2025年高考数学第一轮复习考点专练：函数模型及其应用（学生版+解析）

第07讲函数模型及其应用

（3类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

对数的运算性质的应用

2023年新I卷，第10题,5分对数函数模型的应用

由对数函数的单调性解不等式

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他函数知识点考查，需要掌握函数的图

象与性质，难度中等偏下，分值为5分

【备考策略】1.会选择合适的函数类型来模拟实际问题的变化规律.

2.会比较一次函数、二次函数、基函数、对数函数、指数函数增长速度的差异

3.了解函数模型（指数函数、对数函数、幕函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模

型）的广泛应用

【命题预测】本节内容通常考查给定实际问题选择用合适的函数解析式来模拟或求对应的实际应用值，是

新高考复习的重要内容

知识点1三种常见函数模型的性质

知识点2常见函数模型

核心知识点

知识点3解函数模型问题的步骤

函数模型及其应用考点1指数函数模型

考点2对数函数模型

核心考点

考点3建立拟合函数模型解决实际问题

知识讲解

1.三种函数模型的性质

函数y=axy=log«xy=xn

性质(。>1)(〃>1)(n>0)

在(0,+8)上

单调递增单调递增单调递增

的增减性

增长速度越来越快越来越慢相对平稳

随X的增大逐渐表现为随X的增大逐渐表随n值变化而各有

图象的变化

与诩平行现为与匈平行不同

2.常见的函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型J(x)=ax+b(af为常数，

1

二次函数模型J(x)=ax+bx+c(<a,b,c为常数，〃W0)

J[x)=%~b(k,为常数且ZWO)

反比例函数模型

x

指数函数模型fix)=ba+c(afb,c为常数，4>0且Z?#0)

对数函数模型f(x)=Z?logflx+c(a,b,c为常数，4>0且aWl,Z?WO)

幕函数模型f(x)=axa+b(a,b,。为常数，aWO)

3.解函数模型问题的步骤

(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型.

(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型.

⑶解模：求解数学模型，得出数学结论.

(4)还原：将数学问题还原为实际问题.

以上过程用框图表示如下：

考点一、指数函数模型

典例引领

1.(山东•高考真题)基本再生数R。与世代间隔了是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者

传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：

/⑺=e”描述累计感染病例数/⑴随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与Ro,7■近似满足Ro=1+”.有

学者基于已有数据估计出Ro=3.28,T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的

时间约为（ln2=0.69）（）

A.1.2天B.1.8天

C.2.5天D.3.5天

2.（2024•陕西安康•模拟预测）半导体的摩尔定律认为，集成电路芯片上的晶体管数量的倍增期是两年，用

/⑺表示从t=0开始，晶体管数量随时间f变化的函数，7（0）-1000,若f是以年为单位，则/⑺的解析式

为（）

A./（Z）=1000+^1^/B./（f）=1000x2,

C./（f）=1000x22D./（O=1000+2f

3.（2024高三下•全国・专题练习）小微企业是推进创业富民、恢复市场活力、引领科技创新的主力军，一直

以来，融资难、融资贵制约着小微企业的发展活力.某银行根据调查的数据，建立了小微企业实际还款比例尸

-0.968+fcc

与小微企业的年收入X（单位：万元）的关系为/＞=已知小微企业的年收入为80万元时，

其实际还款比例为50%,若银行希望实际还款比例为40%,则小微企业的年收入约为（参考数据：

In3^1.0986,In2a0.6931）（）

A.46.49万元B.53.56万元C.64.43万元D.71.12万元

1.（2024•湖南益阳•三模）二手汽车价位受多方因素影响，交易市场常用年限折旧法计算车价位，即按照同

款新车裸车价格，第一年汽车贬值20%,从第二年开始每年贬值10%.刚参加工作的小明打算买一辆约5

年的二手车，价格不超过8万元.根据年限折旧法，设小明可以考虑的同款新车裸车最高价位是机（•eN）万，

则根=（）

A.13B.14C.15D.16

2.（2024•广东茂名•一模）Gowperfz曲线用于预测生长曲线的回归预测，常见的应用有：代谢预测，肿瘤生

长预测，有限区域内生物种群数量预测，工业产品的市场预测等，其公式为：=（其中左＞。力＞0,

。为参数）.某研究员打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况，发现。=e.若尤=1表示该

新产品今年的年产量，估计明年（x=2）的产量将是今年的e倍，那么6的值为（e为自然数对数的底数）（）

A.B.C.75-1D.#+1

22

3.（2024•四川德阳三模）如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合.已知某类

果蔬的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：助满足函数关系.y=e3〃（a,b.为常数），若该果蔬在

7团的保鲜时间为288小时，在21回的保鲜时间为32小时，且该果蔬所需物流时间为4天，则物流过程中果

蔬的储藏温度（假设物流过程中恒温）最高不能超过（）

A.140B.15SC.13团D.16回

考点二、对数函数模型

典例引领

1.（2024•湖南长沙•三模）地震震级通常是用来衡量地震释放能量大小的数值，里氏震级最早是由查尔斯・

里克特提出的，其计算基于地震波的振幅，计算公式为"=1曲-1虱，其中M表示某地地震的里氏震级，A

表示该地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅，4表示这次地震中的标准地震振幅.假设在一次地震中，

某地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅为5000,且这次地震的标准地震振幅为0.002,则该地这次地震

的里氏震级约为（）（参考数据：炮2。0.3）

A.6.3级B.6.4级C.7.4级D.7.6级

2.（2024•山东泰安•模拟预测）青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常

用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lgV.已

知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为4.5和5.0,记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为

匕，％，则去的值所在区间是（）

%

A.（1.5,2）B.（2,2.5）C.（2.5,3）D.（3,3.5）

3.（2023•全国•高考真题）（多选）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压

级4=20xlg2,其中常数为（为>0）是听觉下限阈值，P是实际声压.下表为不同声源的声压级:

Po

声源与声源的距离/m声压级/dB

燃油汽车1060〜90

混合动力汽车1050〜60

电动汽车1040

已知在距离燃充b汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为P”P2，P3,则（）

A.Pi2p2B.P2>10p3

C.p3=100PoD."WlOOpz

1.（2024•重庆•模拟预测）物理学家本•福特提出的定律：在6进制的大量随机数据中，以“开头的数出现的

概率为与（"）=1。&但，应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.根据此定律，

n

在十进制的大量随机数据中，以1开头的数出现的概率大约是以9开头的数出现的概率的（）倍（参考

数据:lg2=0.301,lg3=0.477)

A.5.5B.6C.6.5D.7

2.（2024・江西•二模）核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程

中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀初始数值时，DNA的

数量X“与扩增次数〃满足值《=〃馆（1+0）+至4,其中X。为DNA的初始数量，P为扩增效率.已知某被

测标本DNA扩增16次后，数量变为原来的10000倍，则扩增效率。约为（）

（参考数据：10°，25它1.778,10*25x0.562）

A.22.2%B.43.8%C.56.2%D.77.8%

3.（2024・四川•模拟预测）2023年6月22日，由中国帮助印尼修建的雅万高铁测试成功，高铁实现时速350km

自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小.如果用声强/（单位：W/n?）表示声音在传播途

径中每平方米上的声能流密度，声强级工（单位：dB）与声强/的函数关系式为L=41g（a/）,其中％为基

准声强级，。为常数，当声强/=3时，声强级L=20dB.下表为不同列车声源在距离20m处的声强级：

声源与声源的距离（单位：m）声强级范围

内燃列车20[50,80]

电力列车20[20,50]

高速列车20{10}

设在离内燃列车、电力列车、高速列车20m处测得的实际声强分别为小A/，则下列结论正确的是（）

A.4=30B.It>I2C.Z2>10/3D.A<100Z2

考点三、建立拟合函数模型解决实际问题

卡典例引号

1.（全国•高考真题）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国

航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯

联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星"鹊桥"，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日4点的轨道运行.4

点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为M/,月球质量为Mz,地月距离为R,4点到

月球的距离为，，根据牛顿运动定律和万有引力定律，/■满足方程:

+必

（

(7?+r)2r2=R+号

3a3+3a4+（y5

因此在近似计算中-3a3,则r的近似值为

B.-H---AR

2M

D

-/蚩R

2.（2024•陕西商洛•模拟预测）人工智能QArtificialIntelligence）,英文缩写为A/.它是研究、开发用于模拟、

延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学.人工智能研究的一个主要目标是使

机器能够胜任一些通常需要人类智能才能完成的复杂工作.在疫情期间利用机器人配送、机器人测控体温等

都是人工智能的实际运用.某研究人工智能的新兴科技公司第一年年初有资金5000万元，并将其全部投入生

产，到当年年底资金增长了50%,预计以后每年资金年增长率与第一年相同.公司要求企业从第一年开始，

每年年底各项人员工资、税务等支出合计1500万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业

除去各项支出资金后的剩余资金为““万元，第加eN*）年年底企业的剩余资金超过21000万元，则整数机

的最小值为.(lg2工0.3010;lg3«0.4771)

1.（2024・重庆•二模）英国经济学家凯恩斯（1883-1946）研究了国民收入支配与国家经济发展之间的关系，

强调政府对市场经济的干预，并形成了现代西方经济学的一个重要学派一凯恩斯学派.机恩斯抽象出三个核

心要素：国民收入y,国民消费c和国民投资/,假设国民收入不是用于消费就是用于投资，就有：

=°其中常数即表示房租、水电等固定消费，々（④1）为国民"边际消费倾向”.则（）

A.若固定/且/..0,则国民收入越高，“边际消费倾向“越大

B.若固定y且y..o,贝『'边际消费倾向"越大，国民投资越高

C.若。=],则收入增长量是投资增长量的5倍

D.若〃=-4]，则收入增长量是投资1增长量的g

2.（2024•北京朝阳•二模）假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力/满足公式f=^pCSv2,其中。是

空气密度，S是该飞行器的迎风面积，v是该飞行器相对于空气的速度，C是空气阻力系数（其大小取决

于多种其他因素），反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率？=户.当O，S不变，v比原来提高

10%时，下列说法正确的是（）

A.若C不变，则尸比原来提高不超过30%

B.若C不变，则尸比原来提高超过40%

C.为使尸不变，则C比原来降低不超过30%

D.为使尸不变，则C比原来降低超过40%

12.好题冲关

一、单选题

1.（2024•河南三门峡•模拟预测）研究表明，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的

关系为lgE=4.8+1.5/.2024年1月30日在新疆克孜勒苏州阿合奇县发生了里氏5.7级地震，所释放的能量

记为昂2024年1月13日在汤加群岛发生了里氏5.2级地震，所释放的能量记为区，则比值察的整数部分

E2

为（）

A.4B.5C.6D.7

2.（2024•北京昌平•二模）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种

绿茶用90团的水泡制，再等到茶水温度降至60回时饮用，可以产生极佳口感；在20团室温下，茶水温度从90回

开始，经过fmin后的温度为了℃,可选择函数y=60x0.9'+20«20）来近似地刻画茶水温度随时间变化的规

律，则在上述条件下，该种绿茶茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是（）

（参考数据：lg2。0.30,lg3。0.48）

A.2.5minB.4.5minC.6minD.8min

3.（2024•陕西安康•模拟预测）若一段河流的蓄水量为v立方米，每天水流量为左立方米，每天往这段河流

排水厂立方米的污水，贝！h天后河水的污染指数%=：+J（/为初始值，见）＞°）.现有一条被

污染的河流，其蓄水量是每天水流量的60倍，以当前的污染指数为初始值，若从现在开始停止排污水，要

使河水的污染指数下降到初始值的。，需要的天数大约是（参考数据：ln7。1.95）（）

A.98B.105C.117D.130

4.（2024・四川凉山•三模）工厂废气排放前要过滤废气中的污染物再进行排放，废气中污染物含量V（单位：

mg/L）与过滤时间f小时的关系为＞=%片"（％,。均为正的常数）.已知前5小时过滤掉了10%污染物，

那么当污染物过滤掉50%还需要经过（）（最终结果精确到lh,参考数据：lg2“0.301,lg3k0.477）

A.43hB.38hC.33hD.28h

5.（2024•江西•模拟预测）酒驾最新标准规定：100ml血液中酒精含量达到20mg的驾驶员即为酒后驾车，达

到80mg及以上认定为醉酒驾车.如果某驾驶员酒后血液中酒精浓度为L2mg/ml,从此刻起停止饮酒，血

液中酒精含量会以每小时25%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（参考数据：

lg2~0.301,lg3«0.477）（）

A.6B.7C.8D.9

6.（2024•全国•模拟预测）某农业研究所对玉米幼穗的叶龄指数R与可见叶片数x进行分析研究，其关系可

以用函数R=15e«（。为常数）表示.若玉米幼穗在伸长期可见叶片为7片，叶龄指数为30,则当玉米幼

穗在四分体形成期叶龄指数为82.5时，可见叶片数约为（）（参考数据：In2ao.7,ln5.5»1.7）

A.15B.16C.17D.18

7.（2024•全国•模拟预测）青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五

分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据乙和小数记录法的数据V满足乙=5+lgV.已知小

明和小李视力的五分记录法的数据分别为4.5和4.9,记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为匕匕，

则,（）

A.（1.5,2）B.（2,2.5）C.（2.5,3）D.（3,3.5）

8.（2024・江苏•模拟预测）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解,

例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+L5M.2OO8年5月12

日我国汶川发生里氏8.0级地震，它所释放出来的能量是2024年4月3日我国台湾发生里氏7.0级地震的

（）倍

1548

A.1B.107C.10D.10

9.（2024•宁夏吴忠•模拟预测）从甲地到乙地的距离约为240km,经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量。

（单位：L）与速度v（单位：km/h）（0<v<120）的下列数据：

V0406080120

Q0.0006.6678.12510.00020.000

为描述汽车每小时耗油量与速度的关系，则下列四个函数模型中，最符合实际情况的函数模型是（）

A.2=0.5"+"B.Q^av+b

32

C.Q=av+bv+cvD.Q=k\ogav+b

10.（2024•宁夏银川•一模）锂电池在存放过程中会发生自放电现象，其电容量损失量随时间的变化规律为

Q=ktp,其中Q（单位mAh）为电池容量损失量，P是时间r的指数项，反映了时间趋势由反应级数决定，

左是方程剩余项未知参数的组合，与温度T和电池初始荷电状态M等自放电影响因素有关.以某种品牌锂电

池为研究对象，经实验采集数据进行拟合后获得。=0.5,相关统计学参数户>0.995,且预测值与实际值误

差很小.在研究M对。的影响时，其他参量可通过控制视为常数，电池自放电容量损失量随时间的变化规

律为。二k一二心".）〃，经实验采集数据进行拟合后获得A=2.228,8=1.3,相关统计学参数4=0.999,且

预测值与实际值误差很小.若该品牌电池初始荷电状态为80%,存放16天后，电容量损失量约为（）

（参考数据为：e3-22x25.08,e3232®25.33,e3265工26.26,e3-628»37.64）

A.100.32B.101.32C.105.04D.150.56

一、单选题

1.（2024•陕西渭南•二模）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究可知：在室

温25。（2下，某种绿茶用85<的水泡制，经过™后茶水的温度为yc,且>=上0.9227工+25（x20,无eR）.

当茶水温度降至60°C时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为（）

（参考数据：In2»0.69,ln3«1.10,ln7»1.95,lnO.9227X-0.08）

A.6minB.7minC.8minD.9min

2.（2024•河北邯郸•模拟预测）中国地震台网测定：2024年4月3日，中国台湾花莲县海域发生里氏7.3级

地震.已知地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+L5M,20"年3

月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，则它所释放出来的能量约是中国台湾花莲县海域发生里氏

7.3级地震的多少倍？（）

A.98B.105C.355D.463

3.（2024•福建福州•模拟预测）当药品A注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时25%的速度减少，

另一种药物3注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时10%的速度减少.现同时给两位患者分别注

射800mg药品A和500mg药品2,当两位患者体内药品的残余量恰好相等时，所经过的时间约为（）（参

考数据:0.301,lg3ao.477）

A.0.57hB.1.36hC.2.58hD.3.26h

4.（2024•浙江杭州•二模）某外来入侵植物生长迅速，繁殖能力强，大量繁殖会排挤本地植物，容易形成单

一优势种群，导致原有植物种群的衰退甚至消失，使当地生态系统的物种多样性下降，从而破坏生态平衡.

假如不加控制，它的总数量每经过一年就增长一倍.则该外来入侵植物由入侵的1株变成100万株大约需要

（）（参考数据：1g2〜0.301）

A.40年B.30年C.20年D.10年

5.（23-24高三上•内蒙古鄂尔多斯•期末）教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病

微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧

化碳日平均最高容许浓度应不超过0.1%.经测定，刚下课时，空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后

教室内二氧化碳的浓度为>%,且y随时间c（单位：分钟）的变化规律可以用函数y=0.05+加得描述，则

该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（参考数据：ln3^1.1）（）

A.11分钟B.13分钟C.15分钟D.17分钟

二、多选题

6.（2024•安徽蚌埠•模拟预测）科学研究表明，物体在空气中冷却的温度变化是有规律的.如果物体的初始

温度为4℃,空气温度q。C保持不变，贝卜分钟后物体的温度6（单位：。0满足：e=q+（q-%）e«g.若

空气温度为10℃,该物体温度从4℃（90<^<100）下降到30。。，大约所需的时间为4,若该物体温度从

70℃,50。（2下降到3下C,大约所需的时间分别为马右，则（）（参考数据：In2ao.7,ln3"l）

A.t2=20B,284rl430C.>2?3D.-t2<6

7.（2024•辽宁・二模）半导体的摩尔定律认为，集成电路芯片上的晶体管数量的倍增期是两年，用/⑺表示

从/=0开始，晶体管数量随时间/变化的函数，若"0）=1000,则下面选项中，符合摩尔定律公式的是（）

A.若f是以月为单位，则/«）=1000+臂f

B.若f是以年为单位，则"）=1000x（后

C.若才是以月为单位，则1g/⑺=3+譬f

D.若/是以年为单位，则।〃、°Ig/'+l）

lg/（0=3+^^-L

8.（2024・湖南长沙•模拟预测）氤，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组

成，并带有放射性，会发生夕衰变，其半衰期是12.43年.样本中能的质量N随时间f（单位:年）的衰变规律满

足^=乂.2一册，其中3表示笳原有的质量，则（）（参考数据:1g2a0.301）

N

A.r=12.43log2—

No

B.经过24.86年后，样本中的筛;元素会全部消失

C.经过62.15年后，样本中的旅元素变为原来的上

D.若x年后，样本中氤元素的含量为04N。，则x>16

三、填空题

9.（2024•广东广州•模拟预测）"阿托秒”是一种时间的国际单位，"阿托秒"等于10-8秒，原子核内部作用过

程的持续时间可用"阿托秒”表示.《庄子•天下》中提到，"一尺之梗，日取其半，万世不竭"，如果把"一尺之

植"的长度看成1米，按照此法，至少需要经过天才能使剩下"植”的长度小于光在2"阿托秒”内走过的

距离.（参考数据：光速为3x108米/秒，坨220.3,lg3。0.48）

10.（2024・河南洛阳•模拟预测）在高度为3.6m的竖直墙壁面上有一电子眼A,已知A到天花板的距离为2.1m,

电子眼A的最大可视半径为0.5m.某人从电子眼正上方的天花板处贴墙面自由释放一个长度为0.2m的木棒

（木棒竖直下落且保持与地面垂直），则电子眼A记录到木棒通过的时间为s.（注意：位移与时间的函

数关系为s=；g/,重力加速度g取lom/s?）

1.（四川♦高考真题）某食品的保鲜时间丁（单位：小时）与储藏温度x（单位：回）满足函数关系y=e"+"

（e=2.718…为自然对数的底数，上力为常数）.若该食品在0回的保鲜时间是192小时，在22国的保鲜时间是48

小时，则该食品在33团的保鲜时间是

A.16小时B.20小时C.24小时D.21小时

2.（全国•高考真题）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，

由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压

500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05,志愿者每人每天能完成50份订单的配

货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者（）

A.10名B.18名C.24名D.32名

3.（北京•高考真题）顾客请一位工艺师把A、3两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成

这

项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都

完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：

工序

时间粗加工精加工

原料

原料A

915

原料B

621

则最短交货期为一工作日.

4.（上海・高考真题）根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP（GDP

是指国内生产总值）4035亿元，2000年上海市GDP预期增长9%,市委、市府提出本市常住人口每年的自

然增长率将控制在0.08%,若GDP与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均GDP达到或超过1999年

的2倍，至少需年.

按：1999年本市常住人口总数约1300万.

第07讲函数模型及其应用

（3类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

对数的运算性质的应用

2023年新I卷，第10题,5分对数函数模型的应用

由对数函数的单调性解不等式

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他函数知识点考查，需要掌握函数的图

象与性质，难度中等偏下，分值为5分

【备考策略】1.会选择合适的函数类型来模拟实际问题的变化规律.

2.会比较一次函数、二次函数、幕函数、对数函数、指数函数增长速度的差异

3.了解函数模型（指数函数、对数函数、哥函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模

型）的广泛应用

【命题预测】本节内容通常考查给定实际问题选择用合适的函数解析式来模拟或求对应的实际应用值，是

新高考复习的重要内容

知识点1三种常见函数模型的性质

珏、.n，nq知识点2常见函数模型

/核心知1只点

X1-----------------------知识点3解函数模型问题的步骤

型及其应用考点1指数函数模型

珏、a上考点2对数函数模型

核心考点

考点3建立拟合函数模型解决实际问题

知识讲解

1.三种函数模型的性质

函数y=（fy=\ogaX

性（〃>1）（。>1）（n>0）

在(0,+8)上

单调递增单调递增单调递增

的增减性

增长速度越来越快越来越慢相对平稳

随X的增大逐渐表现为随X的增大逐渐表随n值变化而各有

图象的变化

与诩平行现为与理i平行不同

2.常见的函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型J（x）=ax+b（a,Z?为常数，〃W0）

二次函数模型fix）=ax1+bx~\~c（a,b,c为常数，aWO）

k

反比例函数模型fix）=-+b（kfZ?为常数且左WO）

指数函数模型"+c（〃，b,c为常数，〃>0且“Wl,bWO）

对数函数模型fix）=blogax+c（a,b,c为常数，a>0且aWLbWO）

幕函数模型f（x）=axa+b（a,b,。为常数，oWO）

3.解函数模型问题的步骤

(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型.

(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型.

(3)解模：求解数学模型，得出数学结论.

(4)还原：将数学问题还原为实际问题.

以上过程用框图表示如下：

考点一、指数函数模型

典例I啊

1.(山东•高考真题)基本再生数R。与世代间隔7■是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者

传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：

/⑺=e”描述累计感染病例数/（t）随时间t（单位:天）的变化规律，指数增长率r与Ro,7■近似满足R。=1+".有

学者基于已有数据估计出Ro=3.28,7=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的

时间约为（ln2=0.69）（）

A.1.2天B.B8天

C.2.5天D.3.5天

【答案】B

【分析】根据题意可得/（r）=e"=e°3。，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间

为％天,根据6阚'㈤=切38，,解得「即可得结果.

a亦_1

［详解］因为4=3.28,T=6,4=1+”,所以r=±^|_L=0.38,所以="=e03&,

设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为。天，

则0。.3s=2产,所以趟=2,所以0.38%=In2,

m2In20.691十

所以。=---x----p1.8o天.

i0.380.38

故选:B.

【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.

2.（2024・陕西安康•模拟预测）半导体的摩尔定律认为，集成电路芯片上的晶体管数量的倍增期是两年，用

/⑺表示从U0开始，晶体管数量随时间看变化的函数，7（0）=1000,若才是以年为单位，则/«）的解析式

为（）

A./«）=1000+卷0/B.%）=1000x7

C./（r）=1000x2^D./。）=1000+2'

【答案】C

【分析】根据题意晶体管数量的倍增期是两年,也就是晶体管数量每两年增加一倍，可得了⑺为指数型函数，

即可判断.

【详解】晶体管数量的倍增期是两年，也就是晶体管数量每两年增加一倍，

根据时间r以年为单位，以及/（。）=1000,得了⑺=1000x21

故选：C.

3.（2024高三下•全国•专题练习）小微企业是推进创业富民、恢复市场活力、引领科技创新的主力军，一直

以来，融资难、融资贵制约着小微企业的发展活力.某银行根据调查的数据，建立了小微企业实际还款比例P

-0.968+H

与小微企业的年收入X（单位：万元）的关系为「=已知小微企业的年收入为80万元时，

］।v.yOo।KX\/

其实际还款比例为50%,若银行希望实际还款比例为40%,则小微企业的年收入约为（参考数据:

In3-1.0986,In2®0.6931)()

A.46.49万元B.53.56万元C.64.43万元D.71.12万元

【答案】A

-0.968+Ax

【分析】先根据题中数据代入计算函数尸=士与即优eR）中参数上的值，然后计算还款比例为40%时的

值即可.

一0.968+80左

【详解】由题意知50%=igg。=化简得e"68+8。&=1,

]+g―U.9OO+OUK

故一0.968+80^=0,得左=0.0121.

-0.968+0.0121%T

则当尸=40%时,40%=]g"―v.yoo+。u。.⑵uizix，化简得e4968+oa2"=3,

两边同时取对数，-0.968+0.012lx=In2-In3«-0.4055,得x36.49,

故当实际还款比例为40%时，小微企业的年收入约为46.49万元.

故选：A

1.（2024・湖南益阳•三模）二手汽车价位受多方因素影响，交易市场常用年限折旧法计算车价位，即按照同

款新车裸车价格，第一年汽车贬值20%,从第二年开始每年贬值10%.刚参加工作的小明打算买一辆约5

年的二手车，价格不超过8万元.根据年限折旧法，设小明可以考虑的同款新车裸车最高价位是，"（根eN）万,

则m=（）

A.13B.14C.15D.16

【答案】C

【分析】根据题意，列出不等式，解之并取近似值，即得加的值.

48

【详解】依题意，〃瑁-20%）（1-10%）<8,解得m<non.=空等，

0.8x0.96561

则〃zV15.24,又机eN,贝lj机=15.

故选：C.

2.（2024•广东茂名•一模）Gompertz曲线用于预测生长曲线的回归预测，常见的应用有：代谢预测，肿瘤生

长预测，有限区域内生物种群数量预测，工业产品的市场预测等，其公式为：，（力=3心（其中左>0,6>0,

〃为参数）.某研究员打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况，发现。=e.若x=l表示该

新产品今年的年产量，估计明年（尤=2）的产量将是今年的e倍，那么b的值为（e为自然数对数的底数）（）

A.B.C.75-1D.下+1

22

【答案】A

【分析】由。=e,得到=-e",分别代入x=1、x=2,得到了⑴和“2）的值,进而得到埠=4一尸=e

求解即可.

【详解】由0=e,得到〃x）=heh,

二当x=l时，f（l）=he/；

当尤=2时，/（2）=抬/.

依题意，明年（》=2）的产量将是今年的e倍，得：牛=e『''=e,

ke

——=1,BPZ>2+£>—1=0,解得b=—.

,：b>Q,b=――.

2

故选：A.

3.（2024・四川德阳•三模）如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合.已知某类

果蔬的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度M单位：助满足函数关系.〉=4+〃俗，b.为常数），若该果蔬在

7回的保鲜时间为288小时，在21回的保鲜时间为32小时，且该果蔬所需物流时间为4天，则物流过程中果

蔬的储藏温度（假设物流过程中恒温）最高不能超过（）

A.140B.150C.130D.160

【答案】A

【分析】根据给定的函数模型建立方程组，再列出不等式即可求解.

pja+b_^oo[]

21.+J℃,则即e7〃=j显然“<0,

{e=3293

设物流过程中果蔬的储藏温度为诩于是暧+996=3/3=e-Je2L=e14fl+\

解得因此,

所以物流过程中果蔬的储藏温度最高不能超过140.

故选：A

考点二、对数函数模型

典例引领

1.（2024・湖南长沙•三模）地震震级通常是用来衡量地震释放能量大小的数值，里氏震级最早是由查尔斯・

里克特提出的，其计算基于地震波的振幅，计算公式为"=1/-1乳，其中M表示某地地震的里氏震级，A

表示该地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅，A）表示这次地震中的标准地震振幅.假设在一次地震中，

某地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅为5000,且这次地震的标