2025届河北省沧州市沧衡八县联考高三一模数学试题（含答案解析）

2025届河北省沧州市沧衡八县联考高三一模数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.复数ZU-”的虚部为（）

2-31

5用.

----------1

13

2.集合M={xeN|log2X<2}的真子集个数为()

A.15B.16C.31D.32

3.若变量丁与x之间存在线性相关关系,且根据最小二乘法得到的经验回归方程为y=2x+a,

样本点中心为（3,6.5）,则样本点（2.5,7）的残差为（）

A.-1.5B.1.5C.0.5D.-0.5

4.已知S〃为等比数列也｝的前〃项和，若J=3--A,则〃3=（）

A.72B.-72C.144D.-144

2222

5.已知.>6>0,椭圆c：5+2=l与双曲线E:=-4=1的离心率分别为G,%,若

a2b2a2b2

3q=e2,则双曲线E的渐近线方程为（）

A.x+45y=0B.2x±j=0C.2x±V5y=0D.氐±2y=0

6.设/,2是一个随机试验中的两个事件，若P(豆)=",P(AB)=~,则P(/|8)=()

7.在正四棱台44G。-482c2。2中，4月=血，4以=3收，44=6,则该正四棱台

外接球的表面积为（）

A.108万B.54%C.36〃D.27兀

8.已知函数/（x）=sin（m+0+号）（oeN*,0<°<,在上单调，且/[=

若将函数y=〃x）的图象向右平移"7（m>0）个单位长度后关于y轴对称，则机的最小值为（）

试卷第1页，共4页

二、多选题

9.某学校组织“综合体能测试”,现从所有参加体能测试的学生中，随机抽取100名学生的“综

合体能测试”成绩，并统计如下，则()

成绩(70,75](75,80](80,85](85,90](90,95](95,100]

频数61218302410

A.这100名学生的“综合体能测试”成绩高于80的学生超八成

B.这100名学生的“综合体能测试”成绩的中位数大于85

C.这100名学生的“综合体能测试”成绩的众数为85

D.这100名学生的“综合体能测试”成绩的平均数在90至95之间

10.在V/2C中，若内角/,B,C满足sin?/:sin?8:sin2c=4:9:10,则()

A.cosB=—B.60°<C<75°C.tan(yi+C)=-3^D.tan8+tan3/=0

85

11.在平面直角坐标系中，若N®,%),则称“〃=|再-引+|%~闯超为初，N两点

的“曼哈顿距离”，若动点E到两定点片(0,-c),耳(0,c)(c>0)的“曼哈顿距离”之和为定值

2a(a>c),则称点£的轨迹为“曼哈顿椭圆”，若点尸为该“曼哈顿椭圆”上一点，则()

A.的周长为2a+2cB.人尸£与面积的最大值为c("c)

C.该“曼哈顿椭圆”的面积为2(/_02)D.该“曼哈顿椭圆”的周长为

4[V2a+(l-V2)c]

三、填空题

12.已知向量3=(sin?。一1,一1),3=(1,cos2c0，若tanc=；,贝！.

13.将分别标有数字1,2,3,4,5的5个大小相同的小球放入一个不透明的袋子中，甲，

乙两人分别从袋中摸出一球，互相不知道对方摸出球的数字.甲先对乙说：“我不能确定咱俩

谁的球上面的数字更大.”乙再对甲说：“我也不能确定咱俩谁的球上面的数字更大.”若甲，乙

两人所说均为真话，请你推断乙所摸球上的数字为.

14.已知函数/(x)满足：VxeR,f(x-l)+6>f(x+5),f(x+l)-3>f(x-2),若/(3)=2,

则〃2025)=.

试卷第2页，共4页

四、解答题

15.若数列也,｝的前〃项和为S),，且%>0,a^-2Sn+an=0.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵若“喙，数列痣｝的前〃项和为北，证明：

16.已知函数/(X)=(x-a)ln(x+l).

(1)若。=0,证明：/(%)>0;

⑵若存在过点(-1,0)的直线与曲线y=/(x)相切，求实数。的取值范围.

17.某学校为全面提高学生的语文素养和阅读水平，构建“书香校园”，特举办“课外阅读知

识竞赛”，为了调查学生对这次活动的满意程度，在所有参加“课外阅读知识竞赛”的同学中

抽取容量为300的样本进行调查，并得到如下2x2列联表:

单位：人

性别

满意程度合计

男生女生

满意120

不满意150

合计200

(1)请补全上面的2x2列联表，依据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为满意程度与

性别有关系；

(2)若竞赛成绩在前20的同学进入决赛环节，该环节共设置3道试题，且每一道试题必须依

次作答，至少答对2道才能进入总决赛，且每人答对这3道试题的概率分别为苫，；，；，

322

3道试题答对与否互不影响.

(i)用X表示能进入总决赛的人数，求X的数学期望;

(ii)记有n人进入总决赛的概率为尸(〃)，求尸5)取最大值时"的值.

n(ad-be)2

附：z2其中〃=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.010.001

试卷第3页，共4页

%2.7063.8416.63510.828

TT

18.如图，在三棱锥尸一/8。中，AP=AB=4C,。为BC上一点，NABC=NDAC=一,

(1)证明：平面尸4B_L平面48C；

(2)若PB=BC,43=2,求：

(i)三棱锥P-/3C的体积；

(ii)平面尸与平面尸3c夹角的余弦值.

124

19.经过圆C:(x+2)2+y2=/&>0)上一点(_不,《)作。的切线/,/与抛物线r:V=2px(p>0)

也相切，尸为「上一点.

⑴求r和〃的值；

⑵若点尸(1,2),不经过P的直线4与：T交于不同两点/,8(位于x轴两侧)，与x=-l相交

于点D,若直线E4,PB,PD的斜率分别为左，k2,白，且占为匕，◎的等差中项，证明：

直线4过定点；

⑶若O为坐标原点，咒为「的焦点，求△尸O尸内切圆面积的最大值.

试卷第4页，共4页

《2025届河北省沧外市沧衡八县联考高三一模数学试题》参考答案

题号12345678910

答案BABDCABDABACD

题号11

答案BCD

1.B

【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可根据虚部的定义求解.

【详解】因为z=鲁=：J)1^=?、,所以复数z的虚部为工.

2-31(2-31)(2+31)13131313

故选：B.

2.A

【分析】先解对数不等式，用列举法写出集合刊即可求解.

【详解】不等式log2xV2的解为0<xV4,因为xeN,所以W={1,2,3,4},

所以集合W的真子集个数为24-1=15.

故选：A.

3.B

【分析】先求出线性回归方程，再由残差的定义求解即可.

【详解】依题意，6.5=2x3+G,所以&=0.5,即经验回归方程为j>=2x+0.5,

又当x=2.5时，y=2x2.5+0.5=5.5,所以样本点(2.5,7)的残差为7-5.5=1.5,

故选：B.

4.D

【分析】利用给定的前〃项和公式，求出q,外,%，再利用等比数列意义列式求解.

【详解】依题意，%=岳=3-2,a2=S2-Si=(3-42)-(3-2)=-32,

a3=S3-S2=(3-162)-(3-42)=-12^.,由{qj为等比数列，得蜡=%的,

即(一3彳y=(3—2)(—12彳)，解得2=]2或2=0,由％=—32片0,得彳W0,

则4=12,所以%=T44.

故选：D

5.C

【分析】利用离心率和双曲线渐近线的公式求解即可.

答案第1页，共13页

【详解】依题意，e产鱼二匕，,又3q=e?,

aa

所以9(1-〃)=/+〃，整理得4/=5/,所以，=专，

所以双曲线£的渐近线方程为V=±,即2x±=0,

故选：C.

6.A

【分析】由题意求出P(/8),再结合互斥事件的概率公式即可求解.

1.12

【详解】因为解5)V，所以P(3)=l-尸⑻=1-『二,

_?-1

又因为尸(5)二尸(/8)+尸(/5)=§,P(AB)=~,

所以P(/3)=；,

所以*/忸)=尸，:)=0X3=L

v1'P(B)322

故选：A.

7.B

【分析】根据正棱台中的直角梯形求得棱台的高，利用勾股定理建立外接球半径的方程，求

出半径，从而利用公式计算球表面积.

【详解】设正四棱台上底面的中心为«,下底面432c2鼻的中心为Q，因为

AR=6,AR=3也,所以0/=1，O2A2=3.

过4作4后,。2a于E，易得4£=2,

设该正四棱台外接球的球心为0,则。在直线。。2上，002=4£=«/；-4炉=4五，

设00]=x,则0。2=卜后-工|,

2

设外接球的半径为凡则R=OOl+OtA；=OOl+O2Al,即/+F=(46■一xy+32,解得

答案第2页，共13页

x=—,贝11及2=（逑）2+1="，所以外接球的表面积为4%夫2=54%.

222

故选：B.

8.D

【分析】根据三角函数周期性将函数/（x）化简，再结合单调性计算出。的取值，逐个验证

后确定。和。的值，即得到函数1（X）的解析式，再根据题意得到平移后的函数解析式，最

后结合函数图像的对称性质解得加的最小值.

【详解】因为函数/（x）=sin10x+0+=cos（0x+0,又函数在［-£仁）上单调，

27rIT（7T127r

所以函数/（X）的最小正周期T=—>2x—=所以。（3,又OWN*,所以。=1,

co|_6v67J3

2,3.

cosf=0,又0<94，则9无解;

若&=1,则/(x)=cos(x+e),且/

2

?+夕]=0,又0<夕<弓，则e=£；

若①二2,贝!l/(x)=cos(2x+e),且/cos

0)2233

cos[*+，=0,又0<9</，则9无解.

若①=3,则/(x)=cos(3x+0),且/

2

综上，/（%）=COSI2x+yI.

所以函数/（力的图像向右平移m个单位长度后对应解析式为

/(X—m)=cos2(x-m)+y=cosl2x-2m+yI,

jrIT左冗

因为关于y轴对称，所以二^—2加=ku,左£Z.所以m=----,keZ,又m>0,所以当左=0

362

71

时，加取最小值为7.

6

故选：D.

9.AB

【分析】根据频数分布分析数据即可.

【详解】选项A：这100名学生的“综合体能测试”成绩高于80的学生人数为

18+30+24+10=82,所以A选项正确；

选项B：成绩不超过85的学生人数为6+12+18=36,所以B选项正确；

选项C：成绩分布在（85,90］的人数为30,但不一定成绩的众数为85,所以C选项不正确;

答案第3页，共13页

选项D：由于击(75x6+80x12+85x18+90x30+95x24+100x10)=89.2,所以D选项不

正确.

故选：AB

10.ACD

【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用余弦定理，结合三角恒等变换逐项求

解判断.

【详解】设V4BC内角B,C的对边分别为a,b,c,由sin?/:sin?3:sin2c=4:9:10,

Wsin:sin5:sinC=a:b:c=2:3:，不妨令a=2,b=3,c=V10>

4+10.9、/

对于A,由余弦定理得cos8=理,A正确；

2x2x7108

对于B,cosC=^2^=；,cos75o=cos(450+30°)=交(直一5=瓜-疵>L，C>75。,

2x2x34v722244

B错误；

对于C,cos8=，3£(0,兀)，贝！Jsin8=d-COS25=,

88

tan(y4+C)=-tan一^1,C正确；

VlO5

小工r，10+9-4丽,c10,1c

对于D,cos4=-----；=-=------，cos2Z=2cos4-1=2x------l=-=cosC,

2xV10x34164

TT

又24Ce(0,]),则2/=C,由/+B+C=?t,得3/+6=兀，即B=7t—3/,

因止匕tan3+tan3/=0,D正确.

故选：ACD

11.BCD

【分析】根据“曼哈顿距离”的定义，把“曼哈顿距离”表示出来，根据对称性研究第一象限及

x轴和y轴非负半轴上点的轨迹，直接去绝对值符号画图象即可逐项判断求解.

【详解】设点尸的坐标为(xj),

则尸，片两点的“曼哈顿距离"4=|x|+|y+d，p,用两点的“曼哈顿距离=国+2-。|，

则4+〃2=2国+卜+4+卜一°|,

易得“曼哈顿椭圆”关于坐标原点(0,0)及坐标轴对称，可以先研究第一象限及X轴和y轴非

答案第4页，共13页

负半轴上点的轨迹,

2x+2y,x>0,y>c2x+2y=2a,x>O,y>c

d]H-ci2=2x+2c,x>0,0<y<c'作曲线

2x+2c=2a,x>0,0<3/<c'

根据对称性，可作出如图“曼哈顿椭圆”，则/(。，㈤，C(a-c,O),B(a-c,c),

对于A,B,当点尸与C重合时，△尸于"的周长为2jc2+(a-c)2+2c片2a+2c,

此时人尸片鸟的面积最大为;x闺耳冈OC|=c(a-c),故A不正确，B正确；

对于C,梯形0/8C的面积为国土㈣x|OC|=4^,所以该“曼哈顿椭圆”的面积为

2(a2-c2),故C正确；

对于D,又|48|+|BC|=y/2(a-c)+c=£/+(1-V2)c,

所以该“曼哈顿椭圆”的周长为4[ga+(l-e)c],故D正确.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据“曼哈顿距离”的定义，表示出“曼哈顿距离”,

根据对称性画出图象求解.

7

12.——

5

【分析】由向量数量积的坐标表示以及同角三角函数商的关系计算求解即可；

【详解】依题意a-b=sin2。一1一cos2a=sin2a-1-(2cos2a-1)=sin2a-2cos?a

_sin2a-2cos2a_tan2a-2_7

sin2a+cos2atan2a+\5

7

故答案为：-

13.3

【分析】阅读题意，再结合合情推理即可得解.

【详解】若甲摸出的球上面的数字为1或5,则可以推断两人摸出球上面数字的大小,

答案第5页，共13页

所以甲摸出的球上面的数字不可能是1或5；

同理，乙摸出的球上面的数字也不可能是1或5；

若乙摸出的球上面的数字为2,甲摸出的球上面的数字可能为3或4,此时乙可判断大小；

若乙摸出的球上面的数字为4,甲摸出的球上面的数字可能为2或3,此时乙可判断大小，

所以乙摸出的球上面的数字为3.

故答案为：3.

14.2024

【分析】根据已知条件结合赋值法计算得出〃尤)2/(尤-3)+3,再赋值法结合应用不等关系

计算求解即可.

【详解】依题意，因为〃x-l)+62f(x+5),则〃x)+62/(x+6),

令》=一3,则/(一3)+64/(3),因为"3)=2,所以/(一3)14,

又因为/(X+1)-32/(X-2),则/(X)-3N/(X-3),Bp/(x)>/(x-3)+3,

令x=0,则〃0)“(-3)+3,即/■(0)2-1,

令x=3,则〃3)-32〃0),所以“0)4-1,故得/(0)=-1,

又“2025)=/(2019+6)</(2019)+6</(2013)+6+6<

…V/■⑶+337x6=2024；

X/(2025)>/(2025-3)+3=/(2022)+3>/(2019)+3+3>•••

>/(O)+675x3=-l+2025=2024,

所以2024</(2025)<2024,即/(2025)=2024.

故答案为：2024.

【点睛】关键点点睛：解题的关键点是对赋值法及不等式的综合应用.

15.(1)4=〃

(2)证明见解析

【分析】(1)利用S,和。“的关系求解即可；

(2)利用错位相减法求解即可.

【详解】(1)当”=1时，。；-24+4=0,%=1,

因为d一2s“+。”=0,当〃22时，<1-2S„_1+a„_1=0,

答案第6页，共13页

两式作差得：/-2S”）=0,

aaaa

即n~n-\~n~n-\=。，故（%十%）（%-T）=。，

又因为。">0,所以。“一。“_1=1（〃至2）,且4=1

所以%=〃.

(2)由(1)可知,\=—,

MT123n-\n

故小§+铲+灵+…+尹+”'

1123n-1n

—T=—H-—-H----1-------1----：

211111匕々。公〃）〃1

两式作差得：产=§+铲+手+¥+-+］一产=丁一一

3

所以（=：（3-汐，因为2詈>0,所以

16.（1）证明见解析

(2)(-<O,-e2-l]U(-l,+<»)

【分析】（1）利用导数只需证/（力*'。即可;

(2)设切点为(%,%),求出切线方程为y-%=/'(Xo)(x-Xo),又切线经过点(-1,0)得

1ln(xn+1)—1Inx—1

(x0-a)ln(x0+1)=(1+x0)ln(x0+1)+x0-a即—=----——，令g(M=------，利用导

。+1%0+1X

数求g(x)a，只需-上冷⑺啰即可•

【详解】(1)当。=0时，/(x)=xln(x+l),XG(-1,+OO),

Y

贝!)/'(%)=ln(x+1)+---7,%£(—1+8),

x+1

Y11x+2

令〃(x)=ln(x+l)+-xe(_l,+co)4l]/7'(x)=--+-~-7=---j>Q

x+1尤+1(x+1)(x+1)

所以函数/z(x)在(-1,+8)上单调递增，

又〃(0)=0,所以当xe(T,0)时，h(x)<0,即/(无)<0,

所以函数/(x)在(-1,0)上单调递减；

当xe(O,+a))时,h(x)>0,即八x)>0,所以函数〃x)在(0,包)上单调递增，

所以当x=0时，“无心="0)=0,所以=

答案第7页，共13页

(2)设过点(-1,0)的直线与曲线了=/(%)相切于点(%,%),

f'(x)=ln(x+1)+=,则/'(%)=ln(x0+1)+,

则切线方程为尸%=/'(%)(x-x0),又该切线经过点(-1,0),所以0-%=/'(%)(-1一天),

即—(％—a)ln(xo+l)=[ln(xo+l)+――^(-l-x0),

%+1

整理得(x0-a)ln(x0+l)=(l+x0)ln(x0+l)+x0-a,

即XQ+(1+ci)ln(%Q+1)—a=0,即％0+1+(1+a)ln(x0+1)—(tz+1)=0,

即[ln(%+l)—1]3+1)=—(%+D，显然当〃+l=0时，不合题意；

则一11=+1)—1，令g(x)=I"nx—^1，xe(0,+s),贝i」g，(x)=土2—I萼nX，

当xe(0,e2)时，g'(x)>0,函数g(x)在(0应)上单调递增；

当xe(e[+oo)时，g'(x)<0,函数g(x)在(e?,+8)上单调递减；

所以函数g(x)在x=，时取得最大值g(e2)=4.

e

且当XfO时，g(X)f-8,当XT>+8时，g(x)f0,所以g(x)4l，

e

即一一二工《，解得〃〉—1或e2—1,所以实数。的取值范围为(―8,—e2—1]U(—1,+8).

Q+1e

17.(1)列联表见解析，推断犯错误的概率不大于0.001

35

(2)(i)了；(ii)12

【分析】(1)完成列联表，并利用独立性检验的步骤完成计算即可；

(2)(i)由题意可知能进入总决赛的人数服从二项分布，再计算出每个人进入决赛的概率，

利用二项分布的数学期望公式进行计算即可；(ii)写出P(")的表达式，列出不等式组进行

求解即可.

【详解】(1)2x2列联表如下：

答案第8页，共13页

满意12030150

不满意8070150

合计200100300

零假设为心满意程度与性别无关，人喂焉磊A……

所以依据小概率值a=0.001的独立性检验，推断〃。不成立，即能认为满意程度与性别有关

系，此推断犯错误的概率不大于0.00L

(2)⑴依题意，设4="答对第，道题”(，=1,2,3)；8="某同学进入总决赛”,

211

则尸(4)=§,尸(4)=］，尸(4)=5,

所以尸(8)=尸(444)+尸(44%)+尸(444)+尸(彳44)

=-X—X--1——X—X(1----)H——X(1----)x—I-(1-Tx-X——,

32232232232212

依题意，X〜8(20,#,所以E(X)=20xg=?；

(ii)依题意，?⑺=Q。x

G。x(《)"x(1二产"2C零x取产x(1—广

若尸(〃)最大，则I1；I

G。x(-)"x(l--产-"2C黎x大r1x(l-r

4549

角牟得了(下，因为〃EN*,所以〃=12,

44

所以P(〃)取最大值时〃的值为12.

18.(1)证明见解析

(2)(i)1；(ii)叵

7

【分析】(1)由线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理即可证明；

(2)(i)过点P作尸0_L/8于。，由(1)可知，点P到的距离即为点P到平面N8C的

距离，结合三棱锥体积公式计算即可求解；(ii)连接OC,以。B,OC,。尸所在直线分别

为x,力z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解面面角的余弦值.

【详解】(1)在V4BC中，AB=AC,ZABC=^,所以44cB=工，所以/8/C="，

663

答案第9页，共13页

717T

又/DAC=—,所以4840=—，即

62

又因为ABcPB=B,所以40_L平面尸48,

又/Du平面NBC,所以平面平面NBC.

(2)(i)因为PB=BC,所以"BC="BP,贝=&，ZAPB=

36

9B

g、i〜士cn4Bsin/P4BXo_rr

所以在AABP中，PB=-----------=一/-=2V3

sin/APB£

2

如图，过点尸作尸。_L/8于O,PO=P3-sin-=2V3x-=73,

62

由(1)可知，点尸到48的距离即为点P到平面/3C的距离,

所以三棱锥尸一/BC的体积％=gx(；x26x1)x6=1.

/?

(ii)如图，连接OC,则OC.OB,OC=—AC=43>

2

x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

则3(3,0,0),C(0,V3,0),P(0,0,V3)，/(L。,。)，又8/_L=马回，所以。(1,逋,0),

33

9=(1,0,-百)，丽=(1,苧，-6),丽=(3,0,-百),

设平面PAD的法向量为江=(x,%z),

PA-U=x-也z—0,

则——2仙厂令2=百，则x=3,y=o,所以汗=(3,0,6),

PD-H=x+^—y_®=0,

3

设平面PBC的法向量为炉=,

PB-v=3m—y[3t=0,

则___2-J3/-令，=JJ，则加=1,n=yfi,所以E=(l,JJ,g),

PD-v=m+-^n-yl3t=0,

答案第10页，共13页

14av6V21

设平面为。与平面尸8c的夹角为9,则cos8=㈢w

273x77-7

所以平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为YH.

7

19.（1）厂=半，°=2

（2）证明见解析

噂

【分析】（1）由（-1[2,4*在圆上可得r,然后利用切线与圆心切点连线垂直可得切线方程,

再把切线方程与抛物线方程联立，利用判别式为0可得p；

（2）设直线4：X=町+〃（加w0,〃>0）,4>1，必），8（%,%）,将直线4方程与准线方程联立

?+n+1

可得。点坐标，结合尸（1,2）,《为匕，鼠的等差中项，可得与M%，M+外间关系,

m

然后将直线4与抛物线方程联立，结合韦达定理可得（“-1）（〃+1）（2加+"-1）=0,讨论后可得

答案；

R=-------彳

（3）设尸（%,%,）在第一象限，用两种方式表示可得%+及+而/，然后构

造函数/（无）=无+8+'/+16（》>0）,利用导数研究其单调性，据此可得答案.

X

【详解】（1）依题意，点（一I12，*4在圆c：a+2）2+v=/（/>o）上，

则（一号+2）2+（1）2=/,所以厂=拽，

555

--0

又圆心为（-2,0）,设直线/的斜率为左，则h—-----=-1,所以《=

-y-（-2）2

4112

所以直线/的方程为即x-2y+4=0,

x—2y+4=0

又直线/与抛物线「：/=28（？>0）也相切，联立。，整理得y-4勿+8p=0,

y2=2px

则A=（T°）2-4x8p=0,解得。=0（舍去）或。=2,综上可得厂=乎，。=2.

（2）由（1）可知，抛物线「的方程为V=4x,准线方程为尤=-1,

答案第11页，共13页

设直线4彳0,〃>0),B(x2,y2),

x=-\

x=my+n—1—n

联立x=-l」"-l-n,即。(T-----).

y=-------m

m

y,—2—2-i-n

又尸(1,2),则