2025年高考数学复习热点题型专项突破：立体几何平行的证明与应用（等积变形截面探究性问题等12类题型）解析版

专题8-2立体几何中平行的证明与应用

模块-'热点题型解读（目录）

【题型1］平行关系的判断

【题型2】构造平行四边形得到平行关系

【题型3】由中位线得出平行关系

【题型4】由线面平行得出线线平行（反推找线）

【题型5】由面面平行得出线面平行

【题型6】两个平面交线相关的平行证明

【题型7】证明线线平行

【题型8】通过平行证明四点共面

【题型9】平行关系的应用：等积变形求体积

【题型10］平行的存在性问题（确定点的位置）

【题型11］平行的存在性问题（确定动点轨迹）

【题型12】截面问题（通过作平行线或延长线补全截面）

模块二1核心题型•举一反三

平行关系思维导图

序号图形展示符号语言文字语言

1垂直于同一平面的两个直线平行

12如果两条直线分别与第三条直线平行则

这两条直线平行

3线段成比例两直线平行（中位线）

4平行四边形对面平行

a_____a亡a平面外一条直线与此平面内的一条直线平

2bua•na//a行，则该直线与此平面平行

a//b

a//a一条直线与一个平面平行，则过这条直线的

任一平面与此平面的交线与该直线平行

3auB

acf3=b

Z^7a,bua一个平面内的两条相交直线与另一个平面内

的两条相交直线分别平行，那么这两个平面

acb=A

平行

4m,nu(3>=>a//[3

men=B

a//m.b//n

a///3、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，

那么它们的交线平行

5aoy—ana//b

0cy=b

a,bu/3一个平面内的两条相交直线分别与另一个平

6acb=P面平行，则这两个平面平行

Z_/na//0

a//a

b//a

a//p两个平面平行，则其中一个平面内的任意一

>na///3

7条直线与另一个平面平行

4~7aua

【题型1】平行关系的判断

基础知识

常用结论

(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a_La,小0,则a〃4

(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若a〃从p//y,则a〃y.

(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a_La,b-La,则a〃8.

(4)若a〃或，mUa,则m〃万.

【例1】(2024•山东淄博•二模)已知a,小y为三个不同的平面，a,b,/为三条不同的直线.

若口口£=/,£口7=。,月口7=瓦/〃7，

则下列说法正确的是()

A.。与/相交B.6与/相交C.a//bD.。与£相交

【答案】C

【分析】根据空间中直线与平面的位置关系逐项判断即可.

【详解】对于AB,///%/u平面e,aC\y=a,则〃/a,

同理可得///6,则AB错误；

对于C,由AB知道a//b,则C正确；

对于D,由A知道///凡。＜2平面"，/u平面?，则。//月，故D错误.

【例2】已知加、〃是两条不同的直线，。、尸、/是三个不同的平面，下列命题正确的是（）

A.若。上了,则夕//人

B.若〃2〃〃，“ua,则"3/a；

C.若皿、〃是异面直线，mua,ml1/3,nu/3,n//a,则a〃6；

D.平面a内有不共线的三点到平面户的距离相等，则a〃6.

【答案】C

【分析】利用直观想象判断直线与平面的位置关系可判断ABD;利用线面平行的性质定理与面面平

行的判定定理可判断C,从而得解.

【详解】因为/、"是两条不同的直线，a、/3、/是三个不同的平面，，

对于A,若£,月，0］丫，则7与/可能相交，故A错误；

对于B,若加〃〃，“ua,则a可能在a内，故B错误；

对于C,因为加ua,所以加0广，

又加〃所以由线面平行的性质定理可知在£内存在〃/加，

则/a,进而可得///a,

因为机，"是异面直线，nu（3,所以/与“相交，

又〃//C，所以由面面平行的判定定理得a///?,故C正确；

对于D,平面a内有不共线的三点到平面£的距离相等，则a与6可能相交，故D错误.

【例3】（多选）已知平面见£,7,R_ac/3=l,0cy=in,yca=n,则下列结论正确的是（）

A./与“可能是异面直线B.若〃/加，则加〃〃

C.若"n〃=。，则Oe/D.若a/,7两两垂直，则/,仅，"也两两垂直

【答案】BCD

【分析】利用异面直线的意义判断A;利用线面平行的判定性质推理判断B;利用平面的基本事实

推理判断C;利用面面垂直的性质、线面垂直的判定性质推理判断D.

【详解】对于A,由7=，％71a=〃，得muy,”uy,因此加与〃不可能是异面直线，A错误；

对于B,Him,ac/3=l,/3cy=m,则/ua,加Ua,于是〃3/a,

又zwu/,y\a=n,因此加〃〃，B正确；

对于C,由机Pl7z=O,得Owm,Own,由/?Iy=%,/Ia=〃，得niu0,nua,

则Oe£,Oea,又g□/?=/,因此Oe/,C正确；

对于D,令/1"17=0,在平面7内取点尸（不与点。重合），并在/内作尸。_La网_L加，

而/?I7=〃?,71cu=〃，则尸。_La,PR_L£,又aCB=1,于是/J_尸。,/_L尸及，

和PQcPR=P,则/_1_乙又加,“u/,因此/，则N0O7?是二面角£一/一£的平面角，

由aJ_/，ZQOR=90°,即《?_!_〃，因此/,m,〃两两垂直，D正确.

【巩固练习11下列关于平面平行的命题，正确的是（）

A.若T个平面内的无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行

B.若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行

C.若两个平面与同一•个平面垂直，则这两个平面平行

D.若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行

【答案】B

【分析】对A,两面相交，另一平面有无数条直线和交线平行也和该平面平行，故可判断；对B,

根据平面平行的判定定理即可判断；对C,根据墙面三个角可判断；对D,两面相交一条直线，和

直线平行的直线都平行两平面，故可判断.

【详解】对A,假设两个面相交于一条直线，则其中一个平面内有无数条直线与交线平行也与另一

个平面平行，故A不正确；

对B,根据平面平行的判定定理，可知一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平

面平行，故B正确；

对C,若两个平面与同一个平面垂直，不一定得出两平面平行，例如墙角的三个面，故C错误；

对D,两个平面与同一条直线平行，不一定能得出两面平行，例如两面相交与一条直线，存在与交

线平行的直线平行于两个面，故D错误.

【巩固练习2】设加，”是两条不同的直线，%Z?是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A.若根//“,///&,则〃//aB.若ua,“u尸，则

C.若机〃/，则机〃aD.若mlln,m,则〃_La

【答案】D

【分析】对于A,根据已知条件推出〃ua或〃〃对于B,可以推出阴〃〃或异面，对于C,可以

推出〃或加ua,对于D,根据判定定理可以得到结论.

【详解】对于A,由mlIn,mlla,则“ua或〃//a,故A错误；

对于B,alIp,m<za,nG/?,则加〃〃或加与"是异面直线，故B错误；

对于C,mlln,nap,则加〃a或冽ua,故C错误；

对于D,m!!n,mLa,则〃_La,故D正确.

【巩固练习3】已知见〃为两条不同的直线，口,「为两个不同的平面，对于下列命题正确的是（）

A.mua,nua,m〃〃B=a〃B

B.a〃=m；

C.n//m,ncam//a

D.m//a,nam//n.

【答案】B

【分析】根据面面平行的判定定理可判定A,根据面面平行的性质定理可判定B,根据线面平行的

判定定理可判定C,根据线面平行的性质定理可判定D.

【详解】选项A:由面面平行的判定定理可知，由于m,〃不一定相交，故A错误；

选项B:由面面平行的性质定理可知B正确；

选项C:由线面平行的判定定理可知，加可能在。内，故C错误；

选项D:由线面平行的性质定理可知，m,〃可能异面，故D错误

【题型2】构造平行四边形得到平行关系

基础知识

【方法技巧】构造平行四边形找线线平行

【例1】如图，在棱长为1的正方体/BCD-4耳Q2中，E、尸及G分别为棱8与、和的中

点.求证：G尸〃平面。EG；

【解析】•••在正方体N8CD-4用G3中，E,F,G分别为棱3综。2和的中点,

DF//Cfi,S-DF=CXG,

：.四边形。GG尸是平行四边形，.1C///DG,

VDGc平面。EG,G尸,平面DEG,

.•.G尸”平面DEG.

【例2】（2024•江苏南京•模拟预测）如图，四棱锥尸-/BC0中，P/_L底面NBCO,ADHBC,

AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M,N分别为线段AD,PC上一点，AM=2MD.

若N为尸。的中点，证明：MV〃平面P4B；

【解析】证明：由已知?法=2庇得4"=2,取8尸的中点7,连接/7,77V,

由N为PC的中点、知TN〃BC,

TN=^BC=2.又/。//BC,取TN//AM,且TN=AM,

四边形NMN7为平行四边形，:.MN//AT,

・・•/Tu平面P4S,MN叱平面PAB,

:.MN//平面PAB.

【巩固练习1】如图，在四棱锥P-N8CD中，底面/BCD是直角梯形，AD1AB,AB!1DC,PAL

底面A8CD,点E为棱PC的中点，AD=DC=AP=2AB=2.证明：8E//平面E1D；

【解析】在尸。上取中点G,连接/G,EG,如图:

EG//CD,JLEG=-CD,

2

又♦.•底面N8CD是直角梯形，CD=2AB,AB/1CD,

AB//GE且48=GE.即四边形ABEG为平行四边形,

:.AGIRE,

•••/Gu平面RI。，BEa平面PAD,

:.BE〃平面PAD

【巩固练习2】（24-25高三上•青海西宁•期中）如图，PA_L平面ABCD,AD1CD,ABUCD,PQHCD,

AD=CD=DP=2PQ=2AB=2,点E,尸,W分别为/尸,CD,3。的中点.求证：E尸〃平面CW

【分析】（1）连接EM,可证明四边形MEFC为平行四边形，再由线面平行的判定定理即可证得;

【详解】（1）连接EM,因为ABHCD,PQ//CD,

所以ABHPQ.又因为尸。=/2,所以四边形尸。以为平行四边形，

又因为点瓦M分别为AP,BQ的中点，所以ABHEM且4B=EM,

因为C£>=2/3,ABIICD,所以CD7EM且EM=，

又因为点厂分别为CD的中点,

所以CF//EM且EM=CF,

所以四边形MEFC为平行四边形，

所以MCHEF,

又因为E产平面CEW,MCu平面C尸A/,

所以斯〃平面CW.

【巩固练习3】如图，在正三棱柱ABC-43C中，。㈤，尸分别是8。，4G,44的中点，团=4麻,

“5C的边长为2.求证：：跖〃平面4DR4；

【解析】证明：取42的中点G,连接尸G,DG,

根据题意可得FG//8Q1,且尸G=；耳A,DE=；BD,

由三棱柱得性质知3。〃耳。|,所以尸G//5D,则四边形DGE尸是平行四边形,

所以EF//DG,

因为EF（Z面ADDXAX,DGu面ADD{A1,

所以斯//面/。24・

【题型3】由中位线得出平行关系

基础知识

涉及中点条件时考虑利用三角形中位线找线线平行.

【例1】如图，已知四棱锥尸-48CD的底面/BCD是平行四边形，M,N分别是棱P3,PC的中点,

。是棱为上一点，且尸，求证:N。//平面MCD

【解析】取PA的中点S,连接SM,SD,SC,因为M为PB的中点，

所以SMUAB,又ABUCD,所以SM//CD,故S,M,C,D四点共面,

由题意知Q,N分别为PS,PC的中点，故NQ/ISC,

又N0仁平面M2D.SCU平面MCD,因此N0〃平面MCD

【巩固练习1】（24-25高三上•广东深圳•阶段练习）如图所示，四棱锥S-43C。中，四边形/BCD是

矩形,平面SCD1平面ABCD,ZSDC=90。，点”是线段SC的中点，点N在线段跖上，且M7V，S3.

s

求证：“〃平面AffiD

【分析】（1）连接/C交AD于G,则G是/C的中点，连接MG,由中位线性质知S4||MG,根据

线面平行的判定可证S4//平面〃2。；

【详解】（1）连接NC交8。于G,则G是/C的中点，连接MG,

因为M是线段SC的中点，所以MG是AS4C的中位线，则S4||MG,

又因为平面AffiD,MGu平面MBD,所以£4//平面AffiD.

【巩固练习2】（2024•浙江金华•一模）如图，三棱锥中，40,平面3CD,

AD=DB=DC=BC,E为AB中点、,河为中点，N为。C中点.

求证：及0//平面48（7；

【分析】连EC,利用三角形中位线性质，线面平行的判定推理即得.

【详解】连EC,由W为。E中点，N为DC中袅,得MNI/EC,

入ECu平面ABC,MNa平面ABC,

所以MV//平面NBC.

【巩固练习3】已知在正四棱柱/8CD-4AG2中，AD=3,可=4,点E是3的中点，求证:

4Di//平面£8。

【分析】根据中位线的性质可得OE〃/。，由线面平行的判定定理即可证明;

【详解】连接/C,交8。于点O,则。为/C的中点，

又因为E为CD,的中点，连接0E,则OE///A,

AD]/平面EBD,OEu平面EBD,

N。"/平面EBD

【题型4】由线面平行得出线线平行（反推找线）

基础知识

解析：模型铺垫：AB〃平面B图AB〃DE

C

【例1】如图，在三棱柱/8C-481G中，侧面/CG4为菱形，侧面c54G为正方形.点/为4c

的中点，点N为48的中点.

证明：MN//平面BCCXBX

【简析】找一点和MN构成平面，该平面与平面BCG?1有2个位置确定的交点，图中去掉MN和平

面BCCB中的点后满足条件的点只有A点了，AM与平面BCCfi交于点Cl,AN与平面BCC©交

于点B,故MN〃BC],找出了平面BCG2]中和MN平行的那条线

【详解】连接/q,8G,如图所示：

因为/CG4为菱形，点/为4c的中点，所以/Gc/C=w,

又点/为ACX的中点，点N为NB中点，所以MNHBC,,

而2Gu平面BCC品,九WU平面BCCR,

所以MN〃平面BCC©.

【例2】如图，在四棱锥P-N5C。中，底面/8CD是正方形，点/在棱加上（不与端点重合），E,

尸分别是尸。，/C的中点.

证明：EF//平面尸8c.

【解析】连接8。，

因为底面NBCD是正方形，所以尸是8。的中点，

又因为£是尸。的中点，所以EF是MBD的中位线,

所以EF/IPB,

因为EFu平面PBC,PBu平面PBC,

所以EF〃平面P8C

P

【例3】（2024・浙江•一模）如图，在三棱锥尸-48C中，底面4BC是边长为2的等边三角形，尸CJ_

平面/3C,点E是尸8的中点，点尸在线段CE上且CF:跖=2:1,G为三角形/8C的重心.

求证：G尸〃平面P48

【分析】（1）根据重心性质以及线段比可知尸是△PSC的重心，再利用线段比例关系以及线面平行

判定定理可得结论；

【详解】（1）连接NG交8C于点。，由重心性质可得。是BC的中点，

又点E是尸8的中点，点厂在线段CE上且CGEb=2:1,可知/是△P5C的重心；

连接PD,可知点尸在尸。上，如下图所示：

由重心性质可得。尸：PF=1:2,DG:AG=l:2,所以G/〃P/;

又G/（z平面P48,取u平面P48,

所以GF〃平面P4B

法二：连接CG交AB于H,易证FG〃EH

【巩固练习1】（2024•山东济南三模）如图所示，PDCE为矩形，488为梯形，平面P0CE_L平面

ABCD,ABAD=ZADC=90°,4B=AD=；CD=1,PD=6.

若点胡为川的中点，证明:ZC//平面MDE；

【解析】连接PC,交DE于N,连接MN

•.・PDCE为矩形:.N为PC的中点、

在APNC中，M,N分别为我，尸C的中点

:.MN//AC,

因为MNu平面AfDE,/C6平面

所以NC//平面必£.

【巩固练习2】在直三棱柱NBC-4月G中，已知。为的中点.求证：BG〃平面48.

【分析】连接NG交4c于点。，连接OZ),利用中位线的性质可得出OZW3G,再利用线面平行的

判定定理可证得结论成立.

【详解】证明：连接/q交4c于点o,连接oz),如下图所示：

在三棱柱48C-N4G中，441伙工且/4=。弓，则四边形44GC为平行四边形,

因为/qc4c=。，则。为NG的中点，

又因为。为的中点，所以，OD//BQ,

因为8G0平面4。，ODu平面4C。，因此，BC；〃平面4CD.

【巩固练习3】(24-25高三上•福建泉州•期中)如图，在直三棱柱481G中，^CB=90°,

CA=CB=CCl=3,。是棱5片的中点，尸是G。的延长线与C2的延长线的交点.

(1)求证：/尸〃平面4cD；

(2)若点E在线段AP上，且点£为靠近点A的三等分点,求直线AE与平面AXCD所成的角的正弦值.

【分析】利用全等思想来证明中点，从而得证线线平行，即可证明线面平行；

【详解】连接/G交4c于点“，连接M),如下所示：

因为ABC-AMi是直三棱柱，故可得4GCN是矩形，

故M为NG的中点，又。是为8的中点，所以BQ=BD,

又•••Z8QG=ZBDP,/CRD=NPBD=90°,:.^BXDCX%BDP,

■.CXD=PD,即。是GP的中点，

故在4P中，M,D分别为c/,GP的中点，

故可得〃。〃4?,又〃Du平面4cD,/尸（z平面4C。，故4P〃面4co.

【巩固练习4】如图，三棱柱45C—481G中，E,P分别是与£和CC1的中点，点F在棱其耳上,

且与尸=24尸，证明：4?//平面EFC.

AiFBi

G

【答案】证明：连结PB1,交CE于点D,连结DF,EP,CB1,

因为E,P分别为B1C1,CC1的中点，故EP〃；CB1且EP=；CB1,

PD1A.F1

故国5,又B1F=2,A1BB3,故西=万，

所以FD〃A1P,又FDu平面EFC,A1P4平面EFC,

故A1P〃平面EFC:

【题型5】由面面平行得出线面平行

基础知识

本法原理：已知平面a〃平面£,则平面£里的任意直线均与平面a平行

思路比较简单不过书写步骤会繁琐一些，一般不做第一选择

【例1】如图，已知三棱柱为直三棱柱，/4=Z3=2/C,为NC的中点.

证明：4c〃平面84。

【简证】取4G中点

【例2】（2024•贵州贵阳•二模）由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台0GR中,

段尸分别为AD,43的中点，N8=24司=4,侧面AB。。与底面43CD所成角为45。.

求证：8D"/平面4E尸；

【解析】连接8。、B、R,由E,尸分别为的中点，则EF"BD,

入EFa平面BBQQ,BDu平面BBQQ,故E尸//平面58QQ,

正四棱台ABCD-AXBXCXDX中,A.BJIAB且AXBX=^AB=BF,

则四边形4/881为平行四边形，故A///BB（,

又//（Z平面BBRD,5gu平面BBRD,故其尸〃平面BBRD,

火AFcEF=F,且同尸u平面EFu平面&EF,

故平面4E尸//平面BB}DXD,又RD】u平面BB}DXD,故〃平面4EF；

【巩固练习1】（2024•广东深圳•高三深圳外国语学校校考开学考试）如图，多面体/8CDE尸中，四

边形/BCO为矩形，二面角/-CD-尸的大小为45°，DE//CF,CD1DE,AD=2,DC=3.

（1）求证：BF〃平面4DE；

【解析】（1）证明：因为四边形488是矩形，所以，BC//AD,

因为8Cu平面BCF,400平面8（才，所以/£）〃平面8CF,

因为。E〃C尸，CFu平面BCF,DEB平面BCF,所以DEH平面BCF,

因为4DcDE=D,40、DEu平面4DE,则平面8c尸〃平面4DE,

因为BFu平面BCF,所以，BF〃平面ADE.

【巩固练习2】（2024•四川达州•二模）如图，在直角梯形4BCD中，ADIIBC,AB1BC,

AB=BC=2AD,把梯形4BCD绕48旋转至48。自，E,尸分别为CQ中点.

证明：EF〃平面C，/；

【解析】证明：设2G中点为G,连接厂G,EG,

FG为△CCQi中位线，FGHCD,,

又CD[u平面CDXA,FGfZ平面CD*,

FG//平面CRA,

vEG为梯形NBCQi中位线，EGUAD,,

又4D]u平面CD/,EGfZ平面C。/,

EGH平面CD/,

EG^FG=G,FGu平面EFG,EGu平面EFG,

平面EFG〃平面,

■：EFu平面跖G,

;.EF〃平面CD/.

【巩固练习3】（2024•江苏南京•二模）如图，AD//BC,AD1AB,点、E、F在平面N8CD的同侧,

CF//AE,AD=\,/8=8C=2,平面/CFE_L平面/BCD,EZ=EC=G.求证：3月〃平面ADE；

【解析】因为CF///E,CF<t平面4DE,

所以CF〃平面同理BC〃平面NDE,

又8C,CFu平面BCF,BCHCF=C,

所以平面BC尸〃平面4D£,BFu平面4DE,

所以BF〃平面4DE

【题型6】两个平面交线相关的平行证明

基础知识

两个平面交线相关的平行证明可以考虑补全图形得到交线，也可以先找一个线面平行，得出线线平

行来代换交线，原理是由线面平行得出线线平行

【例1】如图，四棱锥尸力及力的底面为正方形，且力，面A13O).设平面2bp与

平面“”的交线为/.证明：///C13

【证明】证明：因为A13CD为正方形，，BC//AD,

又：叱了平面PAD,20*平面84D.

反7〃平面PAD

又•.•区。・平面PCB,平面口。平面PCB=I,

：.///CD.

【例2】(2025高三•全国•专题练习)如图，AD//BC且AD=2BC,ADA.CD,EG//AD旦EG=AD,

CD//FG^.CD=2FG,DG_L平面N8CD,Z)/=DC=Z)G=2,设平面BCF与平面EFG的交线为/,

求证：5C//Z；

［分析］由线面平行的判定定理和性质定理证明即可；

【详解】因为4D//3C,EGHAD,所以3CV/EG,

又BC0平面EFG,EGu平面EFG,

所以8C//平面EFG,又BCu平面BCF,平面3c尸c平面EFG=/,

所以8。〃/.

【巩固练习1】在圆柱。。中，N5是圆。的一条直径，CD是圆柱OQ的母线，其中点C与42不

重合，是线段AD的两个三等分点，目BM=MN=ND.若平面COM和平面C4N的交线为/,

证明：〃/平面4RD.

【答案】证明见解析

【分析】利用三等分点得中位线可得线线平行，再应用线面平行判定与性质定理证明即可;

【详解】由5M知W为3N中点，又。为中点，

所以OMHAN,QMu平面C4N,ANu平面CAN,

所以OM〃平面CAN,又OMu平面COM,

由平面GWn平面C4V=/,且Ce/,

故由线面平行的性质定理可得OMHI,

由点C与48不重合，可知C史平面48。，故平面

又（Wu平面48。，所以〃/平面NAD.

【巩固练习2】（2025高三・全国・专题练习）如图，在三棱柱/3C-44G中，AC=BC,AiC=AiB,

侧面为矩形.记平面48。与平面/3C交线为/,证明：AC//1；

【答案】证明见解析

【分析】根据/C〃平面43G,进而根据线面平行的性质即可求解.

【详解】因为在三棱柱/3C-44G中，AC//AG,

由于/CU平面48。，4C|U平面4BC],

所以/C〃平面43G,

又因为NCu平面4BC,平面N3CPI平面48G=/,

所以NC///

【巩固练习3】如图，四棱锥P-/3C。的底面为平行四边形，设平面尸/。与平面P8C的交线为加,

分别为尸的中点.

⑴求证：小//平面P/。；

（2）求证：BCHm.

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）取尸。的中点E,利用中位线的性质先证明四边形/2WE为平行四边形，由线线平行

证线面平行即可；

（2）利用线线平行先证线面平行，再由线面平行的性质证线线平行即可.

【详解】（1）

：D\

ANB

取PZ)的中点E,连接

因为M,N分别为尸C,N3的中点，底面ABCD为平行四边形,

则EN=!Z)C」/B=/N,S.EMIIDCIIAN,

22

所以四边形/MWE■为平行四边形，%MN//AE,

显然AEu平面PAD,MNU平面PAD,

则MN//平面PAD:

(2)易知4D//8C,平面尸4D,4Du平面尸4D,

所以8C//平面尸4D,

又BCu平面PBC,平面尸4D与平面P8C的交线为m,

所以8c〃加.

【题型7】证明线线平行

基础知识

利用线面平行和面面平行证明线线平行

【例1】如图，平面平面NDE,CFHAE.求证：ADHBC.

B

【解析】"CFIIAE,CFu平面ADE,/Eu平面ADE,CFH平面ADE.

•;BF”平面ADE,BFcCF=F,BF,CFu平面BCF,

.♦・平面4)E〃平面8CF.

又平面/QEn平面=，平面3Wc平面=,

AD!IBC.

【例2】如图，直四棱柱N8C。-481GA被平面a所截，截面为CDEH且E尸=0C,

DC=2AD=4A]E=2,ZADC=1,平面E尸CD与平面48CD所成角的正切值为:百,证明：ADHBC.

【解析】在直四棱柱23c0-//[CQi中，平面/8CZ)//平面/百。[。],

平面48copl(Z=CD,平面4BC4ca=E尸，则EF//CD,

而C^DJICD且GA=CD,又EF=CD,因此CQJIEF且GA=E尸，

则四边形EFGA是平行四边形，所以4。]//耳。],又42//4D,BCMBG,

所以ADHBC.

【巩固练习1】如图所示，圆台的上、下底面圆半径分别为2cm和3cm,N4,8均为圆台的两条不同的

母线.Q,。分别为圆台的上、下底面圆的圆心，且△0/B为等边三角形.求证：A.B,//AB.

B

【解析】证明：；圆台可以看做是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到，

所以圆台的母线也就是生成这个圆台的圆锥相应用线的一部分.

母线44与母线8耳的延长线必交于一点，44,8,男四点共面.

圆面。|〃圆面O,且平面ABBXAXCl圆面。i=4与，平面ABB[A]Pl圆面。=N8.

A{BJ/AB.

【巩固练习2】（2024・甘肃•一模）如图，空间六面体NBCOE尸GH

中,AD/1BC,EH//FG,/BCD=ZFGH=90°，平面/BCD//平面EFG〃,CD〃G为正方形，平面

HDCG1平面ABCD,AD=FG=2EH,BC=3EH.求证：AE//BF■,

【解析】AD//BC,ADU平面BCGF,BCu平面BCGF,

AD//平面BCG尸.

:CD//G为正方形，:.HD//CG,

同理可得皿）//平面BCGF.

:4DcHD=D,4Du平面ADHE,HDu平面ADHE,

平面ADHE//平面BCGF.

平面ADHEc平面ABFE=AE,

平面8CGFc平面ABFE=BF,

.-.AE//BF.

【题型8】通过平行证明四点共面

基础知识

通过线线平行得出四点共面

【例1】如图，在直三棱柱4BC-481G中，AB1AC,AAl=AB=AC=2,M,N,P分别为4B,

BC,的中点

⑴求证：3P〃平面CIM7V；(2)求证：P、M、C、G四点共面;

【答案】(1)证明见解析

⑵证明见解析

【分析】（1）先证M,N，G，4四点共面，再证明8尸〃〃4,由线线平行得到线面平行.

（2）连接C|P,PM,MC,结合条件可证PM//CC,从而证明.

连接因为分别为的中点，所以MN///C

在三棱柱48C-481G中，AC//4G.所以〃4G，M,N，G，4四点共面.

因为N8//4月，/3=4片，/，尸分别为/氏44的中点，所以AM//4尸，BM=AiP.

所以四边形AW4P为平行四边形.

所以AP//"4.因为3尸（Z平面C{MN,MAXu平面C]MV,

所以BP11平面C、MN.

（2）如图:

连接CF，PM,MC,因为NBC-4耳G为直三棱柱，且尸,“分别为4月的中点，

所以PM〃441,又AAJICC、,所以PM//CG,所以尸、M、C、。四点共面.

【巩固练习1】（2024•内蒙古包头•一模）如图，在四棱锥P-48c。中，PC_L平面48CD,AB//CD,

点E在棱心上，PE=2EB,点、F,H是棱尸4上的三等分点，点G是棱尸。的中

点.PC=CB=CD=gAB=2,/C=而.

证明：〃平面CFG,且C,E,F,G四点共面；

【分析】由中位线得尸G〃印人结合线面平行的判定定理即可证得〃平面CFG,要证C,E,

F,G四点共面，只、需CE〃FG,只需CE〃HD,连接HE,结合条件证明四边形是平行四

边形即可；

【详解】（1）因为尸，G分别为尸〃，尸。的中点，

所以FG〃印），

又FGu平面CFG,HD（Z平面CFG,

所以他//平面CFG.

PEPH

连接HE,在△尸中,

~EBHA

所以HE〃4B,且HEqAB,

2

因为43〃CD,CD=-AB,

所以CD=HE,汉CD〃HE,

所以四边形HECD为平行四边形.

所以CE〃HD,

又FG〃HD,所以CE〃尸G,

故C,E,F,G四点共面.

【巩固练习2】如图，多面体ABCGDEF中，AB,AC,AD两两垂直，平面ABC//平面/G,平

面BEF//平面ADGC,AB=AD=DG=2,AC^EF=1.判断点B,C,F,G是否共面，并说明理

由.

【详解】取DG中点P,连接PA,PF,如图示:

在梯形EFGD中，FP/7DE且FP=DE.

又AB〃DE且AB=DE,AB〃PF且AB=PF

二四边形ABFP为平行四边形，；.AP〃BF

在梯形ACGD中，AP〃CG,；.BF〃CG,

AB,C,F,G四点共面.

【巩固练习3】如图，在长方体48co—44GR中，点E,尸分别在棱加＞1,84上，2DE=ED1,

BF=2FB1,证明：点q在平面4E厂内.

【解答】证明：在441上取点“，使得小〃=22”,逐榛

在长方体/为%—41月G2中，有，2〃2力1〃6华,且=221=

又2DE=ED\,A\M=2AM,3F=2FB\、：.DE=AM=FB\.

四边形目勿历口四边形都是平行四边形.

AF//MB、dAF^MB\AD""且工’=ME.

又在长方体力员2?—4及62中，有力，〃当且AD=BXCX,

:*BCEME^13YC^ME,则四边形及［EM为平行四边形，

3〃"区，且％=MB、,

八AFHAZ历，且AF^MB：.AF//%，且4尸EC*

则四边形为平行四边形，

.•.点1在平面2£尸内

【题型9】平行关系的应用：等积变形求体积

基础知识

等积变形求体积，即形状改变但体积不变。通过计算变形前后的体积相等

【例1】已知正方体45co-4片。区的棱长为1，尸是线段上的一个动点，则三棱锥4-PG。的

体积是否为定值？请说明理由

【答案】是定值

【详解】根据正方体的性质可知，CDUAB,且。。=4耳，

所以，四边形。。耳4为平行四边形，则

因为4〃u平面用C<Z平面4aD,

所以，瓦C//平面4G。.

又尸€21C,所以点尸到平面4G。的距离为定值.

又A4G。的面积确定，vAi_PCiD=vp_AiC}D,

所以，三棱锥4-尸G。的体积为定值.

【例2】如图，在棱长为2的正方体/BCD-44GA中，M,N,P分别是GA，GC,44的中点,

则三棱锥口的体积为

【答案】|

【详解】易得DF//BN,因为D\Pa平面MNB,MNu平面MNB,

所以20//平面MNB,所以Vp-MNB=VD「MNB=/一MND]=§*5*1*1乂2=§

【例3]（多选）如图，在正方体/BCD-44GA中，型=血,尸为线段2G上的动点，则下列说法正确

的是（）

B.D尸〃平面4BQ]

C.三棱锥P-NCR的体积为定值加

D.4P+PC的最小值为百+1

【答案】ABD

【分析】对于A,由线面垂直的判定定理证明用。，平面4g即可;对于B,根据面面平行的判定定理

证明平面8DG〃平面ABR即可;对于C,根据线面平行将点P到平面ACDt的距离等于点8到平面

ACD,的距离，再利用等体积法求解即可;对于D,将平面48G和平面2CG沿直线BG展开为一个平

面，利用余弦定理求解即可判断.

【详解】对于A,连接4尸,如图:

•••CD，平面8CGA,3Gu平面BCCiBi,

CD1BCt,

又BCX1BXC,BXCflC。=C,8Cu平面BXCD,CDu平面BXCD,

_L平面21cZ),

,/B{Du平面B\CD.

BQ1BQ,

连接BXA，同理可得AXB1BQ,

BQ=尻48u平面AlBCl,BC1u平面AlBCl,

BXD1平面43C],

AXPG平面48C],

.•.BQL&P,故A正确;

对于B,连接做Q9,如图:

AB//C]D],AB=GD],

四边形ZBGA为平行四边形，

ADJIBC],

•・•BQu平面BDC1,e平面BDC],

/.40]〃平面

同理四边形/。。]用为平行四边形，

ABJ/DC、,

•••DC]u平面BDC-AB].平面BOG,

•••AB】//平面BDC1,

,/ABXnADX=A,AB】u平面ABXDX,ADXu平面ABXD1,

平面BOG〃平面力用。1,

,/DPu平面BDC、,

「•小〃平面,故B正确；

Q401匚平面/。。1,5。12平面4。。1,

5C"/平面NCR,

二.点尸到平面的距离等于点5到平面NCR的距离，

VVVX

P-ACDX=B-ACDl=Dv-ACB=J｝耳扬£=与

【巩固练习1】在正方体/BC。—44GA中，石为551的中点，点尸满足丽=丸西，2e[o,l],

则三棱锥尸-4。e的体积与X的值是否有关？请说明理由.

【答案】无关

【详解】因为在正方体ABCD-4B£D]中，AB〃CA且=CQ,

所以四边形/BCQi为平行四边形，因此8G〃/。,

又BQ