2025高考数学二轮复习：立体几何之空间向量与空间角

微专题2空间向量与空间角

［考情分析］以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点.空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，

利用空间向量求平面与平面的夹角或线面角是高考热点，通常以解答题的形式出现，难度中等.

考点一异面直线所成的角

设异面直线/,根的方向向量分别为a={a\,bi,ci),b=(a2,b?,ci),异面直线/与根的夹角为0.

则⑴兆(0,H；

(2)cos0=\cos(a,b)I半搭•

_\a1a2+b1b2+c1C2\

Ja什反+必］谴+后+农

例1(1)在正四面体ABCD中，点、E,F,G分别为棱BC,CD,AC的中点，则异面直线AE,FG所

成角的余弦值为()

A.iB.—

25

C.—D.更

33

答案C

解析连接OE,因为点尸，G分别为棱CD,AC的中点，所以RG〃AO,

所以/EA£>(或其补角)为异面直线AE,歹G所成的角，

设正四面体的棱长为«,

则AE=DE=^-a,AD=a,

222

AE+AD-DE扣2+Q2亨2w

由余弦定理得cosZEAD=

2AE-AD

所以异面直线AE,PG所成角的余弦值为

(2)(2024.成都模拟)如图，等边三角形ABC的边长为3,分别交A瓦AC于。，E两点，且

AD=1,将沿。E折起(点A与尸重合)，使得平面PDE，平面3CED,则折叠后的异面直线P3,

CE所成角的正弦值为()

XD'''

BC

答案D

解析由题意可知D3,DE,DP两两垂直，以。为原点，分别以£>8,DE,DP所在直线为无，y,z轴建

立空间直角坐标系，如图，

由已知DE=V3，点C到直线BD的距离为尊，

则P(0,0,1),5(2,0,0),C(|,手，0),E(0,V3,0),

从而而=(2,0,-1),CF=(-j,

因此〈丽,CE>是钝角，sin(PB，限=手，即异面直线,CE所成的角的正弦值为手.

［规律方法］用向量法求异面直线所成的角的一般步骤

(1)建立空间直角坐标系.

(2)用坐标表示两异面直线的方向向量.

(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值.

(4)注意两异面直线所成角的范围是(0,],即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝

对值.

跟踪演练1如图，已知圆柱SO2的底面半径和母线长均为1，B,A分别为上、下底面圆周上的点,

若异面直线。3,02A所成的角为三，则A3的长为.

答案2或鱼

解析如图，过点A作AD垂直于上底面于点。，则AO是母线，连接。8,OiD,QQ,

垂直于上、下底面，

：.AD//OXO2,AD=OIO2,

则四边形ADO1O2是平行四边形，OXD/ZOTA,

...QA与0山所成的角就是/。0道或其补角.

当NDO1B音时,△DO山是等边三角形，BD=1,

在RtAABD中，AB=yjBD2+AD2=42；

当NDOiB号时,

在△QO3中，BD=2x^=V3,

在RtAABD中，AB=y/BD2+AD2=2.

综上，AB=2或VI

考点二直线与平面所成的角

设直线/的方向向量为a,平面a的法向量为n,直线/与平面a所成的角为9,

则⑴先［0,1］；

(2)singeos<a,n>

例2(2024・威海模拟)如图，在四棱锥尸-A3CD中，平面平面ABC，△尸AD为等边三角形,

PD.LAB,AD//BC,AD=4,AB=BC=2,M为PA的中点.

(1)证明：平面PA3；

(2)求直线PB与平面MCD所成角的正弦值.

(1)证明设AO中点为。，连接P。,因为△P4。为等边三角形，POLAD,

由题意知平面平面ABCD,平面PADC平面ABCD=AD,POu平面PAD,

故PO_L平面ABCD,A3u平面ABCD,

故PO±AB,又PDLAB,PODPD=P,PO,PDu平面PAD,

故AB_L平面PAD,DWu平面PAD,故,

又M为PA的中点，△PAD为等边三角形，则DM1PA,

因为ABOPA=A,AB,PAu平面PAB,

所以平面PAB.

⑵解由(1)知A8_L平面PAD,AOu平面PAD,故,

连接CO,AO=^AD=2,贝UAO//BC,AO=BC,

即四边形ABCO为平行四边形，故0C〃A3,

所以OCLAD,

故以。为坐标原点,OC,OD,OP所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

则尸(0,0,2B),B(2,-2,0),M(0,-1,V3),C(2,0,0),0(0,2,0),

丽=(2,-2,-2V3),MC=(2,1,-V3),MD=(0,3,-V3),

设平面MCD的法向量为n=(x,y,z),

则(n.田=0,

(n.MD=0,

即+y-V3z=0,

(3y—V3z=0,

令y=l,则n=(l,1,V3),

设直线尸5与平面MC。所成的角为e,ee［o,=］,

贝！］sin|cos(PB,n)二三

11|PB||n|2I=V鬻5XV5&5

［易错提醒］(1)线面角8与直线的方向向量a和平面的法向量〃所成的角<«,n>的关系是〈a,n>+8带

或<a,n>-6=^,所以应用向量法求的是线面角的正弦值，而不是余弦值.

(2)利用方程思想求法向量，计算易出错，要认真细心.

跟踪演练2(2024•秦皇岛模拟)如图，在四棱锥P-A3C。中，BA=BD=BP=^5,CD=\,

PA=PD=42,PA±PD,E是棱P4的中点，且BE〃平面PCD,点尸是棱尸。上的一点.

(1)求证：平面PC£>_L平面尸AD；

⑵若直线PC与平面山法所成角的正弦值为喈,求DF的长.

(1)证明取的中点0,连接P0,80,E0,

因为E是棱PA的中点，所以EO〃PD,

又E0评面PCD,PDu平面PCD,

所以E。〃平面PCD,

又BE〃平面PCD,BECEO=E,BE,EOu平面BEO,

所以平面3EO〃平面PCD,

又平面BEOn平面ABCD=BO,平面PCDC平面ABCD=CD,所以BO//CD.

在△ABO中,BA=BD=4S,AD=\PA2+PD2=2,

又。是AD的中点，所以3CUAD,BO=2,

又易得PO=1,BP=V5,所以BO2+PO2=BP-,

所以尸OJ_3O,所以尸O_LC。,AD±CD,

又POCiAD=O,PO,AOu平面PAD,所以C£>_L平面PAD,

又CDu平面PCD,所以平面PCD,平面PAD.

⑵解当点P与点。重合时，连接OC,

PC与平面ABb所成的角即为/PCO,

PO=\,(9C=V2,PC=V3,

所以sin/PCO4,不符合题意，所以点厂与点。不重合.

因为PA=PD，点。是AD的中点，所以POLAD,

所以OB,OD,。尸两两垂直，

以。为坐标原点,OB,OD,OP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.

所以P(0,0,1),D(0,1,0),C(1,1,0),A(0,-1,0),B(2,0,0),

1S.DF=WP=A(O,-1,1)=(0,4,2)(0<2^1),

所以前=丽+丽=(-2,1,0)+(0,4,九)=(-2,14,2),AB=(2,1,0).

设平面AB尸的法向量为n={x,y,z),

所以fn'BF—2%+(1—A)y+Az=0,

(n-AF=2x+y=0,

令x=A,解得y=-2%,z=4-22,

所以平面ABF的一个法向量为"=(2,-22,4-2%),

又加=(-1,-1,1),设直线PC与平面A3P所成角的大小为0,

所以sin6=|cos<n,CP)|=\蒜］

_4-2_11V35

7A2+(-2A)2+(4-2A)2-Vl+l+l105

解得或2=9,

341

所以DF±PD—或DF=—PD^^.

334141

考点三平面与平面的夹角

设平面a,£的法向量分别为u,v,平面a与平面”的夹角为6,

则⑴先［0,1］；

(2)cosgeos〈"，v>

例3(2024・新课标全国I)如图，四棱锥A43CD中，PA±^ABCD,PA=AC=2,BC=1,AB=43.

p

⑴若证明：AD〃平面PBC；

(2)若ADJ_DC,且二面角4cp。的正弦值为手，求AD

⑴证明因为PA_L平面ABCD,

而AOu平面ABCD,

所以PA±AD,

又,PBHPA=P,

PB,PAu平面PAB,

所以AD,平面PAB,

而ABu平面PAB,

所以AD±AB.

因为BC2+AB2=AC2,

所以BC1AB,

根据平面知识可知AD//BC,

又AZXJ平面PBC,BCu平面PBC,

所以AD〃平面PBC.

(2)解方法一以。为原点，DA,反的方向分别为x轴，y轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.

设AD=p,DC=q,

满足p2+g2=AC2=4.

则AS,0,0),PS,0,2),C(0“，0),。(0,0,0).

设平面APC的法向量为机=(尤1,y\,zi),

因为获二(0,0,2),AC=(-p,q,0),

所以伫皿=2z1=0,

[AC-m=_p%i+qy1=0,

取m={q,p,0).

设平面OPC的法向量为n=(x2,y2,Z2),

因为前=。,0,2),DC=(0,q,0),

OP•n—px+2Z=0,

所以22

^DC-n=qy2=0,

取n=(2,0,-p).

所以|c°s〈明力仁器=后急声

又因为广+/=4,所以品=/，

解得°=V5(负值舍去),

即AD=V3.

方法二如图所示，过点。作OELAC于点E,

R

.二c

B

再过点E作EF±CP于点/，连接DF,

因为尸A_L平面ABC。，

PAu平面PAC,

所以平面PAC,平面ABCD,

又平面PA3平面ABCD=AC,

DEu平面ABCD,

所以。EL平面PAC,

因为CPu平面PAC,所以DELCP,

又EF±CP,EFHDE=E,

EF,DEu平面DEF,

所以CP平面DEF,

所以DFYCP,

根据二面角的定义可知，

ND在即为二面角A-CP-D的平面角，

HPsinZ£(FE-,

即tanZDFE=V6.

因为ADLDC,设AO=x,0<x<2,

贝ljDC=V4-%2,

由等面积法可得，DE=^^,

又CE=J(4T2)_午上字,

而△斯(7为等腰直角三角形，

所以小宗,

又OE_L平面PAC,Eft平面PAC,

所以DE±EF,

rxd4T2

故tanZr>FE=^=^r=V6,

2V2

解得x=V3,即AD=V3.

［易错提醒］平面与平面夹角的取值范围是［o,］,两向量夹角的取值范围是［0,兀］,两平面的夹角与其

对应的两法向量的夹角不一定相等，而是相等或互补.

跟踪演练3(2024・新课标全国ID如图，平面四边形ABCD中，AB=8,CD=3,AD=5®ZADC=90°,

ZBAD=30°,点E,尸分别满足族=|而，AF=^AB,将aAE尸沿EP翻折至△PEP,使得PC=4代.

B

(1)证明：EF±PD；

(2)求平面PCD与平面尸所成的二面角的正弦值.

⑴证明由AB=8,AD=5V3,

AE^AD,AF=-AB,

52

得AE=2V3,AF=4,

又NBA£)=30。，在aAE产中，

由余弦定理得

EF=y]AE2+AF2-2AE-AFcos^BAD

=J12+16-2X2A/3X4Xy=2,

所以AE2+EF2=AF2,

贝ljAELEF,即EF±AD,

所以EFLPE,EFLDE,

又PECDE=E,PE,OEu平面PDE,

所以所_L平面PDE,

又尸。u平面PDE,

故EF±PD.

⑵解连接CE,由ZADC=90°,

ED=3a,CD=3,

贝ijEC2=ED2+Cr>2=36,

在/XPEC中,PC=4V3,

PE=2y/3,EC=6,

得EC2+PE2=PC2,

所以PELEC,由(1)知PELEF,

又ECC\EF=E,

EC,ERz平面ABCD,

所以PEL平面ABC。，

又即u平面ABC。,

所以PELED,

贝ljPE,EF,ED两两垂直,

建立如图所示的空间直角坐标系，

则E(0,0,0),P(0,0,2V3),

D(0,3V3,0),C(3,3V3,0),

F(2,0,0),A(0,-2V3,0),

由尸是A3的中点，得3(4,2百，0),

所以正=(3,3V3,-2V3),

丽二(0,3V3,-2V3),

丽二(4,2V3,-2V3),

PF=(2,0,-2V3),

设平面PCO和平面P5尸的法向量分别为

n=(xi,yi,zi),m=(X2,yi,z2),

则pi-PC=3%i+—2gzi=0,

(n-PD=3V3yi—2v=0,

(m•PB=4%2+2V3y2-2V3z2=0,

(m•PF=2X2—2V3Z2=0,

令％=2,%2=V3,

得xi=0,zi=3,y2=-l,Z2=l,

所以n=(0,2,3),m=(V3,-1,1),

设平面PC。和平面PBb所成的二面角为0,

2

贝（］sin0=yJl—cos6=^-^-,

65

即平面PC。和平面b所成的二面角的正弦值为空I

65

专题强化练

（分值:60分）

ID素养提升

1.(13分X2024•安庆模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD,AB1AD,APA.DP,CD=3AB=3,

AD=2AP=4,PB=V5,AD=4AE,连接BE,CE,PE.

（1）求证：平面P8EL平面PCE；（6分）

（2）求直线CE与平面PCD所成角的正弦值的大小.（7分）

⑴证明因为APIDP,AD=2AP=4,所以NPA。',

又而=4荏，所以AE=1,

根据余弦定理知P^AE2+AP2-2AE-APCOSZPAD=1+4-2x1x2x1=3,

在直角梯形ABC。中，AB//CD,ABLAD,AD=4,AE=1,CD=3AB=3,

贝ljBE=V2,CE=3V2,

过点3作CD，垂足为F，贝ljBF=AD=4,CF=2,得BC=2通,

贝lj有BE2+PE2=PB2,BE1+C^BC2,

得PEA.BE,BE1.CE,

因为PECCE=E,PE,CEu平面PCE,所以BE,平面PCE,

又BEu平面PBE,所以平面PBE_L平面PCE.

⑵解由(1)得BELPE,P^PE'+AE1,

则PE_LAD,ADCBE=E,AD,BEu平面ABCD,

所以尸E_L平面A3CD

如图，以点E为原点，分别以ED,EP所在直线为y轴，z轴建立空间直角坐标系.

则E(0,0,0),P(0,0,V3),C(3,3,0),£)(0,3,0),

于是记=(3,3,0),

又丽=(3,3,-V3),DC=(3,0,0),

设平面PCD的法向量为m=(x,y,z),

丁日(m-PC=3%+3y—V3z=0,

(m-DC=3%=0,

令y=l,贝Ux=0,z=V3,即"2=(0,1,V3),

设直线CE与平面PCD所成的角为0,

贝ijsin9=|cos(EC,m)|J££2^L_2_=叱

11\EC\\m\3=V2X24='

所以直线CE与平面PCD所成角的正弦值为£

4

2.(15分X2024•邢台模拟)如图，已知四边形A8C。为等腰梯形，E为以8C为直径的半圆弧上一点，平面

ABCD±平面BCE,O为3c的中点，M为CE的中点，BE=AB=AD=DC=2,BC=4.

(1)求证：DM〃平面ABE；(5分)

(2)求平面4BE与平面OCE夹角的余弦值.(10分)

(1)证明取BE的中点N,连接AN,,

则MN//BC,且MN=^BC,

又,且AD=-BC,

2

所以MN//AD,且MN=AD,

所以四边形AM0O为平行四边形，所以。M〃AN.

又DWG平面ABE,ANu平面ABE,

所以DM〃平面ABE

⑵解取AO的中点P,连接OF,

因为四边形ABC。为等腰梯形，所以OF±BC,

又平面A3C"平面BCE,平面ABCDC平面BCE=BC,Oft平面ABCD,

所以。尸，平面BCE

过点O作直线BC的垂线交比于点G,连接EO,

以。为坐标原点，分别以OG,OC,O尸所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为BC为直径，BE=^BC,

所以NBCE=3。。，ZBOE=60°,ZEOG=30°.

在等腰梯形ABC。中，AB=AD=DC=2,BC=4,

所以0尸=122—(等了增,

所以E(V3,-1,0),C(0,2,0),£>(0,1,V3),8(0,-2,0),A(0,-1,V3),

所以而=(遥,-3,0),CD=(0,-1,V3),BF=(V3,1,0),BA=(0,1,V3).

设平面DCE的法向量为m=(x,y,z),

则加•演=。,

(m-CD-0,

所以产-*0,

1-y+V3z=0,

令y=y/3,则x=3,z=l,

所以m=(3,V3,1).

设平面A5石的法向量为n=(a,b,c),

则,E=0,所以悼a3=0,

{n-BA=0,[b+y3c=0,

令b=-V3,则a=l,c=l,所以n=(l,-V3,1).

设平面A3E与平面。CE的夹角为«,

贝！]cosa=|cos{m,n)|二叫"|

11|m||n|

1_V65

"V13XV5-65，

所以平面ABE与平面DCE夹角的余弦值为绊.

65

3.(15分)(2024・南通模拟)如图，在直三棱柱A5cA山©中，AB=BC=2,ABLBC,CC\=2®

丽4西(0<kl).

A

⑴当见与时，求证：CE,平面ABG；（7分）

(2)设二面角B-AE-C的大小为6,求sin6的取值范围.(8分)

(1)证明以｛阮,BA,而;｝为基底建立如图所示的空间直角坐标系，

则B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),Ci(2,0,2V3),E(0,0,2V3A).

当早时,E(0,0,竽),

所以屈=(0,-2,0),BQ=(2,0,2A/3),CF=(-2,0，¥)-

所以相方=0,~BQ-CE=0,

所以CEA.AB,CEl.BCi.

又ABnBCi=B,AB,BGu平面ABCi,

所以CEL平面A3G.

⑵解AC=(2,-2,0),AE=(0,-2,2732),

设平面AEC的法向量为ni=(x,y,z),

不妨取"1=(何，V32,1).

易知平面ABE的一个法向量为“2=(1,0,0).

所以1c°s年旦=磊，

所以sin0=V1—cos29=1---——

N6A2+1

«22(6/+l)，

又因为0＜衣1,易知人#=在(0,1)上单调递减，

ZZQoA+1)

所以sin0的取值范围为（当，1）.

IN'思维创新

4.（17分）［异面直线的公垂线］如图，四边形ACDE为菱形，AC=BC=2,ZACB=120°,平面ACDE,平面

ABC,点尸在AB上，1.AF=2FB,M,N分别在直线CD,AB±..

口D

ANFB

（1）求证：CP_L平面ACDE；（5分）

（2）把与两条异面直线都垂直且相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，若NE4C=60。，MN为直线CD,

钻的公垂线，求利的值;4分）

（3）记直线BE与平面ABC所成的角为a,若tana＞手，求平面BCD与平面CED夹角的余弦值的取值范

围.（6分）

（1）证明HAB2=AC2+BC2-2ACBCCOSZACB=12,

所以A3=2g,因为AF=2FB,

所以4歹=/，CF=-CA+-CB,CF2=-CA2