2025年高考数学第二轮复习高考模拟卷（二）学生版+解析

2025二轮复习高考仿真卷（二）

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的）

1.（2024•江西•一模）已知集合4=“：€2',B=

£cZ,C=wgeZ,则（）

A.AnSHCB.BC=AC.CTIAnBD.BnCHAnB

2.（2024•浙江嘉兴•模拟预测）在复平面内，复数句对应的点和复数Zz=l+2i对应的点关

于实轴对称，则Z]Z2=（）

A.—3+4iB.—3—4iC.5D.5/5

3.（2024・河南新乡•模拟预测）已知向量a=（m,T）/=（4,用+9）,且a_L（a+6）,贝lj〃z=

（）

A.4B.3C.2D.1

4.（2022•河南安阳•模拟预测）根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使

用算筹进行计数.算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子（用竹子、木头、兽

骨、象牙、金属等材料制成）以不同的排列方式来表示数字，如图所示.如果用算筹随机摆

出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹一样多的

概率为（）

纵式：1IIin1111muTnm1

横式：一—==^1111

123456789

111172

A.-B.—C.—D.一

981819

5.（2024•广东佛山•模拟预测）等差数列｛%｝的首项为2,公差不为0.若。24，％成等比数

列，则公差为（）

22

A.-B.--C.1D.—1

55

6.（2024・辽宁•模拟预测）已知椭圆&与双曲线G有共同的焦点片,后,尸是椭圆G与双曲

7T

线Q的一个公共点，且/耳Pg=§,其离心率分别为-4,贝l]3e；+e；的最小值为（）

A.3B.4C.6D.12

7.（2025・安徽,一模）已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球。的球面上，

PA=PB=PC=AB=BC=2叵,AC=273,则球。的表面积为（）

40兀“2721

A.------B.20兀C.—7iD.—7C

342

8.（2024・北京大兴・三模）已知函数〃尤）=（or2-2x+2）e'-x,则下列命题不正确的是

（）

A.当“=1时，F（x）有唯一极小值B.存在定直线始终与曲线y=F（x）相切

C.存在实数。，使“X）为增函数D.存在实数a,使“力为减函数

二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0

分）

9.（2024•辽宁鞍山•模拟预测）已知函数〃x）=sigcosx,则（）

A.是奇函数B.〃尤）的最小正周期为2兀

C.外力的最小值为D.“X）在［。用上单调递增

10.（2024•重庆,模拟预测）"我上春山，约你来见"，重庆市育才中学校2024读书节之"上

春山读书赏读会”于2024年4月1日拉开帷幕，主办方为同学们提供了丰富多彩的活动，

其中有一栏名为“用诗意串联灵感与创意”的活动，同学们需要从主持人给出的4个校园景

观和2个植物名称的名词牌中随机选出2个，结合自己的语言完成连词成句.记事件A=

"该同学选出的两个名词牌中至少有一个是校园景观"，事件3="该同学选出的两个名词牌

中至少有一个是植物名称”.则下列说法正确的是（）

14

A.事件A发生的概率为P（A）=百B.事件彳与事件8互斥

C.P（A|方）=1D.P（A|A）

11.（2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为菱形，

ZDAB=60°,侧面为正三角形，且平面R4DJ_平面A3C。，则下列说法正确的是

()

A.异面直线AD与网所成的角为90°B.在棱上存在点M使得PB〃平面ACM

C.平面PAB_L平面尸BCD.二面角尸-BC-A的大小为45°

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线

±）

12.（2025・四川巴中•模拟预测）[2x-[J的展开式中/的系数是.

13.（2024・上海嘉定•模拟预测）已知函数〃力=|现3工,若"2,且八。）=/。），则

。+2）的取值范围是.

14.（2024・湖北襄阳•模拟预测）在VABC中，AB=AC,点。在线段2C上，ABLAD,

50=3,8=1,点M是VABC外接圆上任意一点，则AB.AM最大值为.

四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤）

15.（13分）（2022•海南•模拟预测）在VABC中，内角A,B,C所对的边分别为"，

b,c,向量;"=（a+b+c,-3b）,n={b+c-a,c）,且〃?

⑴求角A的大小；

4

（2）若6c=],VABC的外接圆直径为g,求VABC的周长.

16.（15分）（2024•内蒙古包头•三模）如图，平行六面体A8C£>-A与G2的体积为

24由，2A=*,D{D=DXB,CD=AD=4,ZADC=60°.

（1）求点A到平面DB耳，的距离;

⑵求二面角D-BD.-Q的正弦值.

17.（15分）（2023•广东•模拟预测）西藏隆子县玉麦乡位于喜马拉雅山脉南麓，地处边

疆，山陡路险，交通闭塞.党的十八大以来，该地区政府部门大力开发旅游等产业，建设幸

福家园，实现农旅融合，以创建国家全域旅游示范区为牵引，构建"农业+文创+旅游”发展

模式，真正把农村建设成为“望得见山、看得见水、记得住乡愁”的美丽乡村，在新政策的

影响下，游客越来越多.当地旅游局统计了玉麦乡景区2023年1月份到5月份的接待游客

人数V（单位：万人），统计结果如下：

月份X12345

接待游客人数V（单位：万人）1.21.82.53.23.8

⑴求相关系数厂的值，当厂＞0.75时，线性关系为较强，请说明2023年1-5月份x与接待

游客人数y之间线性关系的强弱；若线性相关，求出、关于X的线性回归方程；

⑵为打造群众满意的旅游区，该地旅游部门对所推出的报团游和自助游项目进行了深入调

查，下表是从接待游客中随机抽取的30位游客的满意度调查表，请将下述2x2列联表补

充完整，并依据小概率值夕=0。5的独立性检验，分析游客对本地景区的满意度是否与报

团游或自助游有关联.

报团游自助游合计

满意318

不满意5

合计1030

附：线性回归方程》=标+0的斜率及截距的最小二乘法估计分别为

,£（%-可5-9），£（乙-丁）5-刃

B=口一„----------,a=y-bx,相关系数厂=/“，」0—

一可?，加-寸肉%一寸

2_n(ad-bc)2

参考数据：V4l6«6.603.

”(a+b)(c+d)(a+c)修+〃)

附表:

a0.100.050.0100.001

Xa2.7063.8416.63510.828

18.（17分）（2024•湖北黄冈•模拟预测）如图，A,B是抛物线C：V=4x上两点，满足

OA±OB（。是坐标原点），过点。作直线A3的垂线，垂足为D,记。的轨迹为

（1）求M的方程；

（2）设P（sJ）（tH0）是M上一点，从产出发的平行于x轴的光线被抛物线C反射，证明：反

射光线必过抛物线C的焦点.

19.（17分）（2025•广东•模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，等轴双曲线G和G的中

心均为。焦点分别在x轴和y轴上，焦距之比为2,C的右焦点尸到G的渐近线的距离

为2.

⑴求Ci,a的方程；

⑵过歹的直线交G于A,2两点，交G于。，E两点,AB与。£的方向相同.

(0)证明：|A0=|BE|；

(0)求面积的最小值.

2025二轮复习高考仿真卷（二）

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的）

1.（2024•江西・一模）已知集合4=B=C=L^ezL贝（）

A.AoBQCB.BC=AC.CQAnBD.BnCQAnB

2.（2024•浙江嘉兴•模拟预测）在复平面内，复数4对应的点和复数zz=l+2i对应的点关

于实轴对称，则zv=（）

A.—3+4iB.—3—4zC.5D.^[5

3.（2024•河南新乡•模拟预测）已知向量£=（肛T）,6=（4,苏+9）,且a_L（a+b）,则加=

（）

A.4B.3C.2D.1

4.（2022•河南安阳•模拟预测）根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使

用算筹进行计数.算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子（用竹子、木头、兽

骨、象牙、金属等材料制成）以不同的排列方式来表示数字，如图所示.如果用算筹随机摆

出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹一样多的

概率为（）

纵式：1IIIII1111IIIIITnm1

1

横式:---——==111

123456789

11117

A.-B.—C.

98181

5.（2024・广东佛山•模拟预测）等差数列｛%｝的首项为2,公差不为0.若。%成等比数

列，则公差为（）

22

A.-B.——C.1D.-1

55

6.（2024•辽宁•模拟预测）已知椭圆G与双曲线有共同的焦点不鸟，尸是椭圆G与双曲

jr

线g的一个公共点，且/片尸工=,,其离心率分别为华"2,贝l]3e；+e；的最小值为（）

A.3B.4C.6D.12

7.（2025・安徽•一模）已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球。的球面上，

PA=PB=PC=AB=BC=2yl2,AC=273,则球。的表面积为（）

40兀“2721

A.-----B.207rC.—7iD.—兀

342

8.（2024・北京大兴・三模）已知函数〃尤）=（o?-2x+2）e'-x,则下列命题不正确的是

（）

A.当4=1时，F（x）有唯一极小值B.存在定直线始终与曲线y=F（x）相切

C.存在实数。，使“X）为增函数D.存在实数。，使“X）为减函数

二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0

分）

9.（2024•辽宁鞍山•模拟预测）已知函数/a）=sinr-cosx,则（）

A.”力是奇函数B.的最小正周期为2兀

C.的最小值为D.“X）在[。用上单调递增

10.（2024•重庆•模拟预测）"我上春山，约你来见"，重庆市育才中学校2024读书节之"上

春山读书赏读会”于2024年4月1日拉开帷幕，主办方为同学们提供了丰富多彩的活动，

其中有一栏名为“用诗意串联灵感与创意”的活动，同学们需要从主持人给出的4个校园景

观和2个植物名称的名词牌中随机选出2个，结合自己的语言完成连词成句.记事件A=

“该同学选出的两个名词牌中至少有一个是校园景观"，事件3="该同学选出的两个名词牌

中至少有一个是植物名称”.则下列说法正确的是（）

14

A.事件A发生的概率为P（A）=百B.事件彳与事件8互斥

C.P（A|B）=1D.P（A|B）=P（B\A）

11.（2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A3CD为菱形，

ZDAB=60°,侧面PAD为正三角形，且平面R4£）_L平面A3CL>,则下列说法正确的是

p

A.异面直线AD与尸8所成的角为90°B.在棱上存在点M使得PB〃平面ACM

C.平面B4B_L平面PBCD.二面角P-BC—A的大小为45°

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线

±）

12.（2025・四川巴中•模拟预测）12x-£|4的展开式中/的系数是.

13.（2024•上海嘉定•模拟预测）已知函数了（力=|咋3小若a<b,且/⑷=〃9，则

a+2b的取值范围是.

14.（2024・湖北襄阳•模拟预测）在VABC中，AB=AC,点。在线段2C上，AB±AD,

BD=3,CD=1,点M是VABC外接圆上任意一点，则ARAM最大值为.

四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤）

15.（13分）（2022•海南•模拟预测）在VABC中，内角A,B,C所对的边分别为。，

b,c,向量加=（a+6+c,-3少），n=（b+c-a,c）,且能工〃.

（1）求角A的大小；

4

（2）若6c=耳，VABC的外接圆直径为由，求VA3C的周长.

16.（15分）（2024•内蒙古包头•三模）如图，平行六面体ABC。-ABC，的体积为

24囱，DlA=DlC,DtD=DtB,CD=AD=4,ZADC=60。.

（1）求点A到平面DB3Q的距离;

⑵求二面角D-BD.-Q的正弦值.

17.（15分）（2023•广东•模拟预测）西藏隆子县玉麦乡位于喜马拉雅山脉南麓，地处边

疆，山陡路险，交通闭塞.党的十八大以来，该地区政府部门大力开发旅游等产业，建设幸

福家园，实现农旅融合，以创建国家全域旅游示范区为牵引，构建"农业+文创+旅游”发展

模式，真正把农村建设成为“望得见山、看得见水、记得住乡愁”的美丽乡村，在新政策的

影响下，游客越来越多.当地旅游局统计了玉麦乡景区2023年1月份到5月份的接待游客

人数V（单位：万人），统计结果如下：

月份X12345

接待游客人数y（单位：万人）1.21.82.53.23.8

（1）求相关系数厂的值，当厂＞0.75时，线性关系为较强，请说明2023年1-5月份》与接待

游客人数N之间线性关系的强弱；若线性相关，求出，关于尤的线性回归方程；

⑵为打造群众满意的旅游区，该地旅游部门对所推出的报团游和自助游项目进行了深入调

查，下表是从接待游客中随机抽取的30位游客的满意度调查表，请将下述2x2列联表补

充完整，并依据小概率值£=0.05的独立性检验，分析游客对本地景区的满意度是否与报

团游或自助游有关联.

报团游自助游合计

满意318

不满意5

合计1030

附：线性回归方程9=%的斜率及截距的最小二乘法估计分别为

-^(x;-x)(x-y)-£(%-丁)(％-刃

；1

B-3—n----------,a-y-bx,相关系数厂=I(—

2raaa-uc).一山『,---------

/=S+6)(c+0(a+c)(H<T参考数据：际处6.603.

附表:

a0.100.050.0100.001

Xa2.7063.8416.63510.828

18.（17分）（2024•湖北黄冈•模拟预测）如图，A,B是抛物线C：V=4x上两点，满足

OALOB（。是坐标原点），过点。作直线A3的垂线，垂足为D,记。的轨迹为M.

（1）求M的方程；

⑵设尸（sJ）（/H0）是M上一点，从尸出发的平行于x轴的光线被抛物线C反射，证明：反

射光线必过抛物线C的焦点.

19.（17分）（2025•广东•模拟预测）在平面直角坐标系无0y中，等轴双曲线G和G的中

心均为。焦点分别在x轴和y轴上，焦距之比为2,G的右焦点尸到G的渐近线的距离

为2.

（1）求G，G的方程；

⑵过歹的直线交CI于A,2两点，交G于。，E两点,钻与OE的方向相同.

(0)证明：|AD|=|BE|；

(回)求△AOD面积的最小值.

参考答案:

题号12345678910

答案ACCCBAACACAC

题号11

答案ABD

1.A

【分析】根据题意，将集合A3,C用整倍数形式表示，分别求出AcB和3cC,利用集

合的元素特征即可判断A正确；C错误；D错误；对于B,只需要举反例排除即可.

【详解】依题意，A={n|n=3k,k&Z],B={n\n=Ak,k&Z.},C={”"=6左上eZ},

则4门3={〃|〃=12太太eZ},易知12的倍数一定是6的倍数，故A正确，C错误；

因3cC={〃|〃=12Z,keZ},即3C=AB,故D错误；

对于B项，任取3eA,因3e3,3eC,则3任BuC,故B错误.

故选：A.

2.C

【分析】由对称性确定由，结合乘法运算即可求解.

【详解】因为复数4对应的点和复数4=l+2i对应的点关于实轴对称，

所以4=l-2i,

所以ZZ2=(l_2i)(l+2i)=5

故选：C

3.C

【分析】根据题意，结合向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求解.

【详解】由向量。=G",T),6=(4,病+9),可得a+6=(“z+4,川+8),

因为a_L(a+6),可得a«+1)=(加,一1)•(加+4,/+8)=4加一8=0,解得〃?=2.

故选：C.

4.C

【分析】先求出一共摆出的两位数的个数，再求出个位和十位上的算筹一样多的两位数的

个数，利用古典概型概率公式计算即可.

【详解】用算筹随机摆出一个不含数字。的两位数，个位用纵式，十位用横式，

共可以摆出9x9=81个两位数，其中个位和十位上的算筹都为1有1x1=1种，

个位和十位上的算筹都为2有2x2=4种，个位和十位上的算筹都为3有2x2=4种,

个位和十位上的算筹都为4有2x2=4种，个位和十位上的算筹都为5有2x2=4种,

共有4x4+1=17种，所以个位和十位上的算筹一样多的概率为三.

O1

故选：C

5.B

【分析】根据等比中项可得。：=出”5,结合等差数列的通项公式运算求解.

【详解】设等差数列的公差为d/0,

若名,%成等比数列，则“：=出,。5，即（2+3dp=（2+d）（2+4d）,

2.

整理可得5d之+2d=0,解得1=-《或。=。（舍去），

2

所以公差为-

故选：B.

6.A

13

【分析】根据椭圆以及双曲线定义利用余弦定理和基本不等式计算可得当彳=]

时，3e；+e；取得最小值为3.

【详解】设I尸耳|=〃7>|尸闾=〃,|耳闾=2c,由余弦定理得相2+〃2_2租”cosg=4c2,即

m2+n2—mn=4c2;

在椭圆G中，根+〃等于椭圆的长轴长，因此弓=」一，

m+n

在双曲线G中，，九一〃等于双曲线的实轴长，因此62=^^

m-n

病+〃2_

则1।3+3（加-疗mn

=4.

所以31+4=；\+曰国+引=二3+3+/+"卜16+2存百卜3,

1a

当且仅当婷与国=2时等号成立

故选：A

7.A

【分析】根据题意，利用正弦、余弦定理，求得VA5c的外接圆的半径，记VABC的外心

为。1，证得尸Q，面ABC,求得尸01=样，结合球的截面圆的性质，列出方程求得球的

半径，利用球的表面积公式，即可求解.

【详解】设VA3C的外接圆的半径为r,因为48=矿=2仓4?=2君,

2

Imxn/Az~<7->AC+BC^—yj3♦/Acn>/5

由余弦JE<r理付cosZ-ACB=---------------二—产，所以sinNACS=—尸，

2ACBC2近2V2

则2「=-^=斗，故

sinZACBG⑹

记VA5c的外心为。，连接。4。1民。。，则=

取的中点及/，连接QE,Q尸，则

又因为P4=PB=PC,可得

因为尸EOlE=E,PFOtF=F,且尸E,QEu平面PEOh尸£。/u平面尸BQ,

所以AB，平面PEO,,3C，平面PFO,,

又因为尸01u平面PEO、,PO{u平面PFO,,所以尸。|J_AB,PO,!BC,

＞

因为ABcBC=_B且AB,3Cu平面ABC,所以/。1_1_面245。，可得尸0]=

由题意可得外接球的球心在PQ上，设外接球的半径为R,

可得点问+因犷解得2R喈,即R书,

40

所以球。的表面积为S=4兀火2=?_兀.

故选：A.

;

"B

8.C

【分析】通过对函数求导，结合零点存在性定理可判断A；由题意可知/'(。)=-1、

/(0)=-1恒成立，即可求出切线方程，进而可判断B；由B中结论，可判断C；当。=0时

可利用导数判断出为减函数，可判断D.

【详解】对于A,当°=1时，/(x)=(x2-2x+2)e，-x,

/'(x)=(无？-2x+2)e*+(x2—2元+2)e*—1=尤20*—1,

令8(力=3%*_1,贝!］8，(工)=12+2^卜*,

由g'(x)>0得x>0或x<-2,由g'(x)<0得一2cx<0,

所以g("在(0,+8)上单调递增，在(---2)上单调递增，在(-2,0)上单调递减，

g(-2)=4e-2-l<0,g(0)=-l<0,g(l)=e-l>0,

所以g(x)在(0,1)内存在唯一零点七,使得ga)=0，

所以当了<尤0时，fz(x)<0,当x>/时，/(%)>0,

所以〃x)在(-8,』)上单调递减，在(尤0,+")上单调递增，

所以/(X)有唯一极小值，故A正确；

对于B,尸(司=［加+(2。-2卜］1一1,因为/'(0)=-1,/(0)=2,

所以了(元)存在定直线>=-》+2始终与曲线相切，故B正确；

对于C,由B可知，不论。为何值，/'(0)=-1恒成立，故"%)不能为增函数，

故C错误；

对于D,当a=0时，/，(x)=—2xeA—1,

令/?(%)=-2xe*-l,〃(尤)=-2(尤+l)e",令〃'(x)=0,则％=-1,

所以当天<-1时，h'(x)>0,九(%)在上单调递增，

当了>-1时，h'(x)<0,h(x)在(-1,+8)上单调递减，

2

所以刈尤)=1-1<0,所以尸(x)<0,

所以f（x）是单调递减函数，故D正确.

故选：C.

【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中

数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几

何意义，往往与解析几何相联系.（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单

调性，求参数.（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题，（4）考查数形

结合思想的应用

9.AC

【分析】首先化简函数/（》）=；sin2x,再根据函数的性质判断各选项.

【详解】/（^）=sinx-cosx=sin2x,函数的定义域为R,

对A,-无）=-Jsin2x=-〃x）,所以函数f（x）是奇函数，故A正确；

对B,函数“X）的最小正周期为蓝=兀，故B错误；

对C,函数的最小值为-；，故C正确；

对D,xe,2》40,司，函数外“不单调，了⑴在0金上单调递增，在上

单调递减，故D错误.

故选：AC

10.AC

【分析】根据随机事件的概率、互斥事件、条件概率等知识对选项进行分析，从而确定正

确答案.

【详解】A选项，P（A）=lf去，所以A选项正确.

B选项，事件X="该同学选出的两个名词牌中有两个是植物名称"，

所以司18,所以B选项错误.

C选项，事件方="该同学选出的两个名词牌中有两个是校园景观",

尸（丽）尸回

所以尸（人闾=

事件4西=豆尸⑻一明=1所以C选项正确.

D选项，P（B）=1-M=}

瑞.⑷二黑,

由于尸（A）HP（3）,所以尸例3）二尸（3|A）,所以D选项错误.

故选：AC

11.ABD

【分析】找到异面直线所成角，结合线面垂直的关系可得选项A正确，根据图形中的平行

关系可证选项B正确，由己知的线面垂直关系，假设结论正确可推出与已知矛盾的结论，

可得选项C错误，求出二面角尸-3C-A的平面角可知选项D正确.

【详解】选项A,因为菱形ABCD,所以AD//8C,

所以ZPBC或其补角即为异面直线AD与网所成的角，取AD的中点。，

连接。尸,03,3。，则OP_LAD,因为平面PAD_L平面ABC。，

平面B40C平面ASCD=AD,OPu平面PAD,所以。P_L平面ABC。,

又3Cu平面ABC。，所以OPLBC,因为菱形ABCD,S.ZDAB=60°,

所以△ABD是等边三角形，所以03,45,即OBL3C,

y,OP'\OB=O,OPyO3u平面OP3,所以3C_L平面ORB,

因为尸Bu平面OPB,所以

即NP3C=90°,所以异面直线AD与PB所成的角为90°,即选项A正确;

选项B,当〃是的中点时，PB//平面ACM,

理由如下：连接AC,交BD于G,连接MG,则G是的中点，

所以MG//PB,因为MGu平面ACM,平面ACM,

所以「3〃平面ACM,即选项B正确；

选项C,由选项A可知，BC1PB,若平面尸43,平面PBC,

因为平面PABC平面PBC=PB,BCu平面PBC,

所以BC_L平面上40,又ABu平面上4B,

所以3CLAS,这与题意相矛盾，即选项C错误；

选项D,由选项A可知，OP_L平面A5CD,OBLBC,

所以NPBO即二面角P—BC—A的平面角，

因为△P4D与△ABD均为等边三角形，

所以OP=O3,所以NP3O=45°,即选项D正确.

故选：ABD

12.-32

【分析】根据题意可求得展开式的通项为却=(-1)124一簿712,，令4_2r=2,运算求解

即可.

【详解】因为的展开式通项为

Tr+l=Q(2x)4［一J=㈠丫.2~Cjx"27=0,1,工3,4,

令4-2厂=2,解得r=l,

所以展开式中炉的系数是(-1)'-23禺=-32.

故答案为：-32.

13.

【分析】画出/(x)=|log3,的图象，数形结合可得ab=l,故

2

a+2b=a+~,然后利用对勾函数的单调性即可求出答案.

a

【详解】y(x)=|iog3(的图象如下:

因为0＜a＜b且/⑷=/S),所以|log34=|log34且。＜。＜1力＞1,

2

所以—Iog3〃=log3b,所以aZ?=l,故。+2/?=。+—,

a

22

由对勾函数y=x+—在(0,1)上单调递减，所以a+26=aH"—>1+2=3,

xa

所以a+2。的取值范围是(3,+8).

故答案为：(3,+“)

14.3+36

【分析】根据题中条件，结合勾股定理、余弦定理，可得AO=6,AB=AC=46,由正

弦定理，可得VABC外接圆半径，根据向量的线性运算法则，结合数量积公式，可得

A8.A0的最大值，即可得答案.

【详解】由题意可得：AB2=BD2-AD2,AC2=AD2+DC2-2AD-DCcosZADC

Ar)

=A£>2+l+2A£>xlx——,

BD

A.r)5

所以9-AD2=AD2+l+2ADxlx—=1+-AD2,

BD3

解得=则A3=AC=«,

设VABC的外心为。，外接圆的半径为R,

AC_\/6_yyrr

由正弦定理得：sinNABC飞弋,解得R=&,

T2

男

可得cosN8Ao=赤=£

由平面向量的线性运算知，AM=AO+OM，

所以ABA"=+=+,

由图可知：A3-A0=|A3|.|AO|cosNBAO=#x述x迫=3.

23

当0M//A3且同向时，（AB-OM）a=«义芋=3g,

所以AB-AM最大值为3+36.

故答案为：3+36.

【点睛】方法点睛：平面向量解题方法

1.平面向量的线性运算要抓住两条主线：一是基于"形"，通过作出向量，结合图形分析；

二是基于"数"，借助坐标运算来实现.

2.正确理解并掌握向量的概念及运算，强化"坐标化"的解题意识，注重数形结合思想、方

程思想与转化思想的应用.

提醒：运算两平面向量的数量积时，务必要注意两向量的方向.

15.（l）A=f

⑵4

【分析】（1）借助向量垂直数量积为零结合余弦定理即可得解；

（2）借助正弦定理计算可得。，再利用余弦定理计算可得b+c,即可得其周长.

【详解】（1）由〃z_L〃，得加•〃=（a+6+c）（6+c-a）-36c=0,

整理得。2+°2-4=秘，所以由余弦定理，得cosAJ+f-42=1,

2bc2

TT

因为O<A<7I,所以A=M；

q=63

（2）由（1）根据正弦定理，得sinA.无，解得“=彳，

sin—2

3

o

由余弦定理，得一2Z?ccosA=（b+c）-3bc=（b+c）-4,

解得力+c=g,所以VABC的周长为a+b+c=4.

16.（1）2

（2）#

4

【分析】（1）根据菱形的判定定理可以确定底面ABC。是菱形，结合线面垂直的判定定

理、面面垂直的判定定理和性质进行求解即可；

（2）由（1）可知。。，0A,两两互相垂直，建立空间直角坐标系，根据平面法向量

的性质，结合空间向量夹角公式、同角的三角函数关系式进行求解即可.

【详解】（1）由题意可知底面是平行四边形，且。为底面的中心，

又因为CD=AD,所以底面ABC。是菱形，

连结2。，

因为£>|A=RC,DXD=DXB,

所以r>iO_LO8,DXO1AC,

又AC[\DB=O,AC,3。u平面ABCD,

所以R。，底面ABC。，又DQu平面DBBR,

所以平面。8耳2，底面ABCD,

因为。。_L底面ABC。，AOu底面ABC。，

所以2。LA。，

又根据底面ABCD是菱形，可知AO，DB,

DQDB=O,DQ,DBu平面DBBR,

所以AO，平面DBBR,故AO为点A到平面DBBR的距离.

因为CD=AD=4,ZADC=60°,

所以0AC。是边长为4的正三角形，所以AO=；AC=2.

即点A到平面D8瓦2的距离为2.

（2）由（1）可知0A,。2两两互相垂直，

以O为坐标原点，。。的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.

因为为平行六面体A3CD-A与G2的高，又平行六面体A3CD-A耳GA的体积为

24后，

所以(ADxCZ)sin60o)x〃O=24G,解得OQ=3.

则0(000),A(0,2,0),A(0,0,3),B(-2A/3,0,0),Q(-2^/3,-2,3),

所以〃2=卜2石,0,-3),RC；=(-273,-2,0),

n.D[B=0

设平面QBC］的法向量为〃=(x,y,z),则＜

n,D]C\=0

-—3z=0

即＜

-2^3%-2y=0

取x=邪!,贝！J产—3,z=—2

所以平面*G的一个法向量为"=(后-3,-2)

又平面的一个法向量为m=(。」,。),

n-m_3

设二面角。-82-G的大小为6,则|cosO|=kos〈》v"=

n||m|

所以sin6=JT-cos20=

故二面角。-2。-G的正弦值为?

17.(l)r«l,2023年1-5月份元与接待游客人数V之间有较强的线性相关程度,

$=0.66%+0.52

⑵列联表见解析，有关

【分析】（1）先计算出元,歹后，再借助所给公式计算即可得「，比较「与0.75的大小即可

得线性关系的强弱，再利用所给公式计算即可得线性回归方程;

（2）补充列联表后，计算出卡方，并比较卡方与3.841的大小关系即可得.

【详解】（1）由题中数据可得:

-1+-2-+-3-+-4-+5=—15=—3.v—-1.-2+-1-.8-+-2.-5-+-3.-2+-3-.8=-12-.5

・•.£(%_元)(%-歹)=(-2)x(-1.3)+(-l)x(-0.7)+0+1x0.7+2x1.3=6.6,

Z=1

55

又£(元,-可=1。，£(%-歹)=436,

z=li=l

5

元）（y-5）

6.6_6.66.6

i=l工1>0.75

^/^0x^/^36—7416〜6.603

;（乙一手一歹）2

故2023年1-5月份x与接待游客人数'之间有较强的线性相关程度.

5

—元）（y-9）

由上可知，3------------『66,

£（七-元『

Z=1

:.a=y—bx=2.5—0.66x3=0.52,

y关于X的线性回归方程为9=0.66%+0.52；

（2）零假设为乜）：游客对本地景区满意度与报团游或自助游无关联,

依题意，完善表格如下:

报团游自助游合计

满意15318

不满意5712

合计201030

根据列联表中的数据，经计算得到一黯乐鲁=5@5>3—，

根据小概率值0=0。5的独立性检验，推断Ho不成立,

即认为游客对本地景区满意度与报团游或自助游有关联.

18.(l)(x—2)2+y2=4(x^0)

(2)证明见解析

【分析】(1)设4?：x="y+b(6wO),联立抛物线方程，利用韦达定理和平面向量数量积

的坐标表示解出江则A3过定点£(4,0),进而确定点M的轨迹，即可求解；

(2)易知若切线的倾斜角或斗，反射光线的方程为X=l；若e/：,乎，设从尸出

4444

发的平行于x轴的光线与抛物线C的交点为,过Q的切线设为y-=上［-,

联立抛物线方程，由△=()得股=2.利用点斜式方程表示反射光线方程，即可证明.

【详解】⑴易知射力。，设A8：彳=〃9+》。*0),联立抛物线C得y?-4冲-4b=0,

回力+%=4〃7,%力=-46,由。4_LOB得

2

OAOB=xAxB+yAyB=^--^-+yAyB=b-4b=0,

回6=4,故过定点E(4,0).回OD人DE,

回。的轨迹是以OE为直径的圆(除去原点)，

即M的方程为(*-2)2+丁=4(x20)；

(2)设从P出发的平行于x轴的光线与抛物线C的交点为,

过。的切线设为y—=左联立抛物线C,

得62-4y+4r-公2=0,由A=4〃/-16股+16=0,解得股=2.

设切线的倾斜角为《。片：，手)，则反射光线的倾斜角是26或26-无，

得反射光线的斜率为tan26=#嗯=鼻，所以反射光线的方程为y~t=2J,

l-tan26>1-F1一左I