2025届湖南省长沙市某校高三一模数学试题（含答案与解析）

机密★启用前

2025届湖南省长沙市雷锋学校高三一模

数学

满分150分，时间120分钟

注意事项：

L答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息.

2.请将答案正确填写在答题卡上.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

/(x)=cos|(yx+—、

L将函数I6J的图象向右平移3个单位长度后得到函数g(力的图象，若函数

上单调递减，则口的最大值为()

A.6B.5C.3D.2

2.已知正四棱锥底面边长为2,且其侧面积的和是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为()

R2#>C逑

D.------D.273

33'亍

3.设尤GR,向量a=(x,-l),b=(x,4),则x=-2是。工匕的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.设函数r(x)是函数/(%)(%GR)导函数，若/(X)—/(—X)=2X3,且当尤20时，f\x)>3x2,则

不等式/(x)-/'(x+l)+3x2+3x+l〉0的解集是()

A.B.(-oo,-2)D.(-2,+oo)

5.已知/(x)=<则不等式〃X+3)</(炉+3%)的解集是()

in(JL%j,x&u,

A.(-3,1)B.(0,1)C.(f,—3),(1,+a))D.(l,+8)

6.已知向量满足忖=L卜+20=2,且仅一2a)_LZ?,则卜卜()

A.；B.—C.正D.1

222

7.在VABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若Z?=c,。为AC的中点，

bsinA=2sinNABD,则3£)=()

A.1B.72C.百D.2

8.已知集合4={刈％-1|<1},B=|x|y=lg(x2+x-2)|,则4B=()

A[-2,1)B,[0,1)C.[0,2]D,(1,2]

二、多项选择题：本题共4小题，每小题6分，共24分，在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知〃>2,且〃eN*，下列关于二项分布与超几何分布的说法中，错误的有()

A.若X则E(2X+l)=g〃+l

14

B.若X5(H,-),则。(2X+1)=§”

C若X则P(X=1)=尸(X=〃—1)

D.当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布

10.函数/(x)=0sin(ox+。)0<2,—的部分图象如图所示，则下列说法正确的有()

c.的表达式可以写成/(%)=J5cos卜尤+学

(37c97c

D.若关于X方程/(%)=1在(0,m)上有且只有4个实数根，则加e万,彳

11.已知函数/(%)=285(。％+。)[0>0,附<引的部分图象如图所示，则()

A.co=2

(兀7兀\

B./(%)的单调递减区间为[防r+五,E+五)左eZ

TT

C./(x)的图象可由函数y=2cos2x的图象向右平移一个单位得到

6

D.满足条件>0的最小正整数x为2

12.已知6GR,双曲线C：x2cos^+y2sin2^=l,则()

A.夕可能是第一象限角B.夕可能是第四象限角

C.点(1,0)可能在C上D.点(0,1)可能在C上

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知(X+6)5=,若％=40,则Z?=.

14.三棱锥P—ABC中，AB=AC=s/2,AB±AC,平面PBC平面ABC,且尸B=PC.记

21

P-ABC的体积为V,内切球半径为小则-----的最小值为.

rV

15.已知数列也｝的通项公式为2=〃2(磔茎，7；是数列也｝的前〃项和，则&=.

16.设函数/(x)=sin|(®x+：卜0>0)

①给出一个口的值，使得〃尤）的图像向右平移上后得到的函数g（x）的图像关于原点对称，。=

6

②若丁（%）在区间（0,兀）上有且仅有两个零点，则。的取值范围是.

三、解答题：本题共6小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.设“eN,数对（4,4）按如下方式生成：（4，瓦）=（0,0）,抛掷一枚均匀的硬币，当硬币的正面朝上

时，若a“〉d，则（%+1也+1）=（%+1也+1），否则（4+i也+）=（4+1也）；当硬币的反面朝上时，若

bn>an,则（%+］也+J=（4+1也+1）,否则（4+i，々J=（。“也+1）.抛掷〃次硬币后，记。“=包的概

率为匕.

（1）写出（七，4）的所有可能情况，并求耳，£；

（2）求匕;

18.在概率统计中，我们常常通过观测到的实验结果应用极大似然估计法来估计某参数的取值.设X为其

分布列与未知参数机有关的离散型随机变量，其中机的取值范围为S.若对己知结果X=左，有/es,

且V吗eS,有P（X=4m=%））2P（X=左|加=4）成立，则称加o为正在X=左下的一个极大似然估

计.

（1）（i）若X服从二项分布5（2,m），求机在X=1下的极大似然估计；

（ii）若X服从二项分布5（私g）,求机在X=3下的极大似然估计.

（2）若某台抽奖机上有一个按钮，参与者需要连续快速点击按钮来累积积分换取奖品.已知每次点击按

钮后，获得1积分的概率为。（0<。<1）,不获得积分的概率为小丽参加这个抽奖活动后总共获得

了左积分，用极大似然估计的方法估计她点击按钮的总次数机的取值为加°,证明：m0<-,并指出等号

P

成立的条件.

19.若数列｛4｝的各项均为正数，且对任意的相邻三项。一1，%生+1，都满足则称该数列为

“对数性凸数列”，若对任意的相邻三项%,at,a,,都满足4T+am<2at则称该数列为“凸数列”.

（1）已知正项数列｛%｝是一个“凸数列”，且a“=e0,（其中e为自然常数，〃eN*），证明：数列｛?｝

是一个“对数性凸数列”；

(2)若关于尤的函数/(%)=4+/》+么/+"/有三个零点，其中2>0(i=l,2,3,4).证明：数列

4,。2,。3，。4是一个“对数性凸数列”；

(3)设正项数列4,%,L，q是一个“对数性凸数列”证明：

n、n-1A

(1立11

J+1n—15

i=07

20.已知双曲线C:工—「=1(。〉0力〉0)的左，右焦点分别为耳,工，双曲线C的虚轴长为2,有一条

ab

渐近线方程为y=如图，点A是双曲线C上位于第一象限内的点，过点4作直线/与双曲线的右

支交于另外一点2,连接AO并延长交双曲线左支于点P,连接尸耳与Pg,其中/垂直于/耳P8的平分

(2)求证：直线机与直线QA的斜率之积为定值；

(3)求的最小值.

^/XAPD

21.设抛物线。：丁=2.式.>0)的焦点为尸，已知点尸到圆E:(x+3)2+V=1上一点的距离的最大值

为6.

(1)求抛物线C方程.

(2)设。是坐标原点，点P(2,4),AB是抛物线C上异于点尸的两点，直线PAP3与y轴分别相交于

M,N两点(异于点。)，且。是线段的中点，试判断直线A3是否经过定点.若是，求出该定点坐

标；若不是，说明理由.

22.如图（1）所示，在平面四边形S3CD中，58。是边长为2的等边三角形，BD±BC,ZBCD=30,A

为边SD的中点，将二S3。沿折成直二面角，得到如图（2）所示的四棱锥S-A3CD.

（1）若〃为棱宓的中点，证明：5M//平面S4Q；

（2）求二面角O—SB—C的正弦值.

参考答案

L将函数以3cos(ox+—口〉0）兀

I6的图象向右平移孑个单位长度后得到函数g（x）的图象，若函数

上单调递减，则口的最大值为（)

A.6B.5C.3D.2

【答案】B

【解析】

【分析】根据“左加右减，上加下减”求出函数g（无）的解析式，再利用函数的单调性即可求出。的最大值.

【详解】由题可知，g（x）=cos[£=cosla）x-^+^

G兀兀兀兀兀

(OX-----F—€一,一g+一.

36666）

因为g（x）在区间匕，3〃沉71

上单调递减，所以——+-<7i,所以0<。45,

66

°的最大值为5.

故选：B

2.已知正四棱锥底面边长为2,且其侧面积的和是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（）

A.立B.C.D.2-73

333~

【答案】C

【解析】

【分析】根据已知得出斜高，从而可得正四棱锥的高，由体积公式可得正四棱锥的体积.

【详解】如图，正四棱锥S—A5CD,BC=2,0为底面正方形中心，E为BC中点、,

由已知可得4x,x2xS£=2x2x2,

2

所以S£=2,

又OE=l,所以SO=JS£2—=百，

所以正四棱锥的体积为V=1x2x2xg=3".

33

故选：C.

3.设XGR,向量&=(%,-1),b=(x,4),则％=—2是aJ./?的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】利用是否推出关系来判断充要关系即可.

【详解】当x=—2时，向量。=(%,—1)=(—2,—1),〃=(羽4)=(—2,4),

此时有a2=(—2,-1)•(—2,4)=—2x(—2)—1x4=0,所以。工匕，故是充分条件;

当时，a-b=(x,-1)•(x,4)=x2-4=0,解得x=±2,故不是必要条件;

所以x=-2是。的充分不必要条件,

故选：B.

4.设函数r(x)是函数/(%)(%eR)的导函数，^f(x)-f(-x)=2x3,且当X20时，f\x)>3x2,则

不等式/'(x)-/(x+l)+3x2+3x+l〉0的解集是()

A.(—00,——)B.(―℃>,—2)C.(—―,+oo)D.(―2,+co)

【答案】A

【解析】

【分析】先构造函数令尸(无)=/(》)-三，由题意判断出尸(龙)的奇偶性和单调性，将不等式转化成

f(x)-x3>/(x+l)-(x+l)3,即尸(x)>尸(x+1),由函数单调性和奇偶性可得到I尤l>|x+l|,解得即可.

【详解】令尸(X)=/(无)一无3,

可知F(X)的定义域为R,且F\x)=f\x)-3尤2,

因为f(x)-f(-x)=2x3，则/(%)-x3=/(-%)-(-%)3，

可得F(-x)=F{x),故F(九)为偶函数，

当X20时,f\x)>3x2,即尸'(x)>0,

可知F(九)在［0,+8)上为增函数，

对于不等式/(%)-于(x+1)+3%2+3%+1>0,

可得y(x)一9>于(x+l)-(x+l)3,即F(x)>F{x+1),

由函数单调性和奇偶性可知：I尤|>|x+l|,解得％<-!，

2

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于构建/(©=/(尤)-尤3,分析其奇偶性和单调性，根据函数性质解

不等式.

5.己知=则不等式/(%+3)</(/+3”的解集是()

in11%j,x&L/,

A.(-3,1)B.(0,1)C.(f,—3)J(l,y)D.(l,+8)

【答案】A

【解析】

【分析】判断/(X)在R上的单调性，将不等式等价于％+3>炉+3力由一元二次不等式的解法即可得解.

/、[-2X2,X>0,

【详解】/(x)=〈\/c，可得当时，/(%)单调递减，当尤>0时，/(%)单调递减，且

ln(l-x),x<0,

x=0时函数连续，则/(%)在R上单调递减，

不等式/(x+3)</(f+3%),可化为尤+3>k+3光，HPx2+2%-3<0>

解得：—3<x<l,则原不等式的解集为：(-3,1),

故选：A

6.已知向量满足忖=1,卜+20=2,且仅一2a)_Lb,则卜卜()

A.|B.立C.BD.1

222

【答案】B

【解析】

【分析】由仅一2a)J_b得片=2°.匕，结合忖=1,卜+20=2,得1+4£.4+4片=1+6片=4,由此即

可得解.

【详解】因为仅-所以仅-2a)力=0,^b=2a-b，

又因为卜|=1,卜+24=2,

所以1+4。,/?+4/?=1+6。=4，

从而

故选：B.

7.在VABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若6=0,。为AC的中点，

bsinA=2sinNABD,则应)=()

A.1B.72C.百D.2

【答案】A

【解析】

【分析】在△ABD中，由正弦定理得BD=---------,JiAD=—AC=—bKbsinA=2smZABD,

sinAsinZABD22

简可得的值.

【详解】由已知AD=O=/C=m,在△的中,由正弦定理得色=」^=^^

sinAsinZABDsinZABD

bsinAZ?sinA

所以M=又Z?sinA=2sinZABD,故50==1.

2sinZABD2sinZABZ)

故选：A.

8.已知集合A={x||x—l]<1},B=|x|^=lg(x2+x-2^,则4B=()

A.[-2,1)B,[0,1)C.[0,2]D,(1,2]

【答案】D

【解析】

【分析】根据解绝对值不等式得到集合A,由真数为正得到集合8,从而得到AcB.

【详解】由4={*|,—1|<1}={%|0<%<2},

3=卜卜=1g（X?+X-2）}={%卜2+%-2〉o}={x[x<-2或x>1},

所以4^^6=（1,2].

故选：D.

二、多选题:

9.已知”>2,且〃eN*，下列关于二项分布与超几何分布的说法中，错误的有（）

A.若X则E(2X+l)=g〃+l

14

B.若X则。(2X+1)=§”

C.若X3(%g),则P(X=1)=尸(X=〃-1)

D.当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布

【答案】BC

【解析】

【分析】利用二项分布的期望、方差公式及期望、方差的性质计算判断AB；利用二项分布的概率公式计算

判断C；利用二项分布与超几何分布的关系判断D.

119

【详解】对于A,由X得E（X）=§〃，则E（2X+l）=g〃+l,A正确；

11228

对于B,由X得。（X）=§X§〃=3〃，则。（2X+1）=4D（X）=3〃，B错误；

11221

对于C,由XB（n,-）,得P（X=1）=c>-X（-）"-1,P（x=H-1）=C：1x-x（-）"-）,故

P（X=1）#P（X=〃—1）,C错误；

对于D,当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布，D正确.

故选：BC

10.函数/（x）=Jisin（s+。）0<®<2,-^<^9<|的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（

A.(D=------

4

B.

；(

/（X）的表达式可以写成/（X）=瓜'os2x+?

（3兀QJT

D.若关于X的方程/（x）=1在（0,上有且只有4个实数根，则冽e彳,工

IZ4

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据函数图象过（0,-1）,,建立方程组求出了（X）的解析式，再根据正弦函数的图象和性

质逐项判断即可.

兀。

【详解】由函数图象可知/（0）=夜sin0=-LL=n。,

因为/（尤）在x=0，x=9附近单调递增,

8

LL-7兀.TICD-7

所以0=--F2kli,-—(p—2kli,kGZ,

JTTTTT

又因为O<0<2,——<(p<~,所以夕=——,0=2,

224

所以/(x)=0si«2x-：J,A说法正确;

TtIn713兀3兀

当XC时，2x——G

2'T4T?T

3兀3兀717兀

所以由y=sinx在单调递减可知“X）在

T'T2，-8~上单调递减，B说法正确;

因为/(x)=0sin]2x—：]3兀3兀

=6sin2X+--TI=—J^sin2x+：,所以C说法错误;

44

4-/(x)=V2sinf2x-^1=K#

sin(2x-：=,解得x=—+kji^x=—+kn,

242

方程/（x）=l在（0,加）上有且只有4个实数根，从小到大依次为日,g,

9兀3Q71

而第5个实数根为一，所以一＜根《——，D说法正确;

424

故选：ABD

11.已知函数/0）=2（：05（⑺+。）［。＞0,|司＜力的部分图象如图所示，则（

)

A.co=2

(JI7兀\

B./(x)的单调递减区间为［防r+五,E+五)左eZ

TT

C./(%)的图象可由函数y=2cos2%的图象向右平移一个单位得到

6

D.满足条件［⑺—f［―t—f>°的最小正整数X为2

【答案】ABD

【解析】

13

【分析】观察函数图象，确定函数/(%)的周期，由此可求。，判断A,再结合％=—兀时，函数取最大值，

12

列方程求。，根据正弦函数的单调性求/(幻的单调递减区间，判断B,根据函数图象变换结论，判断C,

先求/(一弓),/(g)，化简不等式可得/(%)范围，解不等式确定x的范围，判断D.

【详解】设函数/(%)的周期为T,

313TI7i37i

观察函数图象可得，-T=----------=—

41234

2兀

所以17二兀，又力>0,

所以69=2,A正确,

13

因为X=五兀时，函数/(%)=2cos(s+0)取最大值，(0=2,

所以2x+(p=2mit,meZ,|^?|<—,

122

所以/=_兀£,故/(%)=2COS(2%_FJ,

6

TT

由2E<2x-—<2左兀+兀，左GZ,

jrjr7IT

可得E+—<2x——<kji+一eZ,

12612

(兀7兀、

所以函数/(无)的单调递减区间为［E+五,而+五J,左eZ,B正确,

TT

函数，=2cos2x的图象向右平移一个单位得到函数y=2cos的图象，C错误,

6

所以|/(+小1)")一信］>0可化为(/(%)—1)/(%)>0,

所以〃x)>l或〃x)<0,

/71I171J[7C

由/(九)>1可得,cos2x--->—,所以2〃兀-----<2x-----<2wi+—,nGZ,

I6j2363

即mr-----<x<rm+—eZ,

124

取〃=0可得<x<一，取〃=1可得<x<—，

124124

由/(x)<0可得，cos^2%-^<0,所以2机+］<2x—W<2/7i+^JeZ,

口r兀5兀〜

即机+一<x<——JeZ,

36

取f=0可得，x<决，

36

所以满足条件［(%)—f(―—f(g)>0的最小正整数X为2,D正确,

故选：ABD.

12已知6eR,双曲线C：x2cos^+y2sin2^=l,则()

A.夕可能是第一象限角B.，可能是第四象限角

C.点(1,0)可能在C上D.点(0,1)可能在C上

【答案】BD

【解析】

【分析】根据双曲线标准方程的特征，可得cosesin26><0,即。在第三象限或第四象限，分情况讨论得

解.

【详解】根据题意，可得cos6sin2e<0,即singcos?，<0,即sin8<0且cosOwO,

所以。在第三象限或第四象限.故A错误，B正确；

当d在第三象限时，有一l<sin6<0,-1<cos0<0,sin28>0,

222

yxT5兀丫2_工=1

双曲线方程为11,当51112，=1即9=---卜2kn,时，方程为,

-----4—

sin20cos0--------------------------------------------------2

所以点(0,1)在双曲线上，故D正确；

当。在第四象限时，有一l<sin6<0,0<cos<Lsin26<0,

22

%y71

双曲线方程为11一，因为——>1,所以点(1,。)不在双曲线上，故c错误.

---X--.“cos0

cosUsin26

故选：BD.

三、填空题：

13.已知(X+Z?)5=+。3%3+。2%2+。1%+。0，若。3=40,则Z?=.

【答案】±2

【解析】

【分析】由二项展开式的通项公式即可求解

【详解】(X+))5展开式的通项公式为<+|=C)5f〃，

55432

由(x+Z?)=a5x+a4x+a3x+a2x+axx+a0,故Y的系数为C；/

而生=40,得C〉/=40,解得/?=±2.

故答案为：±2

14.三棱锥P—ABC中，AB=AC=j2,AB±AC,平面平面A5C,且~8=尸。.记

21

尸-A5C的体积为V,内切球半径为「，则-----的最小值为.

rV

【答案】V6+2##2+V6

【解析】

【分析】根据等体积法可得2=2'+2+2‘2/?+1=2也/?+1+2+2,即可构造函数

rhh

272^+1-1c

f(x)=-------------+2

x

利用导数求解单调性，即可求解最值.

【详解】设三棱锥P—ABC的高为〃，依题意，可取中点0,

连接。4,0P,则

由于AB=AC=0,A5_LAC,则BC=VL1B=2,

则OA=OB=OC=1,OP=h,

由于平面PBC，平面ABC,且交线为BC,OP±BC,OPu平面PBC,

故OP,平面P6C,故PA=PB=PC

11

则公PBC的面积为e力•BC=〃,VA3C的面积］。4-3C=1,

由R4=尸5=PC=正+1可得△P5A和Q4c的面积为

科・巧口肥+1-目

于是三棱锥P-ABC的表面积为，22+1+〃+1，

而222A+2+242/+1242"+1+2、

所以一=-----------------=--------------F2»

rhh

212123「—「—

———----;-------------------2A/2/Z2+1+2_32\2/?2+1—1.

故rVrJ_qIrh=—..................+2——=—................+2.

ABcnhhh

设函数/(x)=2,2/+1-1+2,且%>o.

X

亚丁+1-22X2-3

则/①K7T7，2£+1(，23+1+2)

⑴＜。"⑶单调递减,

x〉["'(x)〉O,/(%)单调递增，

所以/(》)之/[|；=#+2,

所以/z=—―时，-----取得最小值y/6+2，

2rV

故答案为：^/6+2.

点睛】关键点点睛：利用等体积法得至U2=2/?+2+2也h1+1=2也h1+1+2+2,构造函数

rhh

上(、2,2%2+1—1卡日

/(%)=-------------+2，求导.

x

r\

15.已知数列也｝的通项公式为么=n2cos^,7“是数列也｝的前n项和，则&=

9H24-4"

【答案］

2

【解析】

【分析】设或=4*_2+&1，根据所给通项求出与，则4"=。1+。2+。3+-•+1，利用分组求和法

计算可得.

2?77r

【详解】因为a="cos-----,

3

设q=4左一2+4"i+b3k

=(3Z—2)2.COS2H+(3左一I)?-cos2kit+4k)2-cos2^7t

19x(3左_l)2+(3左)2=9左_g,

--X(3^-2)2+

所以4=q+。2+。3+•••+C•

cn(l+n)59/+4”

=9x------——n=--------

22

辽去心、，9n2+4n

故答案为：--------

2

16.设函数/(x)=sin[tyx+；J(0〉O)

①给出一个①的值，使得"％)的图像向右平移工后得到的函数g(x)的图像关于原点对称，。=

6

②若丁(%)在区间(0,兀)上有且仅有两个零点，则切取值范围是.

3(71T

【答案】①.-(答案不唯一)②.

2144J

【解析】

【分析】根据变换法则得8(司=5：111，%+：—矢],则:—加=也，左”取左=0计算即可，确定

71(7171171

0X+-G-,07T+-,根据零点个数得到2兀＜0兀+—＜3兀，解得答案.

4144J4

【详解】由题意可得g(x)=sin[o[x—[+：=sin[tyx+(一,

因为g(x)的图像关于原点对称，所以=即0=9—6左左eZ,

3

当左=0时，a＞=—；

2

jrITT7T।

若xe(O,兀)，贝(J0x+]e匕，M+工)，/(%)有且仅有两个零点，

7[1(7]]

则2兀＜。兀+—＜3兀，解得一＜。＜一，故。的取值范围为|.

444144

3（7111

故答案为：一（答案不唯一）；二,二

2144」

四、解答题：

17.设〃eN,数对（4,2）按如下方式生成：（4,%）=（0,0）,抛掷一枚均匀的硬币，当硬币的正面朝上

时,若4则（a“+i，d+i）=（%+l，d+l）,否则（a”+i也+1）=（。”+1,2）；当硬币的反面朝上时,若

则（%,%）=（%+M+1）,否则（4+1也+1）=（%，2+1）.抛掷"次硬币后,记为=2的概

率为

（1）写出（%,4）的所有可能情况，并求斗巴；

（2）求只;

【答案】（1）可能情况见解析，6=0,£=g

【解析】

【分析】（1）列出所有（4,4）和（4,4）的情况，再利用古典概型公式计算即可;

（2）依题构造递推关系与+1-；=-；］匕-；）,再利用等比数列公式可得答案.

【小问1详解】

当抛掷一次硬币结果为正时,（%，4）=。,0）；

当抛掷一次硬币结果为反时,=（0,1）；

当抛掷两次硬币结果为（正,正）时，（出也）=（2，1）；

当抛掷两次硬币结果为（正，反）时,（%也）=（1,1）；

当抛掷两次硬币结果为（反，正）时,（%也）=（1,1）；

当抛掷两次硬币结果为（反，反）时,（。2,4）=（1,2）.

所以，q=O,R=?=!；

~42

【小问2详解】

由题知，I%-%Al,

当a“〉d，且掷出反面时，有(4+1，2+1)=(。〃,々+1)，此时""+1-"〃+1'

当见<2，且掷出正面时，有(为+i，2+i)=(为+L2)，此时"〃+1—bn+i,

所以加=口(4浊)+3Pm<2)=3［网4>2)+*为<优)］=。(1—匕)，

所以匕+「74［一3

所以［匕―3｝是以6—;为首项，一;为公比的等比数列，

w^4=4xH)'所以q=**卜().

【点睛】关键点点睛：解题的关键点是由已知推得匕+1-3=-3］匕-g),再利用等比数列定义解题.

18.在概率统计中，我们常常通过观测到的实验结果应用极大似然估计法来估计某参数的取值.设X为其

分布列与未知参数加有关的离散型随机变量，其中机的取值范围为S.若对已知结果X=左，有加oeS,

且V/^eS,有P(X=用机=6机=4)成立，则称加o为加在X=上下的一个极大似然估

计.

(1)(i)若X服从二项分布网2,加)，求机在X=1下的极大似然估计；

(ii)若X服从二项分布5(/n,g),求机在X=3下的极大似然估计.

(2)若某台抽奖机上有一个按钮，参与者需要连续快速点击按钮来累积积分换取奖品.已知每次点击按

钮后，获得1积分的概率为p(O<p<D，不获得积分的概率为1-夕.小丽参加这个抽奖活动后总共获得

了左积分，用极大似然估计的方法估计她点击按钮的总次数的取值为加°，证明：并指出等号

P

成立的条件.

【答案】(1)(i)|；(ii)5或6

(2)证明见解析，等号能成立的条件为&eN*.

P

【解析】

【分析】(1)(i)根据二项分布的定义写出尸(x=l)的表达式，再求其最值即得;

(ii)根据二项分布的定义求得p(x=3)=袱=”2),利用数列a二-----八-----的单调性,

m6.2m

即得%;在m=5或nt=6时取得最大值，即得；

⑵先判断X服从二项分布5(狐同，求得尸(X=左)=C>/(1—0"修，求出3=1~,

cim-K\L

判断｛%“｝的单调性，按照1是否为整数分情况讨论推理得到加0即可.

pP

【小问1详解】

(i)由题意可得P(X=1)=-m)=~~2(m—―)2+—,

故当机=工时取最大值，其极大似然估计为：.

22

(ii)由题得根wN*，且加23,

P(X=3)=Cl±=z=m(m-l)(m-2)

I7m2m3!-(rn-3)!-2m6-2m

+—1)

6.2W+1m+1

6.2m''42m-4

其中相>3,2加一4>0.当机<5时，m+1>2m—4,则。冽+1>。加；

当根=5时，有。5=4；当加26时，品+1<am，故。加在根=5或加=6时取得最大值，

则加在X=3下的极大似然估计为5或6.

【小问2详解】

显然有机>左，设机次点击后获得的积分为随机变量X，由题可知X服从二项分布5(75P),

则p(x=o=C”(i—p；r，

设am=C,pkQ-p)"i,

W+1）!

贝七=C"（l-p严y=左!（"，+—）!=（，"+l）（l-，）=（If—°

、amC:pkQ—p）%km!m-k+1m-k+1'

k!（m-k）!

k

当（1—p）m+1—夕<〃z—Z+l，即加〉---1时，am+i<am,

k.k、

当机<——1时，am+i>amf当机=——1时，am+i=am.

PP

①若K-l为整数，则对加的极大似然估计人为七T和七，满足相。《幺，当XeN*时等号成立，

PPPPP

②若1不为整数，记N为小于1的最大整数，则N+l>&-1,

P