交于其中点M,N,连接4M4”

因为E,尸分别为/C和的中点，所以N是2c的中点，

易证RUBCF三Rt△BXBN,则ZCBF=ZBB1N.

又因为NB&N+NB\NB=究，所以ZCBF+ZB\NB=9QP,BFL&N.

又因为即，44,4人小44=4,所以BF工平面AMNB、.

又因为EDu平面4MVB］,所以BF工DE.

［方法二］【最优解】：向量法

因为三棱柱/8C-481G是直三棱柱，底面4BC,.•.西_1_加

•••A.BJ/AB,BFLA}BX,：,BFLAB,大BB^cBF=B,ABJ,平面BCC^B一所以BA,BC,BB［两

两垂直.

以B为坐标原点，分别以胡,3。,84所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图.

5（0,0,0）,^（2,0,0）,C（0,2,0）,:（0,0,2）,4（2,0,2）,C"0,2,2）

E（l,l,0）,F（0,2,l）.

由题设。（a,0,2）（0<a<2）.

因为丽=（0,2,1）,瓦=（l-a,l,-2）,

所以BFDE=0x（l-a）+2xl+lx（-2）=0,所以BF_LDE.

［方法三］:因为A.BJIAB,所以8万_148,故而-4X=0,而.万=0,

所以丽・丽=丽•（丽+西+丽）・丽+丽•（属+画）=BF-EB+BF-BBt

=BF\一一BA一一BC\+BF-BB.=--BF-BA-—BFBC+BFBB,=-—BFBC+BF-BB,

I22J122121

=一；|旃,反卜osZFBC+|而［J函kos/FSq=-；x6x2x京+6x2x卷=0,所以BFLED.

【巩固练习l】（2024•全国新n卷•高考真题）如图，平面四边形48。中，AB=8,CD=3,AD=5。,

—2——-1—.

44DC=90°,ABAD=30）,点、E,尸满足4E=不，。，AF=-AB,将△/£尸沿M翻折至！PEP,

使得PC=4g.⑴证明：EF±PD；

p

【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得跖=2,利用勾股定理的逆定理可证得EF上4D,则

EFLPE,EELDE,结合线面垂直的判定定理与性质即可证明；

____1______________________________

【详解】由/3=8,/。=58,万=,力,方=5万，

得4E=2®4F=4,又4840=30°,在△/£/中，

16+12-2-4-2V3-y^=2,

由余弦定理得EF=-JAE2+AF2-2AE-AFcosZBAD=

所以/£?+£■/2=//2,则NEJ_EF,即EF，4D,

所以EFLPE,EFLDE,叉PECDE=E,PE、DEu平面PDE,

所以斯上平面PDE,又PDu平面PDE,

故EF_LPD

【巩固练习2]（2022•全国甲卷•高考真题）在四棱锥尸-48CD中，底面

ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP«3.

（1）证明：BD1PA；

【答案】（1）证明见解析；

【分析】（1）作DE」48于£,CF上AB于F,利用勾股定理证明ND」50,根据线面垂直的性质

可得PDLBD,从而可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证；

【详解】（1）证明：在四边形月3co中，作DEJ.AB于E,CFJ.AB于F,

因为CD//AB,AD=CD=CB=1,4B=2,

所以四边形ABCD为等腰梯形，

所以4E=BF=g,

故DE=%,BD=ylDE2+BE2=y/3,

所以AD2+B》=AB"

所以4D1BD,

因为PD_L平面48CD,BDu平面ABCD,

所以PDLBD,

又PDcAD=D,

所以8。1平面尸40,

又因为尸/u平面尸40,

所以:

【巩固练习3】（2022•浙江•高考真题）如图，已知4BCD和CDE1厂都是直角梯形，AB//DC,DCHEF,

AB=5,DC=3,EF=1,ZBAD=ZCDE=60°,二面角尸-OC-B的平面角为60。.设M,N分

别为的中点.

（1）证明：FNLAD■,

【分析】（1）过点E、。分别做直线。C、A8的垂线EG、并分别交于点G、H,由平面知识

易得FC=BC,再根据二面角的定义可知，ZBCF=6