2025届河北省唐山市高考一模数学试题（含答案解析）

2025届河北省唐山市高考一模数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知QER,若（〃-2）+（Q-l）i（i为虚数单位）是纯虚数，则。=（）

A.-2B.-1C.1D.2

2.已知命题p:Vx£R,%2〉0；命题q:*＞0/nx＜0.则（）

A.2和夕都是真命题

B.）是假命题，9是真命题

C.2是真命题，乡是假命题

D.）和9都是假命题

3.若等比数列｛%｝的前〃项和邑=2〃+冽（冽ER）,则加=（）

A.-1B.0C.1D.2

4.随机变量丫〜网",人）。〉。.若尸（X＜4+cr）=p,则尸Q/—b＜X＜//+b）=（）

A.l-pB.2-2p

C.2-5D.2p-1

5.已知/（x）=M则下列说法正确的是（）

A./（5）＞/（-3）＞/（2）B./（-3）＞/（2）＞/（5）

C./（5）＞/（2）＞/（-3）D./（2）＞/（5）＞/（-3）

6.已知圆O:/+/=5与抛物线0：了2=4z交于A?两点，则阴=（）

A.2B.3C.4D.5

7.在三棱锥力-BCD中，AE=EB,AF=2JFC,AG=3GD,设三棱锥N-EFG的体积为匕,

三棱锥/-BCD的体积为匕，则匕：匕=（）

A1；11

B-C.一D.-

,368

8.对于公[0,1],小）+/（1）=2,且〃无）=2/0，当0《国在41时，/（国）"（々）,

试卷第1页，共4页

1

则/)

4050

]_111

A.B.-C.—D.—

481632

二、多选题

71

9.已知函数/(x)=sinX+-，则关于/（x）的说法正确的是（）

ITTT

A.在区间——上单调递增

OO

B.7是/（X）的最大值

C.图象关于点对称

D.把y=图象向左平移g个单位长度得到g（x）=cosx的图象

22

10.已知双曲线。邑啧=1（。〉0乃＞0）的左、右焦点分别为耳,耳，过月的直线V=x-2

与C的一条渐近线平行，且与C交于点P,则（)

A.C的离心率为④B.C的实轴长为4

C.AP6外的面积为1D.阀|+因卜3近

11.已知函数-加工一“加,,则下列说法正确的是（）

A.当时，/（x）在R上单调递增

B.函数夕=/（无）的对称中心为（0,-"）

C.使得＞=±x-"与曲线y=/（x）的公共点中存在四点能连接成正方形

D.V机＞0,总存在两条斜率互为相反数的相交直线与曲线y=/（x）都相切

三、填空题

12.在菱形48CD中，AC-JD=.

13.已知tan£=,贝utan（£-a）=________.

l-tana

14.已知费马数是形如尸（〃）=2"+l（〃eN）的素数，如第一个费马数为尸（0）=3,则

试卷第2页，共4页

尸(2)=；正多边形的边数若能写成2人与加个不同的费马数的乘积(左eN,俏eN),

则正多边形就可以用尺规作图.将这种正多边形的边数按从小到大排列，记为数列｛%｝,注：

若加=0,边数可以取22=4等；若切=1,边数可以取2°x3=3等，贝!]/=.

四、解答题

15.记VN8C的内角48,C的对边分别为“，瓦c,已知asinB=c.

⑴若c=2,求V/3C的面积；

⑵若/+笊_02=亚6，求B.

16.如图，在三棱台N3C-44G中，441底面MC,/圈=1,/8=NC=2,D为BC的中点,

ACLC.D.

(2)若AA1=6,求平面BCCXBX与平面4DG夹角的余弦值.

17.已知某类考试中，有一种题型为多项选择题，每道题中有四个选项，其中有两个或三个

选项正确.每道题所赋分值为6分，若有两个正确选项，则这两个选项中每个选项所赋分值

为3分；若有三个正确选项，则这三个选项中每个选项所赋分值为2分.另外，有错误选项

得0分.已知每道题有两个正确选项的概率为〃z(">0).

(1)设每道题所得分数为X,写出X的所有可能取值；

(2)对于一道多项选择题，已知选项A正确，考生甲选择了A,又在其余的三个选项中随机

选择了一个选项.请写出考生甲此题得分丫的分布列和数学期望.

18.若一个数列各项的倒数成等差数列，则这个数列称为调和数列，如数列就是一

个调和数列.

⑴在集合｛1,2,3,4,5,6｝中从小到大取三个数，使其构成调和数列(只需写出一个数列即可);

试卷第3页，共4页

⑵若4C,8,D四点共线，顺次排列，且京==,则称此四点构成了一个调和点列.

CBDB

①求证：三个线段长度AC,AB,AD构成一个调和数列；

22

②直线/过点P(-4,0)与椭圆厂?+《=：!相交于两点，已知四点尸,W,Q,N构成一个

调和点列，求点。的轨迹长度.

19.已知函数=_x+sim.

⑴当。=1时，求/(尤)的极小值；

(2)当x20时，/(%)>0,求实数。的取值范围.

试卷第4页，共4页

《2025届河北省唐山？T高考一才博数学试题》参考答案

题号12345678910

答案DBADACBCADACD

题号11

答案ABD

1.D

【分析】根据纯虚数的概念列方程求解可得.

【详解】因为（。-2）+（a-l）i（i为虚数单位）是纯虚数，

fa-2=0

所以,c，解得a=2.

[〃一1wO

故选：D

2.B

【分析】对于判断全称命题为假只需要举反例；对于判断特称命题为真只需要举例说明.

【详解】对于命题p：VxeR,尤2>0,因为当x=0时，x2=0,故命题。是假命题；

对于命题qHx>0/nx<0,当丫=—时，In—=—1<0,故命题4是真命题.

ee

故选：B.

3.A

【分析】由已知条件得%=2"+加-（2"T+W）=2"T,由此即可求出机.

【详解】因为等比数列｛%｝的前〃项和邑=2"+机（加eR）,

所以当"22时，％=2"+加-（2"一+m）=2"T,

所以％=1=2+机，解得〃?=一1.

故选：A.

4.D

【分析】根据正态分布曲线的对称性求解.

【详解】因为且尸（X<〃+b）=p,

所以尸（X2〃+b）=l-p,

根据正态分布曲线的对称性，可得尸（XW〃-b）=P（X2〃+b）=l-p,

答案第1页，共13页

所以尸("_b<X<//+CT)=\-P^X<4一cr)一尸(X>//+cr)=l-2(l-j7)=2/7-l.

故选：D

5.A

【分析】判断函数/'(力=朋的奇偶性与单调性，再利用函数性质比较"5)、八-3)、”2)的

大小.

【详解】已知八"=阴，其定义域为R,关于原点对称.

且/(一切=/N=泌=/(x),所以函数/(x)是偶函数.

那么/(一3)=/(3).

当xNO时，/(x)=ex.

因为e>l,所以〃x)=e'在[0,+如上单调递增.

因为5>3>2,且为x)在[0,+8)上单调递增,所以5(5)>/(3)>〃2).

又因为〃-3)=/(3),所以/(5)>/(-3)>/(2).

故选：A.

6.C

【分析】联立两曲线方程求出交点坐标即可得到结果.

屋2+2=5

【详解】由<24得，%2+4%—5=0,解得x=l或％=-5,

[/=4x

抛物线C:>2=4x中x20,x=1,

・・.片±2,即/(1,2),5(1,-2),

A|AB|=4.

故选：C.

7.B

【分析】设G到平面N8C的距离为4,设。到平面/3C的距离为生，求得｝=),继而

44

求出S产=]根据棱锥的体积公式，即可求得答案.

【详解】设G到平面N8C的距离为4,设。到平面/8C的距离为生,

答案第2页，共13页

UUUlUUUL3

由于4G=3GA故"="

__,__k,__,12

5LAE=1EB,AF=2FC,贝=尸=1/C,

S-AE-AFsinZEAF1

故\AEF=2------------------------=_L

S1-ABACABAC3'

2

15h

Q131

故心------------------二—X—=—

1v,344

g〉AABC〃2

故选:B

8.C

【分析】采用赋值法，令V可得了1=J令x=0可得/（0）=0,

1,进而推出了

259210

1再结合函数的性质，可得了1

进而推出了⑴=2,/7)=2,的值.

4050

【详解】令尤=；，贝!1/

20/1

所以/进而/=2/山

111

同理可得：f

72x68432x6259216

〃0）+〃1）=2=/（0）=0

令1=0,贝I

/（0）=2/（0）41）=2'

1111

所以/

2法广？7b

1I

2

11,即L/11

因为0<-r<、<1,所以了<f<——

65405025294050252916405016

11

所以/

405016

答案第3页，共13页

故选：c

【点睛】抽象函数问题可以通过化抽象为具体的方法，即赋予恰当的数值或代数式，经过运

算与推理，最后得出结论.

9.AD

【分析】利用整体法可判断A；利用代入法判断BC；利用平移变换求得平移后的解析式判

断D.

JTTTTT7T

【详解】对于A,因为xe,所以+

L66J63

所以函数/(x)在区间上单调递增，故A正确；

00

对于B,不是/(无)的最大值,故B错误;

对于c,^[yJ=sin^+^J=sin^=1-所以f(x)的图象不关于点对称，故C错误;

对于D,将y=/(x)图象向左平移g个单位长度得到

，[x+'1)=sin[x+|'+W=si{x+W=cosx的图象，

即g(x)=cosx,故D正确.

故选：AD.

10.ACD

【分析】先根据直线与渐近线平行求出双曲线的。，6关系，进而求出离心率、实轴长等,

再联立直线与双曲线方程求出点P坐标，从而计算APRF?的面积以及||+1^1的值.

【详解】双曲线C:£-二=1(。＞0力＞0),其渐近线方程为＞=±2》.

aba

已知过鸟的直线y=x-2与C的一条渐近线平行，则2=1,即。=6.

a

又月(c,0)在直线＞=x-2上，所以0=。—2,解得c=2.

由，=/+62,a=b,。=2可得2〃2=4,解得q=b=也.

离心率e=,=7^=12,实轴长2。=2收，选项A正确，选项B错误.

22

联立直线y=x-2与双曲线方程土-匕=1,将y=x-2代入双曲线方程可得:

22

r_(£Z＜=i,即4X—4=2,解得x=j,则尸一:，即气：,-1).

222222

答案第4页，共13页

已知《(-2,0),6(2,0),贝I]1GBi=2c=4,点尸到x轴的距离即中斗鸟边上的高〃=g.

根据三角形面积公式，可得&两弓=；乂尸产2门"=?＜4'。=1,选项C正确.

根据两点间距离公式，可得：

1PB|=^(|-2)2+(-1-o)2=储)"k=当’

IW[={(1+2)2+(-「0)2=jg+(一步=孚.

所以|尸4|+|尸6|=岑+等=3逝，选项D正确.

故选：ACD.

【分析】根据导数的正负判断A；根据函数的对称性判断B；根据函数的性质判断C；根据

导数的几何意义判断D.

【详解】因为/'(x)=;?-〃式一〃，所以/a)=31—刃,

当"注0时，在R上恒成立，即/(X)在R上单调递增，故A正确;

因为/(x)+f(-x)=x3-mx-n+(-x)3+mx-n=-In,

所以＞=/(x)的对称中心为(0,-〃)，故B正确；

由B项可知,函数/(X)的对称中心为(0,-〃)且夕=±x-〃也关于(。,-〃)对称,

假设y=±x-〃与曲线y=/(x)的公共点中存在四点能连接成正方形,

即y=±x-〃与曲线y=/(x)有四个交点，即X3-/MX-〃=±X-〃，

即X，-/MX=±X除去0以外还有四个解，即工2=机±1，所以加＞1,

设〉=》一"和7=》+〃与曲线y=/(x)的交点分别为4,c,B,D,

所以|/C卜忸必，即彳不而斤=小2+(-球而斤，无解，假设不成立，故C错误;

设两直线与曲线了=/(x)的切点分别为(尤1,乂),(x2,y2),

答案第5页，共13页

则/'(Xi)+/'(尤2)=0，3xf-m+3xf-m=0,所以

V加>0,总存在孙盯，使得上式成立，

即V/M>0,总存在两条斜率互为相反数的相交直线与曲线了=/(x)都相切，故D正确;

故选：ABD.

【点睛】难点点睛：解答本题的难点是C的判断，解答时要注意结合对称性，采用假设得

出矛盾的方法求解.

12.0

【分析】根据菱形的性质易得.

【详解】因菱形A8C。的对角线互相垂直，即NC18。，故就.丽=0.

故答案为：0.

13.1

【分析】由条件可得tan"-tana=l-tanatan",结合两角差正切公式求结论.

［详解］由tan/7=1+tan。可得tan夕（1一tana）=1+tana,

1-tana

所以tanp-tana=1+tanatan/3,

tanp—tana

所以tan（4—a）==1

1+tanPtana

故答案为：1.

14.1716

【分析】(1)将九=2代入方⑺=2*+1(〃wN)即可求得结果.

(2)利用列举法算出前10项即可求得结果.

【详解】由尸(“)=22"+l(〃eN)知，将〃=2代入得尸(2)=2%+1=24+1=17,

1、当沉=1时，尸(0)=3边数可以是3,

2、当左=2时，2?=4边数可以是4,

3、当加=1时，尸。)=5边数可以是5,

4、当加=1,4=1时，2iF(0)=2x3=6边数可以是6,

5、当左=3时，2?=8边数可以是8,

6、当"7=1,左=1时，2,x歹⑴=2x5=10边数可以是10,

答案第6页，共13页

7、当加=1,左=2时，2?x尸⑼=2?x3=12边数可以是12,

8、当m=2时，尸⑼xF⑴=3x5=15边数可以是15,

9、当上=4时，2,=16边数可以是16,

10、当加=1时，尸（2）=2乎+1=17边数可以是17,

故。9=16,

故答案为：①17；②16

方法点睛：新定义数列求法：

（1）理解定义：仔细研读新定义，明确新数列的特征、规律或运算规则等关键信息，

（2）列举归纳：对于一些复杂的新定义数列，可先根据定义求出数列的前几项，

通过观察这些项的规律，推测出数列的通项公式或其他性质；

（3）转化化归

（4）利用数学方法.

15.（1）2

⑵八;或八m

【分析】（1）将已知条件代入S=[acsinS即可；

（2）利用余弦定理求出C,然后利用正弦定理边化角，结合和差公式、二倍角公式化简可

得.

【详解】（1）在V/BC中，S=—acsirtS.

2

因为asinB=c=2,

所以S=—acsinB=2.

2

（2）在V/2C中，由余弦定理可得cosC=/+'一厂=变,

2ab2

jr

因为0＜。＜兀，所以。二一，

4

由正弦定理得siih4sin5=sinC.

.I71]71

因为/+8+。=兀，所以sin兀----BsinB=sin—.

I4J4

（正收）V2

化简得cos^+sinBsinB=,BpsinBcosB+sin2B=1

答案第7页，共13页

所以，sin2B+』—』cos2B=l,整理得sin[25—四]=交.

222I4）2

n-t、,C37rLr*tvI兀cn兀5兀

因0<B<—,以—<2B<—,

4444

解得22-乌=工，或23-工=型，所以8=巴，或3=巴.

444442

16.（1）证明见解析

（2）1

【分析】（I）利用棱台的性质结合线面垂直的判定定理可得/C1平面由此可证明

结论.

（2）以A为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量计算可得结果.

【详解】（1）在三棱台/BC-44G中，片=1,N3=/C=2,.•.4G=1,8C=2用G.

•。为8c的中点，，与G=5D,B\G〃BD,

四边形BOG耳为平行四边形，故耳3//CtD.

•：AC±QD,：.ACLB}B.

：_L底面/8C,/。<=底面，8。，AAX±AC.

：44],58]u平面4844,用潭鸟为相交直线，/CJ■平面/台44，

：/2匚平面/844，/.ACYAB.

以A为原点，以赤，衣,而|分别为x轴，了轴，z轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标

系，

则/（0,0,0）,3（2,0,0）,C（0,2,0）,尾（1,0,匝）,G（0,1,8）,0（1,1,0）.

答案第8页，共13页

.•.瑟=(-2,2,0),西=(一1,0,6),^C1=(0,1,72),25=(1,1,0).

BC-m=0,—2xj+2%—0,

设玩=（%,必,zj是平面8CG4的法向量，贝！I，―即

一/+—0,

BBX-m=0,

令x=0，则3=收/=1,故比=（后,仓1）.

n=0,卜+%二°，

S拓即1+息-o

令》=后，贝匕=-0/=1,故万=（拒，-五」）.

/一一\m-n1

.・.cosim.n）=T—TT—T=—

X'\m\\n\5,

平面BCC&1与平面4DC1夹角的余弦值为1.

17.（1）0,2,3,4,6

2

（2）分布列见解析；期望为§（4-机）

【分析】（1）由条件结合随机变量X的意义确定X的可能取值；

（2）由条件确定y的可能取值，再结合条件概率公式求y取各值的概率，由此可得分布列,

再根据期望公式求期望.

【详解】（1）X的所有可能取值为0,2,3,4,6.

（2）甲得分y的可能取值为0,4,6.

设事件。:y=o；事件尸：y=4；事件G：y=6.

设事件H:此题有两个正确选项，则后：此题有三个正确选项.

①当此题有两个正确选项时，可能得0分，6分，

71

则尸（。1H）=-,P（G|//）=-；

②当此题有三个正确选项时，可能得0分，4分，

_1_9

则尸僧H）=-,P（F\H）=~.

综上所述，

2111

P（Y=0）=P（Q）=P（H）P（Q\H）+P（H）P（Q\H）=-m+-（l-m）=-+-m.

P（Y=4）=P（F）=P（H）P（F\=.

P（Y=6）=P（G）=P[H）P（G\H）=".

答案第9页，共13页

分布列表如下:

Y046

11221

P—+—m------m—m

33333

期望值£（/）=°x（g+g加）+4x（g—g加）+6xgj包=2（4—加

3、

18.(1)2,3,6(或3,4,6)

(2)①证明见解析；②3

【分析】(1)结合新定义可得这三个数的倒数成等差数列，写出满足要求的答案即可;

ArAD

(2)①由等=落结合4C,2,D四点共线及新定义求证即可;

CBDB

②设/:歹=左卜+4),联立直线与椭圆方程，结合韦达定理及新定义求解即可.

【详解】(1)由题意，这三个数的倒数成等差数列，就能构成调和数列,

则这三个数为2,3,6或3,4,6.

ACAD

/c、口口'曰CBDBAB-ACAD-AB

（2）①证明：由——=——，得——=——，即Rn一——

CBDBACADACAD

则受条2,即〉如今则"""构成一个调和数列.

②设/：>=左（尤+4）,代入3/+4y2-12=0,

22

得（3+4k）x+32Hx+64左2-12=0.

A=（32左,丫一4（3+4左2）（64左2-12）=144（1-4左2）,

由△〉0得—<k<一.

22

设M（七,必）,，则再+x?=_*,再%=6y

3+4左3+4左

11再+入2+8再+工2+8

贝葭+4x2+4（xj+4）（X2+4）//+4（/+12）+16

-64*—12—128左2+16（3+4左236-3,

设0（x,y）,贝i||尸0|=J（X+4）2+J?=Jl+r（x+4）,

同理，I尸A/j=J1+笈2（再+4）,|尸N|=J1+户（X2+4）.

112112

依题设,得啊+网=网,贝"亦+彳=不

答案第10页，共13页

33

则x+4=3,得x=—I-JEL—<_y<—.

因此，点。的轨迹为一条线段(不含端点)，长度为3.

【点睛】方法点睛：与新定义有关的问题的求解策略：

1.通过给出个新定义，或约定种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要

求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，

达到灵活解