2025高考数学冲刺复习：数列与平面向量（试卷+答案解析）

模块04数列与平面向量

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.（24-25高三上・江苏常州•期末）已知。，b,ceR,则“。，6,。既是等差数列又是等比数列”是“a=6=c”

的（）

A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用推出关系去判断充要关系即可.

【详解】当。=人=。=0时，是等差数列，不是等比数列,

当既是等差数列又是等比数列，贝Ua=8=c,

故"a,b,c既是等差数列又是等比数列”是“a=b=c”的充分不必要条件,

故选：A.

点E满足丽=；反，点尸为的中点,

2.（2025高三・全国・专题练习）如图，在平行四边形ABCD中,

3►5>1—►5>

C.-AB+-ADD.-AB+-AD

23242424

【答案】B

【分析】根据平面向量的线性运算求解即可.

【详解】因为屉=,］，所以诙=反+而=而一3布.

34

因为点P为CD的中点，所以通=砺+劳=而+=南，

2

—.—.3—►1—.

所以。石+Ab=—A3+—AO.

24

故选：B.

3.（24-25高三上•辽宁•期末）记等差数列｛七｝的前〃项和为S“，公差为d,若%+%8>。，品,<0,则（）

A.S20<0B.as+al4<0C.a6+a17<0D.（-10,-9）

【答案】D

【分析】由等差数列前〃和公式与等差中项得到$2。>0,判断A选项；由几=19%<0得到时<0,结合等

差中项生+/=4（）+%>。，得到句与0的大小关系，然后由为+414=2%的结果判断B选项；由阳与知

的大小关系得到数列的增减性，再对4+%进行放缩得到结论，判断C选项；由4。与的正负情况建立

不等式组，求得牛的范围，判断D选项.

a

【详解】因为4=20（q+电。）=20他+阳）>0,所以A不正确；

22

儿=呸产）=史养<o,所以4。<0,

又因为4+。18=60+61>0，所以％]>0,则4+。14=2%>0,所以B不正确；

由％o<O,0n>0知>>0,即｛%｝为递增数列，

所以4+%>%+%=2%>。，所以C不正确；

由皿八，得9,所以D正确•

[%+9d<0d

故选：D.

4.（2024.山东淄博.二模）已知等比数列｛%｝,%=4，/=16,则必=（）

A.8B.±8C.10D.±10

【答案】A

【分析】运用等比中项，结合等比数列通项公式即可解决.

【详解】根据等比中项矢口道区=。2%。，求得区=64,则4=±8.

4

又y=a2q>0,贝I]4=8.

故选：A.

5.（24-25高三上•广东汕头・期末）已知平面向量75满足：\a\=\b\=l,\a-2b\=\a+2b\,则k-可=（）

A.72B.0C.2D.y[5

【答案】A

【分析】先根据已知条件求出”6的值，再代入向量％-5的模长公式求解.

【详解】已知|1-2刈=|6+25|,两边同时平方可得：（。-2方-=0+25）2.

展开得到：a2-4a-b+4b2=a2+4a-b+4b2.

HIa|=||=1,则苕2=后=1,上式化为：1—4万出+4=1+4小5+4，即逑0=0.

\a-b\=7（a-^）2=J12-2万・5+52=J1-0+1=夜.

故选：A.

6.（2025高三•全国•专题练习）已知｛q｝为等比数列，S"为数列｛氏｝的前〃项和，a„+1=2S„+2,则。4的值

为（）

A.3B.18C.54D.152

【答案】C

【分析】对方程。用=25“+2中的”进行赋值得的=2%+2,%=2（4+?）+2,进而转化为关于等比数列

基本量的方程，求解即可.

【详解】由题意得，当”=1时，出=2%+2,即％q=2%+2

当“=2时，q=2(q+电)+2,即qg-=2(4+qg)+2

%q=2q+2

解得4=2,q=3,则%=q/=54.

联立2

a{q=2(q+axq)+2

故选：C.

7.（2024•江苏南通・模拟预测）定义：已知数列｛a〃｝（〃eN*）的首项4=1,前〃项和为S”.设2与左是常数,

若对一切正整数"，均有s：4=一成立，则称此数列为“人&人”数列.若数列｛%｝（"6*）是哼&2"数

列，则数列｛4｝的通项公式4=（）

r1(〃=1)J](〃=1)

2

A.3X4>2C.4x3"-

'(3x4"-2(n>2),[4x3n_2(n>2)

【答案】B

【分析】由题可知“=¥，"=2'根据定义得-=¥（S"+「s”）；，根据平方差公式化简得S.M=4S,,

求得s“，最后根据即可求出数列｛%｝的通项公式.

【详解】因为数列｛%｝（〃6*）是哼&2”数列，则;1=#,无=2,

所以S.j一Sj=^aJ,而S„+t-Sn=a,l+l,

££

i

■.■ar,>O,.-.Sr,+l>Sn,.-.SnJ-Sn>O^

11J3i

・•.S"_S.2=y”+「S”）2,

_LJ.[1111

2

•••（V-V）=_（s„+12-s/）（V+V）,

X111111

l

5„^-57=-（Sn+J+Sj）,.-.S“1=2S『,，S“M=4S”；.S,=4--,

•.•£=4=1,S"=4"。

凡=4〃T_4"-2=3-4"-2,n>2,

._JL"=l

"A"-[3X4"-2,/7>2,

故选：B

8.（24-25高二上•天津滨海新•阶段练习）已知数列｛g｝的前〃项和为S“，且％=1,0用=。+2“为偶数

则$2。的值为（）

A.300B.25C.210D.29-1

【答案】A

【分析】分情况求数列的通项公式，进而求和.

【详解】当"为奇数时,«n+i=«„+1,贝14+2=4+1+2,即%+2=4+3,

所以当〃为奇数时，%=q+t二9x3=加二1,

22

〃2=%+1=2,

当〃为偶数时，4+1=。“+2,贝!J%+2=。用+1，即。“+2=%+3,

所以当〃为偶数时，'mx3=a7，

四二，〃为奇数

综上所述。,°,

包土工,〃为偶数

所以邑0=+%~1----H119+40

—（%+/+,,,+69）+（生+包+,,,+&（））

13x19-1。3x20-2

1+--------2+------------

=-----2—X10+----------2_xlO

22

=145+155

=300,

故选：A.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.（24-25高三上•湖北随州•期末）下列命题正确的是（）

A.零向量是唯一没有方向的向量

B.零向量的长度等于。

ab

C.若日石都为非零向量，则使曰+同=°成立的条件是£与B反向共线

D.若a=b，c—b,则a=c

【答案】BCD

ab

【分析】A.由零向量的定义判断；B.由零向量的定义判断；C.根据同，同都是单位向量判断；D.由向量相

等的定义判断.

【详解】A.零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；

B.由零向量的定义知，零向量的长度为0,故B正确；

abab

C.因为同’时都是单位向量’所以只有当同与同是相反向量’即2与B反向共线时才成立’故C正确；

D.由向量相等的定义知D正确；

故选：BCD.

10.（24-25高三上•吉林长春・期末）已知向量心b,万满足。=（U）,5=（-1,2）,c=（2m,n-l）,则（）

A.|a-&|=5B.当时，4m+n=l

C.当(2a+B)'不时，rn+2n=2D.5在0上的投影向量的坐标为［-不］)

【答案】BC

【分析】根据向量坐标运算及模的定义判断A,根据向量平行可得坐标关系判断B,根据垂直向量的数量积

为0判断C,根据投影向量的概念判断D.

【详解】对A,方=(1,1),5=(-1,2),a-b=(2,-1),所以卜一5卜了干［一番，故A错误；

对B,5=(-1,2),c,当石〃时，-(w-l)=2x2根，gp4m+n-l,故B正确；

对C,2M+5=(1,4),由(24+B)_L^可得2机+4(〃-1)-0,即〃z+2〃=2,故C正确；

对D,1在汗的投影向量a-b为alx(-可l)+lx2•，(1,1)七(1，1故D错误•

故选：BC

11.(2024•湖北黄冈二模)数列｛4｝满足：4=LS“T=3a,(〃22),则下列结论中正确的是()

A.%=；B.｛%｝是等比数列

4MY-1

C.an+l=-a„,n>2D.北大),n>2

【答案】AC

14

【分析】利用已知求得%=耳，可判断A；Sn-Sn_l=3an+-3a„(n>2),可得a用=§%(〃22),判断BC,

进而求得S.T，判断D.

【详解】由Sa=3a.(〃22),

当〃=2,工=4=3%=1,解得％=g,故A正确；

当〃21,可得S“=3%,

所以S“一Si=3a„+I-3a„(n>2),所以a“=3an+l-3an(n>2),

41

即a”+i=§a”(〃W2),而％=可％，故C正确,B不正确；

小-广厂7

=a1+a2+a3+--.+a„_1=1+-------1-------=/>2，故D错误.

1-3

故选：AC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.(2024•河北张家口•三模)已知向量4=(2,1),5=(2,0),"=1+彳5,若乙则J在《上的投影向量

为.

【答案】,别

【分析】根据向量垂直的坐标表示求出入然后由投影向量公式可得.

【详解】因为其=(2,1),石=(2,0),所以E=2+4=(2+2儿1),

又乙12,所以2(2+2几)+1=0,解得兄=一:，C=[一;,1

c-b所以2在5上的投影向量为一;B

因为卬|2

故答案为：

13.(2024高三.全国.专题练习)已知数列｛%｝的前〃项和为S“，若%=1,25“=%+一则数列｛4｝的通项公

式.

1,"=1

【答案】见=

2x3〃一2,心2

【分析】根据s.与。”的关系可得当“22时，｛%｝是公比为3的等比数列，求解答案.

【详解】由2s“=4+1得,“22时，=an,两式相减得=3a”,

所以当心2时，｛叫是公比为3的等比数列，而％=2,则见=2x34(a2),

由不满足上式得见=2x3、N2

1,M=1

a

故答案为：n=

2X3"-2,H>2'

14.(24-25高三上•上海奉贤•期中)意大利著名画家、自然科学家、工程师达芬奇在绘制作品《抱银貂的女

人》时，曾仔细思索女人脖子上黑色项链的形状，这就是著名的悬链线形状问题.后续的数学家对这一问题

不断研究，得到了一类与三角函数性质相似的函数：双曲函数.其中双曲正弦函数为shx=色士，并且双

2

曲正弦函数为奇函数，若将双曲正弦函数的图象向右平移g个单位，再向上平移2个单位，得到函数y=/(x)

的图象，并且数列｛%｝满足条件%=(蠢)则数列｛%｝的前2024项和邑。”=

【答案】4048

【分析】根据函数图象平移的性质可得＞=/(》)的图象关于［9］对称，即〃X)+〃1T)=4,即可求解.

【详解】由于shx=W;为奇函数，图象关于原点对称，故y=〃x)的图象关于&，2)对称，即

“x)+"l-x)=4,

因此册+5,="总:/［嚓修=4，"匹2024,〃eN,

2024

因止匕邑024=4x^=4048,

故答案为：4048

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(2025高三・全国・专题练习)已知平面上一定点C(2,0)和直线/：48,P为该平面上一动点，作尸。，/,

―■1—■—.1—.

垂足为Q,^.(PC+-PQ)-(PC--PQ)=0.

⑴求动点尸的轨迹方程；

⑵若EF为圆N：x2+(y-l)2=l的任一条直径，求屋.丽的最值.

22

【答案】⑴L+匕=1

1612

(2)最大值为19；最小值为12-4百.

【分析】(1)设尸(x，y),则。(8,y),根据已知向量等式化简可得4|定|2=|迎『，用坐标表示，化简即

可求得答案;

(2)根据向量的数量积的运算表示出屋.而=前_1，继而用尸点坐标表示两2,利用点尸在椭圆上,

将PN的表达式转化为关于y的二次函数，结合二次函数的性质即可求得答案.

【详解】⑴设尸(羽y),则。(8,y),

Eti（pc+|pe）-（pc-|pe）=o,得4|无F=I和F,

即4［（x—2）2+，］=［（尤-8）2+（y—y）2］

22

化简得上+上=1,

1612

22

所以点尸在椭圆上，即动点尸的轨迹方程为土+匕=1.

1612

(2)因为所为圆Mx2+(y-l)2=l的任一条直径，故IN石|=|册|=1,且屉=—标,

所以而.丽=（丽+屉）.（两+柄=（而-而）.（两+丽=而_］，

2,,24

尸是椭圆Lr+匕=1上的任一点，贝匕2=16-；丁，

16123

又N（O,1）,

21

所以丽.=丁+（,_1）2=_妙+3）2+20,

22

因为尸点在椭圆工+汇=1上，故ye「-2君,2石］,

1612L」

所以当产-3时，丽2取得最大值20,故而.而的最大值为19；

当y=2百时，丽2取得最小值为13-4/（此时x=0）,故而•市的最小值为12-4收.

16.（24-25高三上•天津和平•期末）已知数列｛%｝是首项为1的等差数列，数列｛"｝是公比不为1的等比数列，

且满足％+。2=d，a2+a3=b3,a4+a5=b4.

⑴求数列｛%｝,｛£｝的通项公式；

2"k

⑵求£（-i）。也；

k=\

⑶令C"=（ab1+1）（"eN*）,记数列｛g｝的前〃项和为s”,求证：对任意的〃eN*,都有1<S“<g.

【答案】⑴4=2"1,bn=T.

⑵宜（-ir她=|+字-总产

⑶证明见解析.

【分析】（1）利用等差数列，等比数列的通项公式可得到结果；

2n

（2）Z（T）%々可转化为等差乘等比类型，利用错位相减法可解；

k=l

（3）数列｛%｝的前〃项和S”可利用裂项相消，然后用放缩可证.

【详解】（1）设｛%｝的公差为d,也｝的公比为4（4彳1）,则为=1+（〃-1）（a=如"L

由等比数列性质可得6；=打万4，又%+。2=4，a2+a3=b3,a4+a5=b4

所以（4+%）~=（q+%）（%+%），

所以（2+3d）2=（2+d）（2+7d）,解之得d=2或d=。，

口d=0时，=1,则b[=%+a2=2,4=。2+“3=2,

即q=，=l与qwl矛盾，故舍去；

瓦

当d=2时，an=2n-l,则8=4+%=4,b3=a2+a3=S9

所以4=*=2,4=%=2,满足题意；

b2q

n

所以q=2〃-1,bn=2.

2n

（2）设（=Z（—1）。也=（一。6）+%匕2+（-。363）+。也+…+%也〃，

k=\

Tn=（一44）+a2b2+）+%为+…+5nb*，

设…2也…—4—1）2-2"T=12〃+14”,

贝!11=%+彳2+…+（=|^4+：义42+...+[2〃+；]4”,47；=|x42+|x43+---+^2«+^4"+1,

两式相减得3方=-10-2x42-2x43——2X4"+^2M+^4"+1,

所以北=|+（|"£|它’即'-巾也=|+臣-和同

（…日日「33（2〃+3）2-/1______________1]

"（她+1）（%%+D（（2«-1）2"+1）（（2«+1）2"+1+1）1（2〃-1）2"+1（2»+l）2"+1+lJ

S=4-----------1---------------1------1--------------------------------------------------

"13131341（2«-l）2n+l（2n+l）2,,+1+lJ

（°-\

s=4----------------

“13（2H+1）2,!+1+1J，

因为〃wN*,易知S,随着〃的增大而增大，

404

所以与之。=有>1,S„<-,

4

所以1<S“〈彳

【点睛】方法点睛：

求数列前"项和常见的方法：

公式法：适用于等差数列、等比数列以及其他特殊数列.

分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.

倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用

倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前〃和公式的推导方法）.

错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位

相减法(这也是等比数列前〃和公式的推导方法).

裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求

和.

通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和.

“r、2rrrr_、2_2___2

17.(24-25高三上•福建龙岩•期中)阅读下一段文字：(a+/)-a2+2a-b+b2,［a-bj=a-2a-b+b,两

式相减得仅+耳-(£-可=475=£石=；［(£+耳-(£-6)］，我们把这个等式称作“极化恒等式“，它实

现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算.试根据上面的内容解决以下问题:如图,

在VABC中，。是的中点，E,尸是上的两个三等分点.

,、UUUUUUL,,,,

⑴若AD=2C=3,求A&AC的值;

⑵若丽・前=27，FBFC=-5-求丽・反f的值.

【答案】(1)一27

4

(2)7

【分析】(1)由极化恒等式知血=布2—妇，代入即可得出答案.

4

9诉'

(2)因为A8.AC=27，由极化恒等式知：ABAC^AD=W-n2=27，因为尸8-八7=-5，由极

4

化恒等式知：FB.FC^FD-BD=nr-^^-5'解两个方程求出加，“，再因为丽・比=4〃/-/,代入

即可得出答案.

【详解】(1)由极化恒等式知通./=而2_贮=9—2=0.

444

(2)设初=3加>0,|BC|=2«>0,

因为荏•*=27，由极化恒等式知：ABAC=AD=9m2-n2=27，因为丽・^=-5，由极化恒

4

等式知：FBFC=FD-BD=nr-n2=-5-所以

|W—"2=27,

1.解得偌=2,w=3,

[m~2-n2=—5,

所以丽•或=4加2-1=7.

18.(24-25高三上•吉林长春•期末)已知数列｛见｝的前〃项和为S“，且满足(q>0),„eN*.

⑴求数列｛《，｝的通项公式；

,、7〃+23

⑵当4=2时，数列也｝满足a=/+受，求证：-<bl+b2+...+bn<2.,

(3)若对任意正整数”都有4+i2〃成立，求正实数4的取值范围.

【答案】(l)a“=qi(q>0)

(2)证明见解析

(3)乡之珍

【分析】(1)根据已知条件求出％=1,继而结合S”,凡得关系推出%=致小,(〃之2),说明数列｛4｝为等比

数列，即可求得答案；

7〃+2

(2)求出利用勿=二一丁的表达式，利用裂项求和法，即可证明结论；

(3)将恒成立问题转化为即lnqN，,(〃eN*)恒成立，再构造函数，利用导数求函数的最值，即

可求得答案.

【详解】(1)由(4-1)5"=qa“T(q>。)，得(g-l)S[=g%-1,即(q-l)%=qq-1,解得%=(

若q=1,则=1;

若qW1,则由(qT)S”=效"T得(4T)S“_1=qan_l-l,(n>2),

两式相减得(4-1)%=(44T)-T)=-敦“t,(〃22),

化简得%=致“-1，(〃之2),

所以数列｛4｝是以1为首项，以q为公比的等比数列，因此。,=4'

当4=1时，也满足上式，故Q〃=q〃T，4>0,"£N*

H+211

(2)因为4=2,所以%=2"\则>=­=2

n-2"-1("+1>2”

因此4+b+…+6.=2^~^211

2+2+•••+2

“•2”T("+1>2"

<2.

又因为4=93,且切>。，故…+么之3

3

因此，-Wb]+瓦+…+b<2.

2

(3)由(1)得“Vq",则ln"V〃lnq,即InqeN*),

4"/(x)=~(x>0,xeN*),

因为对任意正整数〃都有。向之〃成立，所以/(初侬Wlnq,

因为「(可=土詈，所以当0<x<e时，r(x)>0,即/(x)在(0,e)上单调递增;

当x>e时，r(x)<0,即/(X)在(e,+8)上单调递减.

又xeN*,且〃2)=等心In3In2ln3In8-ln9

>/(3)=—>/(2)-/(3)=------<0,

6

所以〃X)M=/(3)=里，因此In”誓，解得戏疗.

3J

19.(23-24高三下.山西大同.阶段练习)〃元向量(n-tuplevector)也叫〃维向量，是平面向量的推广，设

〃为正整数，数集尸中的〃个元素构成的有序组3，/，…，％)称为尸上的〃元向量，其中6(i=l,2,L，耳为该

向量的第，个分量.〃元向量通常用希腊字母金瓦》等表示，如也=(%,生，…,卬),尸上全体〃元向量构成的集

合记为P'.对于记&乂卬,知…,%)，£=伯也,…也),定义如下运算：加法法则

a+P={a}+b],a2+b2,---,an+bn),模公式|同==也;+蜡+…+4,内积

a-a,Z>,=atbt+a2b2+■■■+anbn,设日，耳的夹角为6,则侬,=同悯.

⑴设至£e〃,〃23,weN*,&=…』),£=(一1,1,1,…,1),解决下面问题:

①求归+同;

②设行与2+7的夹角为。，求cos。；

(2)对于一个〃元向量企=(%,生，…,%)，若同=1(，=12…，〃)，称2为〃维信号向量.规定a•/=Ooa_L夕，

已知上个两两垂直的120维信号向量4,。2,…,％:满足它们的前加个分量都相同，证明：Vfan<11.

【答案】⑴①2A/^;②、二

Vn

(2)证明见解析

【分析】(1)根据条件得到2+万=(0,。,2,2,…,2),再利用题设定义的运算，即可求出结果；

⑵任取以W，i,/e{l,2,…左},得到温下+才+…+f=120Z,设4,石,…石的第i个分量之和为G,

结合S=c；+c；+…+底)2c；+c；+…+q：=后〃，即可求出结果.

【详解】(1)因为万eP",〃23,〃eN*,&=。,一1,1,1,…,1),。=(一1,1,1,…」)，

所以2+万=(0,0,2,2,…,2),

①卜+4卜V22+22+..-22=2j〃-2,

2/2(〃-2)

②因为4•位+7)=2(〃-2),忸|=6，所以cos°=

||a||-||^||'Jnx2Vn—2

120,i=j

(2)任取《吗，i,/e{l,2,…上},计算内积=c.,设这些内积之和为s,

则S=%~+/~+…+aj=120%,设阳％…4的第i个分量之和为G,

22hc

又因为q_!_%(/R/),故(q+a2H----i-a^)=a1+a2H-----\-ak>所以G+c；^-----no=120/:

又S=c：+c；H-----HGo2c；+c；+—Fc-=k~m,

所以120左2左2加，gpAMI<120<121,所以师<11.

【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第(2)问，任取鼠片，i,/e{l,2,…4，根据条件得到

2

S=a：+%2H----1aj=120左，再利用S=c；+c；H-----FC^0>+cfH--卜c：=km来解决问题.

模块04数列与平面向量

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.（24-25高三上・江苏常州•期末）已知。，b,ceR,则“。，6,。既是等差数列又是等比数列”是“a=6=c”

的（）

A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

—.1—.

2.（2025高三•全国・专题练习）如图，在平行四边形A2CD中,点E满足=点尸为的中点,

则历+衣=（）

3—.1.3-1.3►5>1^5>

A.-AB+-ADB.-AB+-ADC.-AB+-ADD.-AB+-AD

23242424

3.（24-25高三上・辽宁・期末）记等差数列｛叫的前〃项和为S“，公差为d,若名+%＞。，几＜0,则（）

A.020＜。B.4+%4＜。C.%+47＜。D.^G（-10,-9）

4.（2024•山东淄博・二模）已知等比数歹（］｛4｝,%=4,《0=16贝！）6=（）

A.8B.±8C.10D.±10

5.（24-25高三上.广东汕头.期末）已知平面向量25满足：\a\=\S\=l,\a-2b\=\a+2b\,则k-切=（）

A.72B.73C.2D.75

6.（2025高三•全国・专题练习）已知｛4｝为等比数列，S“为数列｛%｝的前〃项和，a用=2S“+2,则知的值

为（）

A.3B.18C.54D.152

7.（2024•江苏南通•模拟预测）定义：已知数列｛a,｝（"eN*）的首项4=1,前〃项和为S,.设4与％是常数,

1=曲；成立，则称此数列为“/&《'数列.若数列

若对一切正整数〃，均有时&2”数

列，则数列｛%｝的通项公式。“=（）

ri(〃=i)f](〃=1)

A.3x4"-2C.4x3"-2

'[3X4,!-2(M>2)'[4X3"-2(M>2)

a+1,”为奇数

8.（24-25高二上•天津滨海新•阶段练习）已知数列｛%｝的前〃项和为S“，且4=1,n

q+2,”为偶数'

则$2。的值为（）

A.300B.25C.210D.29-1

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.（24-25高三上•湖北随州•期末）下列命题正确的是（）

A.零向量是唯一没有方向的向量

B.零向量的长度等于0

ab

C.若£石都为非零向量，则使闩+回=°成立的条件是£与B反向共线

D.若£=以c=b，则Z

10.（24-25高三上•吉林长春•期末）已知向量方，不满足B=（—l,2）,3=（2机,〃—1）,则（）

A.卜一斤=5B.当日〃1时，4m+n=l

C.当+时，机+2〃=2D.5在5上的投影向量的坐标为,二,二）

11.（2024・湖北黄冈•二模）数列也｝满足：tz1=l,Sn_1=3^（H>2）,则下列结论中正确的是（）

B.｛〃〃｝是等比数列

4D.%=[742

C.an+l=-an9n>2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.（2024•河北张家口•三模）已知向量4=（2,1）,5=（2,。）,"=万+X5,若力则：在B上的投影向量

为.

13.（2024高三・全国•专题练习）已知数列｛%｝的前"项和为S"，若q=l,2S“=%+1,则数列｛%｝的通项公

式.

14.（24-25高三上•上海奉贤•期中）意大利著名画家、自然科学家、工程师达芬奇在绘制作品《抱银貂的女

人》时，曾仔细思索女人脖子上黑色项链的形状，这就是著名的悬链线