2025高考数学二轮复习：蒙日圆与阿基米德三角形

微拓展2蒙日圆与阿基米德三角形

[考情分析]在近几年全国各地的解析几何试题中可以发现许多试题涉及蒙日圆与阿基米德三角形，这些

问题聚焦了轨迹方程、定值、定点、弦长、面积等解析几何的核心问题，难度为中高档.

考点一蒙日圆

22

在椭圆泌＞0)上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半

径等于椭圆长半轴与短半轴平方和的算术平方根，这个圆叫蒙日圆.

例1(1)已知椭圆M的方程为亍+、2=1,过平面内椭圆〃外的点尸作椭圆M的两条互相垂直的切线，

则点月的轨迹方程为()

A.x2+y2=5B.x1+y2=4

CM+y2=3DM+y2=|

答案A

解析设点P(xo,加),当切线斜率存在且不为0时，府#2,y(#±l,

设切线方程为y-yo=Mx-%o),

联立[7+y=L

,y-y0=k(x-&),

消去y得(4乃+l)x2+8(yo-fcro)fct+4(yo-fcvo)2-4=O,

则/=64产(yo-fcto)2-4x(44+l)[4(yo-fcto)2-4]=O,

即(4-就点+2和证+1-羽=0,两切线垂直，故其斜率之积为一1,则由根与系数的关系知蹙=-1,即诏+诏=5.

4To

当切线斜率不存在或为0时，此时点P坐标为(2,1),(-2,1),(-2,-1),(2,-1),满足方程就+无=5,故

所求轨迹方程为/+y2=5.

(2)(多选)已知焦点在无轴上的椭圆C的长轴长为4,离心率为e=%P为蒙日圆上任一点，则以下说法

正确的是()

A.过点尸作椭圆C的两条切线PA,PB,则有PALM

B.过点尸作椭圆的两条切线，交椭圆于点A,B,。为原点，则kOP必B=[

C.过点尸作椭圆的两条切线，切点分别为A,B,则SMPB的取值范围为卷，y]

D.过点P作椭圆的两条切线，切点分别为A,B,O为原点，则SAAOB的最大值为VI

答案ACD

解析由题意知椭圆C：马+昌=1（4泌＞0）的长轴长为4,离心率为e=l,

故a=2,-=l,

a2

所以C=1,加=〃2_/=3,

22

则椭圆方程为千+5=1蒙日圆”的方程为/+/7.

43

对于A,由蒙日圆的定义知PAVPB,A正确；

对于B,设AS,力），B（X3,第），贝IPA的方程为资+等=1,

P3的方程为卓+第=1,

43

两切线过点尸（羽，-），故竽+胃1=1,等+第=1,

4343

即点A,B在直线号+第=1上，因为两点确定一条直线，

43

故直线AB的方程为等+号=1,则N二等,

434yl

而kop^—,故kop-kAB=-~,B错误；

工14

27

对于C,由于直线A3的方程为等+箸=1,联立,

得（3者+4yH-24xix+48-16资=0,

J=（24xi）2-4（3%i+4yf）（48-16yf）

=64资（3以+4无-12）＞0,

贝IJ%2+%3=,

3若+4比2

故|AB|=J1+欧（无2+久3尸一轨2K3

3好+4*

又点P到直线AB的距离小」3：:4比-121,

」9好+16比

故S^APB=^AB\di

9*+16y/3好+4光-125宣+4*-12|

3好+4弁

一12)13好+4光一12

3好+4及

又％田+*=7,故令03说+4比-12=Jy/+9,

贝IJS^APB=-^=T^2.

tt3

令财*券，显然曲在［3,4］上单调递减，

故V=r4在［3,4］上单调递增,

则(Sz\AP3)min=7^W

八”/

1_16

(%AP8)max=

7(4)7'

即SAAPB的取值范围为E，黑，C正确；

对于D,由C的分析可知

29好+16免3好+4比一12

\AB\=-

3好+4光

1-121

而点。到直线AB的距离d2=,

9好+16—

故S/\AOB=^AB\d2

916*J3+4*—12

好+好|T2|

3好+4弁

4+16比

123*+4*-12

3好+4比

又以+资=7,

故令Z=J3M+4资-12='资+9,fC[3,4],

12t12

则S^AOB='

t2+12-t+^，

而f+y^2V12-4V3，当且仅当仁芳，即Z=2V3G［3,,等号成立，

=

故SAAOB=~^2-^^V3,即SAAOB的最大值为V5,D正确.

［规律方法］（1）设P为蒙日圆上任一点，过点P作椭圆的两条切线，交椭圆于点A,B,。为原点.

性质1PA.LPB.

u2

性质2kop'kAB---^2-

性质3kOA-kpA=-^,%0B•腔B=*（垂径定理的推广）•

性质4P。平分椭圆的切点弦A区

性质5延长PA,PB分别交蒙日圆。于两点C,。，则CD//AB.

性质6&AOB的最大值为学，&AOB的最小值为黑.

2az4-Dz

n4L.4

性质7SaAPB的最大值为-―^2，S/XAPB的最小值为W—Q

a2+Z?2az+bz

（2）蒙日圆在双曲线、抛物线中的推广

22

双曲线'翥=1（°>6>0）的两条互相垂直的切线PA,PB交点尸的轨迹是蒙日圆：/+卢，22（只有当a>b时才

有蒙日圆）.

⑶抛物线/2夕助>0）的两条互相垂直的切线PA，尸3交点P的轨迹是该抛物线的准线：尸?可以看作半

径无穷大的圆）.

22

跟踪演练1（多选）已知椭圆C：2+-=1，。为原点，则下列说法中正确的是（）

54

A.椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=9

B.过直线/：x+2y-3=0上一点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M,N,当NMPN为直角时，直线

OP的斜率为一

C.若尸为蒙日圆上一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M,N,则尸O平分椭圆的切点弦

MN

D.若尸为蒙日圆上一点，过点尸作椭圆C的两条切线，切点分别为N,且0,尸到的距离分

别为di,必，则d\d2=-^-

答案ACD

22

解析对于A,椭圆C:》一二1的蒙日圆方程为x*2+*y2=9,A正确；

54

对于B,依题意，点尸是直线/与蒙日圆的交点，则—V

解得尸(Y'蔡)或尸(3，0),

直线。尸的斜率为?或0,B错误；

对于C,设P点坐标为(松，外)，直线OP斜率ko/,

x0

由切点弦公式得到脑V的方程为警+督=1,-孕,kop-kMN=--^,

zz2z

abay0a

由点差法可知,PO平分MN,C正确；

对于D,设P(Va2+b2cos9,Va2+b2sin9),

则直线MN的方程为xZ?2Va2+b2cosd+ycP^Ja2+/72sin3-a2b2=0,

则原点O到直线MN的距离

7___________a2b2____________

1J(a2+b2)(a4sin2e+b4cos2e)'

则点尸到直线MN的距离

j|b2(a2+b2)cos20+a2(a2+D2)sin20-a2b2|

Cl2---------/-------

7(a2+b2)(a4sin20+b4cos20)

_a4sin20+b4cos2O

224242

y/(a+b')(<asin0+bcosd')

_la4sin20+b4cos20

[a2+b2'

故did2=2#,D正确.

az+bz9

考点二阿基米德三角形

抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.

例2⑴过抛物线尤2=2°加>0)上一点M(x0,则)的切线方程为.

答案xox=p(y+y(i)

2

解析产在，y'T,由导数的几何意义得所求切线的斜率少,

‘2p'pp

.♦•所求的切线方程为y-y0=^x-X0）,

艮口x»x=Xo+py-pyo,又就=2pyo,

.，.过抛物线上一点M（xo,州）的切线方程为xox=p（y+yo）.

（2）（多选）已知A8,%）,3（X2,>2）是抛物线丁=20必9>0）上的两点，在两点处的切线相交于点。，则下

列说法中正确的是（）

A.当阿基米德三角形的顶角为直角时，阿基米德三角形顶点的轨迹为蒙日圆

B.若M为弦A3的中点，则加。与x轴平行（或重合）

C.若弦A3过抛物线的焦点，则点。在抛物线的准线上

D.若阿基米德三角形的底边A3过焦点，V为弦A3的中点，则该三角形的面积最小值为2P

答案ABC

解析对于A,由蒙日圆的定义知A正确；

对于B,过A的切线方程为y\y-p{x+xi）,

过8的切线方程为yiy=p（.x+x2）,

yl—2P久i，

联立方程，谚=2p久2,解得两切线交点°（箸，等），又〃（弩，江产），

与x轴平行（或重合），B正确；

对于C,设Q（xo,To）,则直线AB的方程为yoy=p（x+xo）,又直线AB经过焦点FQ,0）,

，0=0（|+尤0）,,C正确；

对于D,若底边AB过焦点，则。点的轨迹方程是,易验证总4・38=-1,即QA±QB,故阿基米德三角

形为直角三角形，且。为直角顶点，

署+§=城芈,由B项分析可知，与x轴平行（或重合），

224P24p2

QMIy1-竺1邦QM•JI212P之，当且仅当乃=-小时，等号成立，

2

.•・阿基米德三角形面积的最小值为p,D错误.

［规律方法］（1）阿基米德三角形的常见性质

性质1阿基米德三角形底边上的中线平行(或重合)于抛物线的对称轴.

性质2若阿基米德三角形的底边即弦过抛物线内的定点C,则另一顶点。的轨迹为一条直线.

性质3抛物线以C点为中点的弦平行于。点的轨迹.

性质4若直线/与抛物线没有公共点，以/上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点.

性质5底边为。的阿基米德三角形的面积最大值为叁.

性质6若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积最小值为炉.

(2)椭圆和双曲线也具有多数上述抛物线阿基米德三角形类似性质.

(3)当阿基米德三角形的顶角为直角时，阿基米德三角形顶点的轨迹为蒙日圆.

跟踪演练2若直线/与抛物线没有公共点，以/上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点，若直

线I方程为ax+by+c=O,则定点的坐标为.

答案仁，_越)

解析任取直线I:ax+by+c=O上的一点Q(xo,加),则有axo+byo+c=O,即yo=-，o?,①

过点。作抛物线产=2抄的两条切线，切点分别为A,B,则弦A3所在的直线方程为先产p(xo+x),把①式

代入可得(-£%0-£)y=p(xo+x),

即(一打-P)o=px+,，

令-%N=0且Px+”=。，

可得弦A3所在的直线过定点仔，-巧.

\aa/

—I思维提升拓展练习

1.已知。0：/+/1,若在直线广花+2上总存在点P,使得过点P的。。的两条切线互相垂直，则实数上

的取值范围为()

A.[l,+co)B,(l,+co)

C.[2,+oo)D.(2,+oo)

答案A

解析由题分析可知的蒙日圆方程为好+户2,即点P的轨迹方程为好+户2,又点尸在直线产花+2

上，所以直线产花+2与圆%2+/=2必有交点，即岛WVI,解得kA.

22____

2.已知双曲线上存在一点过点M向圆炉+货=1作两条切线M4，MB,若M4砒=0,则实

数a的取值范围是()

A.(l,V2)B.(l,V21

C.[V2,+00)D.(V2,+00)

答案B

22

解析双曲线%%im>l)上存在一点M,过点“向圆好+户:!做两条切线MA,MB,

若.丽=0,可知M4O8是正方形，MO=y[2,

所以双曲线的实半轴长的最大值为近，

所以。的取值范围是(1,V2].

3.若经过抛物线步=©的焦点的一条弦为AS“阿基米德三角形”为△PAB且点尸的纵坐标为4,则直

线A3的方程为()

A.x-2y-1=0B.2x+y-2=0

C.x+2y-1=0D.2x-y-2=Q

答案A

解析设抛物线的焦点为产，

由题意可知，抛物线/=心的焦点坐标为F(1,0),准线方程为x=-l,

因为△PA3为“阿基米德三角形”，且线段A3经过抛物线V=4x的焦点，

所以点尸必在抛物线的准线上，

因为点尸的纵坐标为4,

所以点P(-l,4),

所以直线PF的斜率为上上=2.

-1-1

又因为PF1AB,

所以直线A3的斜率为2,

所以直线AB的方程为y-0=|(x-l),即x-2y-l=0.

4.(2024・六安模拟)在圆(x-4)2+(y-3)2=/(r＞0)上存在点P,使得过点尸能作椭圆＜+岸=1的两条相互垂直的切

线，则r的取值范围是()

A.[l,7]B.[l,9]

C.[3,7]D.[3,9J

答案C

解析根据题意可知椭圆f+?=l的蒙日圆方程为x2+y2=4,圆心为原点，半径为2,

圆(%-4)2+(y-3)2二户(厂＞0)的圆心为(4,3),半径为r,

则圆(x-4)2+(y-3)2=/(r＞0)与x2+y2=4必有交点才符合题意，

即两圆圆心距d=d(4—0)2+(3-0)2=5,

贝iJ|r-2|WdW|r+2|,故/的取值范围是[3,7].

5.(多选)若椭圆八?+/=1(4泌＞0)的蒙日圆为C：x2+/=|a2,过C上的动点”作「的两条切线，分别与C

交于P,。两点，直线尸。交「于A,5两点，贝取)

A.椭圆厂的离心率为亨

B.AMPQ面积的最大值为

C.M到「的左焦点的距离的最小值为(2-/加

D.若动点。在「上，将直线D4,的斜率分别记为自，心，贝丘伏2=]

答案ABD

解析由蒙日圆的定义可知a2+b2=^a2,得a2=2b2,

所以椭圆厂的离心率e=?=J1—合乎，故A正确；

因为点M,P,。都在圆C上，且/尸河。=90。，所以尸。为圆C的直径，

所以|PQ|=2xJl^=y/6a,

所以△MP。面积的最大值为:|PQ|x反=粤、国=%2，故B正确；

2Al22Al22

设M（x0,泗），厂的左焦点为F（-c,0）,

因为,二/一加二1次，

所以|A/bF=(%o+c)2+y1=就+光+2%0(?+(?2=|次+2]0*呼〃+、2=2层+鱼〃配,又-当aWxoW乎a,

所以（2-8）42二|.|2名（2+百加2,

则〃到广的左焦点的距离的最小值为歧浮，故C不正确；

由直线PQ经过坐标原点，易得点A,B关于原点对称，设A（xi,%）,D（X2,J2）,

则5（8,乎）‘白言考'fe=-”+丫2

%1+比2

磊+餐=1,

又

彘+*L

所以芽+讨=。,

2b2b2

所以M一秃二%一乃为+%=」

好一媛X1~X2%1+%22

所以kik?=T'故D正确•

6.（多选）（2024・廊坊模拟）如图，ARAB为阿基米德三角形.抛物线r=2外仍＞0）上有两个不同的点4（即，%）,

3（X2,m），以A,3为切点的抛物线的切线尸A,P5相交于点P.给出如下结论，其中正确的为（）

A.若弦AB过焦点，则AABP为直角三角形且ZAPB=90°

B.点尸的坐标是（李，券）

C.APAB的边AB所在的直线方程为（%1+尤2）%-2刀-乃%2=0

D.APAB的边AB上的中线与y轴平行（或重合）

答案ACD

解析由题意设A&,,B(X,g)

2,X1<X2,

2

由x2=2/?y,得y=f-,贝IJy'=；,

所以kpA=—,kpB=—,

PP

若弦AB过焦点，设AB所在直线为y=kx-^,联立％2=2py，得x2-2pkx-p2=0,

__2

则X1X2=~P2,所以kpA-kpB=-n^-=-l,

所以PA,尸3，故A正确；

以点A为切点的切线方程为y-^（x-xi）,以点3为切点的切线方程为广学=这（尤国），

J2ppJ2pp

联立消去y得产警，

将11詈代入瑶李苫为），

得号,

所以「（中,詈），故B错误；

设直线AB的斜率为

X2_xl

:丫2-yj2p2pdl+02

x2-xrx2-xr2p，

故直线AB的方程为y-f|=^（x-xi）,

化简得（xi+%2）x-2〃y-xiX2=0,故C正确；

设N为抛物线弦A3的中点，N的横坐标为以=亨，因此直线PN平行于y轴（或与y轴重合），故D正确.

7.已知双曲线C：马弓|=1（4>力0）的离心率为咚，若过点出1,0）的双曲线C的两条切线互相垂直，则双曲

线C的标准方程为.

2

答案yV=l

解析由蒙日圆的定义得点£的轨迹方程为d+卢内加，点£在圆（+产出方上，则42_/=1,因为

e=J1+%=孚,所以〃=2,b2-l.

故其标准方程为羡-V=i

8.过抛物线y2=8xg>0）的焦点/作抛物线的弦，与抛物线交于A,3两点，分别过A,3两点作抛物线的切

线伍/2相交于点尸，则△PA3的面积的最小值为.

答案16

解析由题意知三角形为阿基米德三角形，根据性质可知三角形面积的最小值为16.

9.如图，过点尸（加，力作抛物线C：/=2小0>0）的两条切线PA,PB,切点分别是A,B,动点。为抛物线

C上在43之间的任意一点，抛物线C在点。处的切线分别交PA,PB于点M,N.

(1)^AP±PB,证明：直线AB经过点(0,Q；

(2)若分别记△A3Q的面积为N,S2,求詈的值.

⑴证明设A(xi,以)，B(X2,"),直线AB的方程为y=kx+b,

由02=2pyf

[y=kx+b,

消去y并整理得x^-Zpkx-2Pb=0,有xix?=-2pb,

令抛物线C：%2=2〃y在点A处的切线方程为y-y\=t{x-x\),

由y-％=七(汽一％1),

1%2=2py,

消去y并整理得x2-2ptx+2ptx\-2pyi=0,

则有/=4〃2己4(20即-2川D

-4p2t2-4(2ptxi-%i)=0,解得仁藁,

同理，抛物线C:42刀在点8处的切线斜率为温，

因为AP±PB,则有包这二邛二1,

pppz

解得b=l,

所以直线AB：户&+强过定点(0,Q.

⑵解由(1)知，切线PA的方程为

y-yi=^x-xi),

整理得丫=,平，

同理切线尸3的方程为产手x-竺,

设点2(xo,yo),则切线MN的方程为y=^-x-yo,

而点P(m，几)，即有n=—m-y\,n=—m-y2,

pp

因此直线A5的方程为y=^x-n,

2

有IABI=JI+g\X]-X2\,

点Q(%o,yo)至1)直线AB的距离

_^x0-y0-n\

2-Tir

n

贝|JS2=||Xl-X2||^%0-yo-\>

=x0x-py0,

=xx—py

Crlf

解得点”的横坐标羽尸中.

同理点N的横坐标网=中.

有1四川=Ji+C、I—x0-n-y0|

,点P(m,〃)到直线MN的距离片耳：,

则Si=jxi-Q|片-y0-«|>

所以我q

、22

22

10.已知圆。：/+/5,椭圆C：方会l(a>6>0)的左、右焦点分别为B，F2,过万1且垂直于X轴的直线被

椭圆和圆所截得弦长分别为1和2近.

(1)求椭圆C的标准方程;