第13讲 双曲线（十大题型）（原卷版）VIP

第13讲双曲线【题型归纳目录】题型一：双曲线的定义、条件题型二：求双曲线的标准方程题型三：双曲线的综合问题题型四：轨迹方程题型五：双曲线的简单几何性质题型六：求双曲线的离心率题型七：求双曲线离心率的取值范围题型八：由双曲线离心率求参数的取值范围题型九：双曲线中的范围与最值问题题型十：焦点三角形【知识点梳理】知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线．这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距．知识点诠释：1、双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2、若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；3、若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；4、若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；5、若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．知识点二：双曲线的标准方程1、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中椭圆、双曲线的区别和联系：椭圆双曲线根据|MF1|+|MF2|=2a根据|MF1|－|MF2|=±2aa＞c＞0，a2－c2=b2（b＞0）0＜a＜c，c2－a2=b2（b＞0），（a＞b＞0），（a＞0，b＞0，a不一定大于b）（a最大）（c最大）标准方程统一为：方程Ax2+By2=C（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件方程Ax2+By2=C可化为，即，所以只有A、B异号，方程表示双曲线．当时，双曲线的焦点在x轴上；当时，双曲线的焦点在y轴上．知识点诠释：3、当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式．此时，双曲线的焦点在坐标轴上．4、双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞a，c＞b，且c2=b2+a2．5、双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．6、对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上．知识点三：求双曲线的标准方程①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值．其主要步骤是“先定型，再定量”；②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程．知识点四：双曲线的简单几何性质双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质范围双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a和x=a的两侧，是无限延伸的．因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a．对称性对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心．顶点①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点．②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（-a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点．③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，-b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b．a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长．①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆．②双曲线的焦点总在实轴上．③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．离心率①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作．②因为c＞a＞0，所以双曲线的离心率．由c2=a2+b2，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度．③等轴双曲线，所以离心率．渐近线经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是．我们把直线叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交．知识点四：双曲线两个标准方程几何性质的比较标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点轴实轴长=，虚轴长=离心率渐近线方程知识点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上．知识点五：双曲线的渐近线（1）已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为，则其渐近线方程为已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程．（2）已知渐近线方程求双曲线方程：若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可．（3）与双曲线有公共渐近线的双曲线与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上）（4）等轴双曲线的渐近线等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为．知识点六：双曲线中a，b，c的几何意义及有关线段的几何特征：双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞b＞0，c＞a＞0，且c2=b2+a2．双曲线，如图：（1）实轴长，虚轴长，焦距，（2）离心率：；（3）顶点到焦点的距离：，；【典例例题】题型一：双曲线的定义、条件【例1】（2023·高二课时练习）平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于的点的轨迹是（

）A．双曲线 B．两条射线 C．一条线段 D．一条直线【对点训练1】（2023·高二课时练习）到两定点、的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹（

）A．椭圆 B．直线 C．双曲线 D．两条射线【对点训练2】（2023·高二课时练习）已知动点满足，则动点P的轨迹是（）A．双曲线 B．双曲线左支C．双曲线右支 D．一条射线【对点训练3】（2023·四川成都·高二成都实外校考阶段练习）方程所表示的曲线是（

）A．圆的一部分 B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分 D．直线的一部分题型二：求双曲线的标准方程【例2】（2023·广东揭阳·高二惠来县第一中学校考阶段练习）解答下列两个小题：(1)双曲线：离心率为，且点在双曲线上，求的方程；(2)椭圆的焦点在轴上，焦距为，且经过点，求椭圆的标准方程.【对点训练4】（2023·高二课时练习）求与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线的标准方程．【对点训练5】（2023·四川成都·高二校考期中）求满足下列条件的曲线的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是、，椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10的椭圆方程；(2)已知双曲线的渐近线方程为，焦距为10．【对点训练6】（2023·高二单元测试）求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在轴上，实轴长为，其离心率；(2)渐近线方程为，经过点．(3)双曲线：离心率为，且点在双曲线上，求的方程；(4)双曲线实轴长为，且双曲线与椭圆的焦点相同，求双曲线的标准方程．题型三：双曲线的综合问题【例3】（2023·新疆喀什·高二校考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，动点M满足||MF₁|-|MF₂||=4.(1)求动点M的轨迹C的方程：(2)已知点A(-2，0)，B(2，0)，当点M与A，B不重合时，设直线MA，MB的斜率分别为k₁，k₂，证明:为定值.【对点训练7】（2023·江苏徐州·高二校考期中）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线．(1)设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若，求点M的坐标；(2)设斜率为的直线l交C于P、Q两点，若l与圆相切，求证：．【对点训练8】（2023·上海·高二专题练习）已知点､依次为双曲线（，）的左､右焦点，且，.(1)若，以为法向量的直线经过，求到的距离；(2)设双曲线经过第一､三象限的渐近线为，若直线与直线垂直，求双曲线的离心率.【对点训练9】（2023·四川资阳·高二校考期中）已知双曲线C：的焦距为4，且过点.(1)求双曲线方程；(2)若直线与双曲线C有且只有一个公共点，求实数的值.【对点训练10】（多选题）（2023·安徽合肥·高二校考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，点在双曲线上，则下列结论正确的是（

）A．该双曲线的离心率为B．若，则的面积为C．点到两渐近线的距离乘积为D．直线和直线的斜率乘积为【对点训练11】（多选题）（2023·湖北十堰·高二校联考阶段练习）若是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，共焦点，，，，的离心率分别为，，则下列结论中正确的是（

）A．， B．C．若，则 D．若，则的最小值为2题型四：轨迹方程【例4】（2023·陕西宝鸡·高二统考期末）动点与点与点满足，则点的轨迹方程为__________．【对点训练12】（2023·上海浦东新·高二校考期末）已知轴上两点，则平面内到这两点距离之差的绝对值为8的动点的轨迹方程为________【对点训练13】（2023·高二课时练习）动圆过点，且与圆外切，则动圆圆心的轨迹方程是______．【对点训练14】（2023·河北石家庄·高二河北新乐市第一中学统考期中）已知圆M与圆C1：和圆C2：一个内切一个外切，则点M的轨迹方程为___________.【对点训练15】（2023·辽宁本溪·高二校考阶段练习）已知椭圆的方程为，其左､右顶点分别为，一条垂直于轴的直线交椭圆于两点，直线与直线相交于点，则点的轨迹方程为___________.【对点训练16】（2023·浙江杭州·高二杭州四中校考期末）法国数学家蒙日发现：双曲线的两条互相垂直切线的交点的轨迹方程为：，这个圆被称为蒙日圆.若某双曲线对应的蒙日圆方程为，则___________.【对点训练17】（2023·广西百色·高二阶段练习）设P为双曲线上一动点，O为坐标原点，M为线段的中点，则点M的轨迹方程为_____________．【对点训练18】（2023·高二课时练习）如图，圆，点，动圆P过点F，且与圆E内切于点M，则动圆P的圆心P的轨迹方程为______．【对点训练19】（2023·高二单元测试）已知双曲线，、是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，是的平分线，过作的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为_______．题型五：双曲线的简单几何性质【例5】（2023·江西萍乡·高二统考期末）已知是双曲线的两个焦点，若双曲线的左､右顶点和原点把线段四等分，则该双曲线的焦距为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【对点训练20】（2023·高二课时练习）双曲线的焦点坐标为（

）A． B．C． D．【对点训练21】（2023·高二课时练习）已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（

）A． B．C． D．【对点训练22】（2023·湖南衡阳·高二衡阳市八中校考阶段练习）已知双曲线的渐近线方程为，若双曲线C的焦点到渐近线的距离为12，则双曲线C的焦距为（

）A．30 B．24 C．15 D．12【对点训练23】（2023·山东菏泽·高二统考期末）设双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【对点训练24】（2023·四川泸州·高二校考阶段练习）已知双曲线：的一个焦点为，则双曲线的渐近线方程为（

）.A． B．C． D．题型六：求双曲线的离心率【例6】（2023·广西河池·高二校联考阶段练习）已知双曲线C：的右焦点到一条渐近线的距离为3，则双曲线C的离心率为______．【对点训练25】（2023·河南省直辖县级单位·高二统考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线的左支上存在一点，使得与双曲线的一条渐近线垂直于点，且，则此双曲线的离心率为______．【对点训练26】（2023·湖北·高二郧阳中学校联考阶段练习）如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，充分体现唐代金银器制作的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作．该杯主体部分的轴截面可以近似看作双曲线的一部分，设该双曲线的方程为，右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为__________．【对点训练27】（2023·湖北孝感·高二统考期中）已知分别是双曲线的左､右焦点，点是双曲线的右顶点，点在过点且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则双曲线的离心率为___________.【对点训练28】（2023·四川德阳·高二四川省广汉中学校考阶段练习）已知焦点在x轴上的双曲线的左右焦点别为和，其右支上存在一点P满足，且的面积为3，则该双曲线的离心率为______.【对点训练29】（2023·天津·高二校联考期末）已知圆与双曲线的渐近线相切，且圆心到双曲线左顶点的距离为，则该双曲线的离心率是__________．【对点训练30】（2023·北京东城·高二北京市第五中学校考期中）双曲线C：的渐近线与直线交于A，B两点，且，那么双曲线C的离心率为____.【对点训练31】（2023·陕西榆林·高二陕西省神木中学校考阶段练习）已知双曲线C：的右焦点为F，O为坐标原点，以F为圆心，OF为半径的圆与双曲线C的一条渐近线相交于O，A两点，若的面积等于2，则双曲线C的离心率为______.【对点训练32】（2023·云南保山·高二校联考阶段练习）设双曲线(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为该双曲线上一点且2|PF1|＝3|PF2|，若∠F1PF2＝60°，则该双曲线的离心率为______．【对点训练33】（2023·内蒙古赤峰·高二统考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P为双曲线C右支上一点，直线与圆相切，且，则双曲线C的离心率为__________．【对点训练34】（2023·陕西安康·高二统考开学考试）双曲线的左，右焦点分别为，，C上一点到轴的距离为，，则双曲线的离心率为______.题型七：求双曲线离心率的取值范围【例7】（2023·贵州黔东南·高二凯里一中校考阶段练习）已知双曲线，若过右焦点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是___________.【对点训练35】（2023·上海普陀·高二曹杨二中校考阶段练习）双曲线与直线无公共点，则双曲线C的离心率的取值范围为_______．【对点训练36】（2023·河南驻马店·高二校考阶段练习）已知，分别是双曲线：的左、右焦点.若双曲线上存在一点使得，则双曲线的离心率的取值范围为___________.【对点训练37】（2023·湖北·高二校联考阶段练习）已知是双曲线的右焦点，直线与双曲线相交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是__________.【对点训练38】（2023·辽宁锦州·高二校考期中）已知双曲线：的左右焦点分别为，，点在双曲线右支上，满足，，又直线：与双曲线的左、右两支各交于一点，则双曲线的离心率的取值范围是______.【对点训练39】（2023·上海杨浦·高二复旦附中校考期中）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别是F₁、F₂，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形，若|PF₁|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e₁、e₂，则e₁e₂的取值范围是_____.【对点训练40】（2023·陕西西安·高二统考期末）设双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，若过点且斜率为的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则该双曲线的离心率的取值范围为_______________.【对点训练41】（2023·全国·高二专题练习）若双曲线上存在一点满足以为边长的正方形的面积等于（其中为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是__________．题型八：由双曲线离心率求参数的取值范围【例8】（2023·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知，是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，，若C的离心率为，则的值为______．【对点训练42】（2023·江苏·高二统考期末）设为实数，已知双曲线的离心率，则的取值范围为_____________【对点训练43】（2023·全国·高二专题练习）焦点在轴上的双曲线的离心率为，则的值为___________.【对点训练44】（2023·全国·高二专题练习）若双曲线的离心率不大于，则C的虚轴长的取值范围为___________.【对点训练45】（2023·高二课时练习）中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为________.【对点训练46】（2023·四川宜宾·高二校考阶段练习）已知双曲线的离心率为2，则点到的渐近线的距离为______.题型九：双曲线中的范围与最值问题【例9】（2023·上海闵行·高二上海市七宝中学校考期末）若点,在双曲线的渐近线上,且的面积为1（为坐标原点）,则长度的最小值为_______.【对点训练47】（2023·高二课时练习）设双曲线C：的左焦点和右焦点分别是，，点A是C右支上的一点，则的最小值为___________.【对点训练48】（2023·湖南衡阳·高二衡阳市八中校考期中）已知双曲线的方程为，如图，点的坐标为，是圆上的点，点在双曲线的右支上，则的最小值为_______．【对点训练49】（2023·福建福州·高二福建省福州第二中学校考期末）有一凸透镜其剂面图（如图所示）是由椭圆和双曲线的实线部分组成，已知两曲线有共同焦点M，N，动点A，B分别在左右两部分实线上运动，则△ANB周长的最小值为______________【对点训练50】（2023·北京·高二期中）已知点，，，动点M到A的距离比到B的距离多2，则动点M到B，C两点的距离之和的最小值为___________.【对点训练51】（2023·高二课时练习）已知双曲线的一个焦点为．若已知点，点是双曲线上的任意一点，则的最小值是______．【对点训练52】（2023·江西宜春·高二上高二中校考期末）是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值为__________．【对点训练53】（2023·广西桂林·高二桂林中学校考期中）已知直线与双曲线的左、右支各有一个公共点，则的取值范围是________．题型十：焦点三角形【例10】（2023·安徽滁州·高二校考期末）若直线与双曲线的左支交于不同的两点，则的取值范围为________.【对点训练54】（2023·高二课时练习）已知点F1，F2分别是双曲线=1的左、右焦点，若点P是双曲线左支上的点，且，则△的面积为____.【对点训练55】（2023·上海普陀·高二校考期中）点为双曲线上的点，、为左、右焦点，若，则的面积是__．【对点训练56】（2023·江苏泰州·高二靖江高级中学校考阶段练习）已知椭圆C与双曲线E：有相同的焦点，，点M是椭圆C与双曲线E的一个公共点，若，则椭圆C的标准方程为_________．【对点训练57】（2023·高二课时练习）已知点分别是双曲线的下、上焦点，若点是双曲线下支上的点，且，则的面积为________.【对点训练58】（2023·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期中）已知，为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线C上，，则______．【对点训练59】（2023·浙江宁波·高二镇海中学校考期中）已知双曲线的焦点为，，过左焦点交双曲线左支于A、B两点，若则等于________.【过关测试】一、单选题1．（2023·四川成都·高二校联考期末）若双曲线的渐近线方程为，实轴长为，且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为（

）A．或 B．C． D．2．（2023·高二课时练习）方程＋＝1表示的曲线是（

）A．焦点为点(－3,0)与(3,0)，离心率为的椭圆B．焦点为点(0,－3)与(0,3)，离心率为的椭圆C．焦点为点(－3,0)与(3,0)，离心率为的椭圆D．焦点为点(0,－3)与(0,3)，离心率为的椭圆3．（2023·江西·高二校联考期中）若方程表示双曲线，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．4．（2023·河南周口·高二校联考阶段练习）已知双曲线的右焦点为，点M在双曲线的右支上，满足轴，O为坐标原点且，则离心率（

）A．2 B． C． D．5．（2023·四川宜宾·高二宜宾市叙州区第一中学校校考期末）已知双曲线的离心率e是它的一条渐近线斜率的2倍，则e=（

）A． B． C． D．26．（2023·安徽滁州·高二校考开学考试）若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则（

）A． B． C．或 D．或7．（2023·陕西汉中·高二校考期中）设双曲线C的方程为，直线l过点和点．若双曲线C的一条渐近线与直线l平行，另一条渐近线与直线l垂直，则双曲线C的方程为（

）A． B． C． D．8．（2023·福建泉州·高二校联考期中）已知双曲线的上下焦点分别为，点在的下支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若恒成立，则的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2023·湖南衡阳·高二衡阳市一中校考期末）若，则方程可以表示下列哪些曲线（

）A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆10．（2023·江苏南京·高二江苏省江浦高级中学校联考阶段练习）已知双曲线，左、右焦点为，为双曲线上一点，则下列正确的是（

）A．离心率为 B．渐近线方程为C．虚轴长为4 D．若，则11．（2023·广东深圳·高二深圳中学校考期中）定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线，以下关于共轭双曲线