2025年高考数学第一轮复习考点专练：二项式定理（学生版+解析）

第03讲二项式定理

（13类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

两个二项式乘积展开式的系

2022年新I卷，第13题,5分无

数问题

2020年全国甲卷（理），

求指定项的二项式系数无

第8题,5分

2020年全国丙卷（理），

求指定项的系数无

第14题,5分

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低或中等，分值为5分

【备考策略】1.理解、掌握二项式定理的通项公式，会相关基本量的求解

2.能分清二项式系数与系数的定义，并会相关求解

3.能清晰计算二项式系数和与系数和及其大（小）项计算

4.会三项式、乘积式的相关计算

【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般考查二项式系数和、系数和、求给定项的二项式系数

或系数及相关最大（小）项计算，需重点强化复习

知识讲解

1.二项式定理

⑴二项式定理：（a+b）"=C/"+CZL%H------H氏d一彷7------HC"（"eN*）；

kk

（2）通项公式：Tk+i=C^b,它表示第Z+1项；

（3）二项式系数：二项展开式中各项的系数为Cg,Ci，…，C*I

若二项展开式的通项为Tr+i=g（r>/S（r=0,l,2,…，”），g（r）W0,则有以下常见结论:

⑴以厂）=0077+1是常数项.

（2）//0）是非负整数是整式项.

（3）以厂）是负整数00+1是分式项.

（4）/z（r）是整数077+1是有理项.

注1.二项式的通项易误认为是第4项，实质上是第4+1项.

注2.易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所

有部分，包含符号，二项式系数仅指C区4=0,1,…，ri）.

2.二项式系数的性质

性质内容

对称性与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即C：=C：m

当左<z甘z+•1时，二项式系数逐渐增大；

增减性

几十1

当%>^^寸，二项式系数逐渐减小

当〃是偶数时，中间一项（第W+1项）的二项式系数最大，最大值为C，；

当〃是奇数时，中间两项（第宁项和第怨项）的二项式系数相等，且同时取得最大值，

最大值+1+1

n-1n+l

最大值为或c,?

3.二项式系数和

（a+6）”的展开式的各个二项式系数的和等于2",即C°+CHC^——F&+…+孰=2".

二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即cHcHd+-=c0+cHd

考点一、求二项展开式的第项

典例引领

1.（2024•浙江绍兴•二模）-2xj的展开式的第四项为.

1.（2024•陕西宝鸡•一模）,2-：j展开式中的第四项为（）

3

A.160xB.-160尤3C.240D.-240

2.（2023•北京•校考模拟预测）在的二项展开式中，第四项为

考点二、求指定项的二项式系数

典蜗网

1.（2024•辽宁•模拟预测）二项式+展开式的第3项的二项式系数是.

2.（2024・上海・三模）若（x+4］的二项展开式中第3项与第5项的系数相等，则该展开式中1《的系数为

X

1.（2024•全国•模拟预测的展开式中第2项的二项式系数为6,则其展开式中的常数项为

2.（2024・江苏无锡•模拟预测）在（。+力”的展开式中，若第4项与第5项的二项式系数之和等于第10项与

第11项的二项式系数之和，则〃=（）

A.16B.15C.14D.13

考点三、二项式系数和

典娴网

1.（2024・浙江•三模）若（2X-十）展开式的二项式系数之和为128,则展开式中x的系数为.

2.（2024•四川攀枝花•三模）若（l-2x）"（〃eN*）的展开式中d的系数为-80,则展开式中所有项的二项式系

数之和为（以数字作答）

1.（2024,广东东莞・模拟预测）己知卜-：］的展开式中所有项的二项式系数之和为32,则,的展开

式中炉的系数为（）

A.-10B.-20C.10D.20

2.（24-25高三上・贵州贵阳•阶段练习）若-的展开式的二项式系数和为32,且的系数为80,则

实数。的值为.

考点四、二项式系数的增减性和最值

典例引领

I_____________________

1.（23-24高二下•广东深圳•期中）-的展开式中二项式系数最大的项为（）

A.第二项B.第三项C.第四项D.第五项

2.（2024•江西南昌•三模）（多选）已知gj的展开式中二项式系数的最大值与,+三］的展开式中;的

系数相等，则实数。的值可能为（）

A.6B.-72C.当D.一4

1.（23-24高二下•四川南充,阶段练习）（l-2x）0的展开式中只有第6项的二项式系数最大，贝》=（）

A.9B.10C.11D.12

2.（2024•贵州・模拟预测）卜一:1的展开式中，二项式系数最大的项的系数是.（用数字作答）

考点五、求指定项的系数

典例引领

1.（2024•湖北武汉•模拟预测）展开式中含J项的系数为（）

A.420B.-420C.560D.-560

2.（2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测）已知二项式的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,

则其展开式中%5的系数为.

1.（2024•浙江绍兴•三模）（尤-I），的展开式中丁的系数为.（用数字作答）

2.（2024•黑龙江大庆・三模）在12尤3+1：的展开式中，含项的系数是.

考点六、由项的系数确定参数

典例引领

9

1.（2024•黑龙江•模拟预测）若1+三）的展开式中V的系数为144,则〃=.

2.（2024•福建宁德•模拟预测）已知（尤+Q）6的展开式中含了3y3项的系数为160,则实数a的值为.

1.（2024•安徽芜湖•模拟预测）（x+1）”的展开式中炉的系数为15,则〃=

2.（2024•山东•模拟预测）二项式［尤+的展开式中，丁的系数为10,则”

考点七、有理项（含常数项）、无理项及其系数

典例引领

1.（2024•江西鹰潭•模拟预测）［区-十］的展开式中，常数项的值为.

2.（浙江•高考真题）在二项式（夜+x）9的展开式中，常数项是；系数为有理数的项的个数是.

i>6

1.（2024,湖北武汉•模拟预测）1+缶3展开式的7项中，系数为有理数的项共有（）项

A.1B.2C.3D.4

2.（2024•河南,模拟预测）（其中a>0）的展开式中的第7项为7,则展开式中的有理项共

有（）

A.6项B.5项C.4项D.3项

（多选）若1次+：

3.（2024・辽宁・模拟预测）（“26）的展开式中第4项的二项式系数最大，则二项展开式

中的有理项（x"项中a是整数）可以是（）

A.第2项B.第3项C.第4项D.第5项

考点八、二项展开式各项系数和及奇次项与偶次项的系数和

典例引领

1.（2024・上海•高考真题）在（x+1）"的二项展开式中，若各项系数和为32,则/项的系数为

2.（2024•福建泉州•一模）（多选）已知〃eN*）展开式中共有8项.则该展开式结论正确的是（）

A.所有项的二项式系数和为128B.所有项的系数和为11

C.系数最大项为第2项D.有理项共有4项

3.（2024•河南驻马店,二模）（多选）已知（4—3%），=4+弓（1—3%）+%（1—3%）2+…+%（1—3x）7,则（）

7

A.%=945B.fq=4，T

i=\

C.a。+&+。4+。6=2"+2"D.%+/+%+%=2‘—2"

4.（2024•四川乐山,三模）设（x+2024）（2x-1严=%+%X+%12+・.,+%02412°24，则'十+墨十一.+

)

A.1B.-1C.2024D.-2024

1.（2024・辽宁•三模）（多选）关于二项式（3x-Ip的展开式，下列说法正确的是（）

A.第三项系数为270B./的系数为90

C.二项式系数和为D.系数和为

2.（2024•福建福州•模拟预测）（多选）已知(1—2x)9=4++?/+•••+Q/9,贝U()

A.%=1

B.=18

C.%+%+,,•+%=—1

1+39

D.q+/+%+%+“9=--------——

6

3.（2024•湖北武汉•模拟预测）（多选）已知（I-%）6=4+卬彳+&尤2H-------1-a6x,则下列结论正确的是（）

A.“2=15B.%+%+/+,,,+〃6

C.%+%+/+%=64D.q+2a2+3q+,,,+6%=0

考点九、三项展开式的系数问题

典例引领

1.（2024・湖南衡阳•一模）（V-，+y）6的展开式中孙的系数为（）

A.30B.-30C.60D.-60

的展开式中，"的系数为（）

2.（2024•江苏南京•模拟预测）

A.60B.-60C.120D.-120

1.（2024•云南昆明•模拟预测）（d+2x-y）5的展开式中，丁产项的系数为（）

A.10B.-30C.60D.-60

/1Yv2

2.（2024•安徽•三模）-f+3+y的展开式中2-的系数为_______.

I）x

考点十、两个二项式乘积展开式的系数问题

典例引领

1.（2024・山西长治•模拟预测）（%+2丫）（尤-"的展开式中尤3y3的系数是（）

A.-10B.0C.10D.30

2.（2024•江苏南京•模拟预测），+2x+3）（2x+l）6的展开式中，/的系数是，

1.（2024•江西•一模）的展开式中的常数项为（）

A.147B.-147C.63D.-63

2.（2024•江西宜春•模拟预测）在（“-乃+1）（2”6）6的展开式中，//项的系数是

考点十一、求系数最大（小）的项

典例眄

1.（23-24高二下•河北邢台•阶段练习）（尤+1产的展开式中，系数最大的项是（）

A.第11项B.第12项C.第13项D.第14项

2.（2024•安徽•二模）已知，-21的展开式二项式系数和为256,则展开式中系数最大的项为（）

A.第5项B.第6项C.第7项D.第8项

1.（2023・上海嘉定•一模）已知（l+2x）6的二项展开式中系数最大的项为

考点十二、整除和余数问题

典例引领

■--________

1.（2024•湖北•模拟预测）2?°24被9除的余数为（）

A.1B.4C.5D.8

2.（2024・甘肃张掖•三模）已知今天是星期四，则67-1天后是（）

A.星期一B.星期二C.星期三D.星期五

1.（24-25高三上•河南焦作•开学考试）32°被10除的余数为.

2.（2024,贵州黔南•二模）我国农历用"鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”这12种动物按

顺序轮流代表各年的生肖年号，今年2024年是龙年.那么从今年起的（13忤+1）年后是（）

A.虎年B.马年C.龙年D.羊年

考点十三、杨辉三角

典例引领

1.（2024・宁夏•二模）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家.杨辉三角是杨辉的一项重要研究

成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多规律，如图是一个5阶杨辉三角.

&0行

1

&1行

11

2行

A4-121

3行

1331

A4-4行

身

行14641

5

&15101051

若第八行中从左到右第3个数与第5个数的比为3:5,贝〃的值为.

2.（2023•海南•三模）（多选）"杨辉三角"是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉

1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲发现早500年左右.如图所示，在"杨辉三角"中，除

每行两边的数都是1外，其余每个数都是其"肩上"的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下

列命题中正确的是（）

第0行1

第1行11

第2行121

第3行1331

第2行14641

第5行15101051

A.在“杨辉三角"第6行中，从左到右第6个数是15

B.由"第〃行所有数之和为2""猜想：C；+C：+C：+...+C：=2"

C.C；+C：+C；+…+C；0=164

D.存在，N*,使得｛C3-C｝为等差数列

3.（23-24高二上•山东青岛,期末）（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展

示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是（）

杨辉三角

第

0行

第

1行1

第

2行11

第

3行121

第

4行1331

第14641

5行

第15101051

6行

第71615201561

行

第8172135352171

行

第918285670562881

行

第1193684126126843691

第1OH41104512021025221012045101

1115516533046246233016555111

A.第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数

B.1+C"或+C；=C；

C.第2020行的第1010个数最大

D.第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为2:11

1.（2023•安徽黄山•二模）如图给出的三角形数阵，图中虚线上的数1、3、6、10、L，依次构成数歹

111

贝U—I------1-------1------=,

1

11

12X

133’1

146'41

15W/1051

2.（2024•河南新乡•三模）如图所示的〃分数杨辉三角形〃被我们称为莱布尼茨三角形，是将杨辉三角形中的C；

换成岛式得到的，根据莱布尼茨三角形，下列结论正确的是（）

1

T

11

22

111

363

1111

412124

1J_J_J_1

52030205

111111

A----1----r=-------B----1----r=-------

(n-l)C：+1(f%

111111

C-------1--------+1T=---r-D-------1-------r=---

5+DC；(n+l)qnCn+l(«+1)c：5+i)c；M

3.（2023•黑龙江哈尔滨•模拟预测）（多选）"杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南

宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在"杨辉三角"中，除每行两边的

数都是1外，其余每个数都是其"肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题

中正确的是（）

第0行1

第1行11

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行15101051

第〃行

A.在第10行中第5个数最大

B.C；+C；+C：+…+C；=84

C.第8行中第4个数与第5个数之比为4:5

D.在杨辉三角中，第〃行的所有数字之和为

『I好题冲关

一、单选题

1.（2024•山东荷泽・模拟预测）在（20V+：］的展开式中，f的系数为（）

A.80B.240C.1600D.2400

2.（2024・山西太原•三模）（％+丁-1丫的展开式中冲之的系数为（）

A.-20B.20C.-30D.30

3.（2024•辽宁鞍山•模拟预测）已知（x+j）的展开式中第3项的二项式系数等于36,则该展开式中的常

数项为（）

2163219

A.—B.—C.—D.—

2161632

4.（2024•陕西•模拟预测）若（2%+1）"=。0+q%+火三+…+凡靖的展开式中的各项系数和为243,贝|

幺+*+...+”=（）

2222"

A.32B.31C.16D.15

二、多选题

5.（2024•吉林•模拟预测）在一的展开式中，下列说法正确的是（）

A.各二项式系数的和为64B.各项系数的绝对值的和为729

C.有理项有3项D.常数项是第4项

8

6.（23-24高二下•广东深圳•期中）若f/+%（x—l）+%（x-1）?+L+a8（x—l）,其中4,4,…,4为实数，

则（）

A.%=1B.%=56

C.%+/+%+%=128D.%+。4+4+。8=127

三、填空题

7.（2024・湖北襄阳•模拟预测）（私+：）的展开式中Jr4的系数为.

8.（2024•浙江嘉兴•模拟预测）若（％-1）5=%+〃/+〃212+〃3丁+〃4%4+〃5/，则〃2=.

9.（2024•广东佛山•模拟预测）的展开式中常数项是.（用数字作答）

10.（2024•福建南平•模拟预测）在（2+》）］5-2d的展开式中，d的系数为

一、单选题

1.（2024•山东•二模）展开式中小尸2的系数为（）

A.-840B.-420C.420D.840

2.（2024・湖北•模拟预测）若-!］的二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数最大的项，则其展

开式中3的系数为（）

X

A.8B.28C.70D.252

3.（2024•河北邢台•二模）已知在［皆―的二项展开式中，第6项为常数项，若在展开式中任取3项，

其中有理项的个数为则（）

81298

A.—B.—C.—D.—

11111155

4.（2024•江西鹰潭•二模）第14届国际数学教育大会在上海华东师范大学举行，如图是本次大会的会标，

会标中“ICME-14"的下方展示的是八卦中的四卦3、7、4、4,这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十

进制是3x83+7x8?+4xU+4x8°=2020,正是会议计划召开的年份,那么八进制数工二Z换算成十进制数，

8个7

则换算后这个数的末位数字是（）

A.1B.3C.5D.7

二、多选题

5.（2024•江苏•模拟预测）若+X_2『=%++…+々20%2°,贝U（）

A.%=1024B.%=1

C.%9=1。D.%+%+〃5+,,,+%9=-512

6.（2024•河北•二模）已知（m+x）4=4+〃］兀+〃2%之+/尤3,

12342345

（x—1）（m+x）=b0+bxx+b2x+Z?3x+b4x+b5x,其中根wR,m^O.若。2=3%，则（）

A.m=2B.a0++a2+a3+a4=81

C.4+&+4+%+4=—16D.济+2b2+3b3+4Z?4+54=80

7.（2024•山西•三模）已知函数/（%）=（4%—1）12=%+4尤---卜牝/,则（）

A.%=4隈亡2B.“X）展开式中，二项式系数的最大值为C：2

12

C.at+a2+a3-{---Fal2=3D./（5）的个位数字是1

三、填空题

8.（2024•山西朔州•一模）［«+j+j的展开式中y的系数为.

9.（2024•河北•模拟预测）已知（三-x+l）［x+［J+2的展开式中各项系数和为8,则展开式中常数项

为.

10.（2024•江西景德镇•三模）若关于x,V的三项式（l+xcosze+ysin/）”的展开式中各项系数之和为64,

则〃=;其中肛项系数的最大值为.

1.（2024・北京•高考真题）在（尤-GJ的展开式中，Y的系数为（）

A.6B.-6C.12D.-12

2.（2024.上海•高考真题）（x-1）6展7开式中/的系数为.

3.（2024•全国•高考真题）9+x；的展开式中，各项系数中的最大值为.

4.（2024・天津•高考真题）在［］+（］的展开式中，常数项为.

5.（2023・天津•高考真题）在卜炉-的展开式中，/的系数为.

432

6.（2022•北京・高考真题）若（2尤-1），=a4x+a3x+a2x+axx+a0,贝|%+出+%=（）

A.40B.41C.-40D.-41

7.（2022・浙江•|Wj考真题）已知多项式（％+2）（x—1）4=/+qx+〃2工2+。3炉+,则〃2=

%+%+〃3+〃4+〃5=

1-?1》+、）8的展开式中/〉6的系数为（用数字作答）.

8.（2022・全国•|Wj考真题）

工[石的展开式中，常数项是.

9.（2022•天津•高考真题）；

在（V-J）"的展开式中，常数项为.

10.（2021•北京,高考真题）

11.（2021•天津•高考真题）在的展开式中，f的系数是.

a

12.（2021•浙江•高考真题）已知多项式（工一1）3+（X+1）4=X4+〃押3+〃2%2+。3%+〃4,则\~

%+%+.

在'的展开式中，/的系数是.

13.（2020,天津,高考真题）

2

14.（2020•全国•高考真题）（元+^-）（%+y）5的展开式中必尸的系数为（）

X

A.5B.10

C.15D.20

15.（2020•北京•高考真题）在（«-2）5的展开式中，一的系数为（）.

A.-5B.SC.-10D.10

16.（2020•浙江•高考真题）（1+2%）5=4]+Cl^X+Cl^X^++，贝。5=；"1+"2+03=

4+2）6的展开式中常数项是（用数字作答）.

17.（2020•全国•高考真题）

X

第03讲二项式定理

（13类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

两个二项式乘积展开式的系

2022年新I卷，第13题,5分无

数问题

2020年全国甲卷（理），

求指定项的二项式系数无

第8题,5分

2020年全国丙卷（理），

求指定项的系数无

第14题,5分

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低或中等，分值为5分

【备考策略】1.理解、掌握二项式定理的通项公式，会相关基本量的求解

2.能分清二项式系数与系数的定义，并会相关求解

3.能清晰计算二项式系数和与系数和及其大（小）项计算

4.会三项式、乘积式的相关计算

【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般考查二项式系数和、系数和、求给定项的二项式系数

或系数及相关最大（小）项计算，需重点强化复习

知识讲解

1.二项式定理

（1）二项式定理;----/C犷渺t---HC%"（wGN*）；

nkk

（2）通项公式：Tk+i=C^a~b,它表示第Z+1项；

⑶二项式系数：二项展开式中各项的系数为C9,C，…，C".I

若二项展开式的通项为Tr+i=g（r）./S&=0,l,2,…，n）,g⑺W0,则有以下常见结论:

⑴以厂）=0077+1是常数项.

(2)//(厂)是非负整数04+1是整式项.

(3)/z(r)是负整数OTV+i是分式项.

(4)，(厂)是整数台。+1是有理项.

注1.二项式的通项易误认为是第4项，实质上是第左+1项.

注2.易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所

有部分，包含符号,二项式系数仅指C々优=0,1,…,ri).

4.二项式系数的性质

性质内容

对称性与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即C：=c：m

当左＜号时，二项式系数逐渐增大；

增减性

几十1

当上〉寸，二项式系数逐渐减小

当〃是偶数时，中间一项(第项)的二项式系数最大，最大值为

当〃是奇数时，中间两项(第『+1项和第F+i项)的二项式系数相等，且同时取得最大值，

最大值

n-1n+1

最大值为或C?

5.二项式系数和

3+6)”的展开式的各个二项式系数的和等于2",即C9+G+C"…+c£+…+3=2".

二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即cRcHcH-=d+cHd

__—C"T

考点一、求二项展开式的第左项

典例引领

1.(2024•浙江绍兴・二模)1^-2力6的展开式的第四项为.

【答案】-160

【分析】写出二项式的通项公式，代值计算费即得.

【详解】［一2元］的展开式的通项为(-2x)r=(-1)'2rC^2r-6,r=0,1,•••,6,

令r=3,得7；=（-1）323C^°=-8X6X5X4=-160.

3x2x1

故答案为：-160.

1.（2024•陕西宝鸡•一模）（产一：；展开式中的第四项为（）

A.160x3B.-160x3C.240D.-240

【答案】B

【分析】根据二项展开式的通项公式求解.

26kkn3k

【详解】3-；：展开式的通项公式为M=C*（xJ-"（-2）x~=（-2）*C^x~,

3

所以n=（-2）3C江21-3*3=（_8）*20x=-160x3,

故选：B

2.（2023・北京•校考模拟预测）在［1-；a］的二项展开式中，第四项为

3

【答案】-32-

【分析】利用二项式定理可求得展开式第四项.

【详解】在［1的二项展开式中，第四项为7；=C：11-；卜］=-32/；

3

故答案为：-32X-2•

考点二、求指定项的二项式系数

典例引领

1.（2024•辽宁•模拟预测）二项式、+；］展开式的第3项的二项式系数是.

【答案】28

【分析】根据二项式展开式的通项公式可得4+1=C"8-，，令厂=2即可求解.

【详解】由题意知，卜+£［展开式的通项公式为&|=€：，-，1£|'=［£|7］1

令厂=2,得C；=28,即二项式1x+gj展开式的第3项的二项式系数是28.

故答案为：28

2.(2024•上海・三模)若卜+工的二项展开式中第3项与第5项的系数相等，则该展开式中｝的系数为

【答案】6

【分析】求得二项式的展开式的通项公式，由题意可得C：=C：,可求得〃=6,可求二项的系数.

X

【详解】［+J”的展开式为依Q'=C；醵3,r=0,l,L,n,

因为二项展开式中第3项与第5项的系数相等，

所以C；=C：,所以〃=6,

令6—2r=T,解得厂=5,

所以该展开式中的斗系数为C：=6.

故答案为：6.

1.(2024•全国•模拟预测-必］的展开式中第2项的二项式系数为6,则其展开式中的常数项为

【答案】15

【分析】由题意先求出〃=6,再求出的展开式的通项公式，令3r-6=0代入即可得出答案.

【详解】因为-尤,J”的展开式中第2项的二项式系数为6,所以C；=6,〃=6,

弓一V：的展开式的通项公式为却=晨［：］.(_尤2y=(_iyc，i,

令3r-6=0,得r=2,故展开式中的常数项为C：x(-l)2=15.

故答案为：15.

2.(2024•江苏无锡•模拟预测)在(。+6)”的展开式中，若第4项与第5项的二项式系数之和等于第10项与

第11项的二项式系数之和，则,=()

A.16B.15C.14D.13

【答案】D

【分析】由题意可得：C：+C：=C：+C；°,结合组合数的性质。/+(：：=14,(2：=(：＞分析求解.

【详解】由题意可得：C：+C：=C：+C；°,则C2=C匕，

可得〃+1=14,所以〃=13.

故选：D.

考点三、二项式系数和

典例引领

1.（2024•浙江•三模）若（2彳-9］展开式的二项式系数之和为128,则展开式中x的系数为.

【答案】280

【分析】先由二项式系数和为128,求出〜再求出（2工-十］展开式的通项，令7一/1,即可得出答案.

【详解】展开式的二项式系数之和为2"=128,解得：n=7,

2咻）

所以展开式的通项为：加=u（2尤广'=C；"T（_l）r无一2,

3

令7-y=l,解得：r=4,

所以展开式中x的系数为：C<23（-1）4=35x8=280.

故答案为：280.

2.（2024•四川攀枝花•三模）若（1-2x）"（weN*）的展开式中丁的系数为-80,则展开式中所有项的二项式系

数之和为_.（以数字作答）

【答案】32

【分析】直接利用二项式的展开式求出结果.

r

【详解】根据（l-2x）"（〃eN*）的展开式的通项公式为Tr+l=C：.（-2）-Z,

当r=3时，-C>23=_80,解得〃=5；

故所有项的二项式系数之和为25=32.

故答案为：32.

1.（2024•广东东莞•模拟预测）已知:的展开式中所有项的二项式系数之和为32,则的展开

式中Y的系数为（）

A.-10B.-20C.10D.20

【答案】D

【分析】先利用二项式系数性质求出,的值，在二项展开式的通项公式中，令d的基指数等于31,求出厂的

值，即可求得Y的系数.

【详解】根据卜的展开式中，二项式系数的和为2,=32,，〃=5.

而(x-*)"=(x-±)5的展开式中，通项公式为4M=C>(-2广产"，

XX

令5-2r=3,求得厂=1,可得展开式中Y的系数为C：.(-2)=-10,

故选：D.

2.(24-25高三上•贵州贵阳•阶段练习)若(&-£|的展开式的二项式系数和为32,且尤々的系数为80,则

实数。的值为.

【答案】-2

5-3k

【分析】由二项式系数和先求〃，再利用通项普=c£(-°)晨工得到一的指数确定上值，由一的系数为

80,建立关于。的方程求解可得.

【详解】因为的展开式的二项式系数和为32,

所以C；+C；+C；+…+C；；=2"=32,解得“=5.

5-左(、45-3k

所以£+]=&(&1卜£=C：(-4x亍，

由5专-弘*=一2,解得左=3,

所以一的系数为C；(-a)3=-10a3=80,解得a=-2.

故答案为：-2.

考点四、二项式系数的增减性和最值

典例引领

L(23-24高二下•广东深圳•期中)C/-的展开式中二项式系数最大的项为()

A.第二项B.第三项C.第四项D.第五项

【答案】C

【分析】根据题意，结合二项展开式的二项式系数的性质，即可求解.

【详解】由12/一的展开式中，襄+i项的二项式系数为C：,

根据二项式系数的性质得，当左=3时，(C)max=C：,即第四项的二项式系数最大.

故选：C.

2.（2024•江西南昌•三模）（多选）已知上的展开式中二项式系数的最大值与1x+£|的展开