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文档简介
2025届河北省沧州市沧衡八县联考高三一模数学试题
学校:姓名:班级:考号:
一、单选题
1.复数ZU-”的虚部为()
2-31
5用.
----------1
13
2.集合M={xeN|log2X<2}的真子集个数为()
A.15B.16C.31D.32
3.若变量丁与x之间存在线性相关关系,且根据最小二乘法得到的经验回归方程为y=2x+a,
样本点中心为(3,6.5),则样本点(2.5,7)的残差为()
A.-1.5B.1.5C.0.5D.-0.5
4.已知S〃为等比数列也}的前〃项和,若J=3--A,则〃3=()
A.72B.-72C.144D.-144
2222
5.已知.>6>0,椭圆c:5+2=l与双曲线E:=-4=1的离心率分别为G,%,若
a2b2a2b2
3q=e2,则双曲线E的渐近线方程为()
A.x+45y=0B.2x±j=0C.2x±V5y=0D.氐±2y=0
6.设/,2是一个随机试验中的两个事件,若P(豆)=",P(AB)=~,则P(/|8)=()
7.在正四棱台44G。-482c2。2中,4月=血,4以=3收,44=6,则该正四棱台
外接球的表面积为()
A.108万B.54%C.36〃D.27兀
8.已知函数/(x)=sin(m+0+号)(oeN*,0<°<,在上单调,且/[=
若将函数y=〃x)的图象向右平移"7(m>0)个单位长度后关于y轴对称,则机的最小值为()
试卷第1页,共4页
二、多选题
9.某学校组织“综合体能测试”,现从所有参加体能测试的学生中,随机抽取100名学生的“综
合体能测试”成绩,并统计如下,则()
成绩(70,75](75,80](80,85](85,90](90,95](95,100]
频数61218302410
A.这100名学生的“综合体能测试”成绩高于80的学生超八成
B.这100名学生的“综合体能测试”成绩的中位数大于85
C.这100名学生的“综合体能测试”成绩的众数为85
D.这100名学生的“综合体能测试”成绩的平均数在90至95之间
10.在V/2C中,若内角/,B,C满足sin?/:sin?8:sin2c=4:9:10,则()
A.cosB=—B.60°<C<75°C.tan(yi+C)=-3^D.tan8+tan3/=0
85
11.在平面直角坐标系中,若N®,%),则称“〃=|再-引+|%~闯超为初,N两点
的“曼哈顿距离”,若动点E到两定点片(0,-c),耳(0,c)(c>0)的“曼哈顿距离”之和为定值
2a(a>c),则称点£的轨迹为“曼哈顿椭圆”,若点尸为该“曼哈顿椭圆”上一点,则()
A.的周长为2a+2cB.人尸£与面积的最大值为c("c)
C.该“曼哈顿椭圆”的面积为2(/_02)D.该“曼哈顿椭圆”的周长为
4[V2a+(l-V2)c]
三、填空题
12.已知向量3=(sin?。一1,一1),3=(1,cos2c0,若tanc=;,贝!.
13.将分别标有数字1,2,3,4,5的5个大小相同的小球放入一个不透明的袋子中,甲,
乙两人分别从袋中摸出一球,互相不知道对方摸出球的数字.甲先对乙说:“我不能确定咱俩
谁的球上面的数字更大.”乙再对甲说:“我也不能确定咱俩谁的球上面的数字更大.”若甲,乙
两人所说均为真话,请你推断乙所摸球上的数字为.
14.已知函数/(x)满足:VxeR,f(x-l)+6>f(x+5),f(x+l)-3>f(x-2),若/(3)=2,
则〃2025)=.
试卷第2页,共4页
四、解答题
15.若数列也,}的前〃项和为S),,且%>0,a^-2Sn+an=0.
(1)求数列{%}的通项公式;
⑵若“喙,数列痣}的前〃项和为北,证明:
16.已知函数/(X)=(x-a)ln(x+l).
(1)若。=0,证明:/(%)>0;
⑵若存在过点(-1,0)的直线与曲线y=/(x)相切,求实数。的取值范围.
17.某学校为全面提高学生的语文素养和阅读水平,构建“书香校园”,特举办“课外阅读知
识竞赛”,为了调查学生对这次活动的满意程度,在所有参加“课外阅读知识竞赛”的同学中
抽取容量为300的样本进行调查,并得到如下2x2列联表:
单位:人
性别
满意程度合计
男生女生
满意120
不满意150
合计200
(1)请补全上面的2x2列联表,依据小概率值a=0.001的独立性检验,能否认为满意程度与
性别有关系;
(2)若竞赛成绩在前20的同学进入决赛环节,该环节共设置3道试题,且每一道试题必须依
次作答,至少答对2道才能进入总决赛,且每人答对这3道试题的概率分别为苫,;,;,
322
3道试题答对与否互不影响.
(i)用X表示能进入总决赛的人数,求X的数学期望;
(ii)记有n人进入总决赛的概率为尸(〃),求尸5)取最大值时"的值.
n(ad-be)2
附:z2其中〃=a+b+c+d
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
a0.10.050.010.001
试卷第3页,共4页
%2.7063.8416.63510.828
TT
18.如图,在三棱锥尸一/8。中,AP=AB=4C,。为BC上一点,NABC=NDAC=一,
(1)证明:平面尸4B_L平面48C;
(2)若PB=BC,43=2,求:
(i)三棱锥P-/3C的体积;
(ii)平面尸与平面尸3c夹角的余弦值.
124
19.经过圆C:(x+2)2+y2=/&>0)上一点(_不,《)作。的切线/,/与抛物线r:V=2px(p>0)
也相切,尸为「上一点.
⑴求r和〃的值;
⑵若点尸(1,2),不经过P的直线4与:T交于不同两点/,8(位于x轴两侧),与x=-l相交
于点D,若直线E4,PB,PD的斜率分别为左,k2,白,且占为匕,◎的等差中项,证明:
直线4过定点;
⑶若O为坐标原点,咒为「的焦点,求△尸O尸内切圆面积的最大值.
试卷第4页,共4页
《2025届河北省沧外市沧衡八县联考高三一模数学试题》参考答案
题号12345678910
答案BABDCABDABACD
题号11
答案BCD
1.B
【分析】根据复数的除法运算化简复数,即可根据虚部的定义求解.
【详解】因为z=鲁=:J)1^=?、,所以复数z的虚部为工.
2-31(2-31)(2+31)13131313
故选:B.
2.A
【分析】先解对数不等式,用列举法写出集合刊即可求解.
【详解】不等式log2xV2的解为0<xV4,因为xeN,所以W={1,2,3,4},
所以集合W的真子集个数为24-1=15.
故选:A.
3.B
【分析】先求出线性回归方程,再由残差的定义求解即可.
【详解】依题意,6.5=2x3+G,所以&=0.5,即经验回归方程为j>=2x+0.5,
又当x=2.5时,y=2x2.5+0.5=5.5,所以样本点(2.5,7)的残差为7-5.5=1.5,
故选:B.
4.D
【分析】利用给定的前〃项和公式,求出q,外,%,再利用等比数列意义列式求解.
【详解】依题意,%=岳=3-2,a2=S2-Si=(3-42)-(3-2)=-32,
a3=S3-S2=(3-162)-(3-42)=-12^.,由{qj为等比数列,得蜡=%的,
即(一3彳y=(3—2)(—12彳),解得2=]2或2=0,由%=—32片0,得彳W0,
则4=12,所以%=T44.
故选:D
5.C
【分析】利用离心率和双曲线渐近线的公式求解即可.
答案第1页,共13页
【详解】依题意,e产鱼二匕,,又3q=e?,
aa
所以9(1-〃)=/+〃,整理得4/=5/,所以,=专,
所以双曲线£的渐近线方程为V=±,即2x±=0,
故选:C.
6.A
【分析】由题意求出P(/8),再结合互斥事件的概率公式即可求解.
1.12
【详解】因为解5)V,所以P(3)=l-尸⑻=1-『二,
_?-1
又因为尸(5)二尸(/8)+尸(/5)=§,P(AB)=~,
所以P(/3)=;,
所以*/忸)=尸,:)=0X3=L
v1'P(B)322
故选:A.
7.B
【分析】根据正棱台中的直角梯形求得棱台的高,利用勾股定理建立外接球半径的方程,求
出半径,从而利用公式计算球表面积.
【详解】设正四棱台上底面的中心为«,下底面432c2鼻的中心为Q,因为
AR=6,AR=3也,所以0/=1,O2A2=3.
过4作4后,。2a于E,易得4£=2,
设该正四棱台外接球的球心为0,则。在直线。。2上,002=4£=«/;-4炉=4五,
设00]=x,则0。2=卜后-工|,
2
设外接球的半径为凡则R=OOl+OtA;=OOl+O2Al,即/+F=(46■一xy+32,解得
答案第2页,共13页
x=—,贝11及2=(逑)2+1=",所以外接球的表面积为4%夫2=54%.
222
故选:B.
8.D
【分析】根据三角函数周期性将函数/(x)化简,再结合单调性计算出。的取值,逐个验证
后确定。和。的值,即得到函数1(X)的解析式,再根据题意得到平移后的函数解析式,最
后结合函数图像的对称性质解得加的最小值.
【详解】因为函数/(x)=sin10x+0+=cos(0x+0,又函数在[-£仁)上单调,
27rIT(7T127r
所以函数/(X)的最小正周期T=—>2x—=所以。(3,又OWN*,所以。=1,
co|_6v67J3
2,3.
cosf=0,又0<94,则9无解;
若&=1,则/(x)=cos(x+e),且/
2
?+夕]=0,又0<夕<弓,则e=£;
若①二2,贝!l/(x)=cos(2x+e),且/cos
0)2233
cos[*+,=0,又0<9</,则9无解.
若①=3,则/(x)=cos(3x+0),且/
2
综上,/(%)=COSI2x+yI.
所以函数/(力的图像向右平移m个单位长度后对应解析式为
/(X—m)=cos2(x-m)+y=cosl2x-2m+yI,
jrIT左冗
因为关于y轴对称,所以二^—2加=ku,左£Z.所以m=----,keZ,又m>0,所以当左=0
362
71
时,加取最小值为7.
6
故选:D.
9.AB
【分析】根据频数分布分析数据即可.
【详解】选项A:这100名学生的“综合体能测试”成绩高于80的学生人数为
18+30+24+10=82,所以A选项正确;
选项B:成绩不超过85的学生人数为6+12+18=36,所以B选项正确;
选项C:成绩分布在(85,90]的人数为30,但不一定成绩的众数为85,所以C选项不正确;
答案第3页,共13页
选项D:由于击(75x6+80x12+85x18+90x30+95x24+100x10)=89.2,所以D选项不
正确.
故选:AB
10.ACD
【分析】根据给定条件,利用正弦定理边化角,再利用余弦定理,结合三角恒等变换逐项求
解判断.
【详解】设V4BC内角B,C的对边分别为a,b,c,由sin?/:sin?3:sin2c=4:9:10,
Wsin:sin5:sinC=a:b:c=2:3:,不妨令a=2,b=3,c=V10>
4+10.9、/
对于A,由余弦定理得cos8=理,A正确;
2x2x7108
对于B,cosC=^2^=;,cos75o=cos(450+30°)=交(直一5=瓜-疵>L,C>75。,
2x2x34v722244
B错误;
对于C,cos8=,3£(0,兀),贝!Jsin8=d-COS25=,
88
tan(y4+C)=-tan一^1,C正确;
VlO5
小工r,10+9-4丽,c10,1c
对于D,cos4=-----;=-=------,cos2Z=2cos4-1=2x------l=-=cosC,
2xV10x34164
TT
又24Ce(0,]),则2/=C,由/+B+C=?t,得3/+6=兀,即B=7t—3/,
因止匕tan3+tan3/=0,D正确.
故选:ACD
11.BCD
【分析】根据“曼哈顿距离”的定义,把“曼哈顿距离”表示出来,根据对称性研究第一象限及
x轴和y轴非负半轴上点的轨迹,直接去绝对值符号画图象即可逐项判断求解.
【详解】设点尸的坐标为(xj),
则尸,片两点的“曼哈顿距离"4=|x|+|y+d,p,用两点的“曼哈顿距离=国+2-。|,
则4+〃2=2国+卜+4+卜一°|,
易得“曼哈顿椭圆”关于坐标原点(0,0)及坐标轴对称,可以先研究第一象限及X轴和y轴非
答案第4页,共13页
负半轴上点的轨迹,
2x+2y,x>0,y>c2x+2y=2a,x>O,y>c
d]H-ci2=2x+2c,x>0,0<y<c'作曲线
2x+2c=2a,x>0,0<3/<c'
根据对称性,可作出如图“曼哈顿椭圆”,则/(。,㈤,C(a-c,O),B(a-c,c),
对于A,B,当点尸与C重合时,△尸于"的周长为2jc2+(a-c)2+2c片2a+2c,
此时人尸片鸟的面积最大为;x闺耳冈OC|=c(a-c),故A不正确,B正确;
对于C,梯形0/8C的面积为国土㈣x|OC|=4^,所以该“曼哈顿椭圆”的面积为
2(a2-c2),故C正确;
对于D,又|48|+|BC|=y/2(a-c)+c=£/+(1-V2)c,
所以该“曼哈顿椭圆”的周长为4[ga+(l-e)c],故D正确.
【点睛】关键点点睛:本题解题的关键是根据“曼哈顿距离”的定义,表示出“曼哈顿距离”,
根据对称性画出图象求解.
7
12.——
5
【分析】由向量数量积的坐标表示以及同角三角函数商的关系计算求解即可;
【详解】依题意a-b=sin2。一1一cos2a=sin2a-1-(2cos2a-1)=sin2a-2cos?a
_sin2a-2cos2a_tan2a-2_7
sin2a+cos2atan2a+\5
7
故答案为:-
13.3
【分析】阅读题意,再结合合情推理即可得解.
【详解】若甲摸出的球上面的数字为1或5,则可以推断两人摸出球上面数字的大小,
答案第5页,共13页
所以甲摸出的球上面的数字不可能是1或5;
同理,乙摸出的球上面的数字也不可能是1或5;
若乙摸出的球上面的数字为2,甲摸出的球上面的数字可能为3或4,此时乙可判断大小;
若乙摸出的球上面的数字为4,甲摸出的球上面的数字可能为2或3,此时乙可判断大小,
所以乙摸出的球上面的数字为3.
故答案为:3.
14.2024
【分析】根据已知条件结合赋值法计算得出〃尤)2/(尤-3)+3,再赋值法结合应用不等关系
计算求解即可.
【详解】依题意,因为〃x-l)+62f(x+5),则〃x)+62/(x+6),
令》=一3,则/(一3)+64/(3),因为"3)=2,所以/(一3)14,
又因为/(X+1)-32/(X-2),则/(X)-3N/(X-3),Bp/(x)>/(x-3)+3,
令x=0,则〃0)“(-3)+3,即/■(0)2-1,
令x=3,则〃3)-32〃0),所以“0)4-1,故得/(0)=-1,
又“2025)=/(2019+6)</(2019)+6</(2013)+6+6<
…V/■⑶+337x6=2024;
X/(2025)>/(2025-3)+3=/(2022)+3>/(2019)+3+3>•••
>/(O)+675x3=-l+2025=2024,
所以2024</(2025)<2024,即/(2025)=2024.
故答案为:2024.
【点睛】关键点点睛:解题的关键点是对赋值法及不等式的综合应用.
15.(1)4=〃
(2)证明见解析
【分析】(1)利用S,和。“的关系求解即可;
(2)利用错位相减法求解即可.
【详解】(1)当”=1时,。;-24+4=0,%=1,
因为d一2s“+。”=0,当〃22时,<1-2S„_1+a„_1=0,
答案第6页,共13页
两式作差得:/-2S”)=0,
aaaa
即n~n-\~n~n-\=。,故(%十%)(%-T)=。,
又因为。">0,所以。“一。“_1=1(〃至2),且4=1
所以%=〃.
(2)由(1)可知,\=—,
MT123n-\n
故小§+铲+灵+…+尹+”'
1123n-1n
—T=—H-—-H----1-------1----:
211111匕々。公〃)〃1
两式作差得:产=§+铲+手+¥+-+]一产=丁一一
3
所以(=:(3-汐,因为2詈>0,所以
16.(1)证明见解析
(2)(-<O,-e2-l]U(-l,+<»)
【分析】(1)利用导数只需证/(力*'。即可;
(2)设切点为(%,%),求出切线方程为y-%=/'(Xo)(x-Xo),又切线经过点(-1,0)得
1ln(xn+1)—1Inx—1
(x0-a)ln(x0+1)=(1+x0)ln(x0+1)+x0-a即—=----——,令g(M=------,利用导
。+1%0+1X
数求g(x)a,只需-上冷⑺啰即可•
【详解】(1)当。=0时,/(x)=xln(x+l),XG(-1,+OO),
Y
贝!)/'(%)=ln(x+1)+---7,%£(—1+8),
x+1
Y11x+2
令〃(x)=ln(x+l)+-xe(_l,+co)4l]/7'(x)=--+-~-7=---j>Q
x+1尤+1(x+1)(x+1)
所以函数/z(x)在(-1,+8)上单调递增,
又〃(0)=0,所以当xe(T,0)时,h(x)<0,即/(无)<0,
所以函数/(x)在(-1,0)上单调递减;
当xe(O,+a))时,h(x)>0,即八x)>0,所以函数〃x)在(0,包)上单调递增,
所以当x=0时,“无心="0)=0,所以=
答案第7页,共13页
(2)设过点(-1,0)的直线与曲线了=/(%)相切于点(%,%),
f'(x)=ln(x+1)+=,则/'(%)=ln(x0+1)+,
则切线方程为尸%=/'(%)(x-x0),又该切线经过点(-1,0),所以0-%=/'(%)(-1一天),
即—(%—a)ln(xo+l)=[ln(xo+l)+――^(-l-x0),
%+1
整理得(x0-a)ln(x0+l)=(l+x0)ln(x0+l)+x0-a,
即XQ+(1+ci)ln(%Q+1)—a=0,即%0+1+(1+a)ln(x0+1)—(tz+1)=0,
即[ln(%+l)—1]3+1)=—(%+D,显然当〃+l=0时,不合题意;
则一11=+1)—1,令g(x)=I"nx—^1,xe(0,+s),贝i」g,(x)=土2—I萼nX,
当xe(0,e2)时,g'(x)>0,函数g(x)在(0应)上单调递增;
当xe(e[+oo)时,g'(x)<0,函数g(x)在(e?,+8)上单调递减;
所以函数g(x)在x=,时取得最大值g(e2)=4.
e
且当XfO时,g(X)f-8,当XT>+8时,g(x)f0,所以g(x)4l,
e
即一一二工《,解得〃〉—1或e2—1,所以实数。的取值范围为(―8,—e2—1]U(—1,+8).
Q+1e
17.(1)列联表见解析,推断犯错误的概率不大于0.001
35
(2)(i)了;(ii)12
【分析】(1)完成列联表,并利用独立性检验的步骤完成计算即可;
(2)(i)由题意可知能进入总决赛的人数服从二项分布,再计算出每个人进入决赛的概率,
利用二项分布的数学期望公式进行计算即可;(ii)写出P(")的表达式,列出不等式组进行
求解即可.
【详解】(1)2x2列联表如下:
答案第8页,共13页
满意12030150
不满意8070150
合计200100300
零假设为心满意程度与性别无关,人喂焉磊A……
所以依据小概率值a=0.001的独立性检验,推断〃。不成立,即能认为满意程度与性别有关
系,此推断犯错误的概率不大于0.00L
(2)⑴依题意,设4="答对第,道题”(,=1,2,3);8="某同学进入总决赛”,
211
则尸(4)=§,尸(4)=],尸(4)=5,
所以尸(8)=尸(444)+尸(44%)+尸(444)+尸(彳44)
=-X—X--1——X—X(1----)H——X(1----)x—I-(1-Tx-X——,
32232232232212
依题意,X〜8(20,#,所以E(X)=20xg=?;
(ii)依题意,?⑺=Q。x
G。x(《)"x(1二产"2C零x取产x(1—广
若尸(〃)最大,则I1;I
G。x(-)"x(l--产-"2C黎x大r1x(l-r
4549
角牟得了(下,因为〃EN*,所以〃=12,
44
所以P(〃)取最大值时〃的值为12.
18.(1)证明见解析
(2)(i)1;(ii)叵
7
【分析】(1)由线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理即可证明;
(2)(i)过点P作尸0_L/8于。,由(1)可知,点P到的距离即为点P到平面N8C的
距离,结合三棱锥体积公式计算即可求解;(ii)连接OC,以。B,OC,。尸所在直线分别
为x,力z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法即可求解面面角的余弦值.
【详解】(1)在V4BC中,AB=AC,ZABC=^,所以44cB=工,所以/8/C=",
663
答案第9页,共13页
717T
又/DAC=—,所以4840=—,即
62
又因为ABcPB=B,所以40_L平面尸48,
又/Du平面NBC,所以平面平面NBC.
(2)(i)因为PB=BC,所以"BC="BP,贝=&,ZAPB=
36
9B
g、i〜士cn4Bsin/P4BXo_rr
所以在AABP中,PB=-----------=一/-=2V3
sin/APB£
2
如图,过点尸作尸。_L/8于O,PO=P3-sin-=2V3x-=73,
62
由(1)可知,点尸到48的距离即为点P到平面/3C的距离,
所以三棱锥尸一/BC的体积%=gx(;x26x1)x6=1.
/?
(ii)如图,连接OC,则OC.OB,OC=—AC=43>
2
x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则3(3,0,0),C(0,V3,0),P(0,0,V3),/(L。,。),又8/_L=马回,所以。(1,逋,0),
33
9=(1,0,-百),丽=(1,苧,-6),丽=(3,0,-百),
设平面PAD的法向量为江=(x,%z),
PA-U=x-也z—0,
则——2仙厂令2=百,则x=3,y=o,所以汗=(3,0,6),
PD-H=x+^—y_®=0,
3
设平面PBC的法向量为炉=,
PB-v=3m—y[3t=0,
则___2-J3/-令,=JJ,则加=1,n=yfi,所以E=(l,JJ,g),
PD-v=m+-^n-yl3t=0,
答案第10页,共13页
14av6V21
设平面为。与平面尸8c的夹角为9,则cos8=㈢w
273x77-7
所以平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为YH.
7
19.(1)厂=半,°=2
(2)证明见解析
噂
【分析】(1)由(-1[2,4*在圆上可得r,然后利用切线与圆心切点连线垂直可得切线方程,
再把切线方程与抛物线方程联立,利用判别式为0可得p;
(2)设直线4:X=町+〃(加w0,〃>0),4>1,必),8(%,%),将直线4方程与准线方程联立
?+n+1
可得。点坐标,结合尸(1,2),《为匕,鼠的等差中项,可得与M%,M+外间关系,
m
然后将直线4与抛物线方程联立,结合韦达定理可得(“-1)(〃+1)(2加+"-1)=0,讨论后可得
答案;
R=-------彳
(3)设尸(%,%,)在第一象限,用两种方式表示可得%+及+而/,然后构
造函数/(无)=无+8+'/+16(》>0),利用导数研究其单调性,据此可得答案.
X
【详解】(1)依题意,点(一I12,*4在圆c:a+2)2+v=/(/>o)上,
则(一号+2)2+(1)2=/,所以厂=拽,
555
--0
又圆心为(-2,0),设直线/的斜率为左,则h—-----=-1,所以《=
-y-(-2)2
4112
所以直线/的方程为即x-2y+4=0,
x—2y+4=0
又直线/与抛物线「:/=28(?>0)也相切,联立。,整理得y-4勿+8p=0,
y2=2px
则A=(T°)2-4x8p=0,解得。=0(舍去)或。=2,综上可得厂=乎,。=2.
(2)由(1)可知,抛物线「的方程为V=4x,准线方程为尤=-1,
答案第11页,共13页
设直线4彳0,〃>0),B(x2,y2),
x=-\
x=my+n—1—n
联立x=-l」"-l-n,即。(T-----).
y=-------m
m
y,—2—2-i-n
又尸(1,2),则
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