2025年高考数学二轮复习热点题型专项突破：导数与函数极值与最值（解析版）

热点专题3-4导数与函数极值与最值

近5年考情(2020-2024)

考题统计考点分析考点要求

2024年I卷第10题，6分

导数与函数极值、最值是高考数学

年卷第题，分

2024H165的重要考点。函数极值每年必考，

2024年H卷第11题，6分题型多样，难度适中。最值问题则

常作为热点和难点，常与函数单调(1)求导判断单调性

2024年甲卷第21题

性、方程和不等式相结合，考查综(2)找极值点并分析性质

合应用能力。高考常通过求函数在

2023年乙卷第21题(3)确定最值位置并求解

特定条件下的最值或根据最值条(4)结合不等式求参数范围

2023年II卷第22题件求参数范围来考查学生的导数(5)考察综合运用能力

应用能力和解题技巧。这类题型要

2022年乙卷第16题，5分

求学生熟练掌握导数性质，灵活应

2022年甲卷第6题，5分用函数性质，具有较强的逻辑思维

和解题能力

2022年I卷第10题，5分

模块一热点题型解读(目录)

［题型1］函数的极值与极值点

【题型2】利用图像判断极值

【题型3】由极值或极值点求参数的值

【题型5】利用导数求函数的最值(不含参)

【题型7】求含参函数的最值

【题型6】根据函数的最值求参数的值

【题型4】由极值，极值点求参数范围【重点题型】

【题型6】根据函数的最值求参数范围

【题型8】函数极值、最值的综合应用

模块二核心题型•举一反三

【题型1】函数的极值与极值点

基础知识

1.极值点与极值的概念

极值与单调性一样，都是函数的局部性质

⑴极小值点与极小值

如图，函数y=«x)在点x=a的函数值大。)比它在点X=q附近其他点的函数值都小，/(a)=0;而且

在点、x=a附近的左侧&x)<0,右侧汽x)>0,则把a叫做函数y=/(x)的极小值点，/(a)叫做函数了=

外)的极小值.

(2)极大值点与极大值

如图，函数y=/(x)在点x=b的函数值大6)比它在点x=6附近其他点的函数值都大，7(6)=0;而且

在点x=6的左侧汽公>0,右侧汽x)VO,则把b叫做函数y=/(x)

的极大值点，叫做函数v="x)的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点.极大值和极小值统

称为极值.

2.求函数y=/(x)的极值的方法

解方程/(x)=0,当/(xo)=0时：

(1)如果在xo附近的左侧/(x)>0,右侧/(x)VO,那么/fa)是极大值;

(2)如果在xo附近的左侧/(x)<0,右侧/(x)>0,那么"o)是极小值.

1.(2024•辽宁鞍山二模)〃司=/『'的极大值为.

4

【答案】—

e-

［解析］/'(力=2贫一工(—e-)=(2x-M)片，=一乂x-^e，

当xe(f,0)U(2,+<»)时，f'(x)<0,当xe(O,2)时，f^x)>0,

故/(x)在(-8,0)、(2,+8)上单调递减，在(0,2)上单调递增，

故“X)有极大值/■(2)=22e-2=W.

e

2.(2024・陕西西安・模拟预测)函数/■(x)=(f-8忖的极小值点为()

A.2B.-4e12C.-4D.8e-4

【答案】A

【分析】利用导数判断单调性，进而可得极小值点.

【详解】因为/,（x）=（x2+2x-8）ex=（x-2）（x+4）e\

所以/（X）在-4）,（2,+8）上单调递增，在（-4,2）上单调递减，故极小值点为2.

3.（23-24高三上•陕西咸阳•阶段练习）函数/（x）=3x2-ln尤的（）

A.极小值点为!B.极小值点为逅

66

C.极大值点为）D.极大值点为逅

66

【答案】B

【分析】求得/，得出函数〃x）的单调区间，结合极值点的定义，即可求解.

【详解】由函数/（x）=3x2-lnx,可得八x）=6x」=*=（x>0）,

令/牛）〉0,解得x>逅；令/。）<0,解得0<x〈".

66

所以函数/（X）在（0,逅）上单调递减，在（如,+00）单调递增，

66

所以/卜）在》=答处取得极小值.

【巩固练习1】（23-24高三・湖北孝感•阶段练习）函数/■（x）=31nx+gf-4x的极大值为（）

57

A.—2B.—C.—3D.—

22

【答案】D

【分析】求出函数的单调性，即可求出函数的极大值.

【详解】函数/（x）=31nx+〈d-4］的定义域为（0,+8）,

又/，（x）=l-4x+3=（x-3）（xT）,

XX

令—3=0,则X=1或X=3,所以当0cx<1或x>3时>0,当1<x<3时/'（x）<0,

所以/（x）在（0,1）,（3,+8）上单调递增，在（1,3）上单调递减，

所以“X）的极大值为/（1）=0+--4=-^.

【巩固练习2】（2024高三下•全国•专题练习）已知函数/（"=办3+6无2+》+°,其导函数了=/卜）

的图象如图所示，过点和（L0）.函数/（x）的单调递减区间为,极大值点

为

【分析】根据导函数的符号确定原函数的单调性，可直接写出原函数的单调区间;分析原函数的单

调性，可以得到函数的极大值点.

导函数y=/'(x)的图象过点上可和(1,0),

则当时，r(x)>o,函数〃x)单调递增；

当:<X<1时，/,(x)<0,函数/(x)单调递减；

当x>l时,r(x)>0,函数〃x)单调递增.

函数/(x)的单调递减区间为,极大值点为1.

【巩固练习3】函数〃无)=6+12》-丁的极小值点为

【答案】-2

【分析】对原函数求导，求出其单调区间，从而得到极小值点.

【详解】由题意得/'(无)=12-3/=3(4-号，

令/'。)=0,可得x=±2,

所以在(-8,-2)上/'(x)<0,/(x)单调递减，

在(-2,2)上/Xx)>0,/(x)单调递增，

在(2,+向上"x)<0,/(x)单调递减，

所以x=-2处，/(x)取得极小值/(-2)=10,

所以极小值点为-2.

【题型2】利用图像判断极值

基础知识

利用函数图像判断极值的方法主要是观察图像在特定点附近的单调性变化。若图像在某点由上升转

为下降，则该点为极大值点；若由下降转为上升，则为极小值点。通过比较该点与其邻近点的函数

值大小，可进一步确认极值点的存在。这种方法直观且有效，适用于可直观观察的图像。

4.已知定义在R上的函数/G),其导函数f(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()

B.函数/(尤)在x=c处取得最大值，在x=e处取得最小值

C.函数/(X)在x=c处取得极大值，在X=e处取得极小值

D.函数〃无)的最小值为/'(d)

【答案】C

【分析】根据导函数的图象确定了(无)的单调性，从而比较函数值的大小及极值情况，对四个选项作

出判断.

【详解】由题图可知，当xWc时，r(x)>0,所以函数“X)在卜¥,c］上单调递增，

又a<b<c,所以/'(。卜/伍然/⑺，故A不正确.

，

因为/(c)=0,/'(e)=0,且当x<c时，r(x)>0:当c<x<e时，/(x)<0：

当x>e时，r(x)>0.所以函数/1(x)在x=c处取得极大值，但不一定取得最大值，在x=e处取得

极小值，不一定是最小值，故B不正确，C正确.

由题图可知，当dWxWe时，r(x)<0,所以函数/'(x)在［d,e］上单调递减，从而/①)>/(e),所

以D不正确.

【巩固练习1】设函数在R上可导，其导函数为7''(X),且函数了=。-x)［'(x)的图象如图所

示，则下列结论中一定成立的是()

A.函数在(2,+s)上为增函数B.函数在(-2,1)上为增函数

C.函数〃x)有极大值/(2)和极小值f⑴D.函数/卜)有极大值/(-2)和极小值以2)

【答案】AD

【分析】结合y=(l-x)/'(x)的图象，分析尸(x)的取值情况，即可得到/(x)的单调性与极值点.

【详解】由图可知当x>2时(1-x)/'(无)<0,所以#(x)〉0,

当l<x<2时(l-x)/'(x)>0,所以/'(x)<0,

当-2<x<l时(1-x)/(x)<0,所以/,(x)<0,

当好一2时。一x)/'(x)>0,所以/C(x)〉0,

所以〃x)在(2,+句上为增函数，在(1,2)上为减函数，在(-2,1)上为减函数，

在(-oo,-2)上为增函数，故A正确，B错误，

则“X)在x=-2处取得极大值，x=2处取得极小值，

即函数“X)有极大值〃-2)和极小值/'⑵，故C错误，D正确.

【巩固练习2】如图，可导函数了=/(尤)在点尸(尤o，/(x。))处的切线为/:y=g(无)，设

h(x)=f(x)-g(x),则下列说法正确的是()

A.3XGR,h(x)>0B.VXER,7zr(x)<0

C.”伉)=0/=无0是否(幻的极大值点D."(Xo)=o,x=/是力㈤的极小值点

【答案】C

【解析】因函数>=/(x)在点尸(Xo，［(xo))处的切线为>-/a)=/'3)(》70),

即g(x)=f'(x0)x-xof'(xo)+f(x0),则h(x)=f(x)-g(x)=f(x)~f'(x0)x+xof'(xo)-f(x0),

于是，“'(x)=/'(x)-/'(Xo),由图知，当x<Xo时，此时〃(x)>0,

当x>/时,f\x)<f'(x0),此时h'(x)<0.

对于B项，由上分析，B项显然错误；

对于C,D项，由上分析，当x<Xo时，〃(x)单调递增；当时，，(x)单调递减，

即当x=x0时，〃(x)取得极大值，且〃'(％)=0,故C项正确，D项错误；

对于A项，由上分析x=x0时，〃(x)取得极大值”(%)=0,也是最大值，

则有VxwR,6(x)W0,故A项错误.

【巩固练习3】(23-24高三・吉林长春•期中)(多选)已知定义在R上的可导函数〃尤)和g(x)的导

函数/'(X)、g'(x)图象如图所示，则关于函数M》)=g(x)-7'(力的判断正确的是()

A.有1个极大值点和2个极小值点B.有2个极大值点和1个极小值点

C.有最大值D.有最小值

【答案】BC

【分析】图象可知，ra),g'(x)的图象有三个不同交点，将其横坐标按从小到大依次设为玉,马,三，

则％=0,结合图象，利用导数判定〃(x)=g(x)-/(x)的单调性，即可得到极值点.

【详解】根据/'(x),g'(x)的图象可得，了=/(%)与〉=8'(月的图象有三个不同的交点，

设这些点的横坐标依次为王,々,％,满足X]<X2c%,其中工2=°.

由图可知，当X<X]时，g'(无)>)'(无)，即为'(x)=g'(x)-/'(x)>0,

故函数〃(x)在(YO,X[)上单调递增，

当X[<x<0时，g'(x)</'(x),即—0,

故函数”(X)在(占,0)上单调递减，

当0<x<X3时，g'(x)>/'(x),即〃(x)=g'(x)-/'(x)>0,

故函数〃(X)在(0,三)上单调递增，

当x>w时,g，(x)</,(x),即/(x)=g，(x)-1(x)<0,

故函数“X)在(x3,+co)上单调递减.

综上所述，函数力(X)分别在X=X”X=X3时取得极大值，在尤=0时取得极小值，

即函数人(x)有2个极大值点和1个极小值点，故B项正确，A项错误；

因XfYO时，的趋近值未知，Xf+CO时，”(x)的趋近值也未知，故无法判断函数的最小值能

否取得，但因函数〃(x)分别在x=匹,x=当时取得极大值，

故可取/(占)与/(%)中的较大者作为函数的最大值，故C项正确，D项错误.

【题型3】由极值或极值点求参数的值

基础知识

由极值或极值点求参数值，通常需先对函数求导，找到极值点对应的导数等于零的方程。然后，将

极值或极值点的坐标代入原函数或导数方程中，解出参数值。

5.(2024・青海•模拟预测)已知函数的极值点为a,则/⑷=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【分析】利用导数求出函数/(x)的极值点，再代入求出函数值.

【详解】函数/(x)=/-ex,求导得/'(x)="-e,当尤<1时，/V)<0,当x>l时，/'(无)>0,

函数/(x)在(-'1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，因此无=1是“X)的极小值点，且是唯一极值

点，所以。=1,/(a)=/(l)=0.

6.(2024・四川•模拟预测)已知函数/'(x)的导函数/。)=卜+1乂/+4苫+4),若T不是/'(x)的

极值点，则实数。=.

【答案】3

【解析】由/'(尤)=(尤+1乂x?+4x+a),设力(》)=了2+4x+a,

若T不是函数f(x)的极值点，则必有力(一1)=0,即1一4+。=0,所以a=3.

当a=3时，/'(X)=(x+l)(d+4x+3)=(x+l)'x+9，

故当x>-3时，当x<—3时，r(x)<0,

因此x=-3是/(无)的极值点，-1不是极值点，满足题意，故a=3.

7.(2024•宁夏银川一模)若函数“MHX2-在x=-2处取得极大值，则/⑴的极小值为

()

A.-6e2B.-4eC.-2e2D.—e

【答案】C

【分析】由题意求出。的值，进而求出/(x),再解出极小值即可.

【详解】因为函数”的4^2-办-2)百在％=-2处取得极大值，

则//(x)=[x2+(2-a)x-2-tz]-ex,(XGR)JL/r(-2)=0,

即4-2(2_Q)_2_Q=0,所以Q=2;

所以/(%)=(%2-2%-2)e)/r(x)=(x2-4)-ex=(x+2)(x-2)ex,

令C=0,则％=2或x=-2,

由x£(-a),-2)/(x)>0,XG(-2,2),//(X)<0,xw(2,+8)

所以/(x)在(-0),-2),(2,+^)上单调递增，在(-2,2)上单调递减.

所以函数/(X)在尤=-2处取得极大值，京小=/(2)=-2e2.

【巩固练习1】(2024•辽宁•一模)已知函数/'(同=丁+办2+乐+/在尤=-1处有极值8,贝1J/⑴等

于.

【答案】-4

【分析】求导，即可由/(-1)=8且/'(-1)=0求解进而代入验证是否满足极值点即可.

【详解】f(^)=3x2+2ax+b,

若函数/(无)在x=-l处有极值8,则/(-1)=8/(-1)=0,即[T+"*"一8,

[3-2〃+6=0

解得：a=3,b=3或a=-2,b=-7,

当a=3,6=3时，/z(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2>0,此时％=—1不是极值点，故舍去；

当a=_2,b=—7时，/r(x)=3x2-4x-7=(3x-7)(x+l),

77

当或x<—l时，/"(x)>0,当一l<x<,故％=—1是极值点，

故〃=-2,6=-7符合题意，

故f(x)=x3-2x2-7x+4,

故/⑴=-4.

【巩固练习2】已知函数〃x)=；x-36+alnx,若x=1是/(x)的极值点，求“必的极值.

【答案】极大值为-5，极小值为21n2-4

【分析】首先确定函数的定义域，由x=l是/(x)的极值点，所以/⑴=0,解得。=1,再求出函

数的单调区间，从而求出函数的极值.

【详解】函数/(%)的定义域为(0,+“)，/'(X)=%_一厂+一,

227xx

由x=l是/(x)的极值点，所以广(1)=0,解得”1,

所以x-36+2=(4一2)(或一1),令((x)=o,

22y/xx2x2x

所"以再—1,%2=4,

所以xe(0,l),f\x)>0,〃龙)单调递增，xe(l,4),/'(x)<0,/(无)单调递减，

xe(4,+e),/'(X)>0,/(x)单调递增，所以〃耳极大值=/⑴=.g,/(x)极小值=44)=2历2-4.

【巩固练习3】(23-24高二上•天津滨海新•期中)函数/(x)=4x，-"2一2法+2在x=1处有极小值-3,

则的值等于()

A.0B.-2C.-4D.6

【答案】A

【分析】对函数求导，利用/(1)=-3以及/'(1)=0解出进而得出答案.

【详解】由题意得了'(%)=12/—2"-2/7,因为/(x)在x=l处有极小值-3,

f(l)=12-2a-2b=0

所以解得a=3,6=3,

/⑴=4_〃_26+2=_3'

所以/'(X)-12x2-6x-6=6(2x+l)(x-l),

令/r(x)>0^>(2x+l)(x-l)>0,解得x>l或,

故函数/(X)在(1,+8)和(-咫-：上为增函数，

令((x)<0=(2x+f)(x—1)<0,解得—

故函数/(X)在上为减函数，

所以/(%)在X=1处有极小值，符合题意，

所以b-a=0

【巩固练习4】已知函数/(x)=61nx+,x2+2G+/-3a在无=1处取得极小值名，则令的值

22a

为.

【答案】-u

4

Q7

【解析】由/(x)=blnx+—f+2办+〃2-3〃求导，f\x)=—+3x+2a9

2x

,/1、272327「/12

f(1)——ci—ciH———IQ=4CI=—3

依题意，八/2,即22,解得人「或L。.

A入r「八It)——11Ic?—3

/(1)=0[6+2a+3=0[[

3

当"4b=—11时，/(x)=-lllnx+—x92+8x+4x>0,

。3X2+8X-11(X-1)(3X+11)

/(x)=——+3x+8=----------------=------------------,

xxx

当0<x<l时，r(x)<0,/⑴在(0,1)上单调递减，当X>1时，/V)>0/⑴在(1,+8)单调递增,

07ly11

即X=1时，函数/(X)取得极小值〃1)=一，符合题意，此时一=；

2a4

3,

当°=一3,6=3时，f(x)-31nx+—x2-6x+18,x>0,

c33x~-6尤+33(x—

因八x)=—+3x-6=---------------=————>0,

XXX

即函数/(X)在(0,+8)上为增函数，无极值，与题意不符，舍去.

【题型4】利用导数求函数的最值(不含参)

基础知识

利用导数求函数最值的详细步骤如下：

1.求导数：首先，对给定的函数求导，得到其导数表达式。

2.找临界点：

o令导数等于0,解方程找出所有使导数等于0的点，这些点称为驻点或临界点。

o检查函数定义域内是否有导数不存在的点(如分母为0的点)，这些点也是临界点。

3,判断单调性：

o在每个临界点之间及临界点两侧选取测试点，代入导数表达式，判断导数的符号。

o根据导数的符号变化，确定函数在这些区间上的单调性(增或减)。

4.求最值：

o在每个单调区间内，函数要么没有最值(如果区间是开区间)，要么最值出现在区间

的端点或临界点处。

o对于闭区间，还需要检查区间端点的函数值。

O比较所有候选点的函数值，确定函数在该区间上的最大值和最小值。

注意：对于实际应用问题，还需要考虑函数的实际定义域和约束条件。

8.(23-24高三•河南商丘・期末)已知函数〃x)=2加-3/+?在＞=1处取得极小值1,则f(x)在

区间［-1,2］上的最大值为()

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【分析】根据函数/(x)在x=l处取得极小值1求出利用导数判断出了(x)区间［-1,2］上的单调

性，求出极值、端点值可得答案.

【详解】/''(X)=6办2-6x=6x(ax-l),

因为函数〃x)在x=l处取得极小值1,

所以/''(1)=6°-6=0,解得0=1,

可得/(尤)=2x3-3x2+6,且/⑴=2.3+6=1,解得6=2,

/(x)=2x3-3x2+2,/"'(x)=6x(x—1),

当xe［-l,O］时，/,(x)>0,/(x)单调递增，

当无e(0,1)时，r(x)<0,单调递减，

当xe［l,2］时,r(x)>0,〃x)单调递增，

所以“0)=2,/⑴=2-3+2=1,

/(一1)=一2-3+2=-3,/(2)=16-12+2=6,

则/(x)在区间［-1,2］上的最大值为6.

-x2+3x+2

9.(2024•浙江杭州•二模)函数/(x)=的最大值为

Jx+1

【答案】2a

【解析】令，=而1>0,则x=/7,故/(尤)=(’21)+3('21)+2=_/3+5/_工,

2

号〃(%)=-/3+5%(t>0),

则〃,(,)=一贯+5+［=少m+2=,

当te(0,夜)时，A,(Z)>O,当te(亚,+s)时，

则力。)在(0,夜)上单调递增，在(应,+8)上单调递减，

32

/Z(?)</!(V2)=-(V2)+5XV2-=2®,

故正

-x2+3x+2

即函数/(x)=的最大值为2血.

Jx+1

【巩固练习1】(23-24高三,湖南益阳,期中)已知/(%)=2/一6%2+。(”为常数)在［-2,2］上有最大

值3,则此函数/(x)在［-2,2］上的最小值是()

A.-37B.-29C.-5D.-8

【答案】A

【分析】求函数的导数，利用导数结合函数的最大值求出。，即可求出函数的最小值.

【详解】由题意可知：/'(x)=6x2-12x=6x(x-2),xe|^2,2］,

令/'(x)>0,解得-2<x<0;令/'(x)<0,解得0<x<2;

可知/(%)在(-2,0)上单调递增，则(0,2)上单调递减，

则函数的最大值为/⑼=。=3,

此时/(力=2/一6^+3,且/(2)=—5,/(-2)=-37,

可知当x=—2时，函数/(%)取得最小值为-37.

【巩固练习2】函数一七-l)x-elnx的最小值为.

2

【答案】一e邑

2

【解析］，・,函数_仁_1,_elm,(x>0)

・・・/⑴”(e_l)_，~eT)…=(x+l)G⑹,令/，(力4，得1二«,

XXX

当xe(O,e)时,/,(x)<0,/(尤)为减函数,

当xe(e,+s)时，/,(x)>0,/(x)为增函数，

/(x)在X=e处取极小值，也是最小值，

2

函数f(x)最小值为/(e)=-y.

【题型5】求含参函数的最值

基础知识

求含参函数最值步骤：先对参数分类讨论，再对每类求导找极值点，结合边界点比较确定最值。

10.已知函数/1(x)=(尤-左-1)1(左eR).

⑴当左=1时，求/(x)在(。,-2)处的切线方程;

⑵讨论“X)在区间［0,3］上的最小值.

【解析】⑴当左=1时，/(x)=(x-2)e\则/'(x)=(x7)e，，所以/'(0)=-1,

则/(x)在(0,-2)处的切线方程为y=-x-2,即x+y+2=0,

所以当％=1时，函数/(X)在(0,-2)处的切线方程为x+y+2=0.

(2)函数/'(x)=(x-左一l)e',贝I/'(无)=(x-左)e*,

当x>1时,7%)>0,此时/(x)单调递增；

当x<1时,y,(x)<o,此时/(无)单调递减；

当4>3时，函数在［0,3］上单调递减，故函数的最小值/1(x)1nhi=/(3)=(2-左川；

当左<0时，函数在［0,3］上单调递增，故函数的最小值〃XUnAOb-l/；

当04443时,函数的最小值/(x)1nhi=/(左)=*.

—1—k,k<0

综上可得〃XU=—e&,04左43.

(2-k)d,k>3

【巩固练习1】已知函数/(无)=e=办-1.

(1)当。=1时，求/⑴的单调区间与极值；

(2)求/(x)在口,+8)上的最小值.

【解析】(1)当a=l时，f［x}=e-x-\,

当x<0时，r(x)<0,当x>0时，r(x)>o,

f(x)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

所以当x=0时，函数/(无)有极小值/'(0)=e°-0-l=0,无极大值.

综上：f(x)的减区间是(一*0),增区间是(0,+8),极小值为0,无极大值.

(2)f'(x)=Qx-a,

.,•当a<0时，/，(x)>0,所以/1(x)在［1,+<»)上单调递增，所以/⑴疝"=八1)=6-。-1：

当a>0时，令/'(x)=0,得x=lna,

(i)当0<aVe时，则InaWl,所以/(x)在［1,+8)上单调递增，所以［⑺5=1(l)=e-aT;

(ii)当a>e时，则lna>l,所以/(无)在［1,Ina)上单调递减，在(lna,+<x>)上单调递增，

则/⑴遍=/(ln«)=a-alna-l：

综上：当a<e时，/(无)在［1,+8)上的最小值为e-4-l;

当a>e时，f(x)在［1,+<»)上的最小值为a-aIn«-1.

【巩固练习2】已知函数/(x)=e-axT.

(1)当。=1时，求〃x)的单调区间与极值；

(2)求〃x)在口,+")上的最小值.

【解析】(1)当a=l时，/(力=/一》一1,二/1x)=e工一1,

当x<0时，f'(x)<0,当x>0时，r(x)>0,

/(尤)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

所以当尤=0时，函数/(X)有极小值/'⑼=e°-0-1=0,无极大值.

综上：/(无)的减区间是(一叫0),增区间是(0,+s),极小值为0,无极大值.

(2)—(x)=e*-a,

••・当时,f'(x)>0,所以/(x)在［1,+8)上单调递增,所以/(x)1nto=/(l)=e—a-l；

当a>0时，令/'(x)=0,得x=lna,

(i)当0<aVe时，则InaWl,所以/(x)在［1,+8)上单调递增，所以/'卜濡=/(1)=e-a-l；

(ii)当a>e时，则lna>l,所以/(尤)在［1,Ina)上单调递减，在(Ina,+巧上单调递增，

则/(x)min=/(lna)=Q—Qln“—1；

综上：当a«e时，/(x)在［l,+8)上的最小值为e-a-l;

当a〉e时，/(x)在［1,+«?)上的最小值为a-alna-l.

【题型6］根据函数的最值求参数的值

基础知识

根据最值条件建立方程，解方程求参数，验证解符合题意。

11.若函数/(x)=--§/+4在区间口，2］上的最小值为0,则实数4的值为()

10

A.—2B.-1C.2D.——

3

【答案】C

【分析】对函数求导后，分QW0和。〉0两种情况求出函数的单调区间，从而可求出函数的最小值,

使最小值等于零，从而可出实数〃的值

【详解】由/(x)=X，-+4,得广(%)=3由-3ax=3%(%-a),

当Q«0时，/'(x)>0在［1,2］上恒成立,

所以/(X)在［1,2］上递增,

所以〃刈皿„=〃1)=1一#+4=0,解得(舍去)，

当a>0时，由/'(x)=0,得x=0或X=a,

当0<a«l时，/'(x)〉0在［1,2］上恒成立，

所以/(%)在［1,2］上递增,

所以/(尤焉=〃1)=1*+4=0,解得“=¥(舍去)，

当l<a<2时，当l<x<a时，f\x)<0,当a<x<2时，f\x)>0,

所以/⑺在(La)上递减,在(a,2)上递增,

所以当x=a时，/(x)取得最小值，所以/(0)=03一51/+4=0,解得0=2(舍去)，

当时，当1VXV2时，f\x)<0,所以/(x)在［1,2］上递减，

所以/(x)1nhi=/(2)=23-#X4+4=0,解得。=2,综上，«=2

【巩固练习1】已知函数/'(x)=f3+3f+9x+a(“为常数)，在区间［-2,2］上有最大值20,那么

此函数在区间［-2,2］上的最小值为()

A.-37B.-7C.-5D.-11

【答案】B

【详解】由题意，函数/(%)=-/+3工2+9%+凡工£［一2,2］,可得/<%)=—312+6x+9,

令/'(%)=0,即-3/+6x+9=0,解得x=-l或3(舍去).

当-2<x<-1时，/\x)<0,单调递减；

当一1<%<2时，/(x)>0,〃x)单调递增，

所以当x=—1时取最小值，而/(2)=22+Q>/(—2)=2+Q,

即最大值为22+a=20,所以a=—2,所以此函数在区间［-2,2］上的最小值为f(—1)=—5—2=—7.

【巩固练习2】若函数/(x)=%3-――X+2次在区间［0,2］上的最大值是4,则加的值为()

A.3B.1C.2D.-1

【答案】B

【分析】利用导函数求出/(%)在［0,2］上的单调性，然后结合已知条件即可求解.

【详解】r(x)=3x2-2x-l,令/'(x)=0,解得x=-；或x=l,

当((x)<0时，一;<x<l；当/，(x)>0时，x<-；或x>l,

故/(X)在(YO,-g］和口,+8)上单调递增，在(-1,1)上单调递减，

从而/(X)在［0,1)上单调递减，在［1,2］上单调递增，

又/⑼=2机，"2)=2机+2,则〃2)>〃0),

所以/(%)在区间［0,2］上的最大值为"2)=2%+2=4,解得m=l.

【巩固练习3】已知。工0,若函数/(x)=/力工”、।有最小值，则实数。的最大值

(x—z)e+z,—1

为.

【答案】e—3/—3+e

【解析】当时,/(x)=(x-2)ex+2,/(x)=(x-l)e\

当1,1)时，/r(x)<0,当X£(l,+co)时，f^x)>0,

故/(X)在XE［T,1)上单调递减，在xe［l,+8)上单调递增，

故f(%)=(x—2)e"+2在％=1处取得极小值,且f(1)=—e+2,

当工<—1时，f［x)=ax-\,

若a〉0,/(x)=ax-l在上单调递增，此时了(%)没有最小值，

若。<0,/(X)=办-1在(-*-1)上单调递减，

要想函数有最小值，贝I2-e+2,解得a«e-3,

故实数”的最大值为e-3.

【题型7】由极值，极值点求参数范围【重点题型】

基础知识

一、根据极值或极值点个数求参数范围

首先需对函数求导并分析其导数。根据导数等于零的解的个数，结合二阶导数判断极值点类型(极

大值或极小值)。然后，利用给定的极值个数或极值点个数条件，建立关于参数的不等式或方程。最

后，解这些不等式或方程，得到参数的取值范围。注意，解可能需分类讨论，确保全面覆盖所有情

况。

二、根据函数有(无)极值点求参数范围

函数有无极值，需分析其一阶导数。首先求导，观察导数是否可能为零。若方程/'(x)=0无解或解

不满足极值条件(如二阶导数为零)，则无极值；若有解且满足极值条件，则有极值。根据有无极值

的条件，建立关于参数的不等式或方程。解不等式或方程，得到参数的取值范围，区分出函数有无

极值的情况。

三、函数在某区间上存在极值点求参数范围

函数在某区间上存在极值点，需先求导并令其为零，转化为/'(x)=0在该区间上有解，建立关于参

数的不等式或方程。解这些不等式或方程，得到参数的取值范围，确保函数在指定区间内存在极值

点。

12.(2024•辽宁葫芦岛•一模)已知函数/(x)=e，--在R上无极值，则。的取值范围是()

A.|B.C.[0,e)D.呜

【答案】D

【分析】求导数确定单调性，讨论x的取值范围可得结果.

【详解】由题意得，f'(x)=e-2ax,故/(0)=1>0,

因为函数/(x)=e'-ax2在R上无极值，

所以/'(x)20在R上恒成立，

当x>0时，a<—,

2x

沔(\e，/\2xex-2ex(x-l)eT

仅ga)w，则

当0<x<l时，得g'(x)<0,当x>l时，得g'(x)>0,

则g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增,

从而g'(x)2g'⑴=],故

当x<0时，—<0,则a20.

2x

综上,0K。《5.

13.（2024•河北秦皇岛•三模）已知0是函数/⑺=/+〃/+1的极大值点，则a的取值范围为（）

A.（-0=,0）B.（0,+（»）C.D.1一|■，+°°］

【答案】A

【分析】分类讨论。＜0、。=0与。＞0三种情况，结合导数与极值点的定义即可得解.

【详解】因为/（无）=x'+"2+1,所以/'（尤）=3x?+2or=x（3x+2a）,

令/'（无）=0,可得x=0或方一年,

当——＞0,即a＜0时，

令/'（X）＞0,得x＜0或x＞—?；令/（无）＜0,得

所以/（x）在（-8,0）,卜F，+oo］上单调递增，在（0,-彳］上单调递减，

所以x=0是函数/（X）的极大值点，满足题意；

当一彳=0,即0=0时，/'（x）=x（3x+0）N0恒成立，

则/（x）在R上单调递增，没有极值点，不满足题意；

当一年■＜（）,即°＞0时，

令/'（X）＞0,得…g或x＞0;令/（无）＜0,得号。＜0;

所以/（x）在,--—,（0,+°0）上单调递增，在1--上单调递减，

所以x=0是函数/（x）的极小值点，不满足题意；

综上，a＜0,即。的取值范围为（-8,0）.

14.（2024•高三・陕西咸阳•期中）若函数/（x）=alnx-L+3（"0）既有极大值也有极小值，则。的

XX

取值范围是（）

A.HB.卜别C.［。,£|D.陷

【答案】A

【解析】因为/（x）=Qlnx—'+e（〃。0）,定义域为（0,+8）,

xx

»、a12ax2+x-2,八、

所以/（%）=一+二一二二——5—（。。0），

XXXX

因为函数/（X）既有极大值也有极小值，

所以方程〃/+工一2=0有两个不相等的正根，设两根为国,当,

A=1+8。〉0

则有，+x——>0,解得—<Q<0,

2a8

-2

=--->0

a

所以a的取值范围为-J。j,

15.(23-24高三上•广东潮州•期末)若函数/(x)=；x2-"+inx在(0,2)上有极值，则实数。的取

值范围是()

A.2,1B.'JC.2+8)D.(2,+8)

【答案】D

【分析】由题意可得了'(%)=x-aH—在(0,2)上有零点，即a=x^—在(0,2)上有实数根，利用基本

不等式求出g(x)=%+：,%£(0,2)的最小值，可得〃22,再验证a=2是否满足即可.

【详解】/(x)-qx+inx的定义域为{X,>0},f[x^=x-a+—,

要函数/(x)_qx+inx在(0,2)上有极值，

则/，(％)=x-aH—在(0,2)上有零点，即a=xH—在(0,2)上有实数根.

XX

令g(x)=x+：,xe(0,2),

则g(x)=x+4=2,当且仅当x=1时等号成立，

所以a22.

当a=2时，/'(x)=尤-“+!=》+1一220,函数单调递增，

XX

则函数-ax+lnx在(0,2)上没有极值

16.(2024高三・全国・专题练习)已知函数”x)=x(lnx-ax)有两个极值点，则实数。的取值范围是

A.(一双\B.C.(0,1)D.(0,+oo)

【答案】B