2025年高考数学模拟试卷5（新高考全国Ⅱ卷）及答案

备战2025年高考数学模拟试卷05（新高考全国II卷）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.已知集合4={-1,0,1,2},8={小2川，则人口3=（）

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2）

2.（2-i）（l+3i）=（）

A.5+5iB.5-5i

C.-l+5iD.-l-5i

3.斜拉桥是将梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的桥，它由梁、斜拉索和塔柱三部分组成.如图1,这是一座斜

拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列.如图2,已知拉索上端相邻两个锚的间距

|阜浦（，=1,2,3,…,9）约为4m,拉索下端相邻两个锚的间距|A4JU=1，2,3,…,9）均为18m.最短拉索的锚耳,

A满足"用=84m,|Q4j=78m,以耳。4。所在直线为x轴，。几所在直线为y轴，则最长拉索所在直线的

州枣塔

W森缪运3

二:纭经衫'、苦三三姿一

丛0o桥面44oX

图2

cI62

ABD.±----

-4-4129

4.己知平面向量〃z=（4,3）,方=（2,0）,t=m+knf若（九，二"，州，贝！1k=（）

A-iB.5C.2D-1

5.2023年杭州亚运会期间,甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不

排在两端，则不同的排法种数有（）

A.1120B.7200C.8640D.14400

6.已知角名，£(0㈤，且sin(a-/?)+cos(a+/?)=0,sinasin/?=3cosacos£,贝|tan(a・。)=()

A.—2B.—C.-D.2

22

7.已知正三棱锥P-ABC的外接球的表面积为3%，若尸平面P5C,则三棱锥P-ABC的体积为（）

A.-B.—C.—D.—

634824

8.函数八%）和g（%）的定义域均为R,已知丁=〃1+3”为偶函数，y=g（x+l）+l为奇函数，对于VXGR,

均有〃x）+g（x）=f+3,则f（4）g（4）=（）

A.66B.70C.124D.144

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。

9.对于函数〃x）=-2sin,+：］+；（xeR）,有以下四种说法正确的是：（）

3

A.函数的最小值是

B.图象的对称轴是直线犬=与*（皿）

7T

C.图象的振幅为2,初相为了

4

7717T

D.函数在区间一花，一§上单调递增

10.（多选题）“堑堵”“阳马”和“鳖篇”是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术・商功》：“斜解立方，

得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖席”.一个长方体沿对角面斜解（图1）,得到一模一样的两个

堑堵（图2）,再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2）,得一个四棱锥称为阳马（图3）,一个三棱

锥称为鳖腌（图4）.若长方体的体积为匕由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖席的体积分别为匕，匕,

%，则下列选项正确的是（）

图1图2

A.K+K+%=VB.Vt=2V2

11.己知。为坐标原点，点A（-2,-l）在抛物线C:x2=_2py（p>0）上,过点8。1）的直线交抛物线C于P,Q

两点，则下列结论正确的是（）

A.抛物线C的准线方程为y=lB.直线A3与抛物线C相切

C.而•丽为定值3D.\BP\-\BQ\>\BA^

12.若实数x,>满足4炉+6盯+9>2=3,贝I]（）

A.4x+3y<2yf3B.4x+3y>-l

C.4/-6孙+9>2<8D.4x2-6xy+9y2>1

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知随机变量J服从正态分布N（4,〃），且p（J>6）=0.2,则P（2<岁<4）=.

14.已知函数〃x）=lnx+x,过原点作曲线y=/（x）的切线/,则切线/的斜率为.

15.已知圆C：x2+y2+2x-4y+3=0,直线/：G〃+2）x+（7〃—l）y+4-4m=0,若在/上总存在点M,使得

过M点作的圆C的两条切线互相垂直，则实数，〃的取值范围是.

22

16.已知椭圆C：]+4=的左，右焦点分别为《，F2,过点耳且垂直于x轴的直线与椭圆交于

A、2两点，4月、分别交y轴于尸、。两点，APQ工的周长为4.过尸?作/居A月外角平分线的垂线与

直线区4交于点N,则|。叫=.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

17.（（10分））已知数列｛4｝为等差数列，也｝是公比为2的等比数列，且出-d=%-&=2-%.

（1）证明：4=仿；

⑵若集合M=肽也=禽+4,1<冽<50｝,求集合M中的元素个数.

18.（12分）在①sinB=\/^sinA;②》（»$。+*0$8=28$3这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并

解答.

问题：设44SC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,JLsin>1+sin（B-A）=sinC,b=6，.

（1）求B；

（2）求AASC的周长.

注：若选择条件①、条件②分别解答，则按第一个解答计分.

19.（12分）据调查，某市政府为了鼓励居民节约用水，减少水资源的浪费，计划在本市试行居民生活用水

定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准x（单位：吨），月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x

的部分按议价收费.为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了“户居民某年的月均用水量（单

,并将数据制成了如图所示的频率分布直方图.

（2）若该市政府希望使80%的居民月用水量不超过标准无吨，试估计无的值；

（3）在（2）的条件下，若实施阶梯水价，月用水量不超过x吨时，按3元/吨计算，超出x吨的部分，按5

元/吨计算.现市政府考核指标要求所有居民的月用水费均不超过70元，则该市居民月用水量最多为多少

吨？

20.（12分）如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABC。是正方形，底面ABCDE,尸分别是尸C,AD

中点.

⑴求证：£>£7/平面尸FB；

⑵若AZ）=1,尸2与平面ABC。所成角为45。，求平面PEB与平面夹角的余弦值.

22

21.（12分）已知双曲线C：5-马=1（°>0,6>0）经过点尸（4,6）,且浙近线方程为'=±若了.

ab

⑴求C的方程；

⑵过点p作y轴的垂线，交直线/：x=i于点交y轴于点N.不过点尸的直线交双曲线c于4、B两点,

直线E4,尸8的斜率分别为a,k2,若匕+履=2,求沁.

葭NAB

22.(12分)已知函数〃x)=ln(x+l)-m

⑴当a=l时，求〃x)的极值；

⑵若〃x)ZO,求。的值；

(3)求证：sin--——Fsin------1-------1-sin—<ln2(nGN*

n+1n+22n'

参考答案

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

9101112

ADACDABDAD

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

31

13.0.3/—14.-+115.-2<m<1016.V17

10e

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

17.（10分）

%+d—2b、=%+2d—4bl

【详解】（1）证明：设数列｛g｝的公差为d,则

q+d_2bl-8Z?]—(q+3d)

=2Z,1

Bpf

14+2d-5%=0

解得4=4=(,所以原命题得证.

(2)由(1)知伉=4=弓，所以瓦.=a,“+%o%x2"i=%+Qw-l)d+q,

因为qwO,所以m=2〜2e[l,50],«^2<Z:<log250+2=3+log225,

由2"=15,25=32,故4<log225<5,即7<3+log?25<8,

所以满足等式的解左=2,3,4,5,6,7.

故集合M中的元素个数为6.

18.（12分）

【详解】（1）在AABC中，C=TI-A-B,

sinC=sin(A+B),

,/sinA+sin(B-A)=sinC,

sinA+sin(B-A)=sin(A+B),

贝|JsinA+sinBoosA—cosBsinA=sinBcosA+cosBsinA,

化简得sinA=2sinAcosB.

在AABC中，sinAw0,

,cosB=—.

2

又•..0v6V7l,

3

(2)由余弦定理，得/-2〃ccos3,即6+片一〃c=3.

若选①，

22

,/sinB=6sinA,即b=y/3a,^a+c—ac=39

•.ci—\,c=2,

此时AA6C的周长为3+VL

若选②，

,/Z?cosC+ccosB=2cosB,

ja2+b2-c2a2+c2-b2__1

/.bx----------------hex--------------=2cosB,即HnQ=2ocos5D=2ox—=11,

lablac2

又,*.*a2+c2—ac—3，

c=2,

此时AABC的周长为3+VL

19.(12分)

【详解】(1)•,1(0.015+0.025+0.050+0.065+0.085+0.050+0.020+0.015+0.005+a)x3=1,

1

a=-----.

300

39

•・,用水量在(9,12］的频率为0.065x3=0.195,.•.〃=鼠旃=200(户)

(2)・・•(0.015+0.025+0.050+0.065+0.085)x3=0.72<0.8,

(0.015+0.025+0.050+0.065+0.085+0.050)x3=0.87>0.8,

0.80-0.72

15+3x=16.6(吨)

0.87-0.72

(3)设该市居民月用水量最多为加吨，因为16.6x3=49.8<70,所以m>16.6,

则w=16.6x3+(m-16.6)x5<70,解得〃zV20.64,

答：该市居民月用水量最多为20.64吨.

20.(12分)

【详解】(1)设G为尸3中点，连接GErG,

又瓦尸分别是PC、AD中点，

所以GE/IBC,

22

又底面ABC。是正方形，

所以FD=GE,GE//FD,故四边形EDEG为平行四边形，则OE//FG,

由DEU平面PFB,FGu平面PFB,则。£7/平面PFB.

(2)因为P2与平面ABC。所成角为45。，所以NPBO=45。，以。为原点，构建空间直角坐标系,

由于AD=1,则尸。=。2=0,

'1五、

所以3(1,1,0),D(0,0,0),E0,-,^-，尸(g,o,o1,p(o,o,0),

\7

所以诙=o,g，3，丽=［，。，。］，丽=(1，1，-拒)，丽=［gl，。

m-DE=—y+^-z=0

令加=(%,y,z)为平面EFQ的一个法向量,则22

—►1

m•DF=—%=0

2

令尸上，即记=(0,0,-1卜

n•PB=a+b-41c=0

令为=g,"c）为平面尸-B的一个法向量，贝人—►1

n-FB=—a+b=O

2

-（0

令〃=2,即〃=2,-1,——

I2J

3755

所以卜osG”,"）1=m-n

55

即平面PFB与平面£DB夹角的余弦值上画.

55

21.（12分）

丫221U

【详解】（1）由二一与=0ny=±Zx,即'=百=>〃=3",

abaa

将尸（4,6）代入双曲线方程得郎-||=1=>/=4,62=12=9一*1；

当直线A3的斜率存在时，不妨设直线的：〉=辰+%，4（%,乂）,3（%2，%），

\y=kx+m/°、°

联立双曲线方程产。一个—Ihwc—m2-12=0,

其中左2，3,A=4左2苏—4（3—用（—机2一12）>。=毋+12—4左2>0,

2km-m2-12

123—%2123_k2

『+5=2=2kxix2+（加一6—4左）（苔+x2）—8（m—6）

易知勺+左2=

%一4/一4x{x2-4（jq+X2）+16

（2左一2）玉%2+（机+2—4%）（石+x2）-8m+16=0,

化简得"+2km—Sk2—12（k+m）+36=（m—206）（m+406）=。

所以〃i=2k+6或m=—4k+6，

当〃?=Y上+6时，直线A3过P,不符题意舍去,

故〃?=2左+6,则此时直线AB:y=k(x+2)+6,过定点。(一2,6).

如图所示，易知M(l,6),N(0,6),

DN2，

'S-NAB；力-%的\\

当直线AB的斜率不存在时，可设AB:x=f,

22_________

与双曲线方程联立，则4-匕=1n六±/3»_12,

412

可令4，,一12),3，-43/-12),

ipn-+>,二3广-12-6-J3f2-12-6

此日寸k、+k,=-------+—-------=2nt=-2,

-f-4t-4

此时A,3重合，不符题意舍去.

综上可知产=1

、ANAB2

22.(12分)

【详解】(1)当a=l时，/(%)=In(X+1)-,x>—l,

则广⑺=之一湍广篙广

当xe(-l,O)时，/'(x)<0,/(尤)单调递减,

当xe(O,+w)时