2025高考数学冲刺复习：统计与统计案例（解析版）

^题J3统计与附件

目录

题型一：统计

易错点01混淆总体与总体容量、样本与样本容量

易错点02求中位数、百分位数时忽略数据顺序

易错点03对频率分布直方图中的数据特征理解不透

题型二统计案例

易错点04混淆函数关系和相关关系而出错

易错点05忽视回归直线与回归曲线方程的区别与联系

易错点06求解独立性检验问题对K2的值理解不准确

题型一：统计

易错点01：混淆总体与总体容量、样本与样本容量

易错陷阱与避错攻略

典例（24-25高三上•上海•阶段练习）某校为了解高三年级学生体重情况，从该年级1000名学生中抽取125

名学生测量他们的体重进行分析.在这项调查中，抽取的125名学生的体重是（）

A.总体B.样本C.总体容量D.样本容量

【答案】B

【分析】根据样本的定义即可求解.

【详解】抽取的125名学生的体重是样本，故选：B

【易错剖析】

本题容易混淆样本与样本容量而出错.

【避错攻略】

抽样调查

（1）总体：统计中所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合称为总体.

（2）个体：构成总体的每一个元素叫做个体.

（3）样本：从总体中抽取若干个个体进行考察，这若干个个体所构成的集合叫做总体的一个样本，样

本中个体的数目叫做样本容量.

易错提醒：（1）总体是指考察对象的全体，而总体容量是指总体的个数；（2）样本是指从总体中抽取的若干个

个体组成的集合，而样本容量是指样本个体的数目，要注意二者的区别.

举一反三

1.（2024高三.全国.专题练习）为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200

名学生的成绩进行调查分析，在这个问题中，被抽取的200名学生的成绩是（）

A.总体B.个体

C.样本D.样本量

【答案】C

【分析】根据统计中抽样调查的概念即可得解.

【详解】从5000名学生的成绩中抽取了200名学生的成绩进行调查分析，

总体:5000名学生的成绩；

个体:每个学生的成绩；

样本:200名学生的成绩；

样本容量:200,

所以抽取的200名学生的成绩是样本

故选：C.

2.（24-25高二上•安徽•阶段练习）某中等职业学校为了了解高二年级1200名学生的视力情况，抽查了其中

200名学生的视力，并进行统计分析.下列叙述正确的是（）

A.上述调查属于全面调查B.每名学生是总体的一个个体

C.200名学生的视力是总体的一个样本D.1200名学生是总体

【答案】C

【分析】利用总体、样本、调查方法的相关概念分析选项即可.

【详解】上述调查属于抽样调查，故A项错误；

每名学生的视力是总体的一个个体，故B项错误；

200名学生的视力是总体的一个样本，故C项正确；

1200名学生的视力是总体，故D项错误.

故选：C

3.（24-25高三•甘肃兰州•训练）为了了解参加运动会的1500名运动员的年龄情况，从中抽取了150名运动

员的年龄进行调查，则下列说法正确的是（）

A.1500名运动员的年龄是总体

B.抽取到的150名运动员是样本

C.这个抽样方法可以采取随机数表法抽样

D.每个运动员被抽到的机会相等

【答案】BD

【分析】根据总体、样本的定义，结合随机抽样的性质逐一判断即可.

【详解】1500名运动员是总体，故A错误；抽取到的150名运动员是样本，故B正确；随机数表法常常用

于总体的个体较少时，当总体中的个体数较多时，编号复杂，将总体“傥拌均匀”也比较困难，用随机数表法

产生的代表性不合理，故C错误；在简单的随机抽样时，每个运动员被抽到的机会是相等的，故D正确.

故选：BD

易错题通关

1.（23-24高三•西藏日喀则•期末）高考结束后，为了分析该校高三年级1000名学生的高考成绩，从中随机

抽取了100名学生的成绩，就这个问题来说，下列说法中正确的是（）

A.100名学生是个体

B.样本容量是100

C.每名学生的成绩是所抽取的一个样本

D.1000名学生是样本

【答案】B

【分析】根据有关的概念可得总体、个体、样本这三个概念考查的对象都是学生成绩，而不是学生，再结

合题中选项即可得到答案.

【详解】根据有关的概念并且结合题意可得总体、个体、样本这三个概念考查的对象都是学生成绩，而不

是学生，

根据选项可得选项A、D表达的对象都是学生，而不是成绩，所以A、D都错误.

C每名学生的成绩是所抽取的一个样本也是错的，应是每名学生的成绩是一个个体.

B：样本的容量是100正确.

故选:B.

2.（24-25高三上•福建福州•开学考试）为检查某校学生心理健康情况，市教委从该校1400名学生中随机抽

查400名学生，检查他们心理健康程度，则下列说法正确的是（）

A.1400名学生的心理健康情况是总体B.每个学生是个体

c.400名学生是总体的一个样本D.400名学生为样本容量

【答案】A

【分析】根据总体、个体、样本容量概念依次判断选项即可.

【详解】对选项A：1400名学生的心理健康情况是总体，故A正确；

对选项B,每个学生的心理健康情况是个体，故B错误；

对选项C,400名学生的心理健康情况是总体的一个样本，故C错误；

对选项D,400名学生的心理健康情况为样本容量，故D错.

故选：A

3.（23-24高一下.山西晋中•阶段练习）为了了解某路口每天在学校放学时段的车流量，有下面几个样本，

统计该路口在学校放学时段的车流量，你认为合适的是（）

A.抽取两天作为一个样本

B.春、夏、秋、冬每个季节各选两周作为样本

C.选取每周星期日作为样本

D.以全年每一天作为样本

【答案】B

【分析】选择调查的对象要有代表性即可判断.

【详解】解：依题意春、夏、秋、冬每个季节某路口在学校放学时段的车流量可能会有差异，

为了统计该路口在学校放学时段的车流量，春、夏、秋、冬每个季节各选两周作为样本更具有代表性，故B正

确；

对于A：随机抽取两天作为一个样本，不具有代表性，故A错误；

对于C：显然星期一到星期五学校放学时段的车流量与周末时学校放学时段的车流量会有差异，故选取每周

星期日作为样本也不具有代表性，故C错误；

对于D：全年每天的数据，属于全面调查，不属于抽样调查，故D错误；

故选：B.

4.（24-25高一上•全国•课堂例题）（多选）某市模考共有70000多名学生参加，某校教科室为了了解本校3390

名考生的数学成绩，从中抽取300名考生的数学成绩进行统计分析，下列说法正确的是（）

A.3390名考生是总体的一个样本B.3390名考生的数学成绩是总体

C.样本容量是300D.70000多名考生的数学成绩是总体

【答案】BC

【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的概念，可以判断BC正确.

【详解】总体是3390名考生的数学成绩，样本是抽取的300名考生的数学成绩，样本容量是300.

故选：BC.

5.（23-24高一下.青海海东•阶段练习）为了了解某社区60周岁以上老年人的体重，进行如下调查：

调查一：对该社区所有60周岁以上老年人的体重进行调查；

调查二：对该社区部分60周岁以上老年人（500名）的体重进行调查.

关于上述调查，下列说法正确的是（）

A.调查一是普查，调查二是抽样调查

B.调查二中的总体是指该社区抽取的500名60周岁以上老年人的体重

C.调查二中的样本量是500

D.检测一批灯泡的寿命宜采用调查一的调查方式，以使收集的数据更精确

【答案】AC

【分析】根据抽样调查和普查的概念、总体和样本的概念即可求解.

【详解】对于选项A,根据抽样调查和普查的概念可知，

调查一的调查方式是普查，调查二的调查方式是抽样调查，故A正确；

对于选项B,根据总体和样本的概念可知，总体是指该社区所有60周岁以上老年人的体重，样本是指抽取

的该社区500名60周岁以上老年人的体重，故B错误；

对于选项C,结合已知条件和样本量的概念可知，样本量是500,故C正确；

对于选项D,由于检测一批灯泡的寿命，具有损毁性，故只能用抽样调查，故D错误.

故选：AC.

6.（23-24高二上.湖北武汉.期中）"知名雪糕31℃放1小时不化”事件曝光后，某市市场监管局从所管辖十

五中、十七中、常青一中三校周边超市在售的28种雪糕中抽取了18种雪糕，对其质量进行了检查.在这

个问题中，18是（）

A.总体B.个体C.样本D.样本量

【答案】D

【分析】根据抽样调查中总体、个体、样本、样本容量的概念，即可判断.

【详解】总体：我们把与所研究问题有关的全体对象称为总体；

个体：把组成总体的每个对象称为个体；

样本：从总体中，抽取的一部分个体组成了一个样本；

样本量：样本中个体的个数叫样本容量，其不带单位；

在售的28种雪糕中抽取了18种雪糕，对其质量进行了检查，在这个问题中，28种雪糕是总体，每一种雪

糕是个体，18种雪糕是样本，18是样本量；

故选：D.

易错点02：求中位数'百分位数时忽略数据顺序

易错陷阱与避错攻略

典例（2024•河南・统考模拟预测）样本数据16,24,14,10,20,30,12,14,40的中位数为（）

A.14B.16C.18D.20

【答案】B

【分析】由中位数定义即可得.

【详解】将这些数据从小到大排列可得：10,12,14,14,16,20,24,30,40,

则其中位数为16.

故选：B.

【易错剖析】

本题求解时容易忽略讲数据从小到大排列而出错.

【避错攻略】

1.众数、中位数、平均数

（1）众数：一组数据中出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平.

（2）中位数：将一组数据按大小顺序依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的

平均数）叫做这组数据的中位数，中位数反应一组数据的中间水平.

（3）平均数：W个样本数据乙的平均数为』=♦+）+…，反应一组数据的平均水平，公

n

式变形：=nx.

；=i

2.百分位数

（1）定义：一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于

这个值，且至少有（100-p）%的数据大于或等于这个值.

（2）计算一组〃个数据的的第p百分位数的步骤

①按从小到大排列原始数据.

②计算i=p%.

③若，不是整数而大于，的比邻整数人则第p百分位数为第，项数据；若，是整数，则第p百分位数为

第i项与第i+1项数据的平均数.

（3）四分位数：我们之前学过的中位数，相当于是第50百分位数.在实际应用中，除了中位数外，常

用的分位数还有第25百分位数，第75百分位数.这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份,

因此称为四分位数.

易错提醒：在求数据的中位数、百分数时，一定要先把数据从小到大排列，然后再根据中位数、百分数的

定义进行求解.

举一反三

1.（2025高三上•四川眉山•阶段练习）假设有一组数据为6,8,3,6,4,6,5,这些数据的众数与中位数

分别是（）

A.5,6B.6,4C.6,5D.6,6

【答案】D

【分析】由小到大排列给定数据组，再利用众数与中位数的意义求解即得.

【详解】依题意，原数据组由小到大排列为：3,4,5,6,6,6,8,

所以这组数据的众数与中位数分别是6,6.

故选：D

2.（24-25高三上•天津和平・期末）一组数据按从小到大的顺序排列为1,3,"J7,10,11,若该组数据的

中位数是这组数据极差的!，则该组数据的第45百分位数是（）

A.3B.4C.5D.7

【答案】A

【分析】计算出中位数与极差后即可得加的值，再借助百分位数定义即可得解.

【详解】该组数据的中位数为畔，极差为11-1=10,

2

m+71

则有‘一=—xl0=5,即机=3,

22

6x0.45=2.7,则该组数据的第45百分位数是3.

故选：A.

3.（24-25高三上•山东淄博・期末）某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，6位评

委对甲、乙的演讲分别进行打分（满分10分），得到如图所示的折线统计图，则（）

9.5

9.0

8.5

8.0

7.5

7.0

一甲—-乙

A.若去掉最高分和最低分，则甲得分的中位数大于乙得分的中位数

B.甲得分的极差大于乙得分的极差

C.甲得分的上四分位数小于乙得分的上四分位数

D.甲得分的方差大于乙得分的方差

【答案】ABD

【分析】运用极差、中位数及百分位数的公式计算，和方差的意义逐项判断即可.

【详解】甲、乙的得分从小到大排列如下：

甲：7.0,8.3,8.9,8.9,9.2,9.3,乙：8.1,8.5,8.6,8.6,8.7,9.1,

故去掉最高分和最低分可得甲的中位数为89,乙的中位数为8.6,故A正确；

甲的极差为9.3-7.0=2.3,乙的极差为9.1一8.1=2,故B正确；

6x75%=4.5,所以甲的第75百分位数为9.2,乙的第75百分位数为8.7,故C错误；

由图可以看出甲得分的波动比乙大，故甲得分的方差大于乙得分的方差，故D正确.

故选：ABD

＞易错题通关.

1.（2025高三•全国•专题练习）一组数据18,12,10,11,9,7,4,6,1,3的25%分位数是（）

A.10B.12C.4D.3

【答案】C

【分析】应用百分位数定义求25%分位数.

【详解】将这组数据按从小到大的顺序排列为L3,4,6,7,9,10,11,12,18,共10个数，

所以10x25%=2.5,则这组数据的25%分位数为4.

故选：C

2.（24-25高三上•广东茂名•阶段练习）四川耙耙柑以果肉饱满圆润，晶莹剔透等特点深受民众喜爱，某耙

耙柑果园的质检员对刚采摘下来的耙耙柑采用随机抽样的方式对成筐的耙耙柑进行质检，记录下了8筐耙

耙柑中残次品的个数为5,7,6,3,9,4,8,10,则该组样本数据的第30百分位数为（）

A.5B.5.5C.6D.6.5

【答案】A

【分析】把给定的数据组由小到大排列，再利用第30百分位数的定义求出结果.

【详解】残次品的个数由小到大排列为：3,4,5,6,7,8,9,10,

由8x30%=2.4,得该组样本数据的第30百分位数为5.

故选：A.

3.(24-25高三上•湖北十堰・期末)已知尤>0,且x,x+l,/,2x的中位数为1,贝()

123

A.—B.-C.1D.一

332

【答案】B

【分析】先根据题意判断出xWl,再分别讨论x=l和0<x<l即可求解.

【详解】因为尤>0，所以尤<x+l,尤<2x,又无,x+l,尤2,2%的中位数为1,所以xWl,

当x=l时，％%+1/2,2%分别为1,2,1,2,则中位数为不符合题意；

当0<x<l时，x2<x<2x<x+l>则中位数为F=解得了=

23

故选:B

4.(24-25高三上•天津红桥•期末)从某学校高二年级随机抽取10名学生进行数学能力测试，测试成绩为

68,81,79,81,90,86,74,84,69,78,设学生测试成绩的平均数，中位数，众数分别为4瓦c,则()

A.a=b<cB.a<b=c

C.a<b<cD.b<a<c

【答案】C

【分析】根据平均数公式求出平均数。，根据中位数和众数定义，找到6和c,从而可以比较大小

【详解】平均数。=七(68+81+79+81+90+86+74+84+69+78)=79,

数据从小到大排列为：68,69,74,78,79,81,81,84,86,90,第五个数为79,第六个数为81,所以中位数

^=1(79+81)=80,

出现次数最多的是众数，所以众数c=81,

所以a<6<c.

故选：C.

5.(2024高三・全国・专题练习)一组数据从小到大依次为3,5,6,7,8,9,m,10,11,13,且众数为9,

下列说法错误的是()

A.m=9B.中位数为8.5C.平均数为8D.极差为10

【答案】C

【分析】由条件结合众数的定义求机，再结合中位数，平均数，极差定义求中位数，平均数，极差判断各

选项.

【详解】众数是一组数据中出现次数最多的数据，因此机=9；

该组数据的中位数是第5位和第6位数的平均数，即为8.5：

极差为13-3=10；

平均数是$*（3+5+6+7+8+9+9+10+11+13）=8.1,

故选：C.

6.（2024高三•全国•专题练习）（多选）有一组样本数据占,无2，,其中看是最小值，%是最大值，则（）

A.%，工3，彳4，%的平均数等于%，工2，，%的平均数

B.尤2，%，尤4，工5的中位数等于西，/，・，工6的中位数

C.尤2，%，尤4，工5的标准差不小于尤1，彳2，，尤6的标准差

D.%，工3,无4，%的极差不大于王，无2，」，%的极差

【答案】BD

【分析】根据特殊值法分别求出平均数及标准差判断A,C错误，根据中位数和极差计算判断B,D.

【详解1取士=1,9=%=匕=%=2,%=9,

与三，4%的平均数等于2,占,无2，的平均数1+%=1+4：2+9=3,选项A错误；

66

%,三，％，%的标准差为。，为，巧，，%的标准差JZ+1：4+62>0,选项C错误；

不妨设玉<x2<x3<x4<x5<x6,

则%,三,%的中位数等于玉产，玉,乙,,%的中位数等于玉产，

%,斗，*尤5的中位数等于%，%，-，尤6的中位数，B正确；

•^，^，*三的极差为丘心,看，不｝^-^，^，%，%%1%—%，%，尤2，I%的极差为工6-尤1，

则马,当，匕，无5的极差不大于王，尤2，-，%的极差，D正确.

故选：BD.

7.（24-25高三上•江苏•阶段练习）（多选）有一组样本数据1,2,3,5,7,8,9,a,下列说法正确的是（）

A.若该组数据的平均数为。，则a=5B.若该组数据的中位数为否则a=5

C.当aV9时，该组数据的极差为8D.当。=5时，该组数据的方差最小

【答案】ABD

【分析】A.由平均数的定义求解判断；B.由中位数的定义求解判断；C.由极差的定义求解判断；D.由方差

的定义求解判断.

【详解】解:因为样本数据1,2,3,5,7,8,9,a,

A.若该组数据的平均数为°,则1+2+3+5：7+8+9+",解得^=5,故正确；

8

B.当时，若该组数据的中位数为彳=4,不符合题意；

当3<a<5时，若该组数据的中位数为与>a,不符合题意；当a=5时，若该组数据的中位数为?=5=a,

符合题意；

当5<a<7时，若该组数据的中位数为卓<。，不符合题意；

当aN7时，若该组数据的中位数为?=6<a,不符合题意，综上：。=5,故正确；

C.当。=0时，该组数据的极差为9-0=9故错误；

D.该组数据的平均数为更会由A知，当a=5时，该组数据的平均数为5,

O

则其方差力=1（12+22+32+52+72+82+92+a2-8xx2）

所以要使方差最小，则"一8xF="-以蛆=：（7/-70。+1225）取得最小值，所以4=5,故D正确.

故选：ABD

8.（2025高三•全国・专题练习）（多选）2024年10月央行再次下调人民币存款利率，存款利率下调是为了

刺激经济增长、促进投资和消费而采取的一种货币政策.下表为某银行近年来几个时间发布的人民币一年定

期存款利率：

时间2018年4月2019年4月2020年4月2021年6月2022年9月2024年7月2024年10月

利率

1.351.501.751.751.551.351.10

/%

关于表中的7个数据，下列结论正确的是（）

A.极差为0.25B.平均数不大于1.5

C.20%分位数与30%分位数相等D.中位数为1.75

【答案】BC

【分析】将诸数据排序后根据极差、平均数、百分位数、中位数的计算公式计算后可得正确的选项.

【详解】把这7个数据按照从小到大的顺序排列：1.10,1.35,1.35,1.50,1.55,1.75,1.75.

选项A：极差为1.75—1.10=0.65,A错误.

2x1.35+2x1.75+1.55+1.50+1.1010.35

选项B：平均数为<1.5,B正确.

77

选项C：20%x7=1.4,30%x7=2.1,

故20%分位数与30%分位数都是1.35,C正确.

选项D：中位数为第四个数即1.50,D错误.

故选：BC.

易错点03：对频率分布直方图中的数据特征理解不透

易错陷阱与避错攻略

典例（24-25高三上•广东汕头•期末）某市为修订用水政策，制定更合理的用水价格，随机抽取100户居民,

得到他们的月均用水量，并整理得如下频率分布直方图.根据直方图的数据信息，下列结论中正确的是（）

B.100户居民的月均用水量低于16.2t的用户所占比例超过90%

C.100户居民的月均用水量的极差介于21t与27t之间

D.100户居民的月均用水量的平均值介于16.2t与22.2t之间

【答案】C

【分析】首先根据频率分布直方图中所有小长方形的面积和为1求出》的值，再分别求出100户居民的月均

用水量的中位数，平均数，极差等即可判断.

【详解】由频率分布直方图可知，

(0.077+0.107+0.043+0.030+0.030+0.017+0.010+0.013+6)x3=1,

19

解得b=

3000

对于A,月均用水量在［1.2,4.2）的频率为0.077x3=0.231<0.5，

月均用水量在［1.2,7.2）的频率为0.231+0.107x3=0.231+0.321=0.552>0.5，

所以100户居民的月均用水量的中位数在［4.2,7.2),故A错误；

对于B,因为100户居民的月均用水量低于16.2t的用户的频率为

(0.077+0.107+0.043+0.030+0.030)x3=0.861,

所以100户居民的月均用水量低于16.2t的用户所占比例为86.1%,故B错误；

对于C,由图知，极差的最大值为28.2-1.2=27,最小值为25.2-4.2=21,

所以100户居民的月均用水量的极差介于21t与27t之间，故C正确；

对于D,100户居民的月均用水量的平均值为

(0.077x2.7+0.107x5.7+0.043x8.7+0.030xll.7+0.030x14.7

191

+0.017xl7.7+0.010x20.7+0.013x23.7+^jx26.7x3=8.9071,故D错误.

故选：C.

【易错剖析】

本题在计算过程中容易对中位数、百分位数、众数、平均数估计值的计算公式理解不透彻而出错.

【避错攻略】

1、画频数分布直方图与频率分布直方图的步骤：

(1)找出最值，计算极差；

(2)合理分组，确定区间；

(3)整理数据；

(4)作出相关图不；

频数分布直方图纵坐标是频数，每一组数对应的矩形的高度与频数成正比

频率分布直方图纵坐标是频率/组距，每一组数对应的矩形高度与频率成正比，每个矩形的面积

等于这一组数对应的频率，所有矩形的面积之和为1

2、频率分布表与频率分布直方图的特点

频数分布表反映具体数据在各个不同区间的取值频率，但不直观，数据的总体态势不明显；频率分布

直方图能直观地表明数据分布的行状态势，但失去了原始数据。

3、频数分布折线图和频率分布折线图

把频数分布直方图和频率分布直方图中每个矩形上面一边的中点用线段连接起来。

为了方便看图，折线图都画成与横轴相交，所以折线图与横轴的左右两个交点是没有实际意义的。

4.频率分布直方图中的统计参数

(1)频率分布直方图中的“众数”

根据众数的意义可知，在频率分布直方图中最高矩形中的某个（些）点的横坐标为这组数据的众数.一般用

中点近似代替.

⑵频率分布直方图中的“中位数”

根据中位数的意义，在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数.

因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值.

（3）频率分布直方图中的“平均数”

平均数是频率分布直方图的“重心”.因为平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和，所以在频率分

布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替.

易错提醒：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者.在频率分

布直方图中:

（1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数;

（2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的;

（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底

边中点的横坐标之和.

举一反三

1.（2024高三.全国・专题练习）某校高三年级共800名学生，将其期中考试的数学成绩进行适当分组后，得

到频率分布直方图如图所示.若要从这800人中按分数从高到低录取72人组成数学兴趣小组，则录取分数

线估计为（）

C.110分D.H2.5分

【答案】B

【分析】方法一:根据频率之和为1得到方程，求出a=0.02,从而得到取分数线在区间［W0,11。）内，设录

取分数线为X分,得到方程，解得X=108；

方法二：求出分数不低于110分的人数为40,排除C,D；分数在［100,110）内的人数大于120,估计分数不

低于105分的人数大于60+40=100,排除A,得到答案.

【详解】方法一：因为2xQ005xl0+0.010xK)+0.015xl0+2axl0+0.025xl0=l,

解得a=0.02，分数在［110,120］内的人数为800x0.005x10=40,

分数在［100,110）内的人数为800x0.02x10=160,

由于72>40,72<40+160,故录取分数线在区间［100,110）内.

72

设录取分数线为X分，则0.02x（110-X）+0.005xl0=即=0.09,解得］=108：

800

方法二：排除法，

分数不低于110分的人数为800x0.005x10=40,排除C,D.

分数在［100,110）内的人数是分数在［110,120］内的人数的三倍以上，

即分数在［100/1。）内的人数大于120,

因此估计分数不低于105分的人数大于60+40=100,排除A.

故选：B.

2.（24-25高三上•四川成都•阶段练习）某校1000名学生参加环保知识竞赛,随机抽取了20名学生的考试

成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是<）

频率

B.估计这20名学生考试成绩的平均数为76.5

C.估计这20名学生数学考试成绩的众数为80

D.估计总体中成绩落在［60,70）内的学生人数为150

【答案】BD

【分析】根据所有矩形的面积和为1求出。，然后逐一判断即可.

【详解】对A,由10x（2a+3a+7a+6a+2a）=l可得。=0.005,故A错误;

对B,这20名学生考试成绩的平均数为：

55x0.1+65x0.15+75x0.35+85x0.3+95x0.1=76.5分，故B正确；

对C,这20名学生数学考试成绩的众数为75,故C错误;

对D,总体中成绩落在［60,70)内的学生人数为3axl0xl000=150,故D正确.

故选：BD

3.(2024高三・全国•专题练习)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明

显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图:

c

sW40

cV30

k.0

sO36

.34

o.

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c,将该指标大于。的人判定为阳性，小于或等于c的人判

定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为0(c)；误诊率是将未患病者判定为阳

性的概率，记为4(c).假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.则当漏诊

率p(c)=0.5%时，误诊率q©=.

【答案】3.5%

【分析】先根据左边的频率分布直方图得到c=97.5,再根据右边的频率分布直方图可得4(c).

【详解】依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为5x0.002>0.5%,所以95<c<100,

所以（0-95）x0.002=0.5%,解得：c=97.5,

由右边的频率分布直方图可得q(c)=0.01x(100-97.5)+5x0.002=0.035=3.5%.

故答案为：3.5%

能易错题通关一

1.(24-25高三上•天津河西•期末)某中学组织高中学生参加数学知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成

绩的频率分布直方图如图所示，则这组样本数据的70%分位数为()

A.85B.86C.87D.88

【答案】C

【分析】由频率分布直方图的性质求出。，再由百分位数的方法求解即可.

【详解】由题意可得10x(0.005+0.015+0.030+a)=l,解得。=0.05,

所以前两组的频率和为(0.005+0.030)x10=0.35,前三组的频率和为(0.005+0.030+0.050)x10=0.85,

设这组样本数据的70%分位数为x,则0.035xl0+(x-80)xQ05=0.7,

解得x=87.

故选：C.

2.(24-25高三上•吉林长春•阶段练习)某市为了了解全市10万名高一学生的数学学习情况，抽取了该市某

个区的15000名学生进行数学能力测试(百分制)，并将这些学生的成绩整理成如图所示的频率分布直方图、

B.估计样本数据的75%分位数为85

C.用样本可以估计全市高一学生数学能力测试不及格(低于60分)的人数为5000

D.用样本可以估计全市高一学生数学能力测试的平均分约为81.5分(同一组数据用该组区间的中点值

作代表)

【答案】c

【分析】A选项，根据频率分布直方图的性质计算；

B选项，先判断出75%分位数所在的区间，然后列方程计算；

C选项，先算出样本数据中不及格的频率，由此估计全市学生不及格的人数；

D选项，根据题意中的平均数的计算要求进行计算.

【详解】A选项，根据频率分布直方图的性质，10x(0.005+a+0.020+0.040+0.020)=l,

解得a=0015,A选项错误；

B选项，前4个矩形条的面积为1-10x0.02=0.8>0.75,

前3个矩形条的面积为：1-10x(0.02+0.04)=0.4<0.75,

故样本数据的75%分位数落在［80,90］中，设样本数据的75%分位数为x,

于是(x-80)x0.04+0.4=0.75,解得x=88.75,B选项错误；

C选项，根据直方图可以看出，低于60分的频率为：0.005x10=0.05,

于是估计全市学生不及格的人数为：100000x0.05=5000,C选项正确；

D选项，由题意，平均数为：

10x(55x0.005+65x0.015+75x0.02+85x0.04+95x0.02)=80.5,D选项错误.

故选：C.

3.(2024.重庆.模拟预测)(多选)国际学生评估项目测试是世界经济合作与发展组织对各国中学生阅读、

数学、科学能力评价测试.从2000年开始，每3年进行一次测试评估.在评估研究时将测试成绩按一定规则

转换成等级赋分，赋分范围是40至100分，如图是2024年的某地中学生参加阅读测试后用赋分数据绘制成

的不完整频率分布直方图.据图中数据，下面说法正确的是()

B.该地学生成绩的众数介于70至80之间

C.该地学生成绩的极差介于40至60之间

D.该地学生成绩没有超过60分学生所占比例为30%

【答案】c

【分析】根据频率分布直方图，利用中位数、众数、极差的定义，对选项A、B和C逐一分析判断，即可

求解；对于选项D,利用频率分布直方图，可得没有超过60分学生所占比例为20%,即可求解.

【详解】对于选项A,分数在［40,50）的频率为QO5,分数在［50,60）的频率为Q15,分数在［70,80）的频率为

0.3,分数在［80,90）的频率为10a,分数在［90,100］的频率为0.1,

由图知,0.15<10a<0.3,所以0.25<10a+0.1<04,

所以中位数在［70,80）间，但不一定大75,所以选项A错误，

对于选项B,由众数的定义知，众数是成绩出现次数最多的，

所以众数不一定介于70至80之间，所以选项B错误，

对于选项C,由极差的定义知，学生成绩的极差介于40至60之间，所以选项C正确，

对于选项D,由选项A知，学生成绩没有超过60分学生所占比例为20%,所以选项D错误，

故选：C.

4.（24-25高三上•安徽•阶段练习）（多选）某超市随机抽取了当天100名顾客的消费金额作为样本，并分组

如下：［0,50）,［50,100）,［100,150）,…,［250,300］（单位：元）,得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法

正确的是（）

t频率/组距

0.004卜~---

0.003［-1-

。|50100150200250300金至（元）

A.若该超市当天总共有600名顾客，则消费金额在口00,150）（单位：元）内的顾客约有180人

B.若每组数据以区间中点值为代表，则样本中消费金额的平均数是145元

C.若用样本估计总体，则该超市当天消费金额的中位数是100.8元

D.现从样本的第1,2组中用比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人做进

2

一步调查，则抽到的2人的消费金额都不少于50元的概率是不

【答案】BD

【分析】根据频率分步直方图性质求出。再计算消费金额在U00,150）内的顾客判断A,应用频率分布直方

图求平均数及中位数判断B,C,应用分层抽样及古典概型计算判断D.

【详解】因为0.1+0.2+50。+0.2+0.15+0.1=1,所以。=0.005,

对于A,所以消费金额在口00,150）内的顾客约有50ax600=150人，A选项错误；

对于B,样本中消费金额的平均数是0.1x25+0.2x75+0.25x125+0.2x175+0.15x225+0.1x275=145元，B

选项正确；

对于C,设消费金额的中位数是"前二组的频率和为0.1+0.2<0.5,前三组的频率和为0.1+0.2+0.25>0.5,

所以/在第三组，所以0.1+0.2+（"100）X0.005=0.5,所以t=140元，C选项错误；

对于D,第1组频率，第2组频率分别为0.1,0.2,所以从样本的第1,2组中用比例分配的分层随机抽样方

法抽取6人，第1组抽2人，第2组抽4人，

所以从这6人中随机抽取2人做进一步调查，则抽到的2人的消费金额都不少于50元的概率是

P=*=2="|,D选项正确.

故选：BD.

5.（24-25高三上•黑龙江牡丹江•阶段练习）（多选）某次物理考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年

级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分

布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于［80,90）内的学生成绩方差为12,成绩位于［90,100）内的同学成

B.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为86.50

C.估计该年级学生成绩的中位数约为76.14

D.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25

【答案】AD

【分析】对于A选项，由各组频率之和为1求参数；对于B选项，两组求加权平均数可得；对于C选项，

由频率分布直方图面积与0.5比较，估计中位数所在区间，利用面积关系建方程求解可得；对于D选项，由

两组成绩的方差与两组总方差的关系求解即可.

【详解】对于A选项，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为1,

贝|](2〃+3〃+7〃+6〃+2♦)、10=200〃=1,角军得a=0.005,故A正确；

对于B选项，估计成绩在80分以上的同学的成绩的平均数为

—^—x85+-^-x95=87.5^,故B错误；

6Q+2aO6Z+2a

对于C选项，前两个矩形的面积之和为(2a+3a)xl0=50a=0.25<0.5

前三个矩形的面积之和为(2a+3a+7a)xl0=120a=Q6>0.5.

设该年级学生成绩的中位数为加，则加«70,80),

根据中位数的定义可得0.25+(70)x0.035=0.5,解得〃z。77.14,

所以，估计该年级学生成绩的中位数约为77.14,故C错误;

对于D选项，估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为

O1

-[12+(87.5-85)2]+-[10+(87.5-95)2]=30.25,故D正确.

故选：AD.

6.(2024.四川成都.模拟预测)某校为了解高三学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取〃个学

生的成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图(如图所示)，估计该校高三学生此项体育成绩的中位数

【分析】由概率之和为1计算出x后，结合中位数的定义计算即可得.

【详解】(0.01+0.016+x+0.022+0.014)xl0=l,解得x=0.038,

由(0.010+0.016)x10=0.26<0,5,(0.010+0.016+0.038)x10=0.64>0.5,

设中位数为x,则70Vx<80,

士x-700.5-0.2650”120”

有------=---------,解得x=70+—a76.

80-700.64-0.2619

故答案为：76.

7.(23-24高三上•北京石景山・期末)某学校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行数学知识测试，

记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,

90),[90,100],并整理得到如右频率分布直方图，则图中的"直为,若全校学生参加同样的测试，

【答案】0。1472.6

【分析】由频率分布直方图中总面积为1可计算出r,由频率分布直方图中平均数的计算方式计算平均数即

可估计全校学生的平均成绩.

【详解】由频率分布直方图中总面积为1,

即(0.006+0.010+f+0.018+0.020+0.032)x10=1,

解得"0014,

10x(0.006x45+0.010x95+0.014x55+0.018x65+0.020x85+0.032x75)=72.6,

故可估计全校学生的平均成绩为72.6.

故答案为：0.014；72.6.

题型二：统计案例

易错点04：混淆相关关系和函数关系而出错

，易错陷阱与避错攻略

典例(24-25高三上•江西南昌•训练)对两变量间的关系，下列论述正确的是()

A.任何两个变量都具有相关关系

B.正方形的面积与该正方形的边长具有相关关系

C.农作物的产量与施化肥量之间是一种确定性关系

D.一个学生的数学成绩与物理成绩之间是一种非确定性的关系

【答案】D

【分析】由两个变量之间相关关系与函数关系之间的定义及区别即可求解.

【详解】解：对4当两个变量之间具有确定关系时，两个变量之间是函数关系，而不是相关关系，所以A

错误；

对3：正方形的面积与该正方形的边长之间是函数关系，所以2错误；

对C：农作物的产量与施化肥量之间是相关关系，是非确定性的关系，所以C错误；

对。学生的数学成绩与物理成绩之间是相关关系，是非确定性的关系，所以。正确；

故选：D.

【易错剖析】

本题容易不能区分相关关系和函数关系的不同而出错.

【避错攻略】

1.相关关系的定义：两个变量有关系，但没有确切到可由其中一个去精确地决定另一个的程度，这种关系

称为相关关系.

2.相关关系的分类

（1）按变量间的增减性分为正相关和负相关.

①正相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势；

②负相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势.

（2）按变量间是否有线性特征分为线性相关和非线性相关（曲线相关）.

①线性相关：如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近,我们称这两个变量

线性相关；

②非线性相关或曲线相关：如果两个变量具有相关性，但不是线性相关,我们称这两个变量非线性相关或

曲线相关.

3.相关关系的直观表示

散点图：为了直观描述成对样本数据的变化特征，把每对成对样本数据都用直角坐标系中的点表示出来，

由这些点组成的统计图，叫做散点图.

易错提醒：相关关系与函数关系是不同的，相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种确定的关系，

而且函数关系是一种因果关系，但相关关系不一定是因果关系，也可