2025年高考数学第一轮复习考点专练：椭圆方程及其性质（学生版+解析）

第04讲椭圆方程及其性质

（6类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

根据椭圆过的点求标准方程椭圆中三角形（四边形）的面积

2024年新I卷，第16题,15分

求椭圆的离心率根据韦达定理求参数

2024年新II卷，第5题,5分求椭圆的标准方程轨迹方程

求椭圆的离心率或离心率的取值范围

2023年新I卷，第5题,5分无

由椭圆的离心率求参数的取值范围

根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围

2023年新II卷,第5题,5分圆中三角形（四边形）的面积

求椭圆中的参数及范围

2022年新I卷，第16题,5分求椭圆的标准方程椭圆中焦点三角形的周长问题

2022年新II卷，第16题,5分根据弦长求参数由中点弦求弦方程

2021年新I卷，第5题,5分椭圆定义及辨析基本不等式求积的最大值

求椭圆中的弦长

2021年新H卷,第20题,12分根据离心率求椭圆的标准方程椭圆中的直线过定点问题

根据弦长求参数

二元二次方程表示的曲线与圆的

判断方程是否表示椭圆

2020年新I卷，第9题,5分关系

判断方程是否表示双曲线

椭圆中存在定点满足某条件问题

2020年新I卷，第22题,12分根据椭圆过的点求标准方程

椭圆中的定值问题

二元二次方程表示的曲线与圆的

判断方程是否表示椭圆

2020年新II卷,第10题,5分关系

判断方程是否表示双曲线

求椭圆的切线方程

2020年新II卷,第21题,12分根据椭圆过的点求标准方程椭圆中三角形（四边形）的面积

求椭圆中的最值问题

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等或偏难，分值为5-17分

【备考策略】1.熟练掌握椭圆的定义及其标准方程，会基本量的求解

2.熟练掌握椭圆的几何性质，并会相关计算

3.能熟练计算椭圆的离心率

4.会求椭圆的标准方程，会椭圆方程简单的实际应用

5.会求椭圆中的相关最值

【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，常常考查标准方程的求解、基本量的计算及离心率的求解,

需重点强化训练

核心'考点考点4椭圆的离心率

考点5椭圆中的最值问题

考点6椭圆的简单应用

知识讲解

1.椭圆的定义

平面上一动点W（x,y）到两定点0）,F2（C,0的距离的和为定面a

（且大引耳工脚点的轨迹叫做椭圆

这两个定点片,不叫做椭圆的焦点两焦点的距阿耳工|叫做椭圆的焦距

2.数学表达式

\MF\+\MF^=2a>闺闾=2c

3.椭圆的标准方程

焦点在龙轴上的标准方程

v2y2

椭圆标准方程为：/+3=]（a>b>0）

焦点在y轴上的标准方程

V2

3+—=1（6/>Z?>0）

（a2=b2+c~）

5.椭圆的几何性质

焦点的位置焦点在九轴上焦点在y轴上

工

图形小.

2222

标准方程…〉0）

—a<x<a-b<x<b

范围

—b<y<b-a<y<a

A（—4,0）,2^2（。,0）A（o,一份,4（o,b）

顶点坐标

6（o,-b）,修（°力）用（-仇0）,为（40）

长轴A4|=2〃长轴长，4。|二%。|=〃长半轴长

短轴用与仁力短轴长，46=怛2«=匕短半轴长

焦点

6(—c,0),月(c,0)4(0,—C)，F2(0,C)

焦距耳工=2c焦距，闺q=&a=c半焦距

对称性对称轴为坐标轴，对称中心为（。,0）

e=—(0<e<l)

a

离心率

Uji「1j

e越大，椭圆越扁

离心率对椭圆的影响e越小，椭圆越圆

6=0,圆

6.通径

（过椭圆焦点与坐标轴垂直的直线截得的弦长）

2//

通径长：|MN|=|ER|=『，

半通径长：M周=|叫|=怛工|=但闾="

7.椭圆中的两个周长问题

考点一、椭圆的定义及其应用

典例引领

22

1.（2024•广西南宁•二模）已知耳耳分别是椭圆〃：土+工=1的左、右焦点，P为M上一点，若1尸币=3,

165

则|PBI=（）

A.2B.3C.5D.6

22

2.（23-24高二上•湖南长沙•阶段练习）已知片，尸2是椭圆土+乙=1的两个焦点，尸是椭圆上一点，则

2516

|尸耳H尸闾的最大值是（）

25

A.—B.9C.16D.25

4

3.（2024•黑龙江哈尔滨•三模）已知尸1是椭圆+丁=1的左焦点，直线x=l与C交于A、8两点，则*42

周长为（）

A.也B.6C.2.72D.40

22

1.（2024•河北保定三模）已知尸是椭圆E：±+±=1上一点，K，尸2分别为E的左、右焦点，则归耳|+|尸巴卜

169

（）

A.8B.6C.4D.3

22

2.（2024•宁夏银川二模）已知4（3,0）,8（-3,0）,P是椭圆工+匕=1上的任意一点,则I尸如“尸切的最大值

2516

为一

22

3.（24-25高三上•河北秦皇岛•开学考试）已知椭圆C:二+匕=1的上顶点为A,左焦点为小线段的

43

中垂线与。交于〃,N两点，则△AAW的周长为.

考点二、椭圆的标准方程

典例引领

22

1.（2024•湖北荆州三模）已知椭圆C：土+匕=1的一个焦点为（0,2）,则上的值为（）

8k

A.4B.8C.10D.12

2.（23-24高二下•黑龙江哈尔滨•阶段练习）若方程2；-1+5\=1表示椭圆'则实数”的取值范围为（）

A.（MHMiB.

u[IjD-

22

3.（23-24高二上•广东汕头•期末）命题P：方程一」+工=1表示焦点在y轴上的椭圆，则使命题p成立

5-mm-1

的充分必要条件是（）

A.4<m<5B.3<m<5

C.1<m<5D.l<m<3

2222

4.（2024•海南海口二模）已知椭圆C|：土+工=1的2个焦点与椭圆C?：j+匕=1（加>0）的2个焦点构

123m216'7

成正方形的四个顶点，则小=（）

A.币B.75C.7D.5

5.（22-23高二上•江苏连云港•阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程：

⑴中心在原点，一个焦点坐标为（0,5）,短轴长为4；

（2）中心在原点，焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2,到右顶点的距离为1.

1.（23-24高二下•湖南长沙•期中）己知方程〃发+（2m-1）丁=1表示焦点在y轴上的椭圆，则机的取值范围

是（）

A.B.C.（1,+co）D.（0,1）

/v2

2.（2024•辽宁•二模）已知方程三+4=1表示的曲线是椭圆，则实数上的取值范围是（）

女一48—左

A.（4,6）B.（6,8）C.（4,8）D.（4,6）u（6,8）

2

3.（23-24高二上•福建龙岩•期中）（多选）已知曲线C:=/^+3V^=l,则（）

m—511—m

A.当机=8时，。是圆

B.当机=10时，C是焦距为4的椭圆

C.当C是焦点在无轴上的椭圆时，5Vm<8

D.当C是焦点在y轴上的椭圆时，

22

4.（2024・广东肇庆•模拟预测）（多选）己知曲线C的方程为'+乙=1,则（）

a3

A.当avO时，曲线C表示双曲线

B.当0VQV3时，曲线。表示焦点在元轴上的椭圆

C.当〃=3时，曲线C表示圆

D.当a>3时，曲线。表示焦点在V轴上的椭圆

5.（23-24高二上•全国•课后作业）求适合下列条件的椭圆的标准方程：

⑴一个焦点为£（-2^,0）,长轴长是短轴长的2倍；

⑵经过点P（2,2夜），离心率为告，焦点在x轴上；

⑶经过两点S（2'0）-

考点三、椭圆的几何性质

典例引领

22

1.（23-24高二上•海南省直辖县级单位•期中）（多选）关于椭圆上+匕=1,下列结论正确的是（）

42

A.长轴长为4B.短轴长为1

C.焦距为20D.离心率为4

2222

2.（23-24高三下•辽宁•阶段练习）已知椭圆C:匕+与=1">0）与椭圆匕+乙=1有相同的焦点，贝股=

25b194

（）

A.2.73B.2x/5C.3D.4

3.（23-24高二下•河北张家口•开学考试）已知片，尸2是椭圆C的两个焦点，尸是C上的一点，若「片，尸工，

且归耳尸阊=2:5,则C的长轴长与焦距的比值为（）

A」B.2c.叵D.拽।

27729

1.（24-25高三上•江西南昌•开学考试）已知椭圆E:?+?=l的右焦点为b，则E上满足「q=指的尸点

有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2

2.（2024•陕西西安•模拟预测）若椭圆匕=1的长轴长为3sin3则cos2fz=（）

2

7721

A.—B.——C.——D.-

9999

22

3.（2024•安徽合肥•模拟预测）已知点尸在圆X?+V=1上运动，点£A为椭圆工+匕=1的右焦点与上顶点，

84

则/PE4最小值为（）

A.15°B.30°C.45°D.75°

考点四、椭圆的离心率

典例引领

22

1.（2024•辽宁•模拟预测）已知焦点在x轴上的椭圆C:3+%=1（10）的短轴长为2,则其离心率为（）

A,在B.母01n1

2224

已知椭圆C:/+/=l（a>b>0）的离心率为g,则

2.（2024•陕西西安•三模）()

A.3a=4bB.a=2bC.a=3bD.2a=3b

222

3.（2024山东烟台三模）若椭圆?】与椭圆/+%=1（八1）的离心率相同’则实数b的值为（）

D

T4C-T-i

22

4.（2024•浙江宁波•模拟预测）已知椭圆C=1（“>"0）的左、右焦点分别为片（-G0）,89,0），点A,

ab

5在。上，直线倾斜角为三，且用=2月耳，则。的离心率为（）

1Jl12

A.-B.—C.-D.-

3323

22

5.（2024•陕西铜川•三模）已知原点为。，椭圆C:二+A=l（a>6>0）与直线/：》-丁+1=0交于A3两点,

ab

线段A3的中点为M,若直线的斜率为则椭圆C的离心率为（）

4

AJ_R小小-1Da

A•D.CL♦-----------U.

2223

22

6.（2024・湖北武汉•模拟预测）设椭圆E：5+}=l（a>b>0）的左右焦点为耳与，右顶点为A,已知点P

在椭圆E上，若产工=90。,/尸A招=45。，则椭圆E的离心率为（）

A.1B.gC.2-72D.6-1

1.（2024•广西•二模）己知椭圆的长轴长等于焦距的4倍，则该椭圆的离心率为（）

A.-B.—

22

22

2.（2024•浙江绍兴•二模）已知椭圆宗+方：=l（a>6>0）的离心率为:，长轴长为4,则该椭圆的短轴长为

)

A.6B.2石C.4A/3D.673

3.（2024•西藏拉萨•二模）若焦点在x轴上的椭圆三+f^=l（a>G）的离心率为也，则〃=（）

〃〃一32

A.5B.4C.3D.2

22

4.（2024・福建泉州•模拟预测）椭圆E：下方=l（a>b>0）的左右焦点分别为片点网0,硕根>“，线

段尸月，尸工分别交E于AB两点，过点B作E的切线交P月于C,且前•两=0,而=2瓯，则E的离心率

为（）

AJ_n^2「如V3

A.D.C.U.

2223

22

5.（2024•湖南衡阳•模拟预测）设尸-F?是椭圆C:=+[=l（。>6>0）的左、右焦点，过耳的直线/与C

ab

交于A,8两点，若卜同=#，则C的离心率为（）

A.拽B.9C.2D.亚

5555

考点五、椭圆中的最值问题

典例引领

22

1.（2023•全国•模拟预测）己知椭圆L+上=1的左顶点为A,右焦点为RM是椭圆上任意一点，则市.砺

1612

的取值范围为（）

A.[-16,0]B.[-8,0]

C.[0,8]D.[0,16]

22

2.（2023•全国•二模）己知尸（2,0）为椭圆C:\+2=l（a>6>0）的右焦点，点42,3）为C内一点，若在C

ab

上存在一点P,使得|B4|+|P尸|=10,则〃的取值范围是（）

A.（4,7]B.（5,7]C.（5,—]D.（4,—]

22

r2v2|PF|

3.（2024•陕西渭南•模拟预测）已知外&为椭圆:方=1（。>人>0）的两焦点，尸为椭圆。上一点，若常

的最大值为3,且焦距为2,则椭圆。的方程为

22

4.（2023•海南海口•模拟预测）已知小F?是椭圆E:；+、=l的左右焦点，点尸（%,%）为E上一动点，且

闯W1,若/为丁月工的内心，则△"；入面积的取值范围是（）

A.停用B.[3,6]JJrD.p-^,3-73]

22

1.（2024•广东惠州•模拟预测）已知椭圆的方程为土+乙=1,过椭圆中心的直线交椭圆于A、8两点，F,是

94

椭圆的右焦点，则八的周长的最小值为（）

A.8B.6+2括C.10D.8+2-73

2

2.（2024•湖南长沙•三模）已知椭圆匕+V=1,尸为椭圆上任意一点，过点尸分别作与直线4：y=3%和

9

4：y=-3x平行的直线，分别交14交于M，N两点，则|MN|的最大值为.

22

3.（2024•山东潍坊•三模）已知小尸2分别为椭圆C：二+乙=1的左、右焦点，点尸小,%）在C上,若/耳P6

62

冗

大于g，则X。的取值范围是（）

A.（-OO,-A/3）U（A/3,+OO）B.（-73,73）

C.卜》,-U（&\+0°）D.

4.（2024•青海海南•二模）已知曲线M：Jf+（y_6）2+Jx2+（y+道）2=心圆N:Q-5）2+y2=i,若4

B分别是M,N上的动点，则|A@的最小值是（）

A.2B.2^/2C.3D.2+^/^

考点六、椭圆的简单应用

典例引领

1.（2023•全国•模拟预测）我国在2022年完成了天宫空间站的建设，根据开普勒第一定律，天宫空间站的

运行轨道可以近似为椭圆，地球处于该椭圆的一个焦点上.已知某次变轨任务前后，天宫空间站的近地距

离（天宫空间站与地球距离的最小值）不变，远地距离（天宫空间站与地球距离的最大值）扩大为变轨前

的3倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2倍，则此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为（）

A.-B.1二1C.3二1D.1二1

3223

2.（23-24高二上,山东潍坊•阶段练习）开普勒第一定律指出，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳

处在椭圆的一个焦点上.若某行星距太阳表面的最大距离为。，最小距离〃，太阳半径为「，则该行星运行

轨迹椭圆的离心率为（）

p-N

夕+〃+2r

夕+4p+//+2r

p-//+2rP-N

3.（2024•内蒙古赤峰•一模）如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反

射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下面的题目：已知曲线C的方程为

22

工+匕=1,其左、右焦点分别是耳，F2,直线/与椭圆C切于点P,且归周=2,过点尸且与直线/垂直

的直线/'与椭圆长轴交于点则闺（）

C.1:3D.1:4

1.（2024・重庆•三模）如图所示，"嫦娥一号"探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点尸变轨进

入以月球球心歹为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭

圆轨道II绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以歹为圆心的圆形轨道川绕月飞行，若用2q和2c2分

别表示椭圆轨道I和II的焦距，用2%和2a2分别表示椭圆轨道I和II的长轴的长，则（）

B.«1+C,<a2+c2

C.D.

d)

2.（2024•黑龙江•三模）（多选）加斯帕尔•蒙日（如图1）是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆

锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆则

被称为〃蒙日圆〃（如图2）.已知矩形R的四边均与椭圆Uf+M=i相切，则下列说法正确的是（）

169

A.椭圆。的离心率为e=1

4

22

B.椭圆「:二+匕=1与椭圆C有相同的焦点

136

C.椭圆C的蒙日圆方程为尤2+丁=16

D.矩形R的面积最大值为50

3.（2024・新疆•一模）从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；

从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如

图①，一个光学装置由有公共焦点6月的椭圆T与双曲线S构成，现一光线从左焦点^发出，依次经S与

T反射，又回到了点月，历时4秒；若将装置中的S去掉，如图②，此光线从点K发出，经T两次反射后

又回到了点^历时L秒.已知L=4。，则T的离心率/与S的离心率e?之比刍■=.

4

IN.好题冲关

一、单选题

1.（2024•山东济南•二模）椭圆:+y2=i的焦点坐标是（）

A.（±V6,0）B.（±2,0）C.（0,±V6）D.（0,±2）

2.（2024•内蒙古・三模）已知椭圆T—+==1的离心率为且，则”?=（）

m+2m3

A.土B.dz2C.+25/2D.+4

3.（2024•福建泉州•二模）若椭圆E+E=l（a>0）的离心率为变，则该椭圆的焦距为（）

a32

A.6B.76C.2«或6D.2石或新

22

4.（22-23高二上•全国•期中）已知方程」—+—」=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数加的取值范围是

m-34-m

（）

A.（3,4）B.[了，]C.（3,+8）D.[s,]]

5.（2024•全国•模拟预测）设椭圆G:=+上=1（机>0）的离心率是椭圆：工+丁=1的离心率的地倍，

mm+223

则G的长轴长为（）

A.1B.73C.2D.26

22

6.（2024・贵州安顺•二模）已知椭圆E：±+}=l（a>b>0）的左、右焦点分别为居.点尸在E上，且

PFXYPF2.\PF\-\PF^=2,贝朋=（）

1厂

A.-B.1C.J3D.2

2

22_

7.（2024•江西九江•三模）已知椭圆C:「+】=1（。>b>0）的左右焦点分别为耳，工，过^且倾斜角为台的直

ab6

线交C于第一象限内一点A.若线段A耳的中点在y轴上,△A£8的面积为2白，则C的方程为（）

222

A.—X+y22=1B.一X+二V=1

332

二、填空题

22

8.（2024•陕西西安•模拟预测）已知椭圆C：、+Y=l（a>0）的焦距为26，则C的离心率为.

22

9.（2024•云南大理,模拟预测）椭圆"=1（。>人>0）的右顶点为A,上顶点为8,右焦点为尸，若

ab

直线所与以A为圆心半径为gb的圆相切，则椭圆离心率等于.

三、解答题

10.（2024•广东梅州•二模）已知椭圆C：^+4=1">6>0）的离心率为工且经过点小

a2b12I2

⑴求椭圆C的方程：

（2）求椭圆C上的点到直线Z：y=2x的距离的最大值.

一、单选题

1.（2024•全国•模拟预测）已知椭圆C的离心率为cos40。，焦点为",一个短轴顶点为3,则4%=（）

A.40°B.50°C.80°D.100°

2.（2024・四川遂宁•模拟预测）设。为坐标原点，月,工为椭圆C:工+亡=1的两个焦点，P,。两点在C上，

164

且RQ关于坐标原点对称，cos//¥；Q=g,贝力OP|=（）

713

A.—B.3C.2A/2D.—

221

3.（2024•江西九江•二模）已知椭圆E:1r+}=1（。>6>0）的上顶点为P,离心率为过其左焦点倾斜

角为30。的直线/交椭圆E于A,8两点，若AR钻的周长为16,则E的方程为（）

Ay210v2x1y2x2y2

A.+1=iD.1=1C.----1=1D.1-----=1

4312916123627

22

4.（2024•浙江金华•三模）已知五口F,分别是椭圆C:'+匕=1的左，右焦点，尸是椭圆C上一点，NPF/

一43

的角平分线与尸耳的交点。恰好在丁轴上，则线段尸工的长度为（）

3J3785

A.-B.—C.-D.-

2453

22

5.（2024・四川•三模）已知椭圆C:±+2=l（b>0）：的左、右焦点分别为耳耳，点P是椭圆上一点，若AP耳鸟

4b

的内心为连接并延长交无轴于点。，且=则椭圆的短轴长为（）

A.2B.272C.2A/3D.警

22

6.⑵24.湖南.三模）已知叱是椭圆的左、右焦点，。是坐标原点，过片作直线

与C交于A,B两点，若且的面积为1则椭圆C的离心率为（）

6

A6D.2

122

22

7.（2024•江西新余•模拟预测）已知椭圆C：与+2=1（“>6>0）的左右焦点分别为耳工，的三个顶

ab

点均在C上，耳、瑞分别落在线段相、AD上且轴，若AO=8,AB=9,则.

A.4B.5C.6D.7

二、多选题

22

8.（2024,浙江嘉兴•模拟预测圮知椭圆C:宗+方=1（。>6>0）的左右焦点分别是耳（-c,0）,“（。,0）,以电

为直径的圆与C在第一象限交于点尸，延长线段P"交C于点。.若|尸乙|=2依旦|,贝IJ（）

A.|Q闾+户耳|=|。4|B.△PQG的面积为竽

C.椭圆C的离心率为gD.直线的的斜率为-5

9.（2024・广东•三模）已知椭圆。:2/+3/=24的长轴端点分别为4出、两个焦点分别为片、生尸是C上任

意一点，则（）

A.C的离心率为3B.△尸耳&的周长为4（0+1）

3

c.△尸44面积的最大值为4&D.居•丽>0

22

10.（2024•贵州毕节•模拟预测）已知直线/：丫=辰（左#0）交椭圆=+2=1于A,2两点，K，歹2为椭圆的

ab

左、右焦点，M,N为椭圆的左、右顶点，在椭圆上与尸2关于直线/的对称点为。，则（）

A.若左=1,则椭圆的离心率为变

2

B.若总喘=」,则椭圆的离心率为走

33

C.IMFQ

D.若直线BQ平行于x轴，则左=±g

1.（2024•全国•高考真题）已知曲线C：x2+y2=16（y>0）,从C上任意一点P向x轴作垂线段PP，，P为

垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为（）

A.土+匕=1（y>0）B.土+匕=1（y>0）

164168

2Y2

C.磊++1(y>0)D.V1---------=1(y>0)

168

22

2.（2023•全国,高考真题）设椭圆G:=+'2=1（°>1）6：土+丁=1的离心率分别为0,1.若%=氐,则

a4

。二（）

A.孚B.&