2025年高考数学核心考点数列的基本知识与概念特训（学生版+解析）

第40讲数列的基本知识与概念

知识梳理

知识点一、数列的概念

（1）数列的定义：按照二定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每二个数叫做这个

数列的项.

（2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*（或它的有限

子集｛1,2,...,»｝）为定义域的函数%=/（〃）当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所

对应的一列函数值.

（3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法.

知识点二、数列的分类

（1）按照项数有限和无限分:

递增数列：an+l>an

递减数列：a>a„

（2）按单调性来分:n+1

常数列：%=%=C（常数）

摆动数列

知识点三、数列的两种常用的表示方法

（1）通项公式：如果数列｛4｝的第"项与序号〃之间的关系可以用一个式子来表示，

那么这个公式叫做这个数列的通项公式.

（2）递推公式：如果已知数列｛外,｝的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）

开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式

就叫做这个数列的递推公式.

【解题方法总结】

n=l

（1）若数列｛4｝的前〃项和为S",通项公式为明,则。''*

〔5“一5“_|,“22,n&N

注意：根据S”求.”时，不要忽视对九=1的验证.

（2）在数列｛q｝中，若巴最大，则卜'认1,若凡最小，则卜""%.

N4+11%V。同

必考题型全归纳

题型一：数列的周期性

,、1

例1.（2024.全国•高三专题练习）在数列｛凡｝中，已知。“>0,4=1,«„+2=­T,且

4+1

"100="96，则”2022+。3=（）

AB.一好c.好D-1+逐

-i22--2~

例2.（2024•全国•高三专题练习）在数列｛%｝中,q=7,%=24,对所有的正整数〃都有

an+\=an+an+2'则"2024=（）

A.-7B.24C.-13D.25

例3.（2024•江西赣州•高三校联考阶段练习）斐波那契数列｛4｝可以用如下方法定义：

%+2=%+|+4，且4=的=1，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列｛〃｝,则数

列也｝的第100项为（）

A.0B.1C.2D.3

变式1.（2024•全国•高三对口高考）已知数列｛%｝中，％=；，%+1=1-'（"22）,贝|。刈4=

,an

（）

A.1B.-1C.2D.1

变式2.（2024•全国•高三对口高考）设函数/定义如下，数列｛%｝满足%=5,且对任意自

然数均有%+1=/（%），则Zoos的值为（）

12345

〃尤）41352

A.1B.2C.4D.5

变式3.（2024・安徽合肥・合肥一六八中学校考模拟预测）在数列｛%｝中，已知

%=2,〃2=3,当〃22时，〃〃+1是〃屋。1的个位数，则〃2023=（）

A.4B.3C.2D.1

变式4.（2024•北京通州•统考三模）数列｛%｝中，％=2,%=4,=«„（«>2）,则

%023=（）

A.-B.±C.2D.4

42

【解题方法总结】

解决数列周期性问题的方法

先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.

题型二：数列的单调性

例4.（2024•北京密云・统考三模）设数列｛%｝的前〃项和为S“，则"对任意〃eN*,

是“数列母｝为递增数列”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不是充分也不是

必要条件

例5.（2024・全国•高三专题练习）已知数列｛4｝满足4=a>0,%+i=-d+r%（"wN*）,若

存在实数乙使｛%｝单调递增，则。的取值范围是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

例6.（2024•全国•高三专题练习）已知数列｛4｝满足

*+…+墨="（"wN*）也=彳（4-1）一"2+4〃,若数列也｝为单调递增数列,则人的

取值范围是（）

A.伍+^B.g+jC.[+jD.

变式5.（2024.天津武清•高三天津市武清区杨村第一中学校考开学考试）数列｛q｝的通项

公式为为=选+九+1，则“左>-；”是“｛叫为递增数列”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.既不充分也不必要条件D.充要条件

变式6.（2024•全国•高三专题练习）已知数列｛%｝的通项公式为4=1-3而，则“；1<1”是

“数列｛4｝为递增数歹！J”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

变式7.（2024.江苏南通・高三期末）已知数列｛%｝是递增数列，且

[t,n>6

则实数f的取值范围是（）

A.（2,3）B.[2,3）C.D.（1,3）

变式8.（2024.全国•高三专题练习）已知数列｛%｝满足log?（4+1）,若｛4｝是递增数

列，则为的取值范围是（）

A.（0,1）B.（0,72）C.(-1,0)D.(l,+oo)

变式9.（2024・甘肃张掖・高台县第一中学校考模拟预测）已知数列｛%｝为递减数列，其前〃

项和S“=-/+2”+〃?，则实数机的取值范围是（）.

A.（-2,+oo）B.（-oo,-2）C.（2,+8）D.（-<»,2）

【解题方法总结】

解决数列的单调性问题的3种方法

作差比较法根据。，十一4的符号判断数列｛%｝是递增数列、递减数列或是常数列

根据包〃或为）与的大小关系进行判断

作商比较法93>0V01

an

数形结合法结合相应函数的图象直观判断

题型三：数列的最大（小）项

例7.（2024.湖南邵阳•邵阳市第二中学校考模拟预测）数列｛2〃-1｝和数列｛3〃-2｝的公共

项从小到大构成一个新数列｛4｝,数列也｝满足：b,吟,则数列也｝的最大项等于

例8.（2024.全国•高三专题练习）记5“为数列｛4｝的前〃项和，若巴=2"一，则

2

（n-3n）-log2（SH+l）的最小值为.

例9.（2024•全国•高三专题练习）已知数列｛4｝满足4=18,an+1-an=3n,则组的最小

值为_________

变式10.（2024・全国•高三专题练习）已知正项数列｛%｝满足％=1,%=64,

a„a„+2=ka1+l,若。5是｛凡｝唯一的最大项，则上的取值范围为.

（2〃-1n<4

变式11.（2024•高三课时练习）数列｛4,｝的通项公式为%==若鬼是

[~n+（a-l）n,n>5,

｛4｝中的最大项，则a的取值范围是.

变式12.（2024•北京•高三北京八中校考阶段练习）数列｛。“｝中，4=T，+lb7（"eN*）,

则此数列最大项的值是.

变式13.（2024•全国•高三专题练习）已知见=1-〃+2022（〃eN+JeR）,若数列｛风｝中

最小项为第3项，则“.

变式14.（2024・全国•高三专题练习）已知数列｛。“｝的通项公式为q,=〃-，/2+2,则氏的

最小值为.

【解题方法总结】

求数列的最大项与最小项的常用方法

(1)将数列视为函数/(X)当XG"时所对应的一列函数值，根据/(X)的类型作出相

应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出了(元)的最值，进而求出数列的最大(小)

项.

(2)通过通项公式明研究数列的单调性，利用[""""a,5N2)确定最大项，利用

[anN%

("22)确定最小项.

a

[nM4+1

(3)比较法：若有=/(〃+1)-/(")>0或%>0时也>1,则则数

列｛4｝是递增数列，所以数列｛"”｝的最小项为4=/(1);若有an+1-an=f(n+1)-f(n)<0

或%>0时4&<1,则%+1<%,则数列｛"”｝是递减数列，所以数列｛“”｝的最大项为

an

«1=/(1).

题型四：数列中的规律问题

例10.(2024.全国•高三专题练习)分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何

学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”.按照如图1所

示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第"行黑圈的个数为句,则

。7=()

/°\......第1行

。工<•A小一一一一第2行

第3行

图1图2

A.110B.128(144D.89

例11.（2024.云南保山.统考二模）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一

书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.杨辉三角也可以看

做是二项式系数在三角形中的一种几何排列，若去除所有为1的项，其余各项依次构成数

列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,则此数列的第56项为（）

A.11B.12C.13D.14

例12.（2024.全国•高三专题练习）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如

三角形数1,3,6,10,第〃个三角形数为吗3=1/+[〃.记第九个左边形数为

N（〃《）（左之3）,以下列出了部分左边形数中第〃个数的表达式：三角形数：

1131

N（n,3）=-n2+-n；正方形数：N（〃,4）=/；五边形数：N（n,5）=-n2--n；六边形

数：N（n,6）=2n2-n,可以推测N（〃,左）的表达式，由此计算N（20,23）=（）

A.4020B.4010C.4210D.4120

变式15.（2024・全国•高三专题练习）古希腊科学家毕达哥拉斯对“形数”进行了深入的研

究，若一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，则这样的数称为三

角形数，如I,3,6,10,15,21,…这些数量的点都可以排成等边三角形，.•.都是三角

形数，把三角形数按照由小到大的顺序排成的数列叫做三角数列｛凡｝类似地，数1,4,

9,16,…叫做正方形数，则在三角数列｛%｝中，第二个正方形数是（）

A.28B.36C.45D.55

变式16.（2024•全国•高三专题练习）早在3000年前，中华民族的祖先就已经开始用数字

来表达这个世界.在《乾坤谱》中，作者对易传“大衍之数五十”进行了一系列推论，用来

解释中国传统文化中的太极衍生原理，如图.该数列从第一项起依次是0,2,4,8,12,

18,24,32,40,50,60,72,若记该数列为｛%｝,贝|见必一/3=（）

A.2018B.2020C.2022D.2024

变式17.(2024・全国•高三专题练习)观察下列各式:

a+b=l；

/+〃=3；

di3+Z?3=4;

a4+b4=7;

a5+b5=11;

L

则"°+W°=()

A.28B.76C.123D.10

变式18.（2024.全国•高三专题练习）古希腊科学家毕达哥拉斯对“形数”进行了深入的研

究，若一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，则这样的数称为三

角形数，如1,3,6,10,15,21,...这些数量的点都可以排成等边三角形，.•.都是三角

形数，把三角形数按照由小到大的顺序排成的数列叫做三角数列｛4｝.类似地，数1,4,

9,16,…叫做正方形数，则在三角数列｛七｝中，第二个正方形数是（）

A.36B.25C.49D.64

【解题方法总结】

特殊值法、列举法找规律

题型五：数列的恒成立问题

例13.（2024.全国.高三专题练习）已知数列｛《｝的通项公式前”项和是

S“，对于V〃wN*,都有S.WS”贝隈=.

例14.（2024.全国•高三专题练习）已知数列｛%｝满足%=4+—1+…+=，若％2a,恒成

nn+12n

立，则实数左的最小值为.

例15.（2024•河南关B州•高三校联考阶段练习）数列｛为｝满足4-又£5（〃22,且

〃eN*）,4=2,对于任意〃eN*有2>a”恒成立，则几的取值范围是.

变式19.（2024•全国•高三专题练习）数列也,｝满足。"=r+加+2,若不等式42a4恒成

立，则实数上的取值范围是（）

A.[-9,-8]B.[-9,-7]C.（-9,-8）D,（-9,-7）

变式20.（2024.河北唐山.高三唐山一中校考阶段练习）数列｛%｝满足4=；,

“向=一一，若不等式&+幺+…+/<〃+%,对任何正整数”恒成立，则实数彳的最

4-4凡4的an+l

小值为

【解题方法总结】

分离参数，转化为最值问题.

题型六：递推数列问题

例16.（2024•全国•高三专题练习）设数列｛%｝满足%）09=0,且

%=2--2（"wN*）,则数列的前2009项之和为.

例17.（2024・全国•高三专题练习）正项数列｛6｝中，。向=号7，q=1，猜想通项公式

为an=----------

例18.（2024•广东佛山•统考模拟预测）数列｛%｝满足。用>4,a2„=2an+l,写出一个符

合上述条件的数列｛4｝的通项公式______.

变式21.（2024・全国•模拟预测）斐波那契数列由意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引

入，故又称为“兔子数列”，即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,

233,....在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数

列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列｛为｝

满足：。］=。2=1,%+2=a“+i+4”€N"）,贝5|1+。3+。5+%+。9H-----是斐波那契数列

｛4｝中的第项.

变式22.（2024•全国•高三专题练习）将一个2021边形的每个顶点染为红、蓝、绿三种颜

色之一，使得相邻顶点的颜色互不相同.问：有多少种满足条件的染色方法？

变式23.(2024•全国•高三专题练习)已知平面上有几条直线，其中任意两条不平行，任何

三条不共线.问：这些直线把平面分成多少个部分？其中有多少个部分是无界的？

变式24.(2024•全国•高三专题练习)(1)学生甲手里有一枚质地均匀的硬币，他投掷10

次，不连续出现正面的可能情形有多少种？

(2)用1,2,3,4四个数字组成一个6位数，要求不允许两个1紧挨在一起，那么可以组

成多少个不同的6位数？

第40讲数列的基本知识与概念

知识梳理

知识点一、数列的概念

（1）数列的定义：按照二定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每二个数叫做这个

数列的项.

（2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*（或它的有限

子集｛1,2,...,»｝）为定义域的函数4=/（〃）当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所

对应的一列函数值.

（3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法.

知识点二、数列的分类

（1）按照项数有限和无限分:

递增数列：an+1>an

递减数列：a>a

（2）按单调性来分:n+1n

常数列：%=%=C（常数）

摆动数列

知识点三、数列的两种常用的表示方法

（1）通项公式：如果数列｛4｝的第"项与序号〃之间的关系可以用一个式子来表示，

那么这个公式叫做这个数列的通项公式.

（2）递推公式：如果已知数列｛4｝的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）

开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式

就叫做这个数列的递推公式.

【解题方法总结】

6,77=1

（1）若数列｛4｝的前"项和为通项公式为%,则%=*

，“22,n&N

注意：根据S“求a”时，不要忽视对”=1的验证.

（2）在数列｛g｝中，若氏最大，贝门""""i,若猴最小，贝.

必考题型全归纳

题型一：数列的周期性

1

例L（2024.全国•高三专题练习）在数列｛q｝中，已知4>0,4+2-----,且

4+1

"100="96，则”2022+。3=（）

B.1+」C.gD,T+行

A.I222

【答案】C

11

1,可得5

【解析】由M一"7〃98+]_\___|_]，

0+1

“96+1

1

因为〃100二“96，所以11196,整理得+。96—1=。，

。96+1

75-11A/5-I1布-1

由于。>0,解得/，从而“98，〃100=

2为6+12。98+12

75-1

可知%6=a9S=a!00=…=%022=

2

11_、75

因为q=后5,所以〃2022+。3=3

故选：C.

例2.（2024•全国•高三专题练习）在数列｛（｝中，4=7,g=24,对所有的正整数”都有

H“+a“+2,则出024）

A.-7B.24C.-13D.25

【答案】B

【解析】由«„+i=L+an+2得a„+2=an+1+an+3,

两式相加得。“+3=-4,

…an+6=~an+3

...｛%｝是以6为周期的数列,

而2024=337x6+2,

..々2024=42=24

故选：B.

例3.（2024.江西赣州.高三校联考阶段练习）斐波那契数列｛4｝可以用如下方法定义:

an+2=an+l+册，且q=%=l,若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列抄“｝,则数

列也｝的第100项为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】由题意有4+2=%+1+4，且卬=%=1，

若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列电｝,

则4=1,b2=1,b3=2,,b&=3,b5=1,b6=0,b7=1,=1,b9=2...,

则数列｛或｝是以6为周期的周期数列，

则如=练《6+4=64=3,

则数列色｝的第100项为3,

故选：D.

变式1.（2024•全国•高三对口高考）已知数列｛%｝中，=1,«„+1=!--（«>2）,则出0“=

2an

（）

A.1B.-1C.2D.1

【答案】A

【解析】数列｛%｝中，％=；，6+1=1-，（〃22）,

,an

1I11c111

可知。2=1=-1,。3=1=2,4=1=5=%,

a?d、/

故数列｛%｝是以3为最小正周期的周期数列，

所以02014="67b<3+1=4=万.

故选：A

变式2.（2024•全国•高三对口高考）设函数/定义如下，数列｛%｝满足%=5,且对任意自

然数均有x„+i=/（4）,则花》5的值为（）

12345

〃尤)41352

A.1B.2C.4D.5

【答案】B

【解析】由对任意自然数均有=/(4),且%=5,

可得%=/(%0)=〃5)=2,x2=/(X,)=/(2)=1,=y(x,)=/(l)=4,

x4=f(x3)=f(4)=5>%=/(%)=/(5)=2,........,

所以数列卜,｝是4项为周期的周期数列，且前四项分别为2,1,4,5,

所以%2005=%50^4+1=%=2.

故选：B.

变式3.(2024•安徽合肥・合肥一六八中学校考模拟预测)在数列｛七｝中，已知

%=2,%=3,当"22时，。“+1是的个位数，则。2023=()

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【解析】因为％=2,%=3,当〃22时，。“+1是的个位数，

所以〃3=6,%=8,%=8,%=4,%=2,%=8,%=6,=8,。口=8,

%=4，

可知数列｛q｝中，从第3项开始有an+6=a„,

即当〃23时，%,的值以6为周期呈周期性变化，

又2023+6=337…1,

故出023=4=2.

故选：C.

变式4.(2024•北京通州・统考三模)数列｛4｝中，％=2,%=4,a„_A+1=«„(«>2),则

〃2023~)

A.-B.士C.2D.4

42

【答案】C

【解析】因为4=2,a2=4,an_xan+i=an（n>2）,令孔=2,则％。3=%，求得%=2,

令〃=3,则〃2〃4=。3，求得。4=;，令〃=4,则。3。5=。4，求得。5=:，

令〃=5,则。4。6=〃5，求得。6=；，令孔=6,则〃5%=〃6，求得%=2,

令n=7,则〃。68=。7，求得。8=4,........,

所以数列｛4｝的周期为6,则电023=%=2.

故选：C

【解题方法总结】

解决数列周期性问题的方法

先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.

题型二：数列的单调性

例4.（2024•北京密云•统考三模）设数列｛4｝的前〃项和为s“，贝广对任意”eN*,%>。"

是“数列电｝为递增数列”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不是充分也不是

必要条件

【答案】A

【解析】数列｛%｝中，对任意”eN*,«„>0,

所以数列｛S“｝为递增数列，充分性成立；

当数列｛Sj为递增数列时,S,>Sn_vn>2,

即S,T+a“>Si，所以。“>0,”22,

如数列-1,2,2,2,…,不满足题意，必要性不成立；

所以“对任意〃eN*,%>。”是“数列｛，｝为递增数列”的充分不必要条件.

故选：A

例5.（2024・全国•高三专题练习）已知数列｛4｝满足q="＞0,a.+|=-a；+sGeN*）,若

存在实数乙使｛%｝单调递增，则。的取值范围是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【答案】A

【解析】由｛%｝单调递增，得。用+S”＞，

由q=a＞0,得a“＞0,

・，・，>+1(〃wN*).

〃=1时，得t>a+l①,

〃=2时，得彳＞一/+勿+1,即（a—1）%＜（々+1乂〃-1）②，

若。=1,②式不成立，不合题意；

若々＞1,②式等价为，＜Q+1,与①式矛盾，不合题意.

综上，排除B,C,D.

故选：A

例6.（2024・全国•高三专题练习）已知数列｛q｝满足

与+会+…+|^=M"eN*），d=2（%-l）-/+4〃，若数列｛2｝为单调递增数列，贝IM的

取值范围是（）

A.1|,+]B,&,+-C.],+[D.]；,+4

【答案】A

【解析】由B+*+...+M=M〃eN*）可得？+墨+.••+喘=1（心2）,

两式相减可得生=1,则%=2"22,

2

当”=1时，卜1可得q=2满足上式，故a“=2"（"eN*）,

所以2=彳（2"-1）-/+4〃，

因数列也“｝为单调递增数列，即VneN*,bn+1-bn>0,

贝1］力(2向一1)-(〃+1)2+45+1)-［彳(2"-1)—"2+4“］=/1.2"_2"+3>0.

整理得见〉当J,

2n-32"一12n-35-In

令％=，则股,〃£N*,

2"2"M2"2“+I

当"W2时，C“+J>cn,当〃23时，c“+］<cn,

于是得。3=羡是数列｛%｝的最大项，即当“=3时，空」取得最大值I，从而得

o2oo

3

所以2的取值范围为｛加4>/.

O

故选：A

变式5.（2024•天津武清・高三天津市武清区杨村第一中学校考开学考试）数列｛%｝的通项

公式为。“=加+〃+1,则“左>--是“｛叫为递增数列”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.既不充分也不必要条件D.充要条件

【答案】B

【解析】由题意得数列｛%｝为递增数列等价于对任意

neN*,a“+］-a”=［左（w+lj+w+2^-（krr+n+1）=2加+左+1>0,恒成立，

即k>一二二对任意〃eN*恒成立，

因为-彳二<0,且可以无限接近于0,所以上20,

所以“人>一；，，是“｛4｝为递增数列，，的必要不充分条件，

故选：B

变式6.（2024.全国•高三专题练习）已知数列｛%｝的通项公式为。，=1-3沏，贝『"<1"

是“数列｛4｝为递增数列”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】若数列｛叫为递增数列，

则。"+i_“"=［（九+1）-34+1）］——32”）

=2rl+1—3X>0,

即3A<2n+l

由〃EN*,所以有3%<2xl+l=3=4<l,

反之，当彳<1时，an+l-an>Q,则数列｛七｝为递增数列，

所以“X<1”是“数列｛凡｝为递增数列”的充要条件，

故选：C.

变式7.（2024•江苏南通•高三期末）已知数列｛4｝是递增数列，且%

t,n>6

则实数f的取值范围是（）

A.（2,3）B.[2,3）C.D.（1,3）

【答案】C

（3——8,n<6

【解析】因为%=l〃6「，伍"是递增数列，

t,n>6

3—/〉0

所以”>1,解得9<r<3,

（3-z）x6-8<r

所以实数，的取值范围为[S,3],

故选：c

变式8.（2024・全国•高三专题练习）已知数列｛%｝满足q+I=log2（4+1）,若｛4｝是递增数

列，则4的取值范围是（）

A.（0,1）B.（0,72）C.（-1,0）D.（l,+oo）

【答案】A

【解析】因为｛4｝是递增数列，所以。“<。用，即见<log2（a,+l）.

如图所示，作出函数V=x和y=log2（x+l）的图象，

由图可知，当xe（O,l）时，元<log2（x+l）,且log2（x+l）«0,l）.

故当4«0,1）时，4<log2（4+l）=%,且出《。」）,

依此类推可得可<%<。3<…，

满足｛%｝是递增数列，即4的取值范围是（0,1）.

变式9.（2024.甘肃张掖.高台县第一中学校考模拟预测）已知数列｛4｝为递减数列，其前〃

项和=-/+2〃+m，则实数机的取值范围是（）.

A.（-2,+oo）B.（-oo,-2）C.（2,+8）D.（-oo,2）

【答案】A

【解析】因为。计i-4<0,所以数列｛风｝为递减数列，

当儿22时，一S=_〃2+2〃+加一］―（〃一1）+2（n—+=—2n+3,

故可知当时，｛风｝单调递减，

故｛〃〃｝为递减数列，只需满足%<q,即机>-2.

故选：A

【解题方法总结】

解决数列的单调性问题的3种方法

作差比较法根据an+-an的符号判断数列｛%｝是递增数列、递减数列或是常数列

根据—0>o或。/。）与1的大小关系进行判断

作商比较法

册

数形结合法结合相应函数的图象直观判断

题型三：数列的最大（小）项

例7.（2024・湖南邵阳・邵阳市第二中学校考模拟预测）数列｛2〃-1｝和数列｛3〃-2｝的公共

项从小到大构成一个新数列｛叫，数列也,｝满足：bn喂,则数列也｝的最大项等于

7

【答案】4/1.75

4

【解析】数列｛2〃-1｝和数列｛3〃-2｝的公共项从小到大构成一个新数列为：

1,7,13,…，该数列为首项为1,公差为6的等差数列，

所以%=6〃-5,

所以a=卡

r~i生716n+l6n一511-6n

因为％心=—x-----=亍1

所以当儿22时，&<0,即62>么>%>…，

又4〈4,

7

所以数列也“｝的最大项为第二项，其值为

1.7

故答案为：—.

4

例8.(2024•全国•高三专题练习)记S.为数列｛4｝的前〃项和，若见=2"\贝U

2

(«-37i)-log2(S„+1)的最小值为.

【答案】T

【解析】依题意，数列｛。“｝是首项为1,公比为2的等比数列，则s.=E=2,-1，

3232

于是(/-3«)-log2(S„+l)=/I-3H,令b“=n-3n,

2

则有%-b,=(n+1)3-3(〃+l)2-(n3-3H2)=3n-3n-2,

显然当〃22时，3n2-3n-2>0,即%>%因此当"22时，数列也｝是递增的，

2

又4=一2也=一4,所以(n-3«).log2(S„+1)的最小值为4

故答案为：-4

例9.(2024•全国•高三专题练习)已知数列｛4｝满足q=18,a向-a,=3”，则.的最小

值为_________

【答案】9

【解析】由已知可得，«„+i=an+3n,

所以当时，有q=4_]+3(〃-1).

则有

4=18,

%=%+3x1,

a3=%+3x2,

L

。“=%+35-1),

两边分别相加可得，=%+?+,,•+61tl7+18+3x1+3x2+—1)

(〃一1)(3+3〃一3)3n(n-l)

=%+%+…++18H------------------------=〃]+%+•••+H-------------F18,

所以%=当二Q+18.

当〃=1时，6=18满足条件.

所以，3"(〃T)+]8,

〃2

%3(〃—1)183n183

所以==二---^+―=—+-----.

n2n2n2

、几/x3x183

设〃无)=万+:5'

根据对勾函数的性质可知，当0<X<26时，"》)单调递减；当x>2«时，〃元)单调递

增.

p，小3x3183，/八3x4183

又〃3)=丁+可一=9n,/(4)=—+---=n9,

所以，当〃=3或〃=4时，冬有最小值为9.

n

故答案为：9.

变式10.(2024•全国•高三专题练习)已知正项数列｛%｝满足％=1,g=64,

a„an+2=ka3,若应是｛%｝唯一的最大项，则k的取值范围为.

【解析】因为。〃。〃+2=3匕1，所以^^=女色"，又4=1,“2=64,

an+\an

所以1%4是首项为64,公比为左的等比数列，则&旦=64右T=26左"'

I%J%

则a,=•也.….Sk*2.26k"-3.….26/♦1=6“.6"””2，

an-\2

(、［224A:6>230jt10iJo

因为生是｛”“｝唯一的最大项，所以［a：〉］，即［22廉6>>隈3，解得:<人<・，

即上的取值范围为孝］

故答案为：J，坐］•

(44)

(2n-1n<4

变式IL(2024・高三课时练习)数列｛%｝的通项公式为%=2'，一二=若为是

-n+(a-l)n,n>5,

｛4｝中的最大项，则a的取值范围是

【答案】［9,12］

【解析】当"W4时，。“=2"-1单调递增,

因此〃=4时，取得最大值为%=15,

2

当"25时，an=-n+(a-l)z?=-(«-'

因为处是｛4｝中的最大项，

^1<55

所以，2一,解得94。412,

-25+5(a-l)>15

故答案为：［9,12］.

变式12.(2024.北京.高三北京八中校考阶段练习)数列｛a"｝中，%=-/+11〃(〃eN*),

则此数列最大项的值是.

【答案】30

【解析】设/1(〃)=-/+1山，则该数列当九=日■时，”■)取最大值，

又因为%=-"2+ll〃（“eN*）,而5＜万＜6,

故当〃=5或〃=6时，此数列取最大项，其值为%=30,%=30,

故此数列最大项的值是：30

故答案为：30

变式13.（2024・全国•高三专题练习）已知a“=〃2T”+20225eN+，reR）,若数列｛风｝中

最小项为第3项，贝he.

【答案】（5,7）

【解析】因为〃£）=/-拄+2020开口向上，对称轴为％=

则由题意知5;＜：t＜：7,

222

所以10（5,7）.

故答案为：（5,7）.

变式14.（2024•全国•高三专题练习）已知数列｛。“｝的通项公式为4=〃-+2,则2的

最小值为.

【答案】1-V3/-V3+1

易知数列｛4｝为递增数歹U,

所以数列｛%｝的最小项为为,即最小值为1-6.

故答案为：1-右

【解题方法总结】

求数列的最大项与最小项的常用方法

（1）将数列视为函数/（X）当XG*时所对应的一列函数值，根据/（X）的类型作出相

应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出〃尤）的最值，进而求出数列的最大（小）

项.

（2）通过通项公式““研究数列的单调性，利用22）确定最大项，利用

"T,(〃22)确定最小项.

〔%M%+i

(3)比较法：若有4书一4=/(〃+1)—/(〃)>0或。,>0时％^>。则4+1>4,则数