2025高考数学二轮复习：奔驰定理和四心问题

微拓展2奔驰定理和四心问题

［考情分析］奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关

的问题，有着决定性的基石作用.在平面向量中有时运用这些内容可能起到意想不到的作用，技巧性较强.

一般难度较大.

考点一奔驰定理

奔驰定理:

如图，已知尸为△ABC内一点，贝IJ有SAPBC•刀+SAMC•而+SA?AB•丽=0.

例1（1）（2024•焦作模拟）已知△ABC所在平面内一点。满足0+砺+:沆=0,则3c的面积是4

A3。的面积的（）

A.5倍B.4倍

C.3倍D.2倍

答案A

解析因为瓦?+丽反=0,

即2DA+2DB+DC=0,

所以SABCD:SMCD:SAABD=2：2：1,所以△ABC的面积是△A3D的面积的5倍.

(2)已知点0为AABC内一点，若SAAOB:SABOC:SAAOC=4：3：2,^AO=XAB+/IAC,则实数丸和〃的值

分别为()

A.-,-B.-,-

9999

C.-,-D.-,-

9999

答案A

解析根据奔驰定理，得3m+2万+4沆=0,

即3OA+2(OA+AB)+4(OA+AC)=0,

整理得前」而+±前，

99

故九3,

［规律方法］已知P为△A3C内一点，S.xPA+yPB+zPC=Q{x,y,zeR,xyz^O,x+y+z^O),则有

(I)SAPBC:SAPAC:SAPAB=|X|•\y\•\z\；

⑵SNBC二l%lSMZC=lylS^PAB=|z|

S^ABC|x|+|y|+|z|S^ABCkl+lyl+klSAABCkl+|y|+kl

跟踪演练1(1)已知。是△?13c内部一点，满足万?+2而+〃/1=0,且#=±,则实数机等于()

SAABC7

A.2B.3

C.4D.5

答案C

解析由奔驰定理得

S/\BOC'OA+S/\AOC,OB+S/\AOB,OC=Q,

5iOA+2OB+mOC=0,

5ABOC:SXAOC:5AAOB-1«2'm.

・S“0B_m_4

S^ABC1+2+m7'

解得m=4.

(2)已知点尸，。在aABC内，~PA+2PB+3PC=2QA+3QB+5QC=0,则兽=

答案-

30

解析根据奔驰定理得S"BC：S/\PAC:5APAB—1•2*3,SAQBC:SAQAC:SAQAB—2：3：5,

S^PAB=S^QAB=^S^ABC,••PQ//AB,

11

又SAPBC=~SAABC,S^QBC=~SAABC,

65

.|可_SAQBC-SNBC_11_1

・•|西「ShABC一屋6-30.

考点二奔驰定理与三角形四心

已知点。在△43C内部，有以下四个推论：

①若。为△A3C的重心，则01+砺+反=0=SAAOB:SABOC:S"oc=l：1：1;

②若。为△ABC的外心，贝I］sin2A•瓦5+sin2B砺+sin2c•沆=0,S.\OA\=\OB\=\OC\；

③若。为△ABC的内心，贝U0耐+力赤+c・瓦=0,或sinA^l+sinB而+sinC・瓦=0（°,b,c分别为角A,

B,C的对边）；

④若O为4ABC的垂心，贝!jtanA"?+tanB-OB+tanCOC=0,且"5•砺=砺・次=瓦

考向1奔驰定理与重心

例2已知。是△A3C的重心，AB-AC=2,且N3AC=60。，则△03C的面积为（）

B.V3

3

D.-

23

答案A

解析是△ABC的重心，

：.OA+OB+OC=0,

由奔驰定理知SM）AB:SM）BC:5AOAC—1•1-1,

.1

S^OBC=~S^ABC-

AB-AC=2,：.\AB\\AC\cosZBAC=2,

9：ZBAC=60°,：.\AB\\AC\=4,

又S^ABc=^AB\\AC\smZBAC=y[3,

.♦.△。8。的面积为日.

考向2奔驰定理与外心

例3已知点P是4A3c的外心，且丽+而+亦？=0,C=^,则上.

答案V6—V2

2

解析依题意得，sin2A：sin2B:sin2c=1：1：2,

・\sin2A=sin2B,

,2A=2B或2A+2B=m舍）,

：.A=B,又C=—,

12'

：.A=B=—,

24'

又sin2B_l

sin2CA'

.Sir1__

,1_sin2C_sni~y_5_①一迎

・・~sin2B-qin—~V6+V2-2*

考向3奔驰定理与内心

例4已知△ABC的内切圆的圆心为O,半径为2,且SAABC=14,20A+20B+30C=0,则△ABC的外接

圆面积为.

牧案64TT

7

解析,.•26?+2赤+3前=0，且。为内心，

.♦.△ABC的三边长之比为a：，：c=2：2：3,

令a=2k,则b=2k,c=3k,

设△A3C内切圆半径为r,外接圆半径为A,

又S^ABc=^a+b+cyr,

即:x7%x2=14,得k=2,

a=4,b=4,c=6,

・厂.r3V7

・・C=—isinC=——

cos88

,解得尺=9=随

又2R啧号777

8

...AABC的外接圆面积$=成2=手.

考向4奔驰定理与垂心

例5已知〃在△ABC内，且是△ABC的垂心，若就+2丽+3沅=0,贝UA=.

答案；

解析依题意，可得tanA：tanB：tanC=1：2：3,因为tanA=-tan(3+C)

_tanB+tanC

1-tanBtanC'

整理得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,

可得6tanA=6tan3A,

因为tanA^O,所以tanA=±1.

又因为tanA<tanB<tanC,

所以tanA=l,所以A5.

4

［易错提醒］涉及三角形的四心问题时，内心和重心一定在三角形内部，而外心和垂心有可能在三角形外

部，上述定理及推论中的点都在三角形内部，解题时，要注意观察题目有无这一条件.

跟踪演练2（多选X2024•通化模拟）奔驰定理的几何表示因酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非

常优美的结论，它与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.具体内容是：已知知是4

A3C内一点，ABMC,AAMC,△AM3的面积分别为SA，SB，SC，则•丽+Sc•祝=0.以下命

题正确的有（）

A.若SA：SB：SC=1：1：1,则“为3c的重心

B.若M为3c的内心，则BC-'MA+AC-'MB+AB-'MC=O

C.若N3AC=45。，ZABC=60°,〃为△ABC的夕卜心，贝USASB：Sc=2：V3：1

D.若M为△ABC的垂心，3AM+4MB+5MC=0,贝ljcosNAA/3=在

6

答案ABC

解析对于A,如图，

取BC边的中点。,连接MD,

由SA：SB：Sc=l：1：1,

得加+通+标=0,

Pjf^2MD+MA=0,所以A,M,。三点共线，5.MA=2MD,所以“为AABC的重心，故A正确；

对于B,如图，

因为点M为△ABC的内心，可设内切圆半径为r,则有SA=^BCr,SB=^AC-r,Sc^AB-r,

所以如•，族+/C・『丽+2,而=。,

所以BC-MA+AC^MB+AB-MC=O,故B正确；

对于C,如图，

A

因为M为△ABC的外心，设外接圆半径为R,

因为NR4c=45。，ZABC=60°,

所以NBMC=90°,ZAMC=120°,

故/4知3=360。-120。-90。=150。，

22

所以SA：SB：Sc=^sm90°：|7?sin120°：^sin150°=sin90°：sin120°：sin150°

=1：去衿：⑹1，

故C正确；

对于D,由M为AA3c的垂心，3AM+4MB+5MC=0,所以SA：SB.Sc=3：4：5,如图，

则S“BQ=4SAABC=3

SA'SB

延长AM,BM,CM,分别交BC,AC,A3于点。,F,E,

设MD=x,MF=y,贝ljAM=3x,BM=2y,

所以，得#=2y2，

所以,

6

则cosZAMB=-—，故D错误.

6

思维提升拓展练习

1.（2024•安庆模拟）设。点在AABC内部，且有3OA+2OB+OC=0,贝QAOC的面积与△AOB的面积的比值

为（）

A.2B.V3

C.V2D.3

答案A

解析根据奔驰定理△AOC的面积与AAOB的面积的比值为打2.

2.设/为AABC的内心，1.2M+3/B+V7TC=0,则角C为（）

A.-B.-

63

C.-D.-

34

答案B

解析由271+3厉+V77?=o,

可得a：6：c=2：3：夕，

令a=2k,则b=3k,c=V7k,

4k2+9k2-7k21

则COSC--

2-2fc-3k2

又CC（0,兀），所以C=g.

3.已知△ABC的重心为G,AB=6,AC=8,BC=2413,则△3GC的面积为（）

A.12V3B.8V3

C.4V3D.4

答案C

AB2+AC2-BC236+64-521

解析COSA=-

2AB-AC2X6X82

又AG（0,兀），,A=5,

SAABc=1x6x8xsin^=12V3,

又G为△ABC的重心，

：.GA+GB+GC=0,

即SAAGBSAAGC:SABGC=1：1：1,

5ABGC=">S'AABC=4V3.

4.在△A3C中，AB=2,AC=3,BC=4,O为△A3C的内心，^AO=XAB+/LIBC,贝!J32+6〃的值为（）

A.lB.2

C.3D.7

答案C

解析AO=^AB+/iBCRi^OA+WB-WA+juOC-fiOB^,

整理得（1-疝?+（加师+M=0,

所以(1U)：Q-〃)：〃=4：3：2,

解得2=|,,

所以32+6//=3x-+6x-=3.

99

5.已知点A,B,C,P在同一平面内，PQ=~PA,QR^QB,RP=^RC,贝US“BC：SMBC等于()

A19

A—B.-

62

c.-D.-

34

答案D

解析由而=（而，

得丽-丽=式丽-所）,

整理得而4而+1地4而+1可,

由前二河,W«P=|(PC-PR),

整理得而=微配,

.若品”+|可,

整理得4PA+6PB+9PC=Q,

:&ABC:S"BC=（4+6+9）：4=19:4.

6.奔驰定理：已知点。是△ABC内的一点,若△3OC,△HOC,△A03的面积分别记为Si，S2,S3,则

$•戏+S2•砺+邑•瓦=0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔

驰”轿车的标志很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知。是△43C的垂心，且

OA+2OB+3OC=0,则cosC等于（）

A

A3V1U

A.-----B.四

io10

c至D.些

55

答案B

解析延长CO交A3于点尸，

•.•。是442。的垂心，，0「，48,

1

ASi：S2=(1•OC-BP):Q-OC-AP

2

=BP：AP=(OPtanZPOB)：(OPtanZPOA)

二tanNCOB:tanXCOA

二tan(兀-A)：tan(7i-B)

二tanA:tanB.

同理可得Si:Ss=tanA*tanC,

ASi：S2:S3=tanA：tanB：tanC.

又SI-O2+S2-OB+S3-OC=O,

/.tanA-Oi4+tanBOB+tanCOC=Q.

ROA+2OB+3OC=0,

tanA:tanB:tanC=1：2：3.

不妨设tanA=k,tanB=2k,tanC=3k,其中以0.

・・4/八ftanB+tanC

•tanA=-tan(B+C)=-zz^^F

・‘吉'解得E

当k=-l时,此时tanA<0,tanB<0,tanC<0,

则A,B,C都是钝角，不符合题意，舍去.

故^=1,则tanC=3>0,故C为锐角，

rsinC_„

.•.氤解得cosC=包.

lsin2C+cos2c=1,10

7.（多选）（2024•保定模拟）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔

驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知。是△A3C内一点，△30C,

△AOC,AAOB的面积分别为SA,SB,SC，则%M+SB•赤+Sc•沆=0.设。是4A台。内一点，△ABC的三

个内角分别为A,B,C,ABOC,AAOC,ZkAOB的面积分别为8，SB,Sc，30A+40B+50C=0,则以

下命题正确的有（）

A.SA:SB:Sc=3：4：5

B.0有可能是△ABC的重心

C.若0为AABC的外心，则sinA：sinB：sinC=3：4：5

D.若。为△ABC的内心，则△ABC为直角三角形

答案AD

解析对于A,由奔驰定理可得，301+4砺+50?=SA-01+SB-赤+及••瓦=0,

因为市,0B,方不共线，

所以：：：故正确；

SA'SBSC=345,A

对于B,若O是△ABC的重心，

则斯赤+反=0,

因为30A+40B+50C=0,所以丽=2而，即O,3,C三点共线，故B错误；

对于C,当。为△A5C的外心时,\OA\=\OB\=\OC\,

所以SA：SB.Sc=sinZBOC:sinZAOC:sinZAOB=3：4：5,

即sin2A：sin2B:sin2C=3：4：5,故C错误；

对于D,当。为△ABC的内心时，

SASB'•Sc=^ar^br^cr

=a'bc=34:5（r为内切圆半径，a,6,c分别为角A,B,C的对边）,

所以a2+b2=c2,所以C=5,故D正确.

8.（多选）（2024.重庆模拟）已知点。在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有（）

A.^\BC\OA+\AC\OB+\AB\OC=0,则点。是△A3C的重心

B•若面畸一篇）丽儒-翻=3则点。是BC的内心

C.^（OA+'OByAB=（OB+OCyBC=0,则点。是3c的外心

D.若O为△ABC的外心，且2前言+前,则B为AABC的垂心

答案BCD

解析对于A,设a",c分别为角A,B,C的对边，在A3,AC上分别取点。，E,使得而=丝,

C

裾岑，

贝lj［前1=1荏1=1,以AO,AE为邻边作平行四边形ADFE,如图所示，

则四边形ADFE是菱形，且方=而+标=些+生，所以A尸平分NA4C,

cb

因为I前⑪5+1近I赤+1而I注=0,

即aOA+bOB+cOC=Q,

所以aVA+b-(OA+AB)+c-(OA+AC)=0,

HP(a+b+c)OA+bAB+cAC=0,

bc

所以存AB+AC

a+b+ca+b+c

_be/ABAC\_be

一而*L#公力尸1

所以A,O,歹三点共线,即。在NBAC的平分线上，

同理可得。在其他两角的平分线上，所以。为△ABC的内心，故A错误；

对于B,在A3,AC上分别取点D,E,使得荏=器，AD=^|j,如图，

则而门福=1，且落着屁,

因为雨儒-喘)=。，

gP01±PE,又|而|=|族|=1知，A0平分NA4c,

同理，可得80平分/A3C,故。为△A5C的内心，故B正确；

对于C,取A3,BC的中点分别为M,N,如图，

H(OA+OByAB=(OB+OCy'BC=0,

所以20M-AB=20N-'BC=0,

即OMLAB,0N人BC,所以。是△ABC的外心，故C正确；

对于D,因为