2025届高考数学二轮复习专练：直线与方程

2025届高考数学二轮复习专题训练8.1直线与方程

本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。

答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后,

再选涂其它答案标号。

2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

22

1.设椭圆工+2L=l（a〉6〉0）的半焦距为直线/过/（0,0）,3（0⑼两点，坐标原点到直线I的

/b2

距离等于同，则椭圆的离心率为（）

B.也

A.1C正DV2-1

23

2.已知m,n,p,q均为实数，则+（“一p—+J（m-q）~+（“-q-3y的最小值为（）

A.lBj2C石D.2

3.已知直线/经过（1,2）和（2,1）两点，则/的倾斜角为（）

A.--B.-2EC.-D.—

4444

4.直线%—也＞+3=0在〉轴的截距为（）

A.-3B.-石C.石D.3

5.已知双曲线。：二—当=1（。〉0］〉0）的左，右焦点分别为耳，F、,过耳作斜率为正且与双曲

ab

4

线。的某条渐近线垂直的直线/与双曲线。在第一象限交于点A,若cos/F；AE=g,则双曲线C

的离心率为（）

A.-B.-C.V5D.—

322

6.在平面直角坐标系九0y中，已知直线4:%一加丁+4加-1=0与，2x+y-3根-2=0交于点P,

点。（％，%）是抛物线9=一4工上一个动点，则IPQI—X。的最小值为（）

A.V2-1B.2A/2-1C.A/3-1D.2>/3-1

7.已知直线方程x+6y+6=O,则倾斜角为（）

A.15O0B.12O0C.60°D.3O0

8.若直线改+y+a-l=O与直线％+”=0平行，则实数〃的值为（）

A.1或-1B.-lC.lD.0

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选

项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0

分.

9.已知直线/：7nx+y+2m=O（meR）,圆C:炉+y?一分+2=0,贝！|（）

A.1经过定点（—2,0）

B.圆C与圆G：必+/=2外离

C.当/与圆C相切时，m=6

D.圆心C到直线/距离的最大值为20

10.下列说法正确的是（）

A.已知匕为非零向量，若卜+,>,一可，则a，匕的夹角为锐角

B（x—工；展开式中的常数项为—20

22o

C若方程X+上_=1表示椭圆,贝/〃>士

2m-3m+12

D.点尸在直线x—y—1=0上运动，4（2,3），B（2,0）.41TpM的最大值是迅

11.已知圆C：+（y-2）2=25，直线/:（2/w+l）x+（〃?+l）y—77H—4=0，则下列命题中正

确的有（）

A.直线/恒过定点（3,1）

B.圆C被y轴截得的弦长为4

C.直线/与圆C恒相离

D.直线/被圆C截得最短弦长时，直线I的方程为2x-y-5=0

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若圆6：好+丁=1与曲线C2：V=ln（x—D+机的公切线经过［1,—求机=

13.已知直线《：%+2》+1=0和4:2%+纱+1=0,若/1〃/2，则々=

14.过点（2,1）且横截距是纵截距2倍的直线方程为.（写成一般式方程）

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图，已知等腰直角三角形ABC的斜边A3所在直线方程为y=2x-5,其中A点在3点上方,

直角顶点C的坐标为（1,2）.

（1）求A5边上的高线所在直线的方程；

（2）求三角形ABC的面积.

221

16.已知双曲线E：5_a=1（。〉0］〉0）的实轴长为2,顶点到渐近线的距离为

（1）求双曲线E的方程；

（2）若直线/与E的右支及渐近线的交点自上而下依次为C,A,B,D,证明：|人。=忸£>|；

（3）在数学中，可利用“循环构造法”求方程的整数解.例如：求二元二次方程必-2V=1的正整数解，

由（3—20）（3+20）=32—2x22=1可先找到该方程的初始解<,记此解对应的点为

片（3,2），进一步可得点£（17,12），…，月（与,"），…，左eN*•设由“循环构造法”得到方程E的

正整数解对应的点列为：0（n，K）,…，Q（%，%），+i〉七，jeN*，记

^Q„OQn+1=0„-试判断OQ.OQ+itanq是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请

说明理由.

17.已知方程C:x?+y?-2x-4y+7〃=0,

(1)若方程C表示圆，求实数，〃的范围；

⑵在方程表示圆时，该圆与直线/:x+2y—4=0相交于M、N两点，且|MN|=竽，求根的值.

18.已知直线/：x—y+l=0,点。(―1,—2).

(1)求过点A且与/垂直的直线方程；

(2)求点A关于直线/的对称点A，的坐标；

19.直线/经过两直线/i：3x+4y—2=0和/2：2%+丁+2=0的交点.

(1)若直线I与直线3%+y—1=0垂直，求直线I的方程；

⑵若直线/与圆(%—3)2+0—1)2=25相切，求直线I的方程.

参考答案

1.答案：B

解析：由题意易知直线/方程为:二+2=1,即区+G;—bc=O,

cb

原点到直线的距离为,

业+一

1

2112

所以廿+/=2Z?c，即〃=c，

所以方2+，=〃2_2c2,

所以£=交,

a2

故选:B

2.答案：B

解析：/m_p)2+(n_p_i)2表示两点A(m,九)与3(p,p+1)之间的距离，

4m_q)2+(n_q_3)2表示两点A(m,n)与C(q,q+3)之间的距离，

又点B(p,p+1)是直线y=%+1上的动点，点C(q,q+3)是直线y=%+3上的动点,

且直线y=X+1与直线y=x+3平行,

所以|A31+1AC|的最小值即为直线y=x+l与直线y=%+3之间的距离,

所以|ABI+IAC|的最小值为耳/U=

Vi+i

故选:B.

3.答案：D

解析：直线/的斜率为上2=—1,

2-1

设/的倾斜角为o，。€[0,兀＞则tan6»=—1，解得。=苧・

故选:D

4.答案：C

解析：令％=0,得＞=石，

所以直线在y轴的截距为出.

故选：C.

5.答案：A

解析：令双曲线C的半焦距为c,则可(-c,0),

令直线/与双曲线C的渐近线法+砂=0垂直的垂足为

于是用力卜儿

11V77F

\0D\=J|。耳402=&2一/=a,

如图，过点工作于2,则83〃。。,

而。为线段耳鸟的中点，所以闺耳=26,叵B|=2a,

4/------------------3

因为cos/FJAg=—,所以sinN片Ag=^l-cos2ZF^AF=—,

照10

"=I=----Q

sinZF{AF23

由双曲线定义得|A周—|9|=2a,

即9a+2人一竺a=2a,解得？=土

33a3

故该双曲线的离心率为e=(=Jl+=|

6.答案：B

解析：直线乙：x-my+4〃z-l=0,

即(x—1)——4)=0,可知直线4过定点P(l,4)；

直线4：^^+y-3"z-2=0,即机(x-3)+(y-2)=0,

可知直线6过定点Q(3,2)；

且lx〃z+(-/w)xl=0,贝！14_1_6，

可知点P在以A3为直径的圆上，

此时圆心为C(2,3),半径r=；|A3|=&.

因为抛物线V=-4x的焦点为尸(―1,0),准线为x=l,

且点0(%,%)是抛物线V=-4x上一动点，

则|0"|=1_%，即一/=|QE|—1,

可得1尸。1一%=1尸。1+1。/1一1臼QC\-r+\QF\-l

=1QC\+\QF\-(^2+l),

当且仅当点尸在线段QC上时，等号成立，

又因为IQC\+\QF\>\CF|=3后，

当且仅当点。在线段bC上时，等号成立，

即|。。|—/4。。1+1。为—(逝+1)230—(夜+1)=20—1,

所以IPQI-%的最小值为2及-1.

故选：B.

7.答案：A

解析：直线x+6y=0的斜率为左=一匚，设直线的倾斜角为a，贝|tana=—,又

33

aG[0°,180°)，所以a=150°.故选:A.

8.答案：B

解析：若直线ax+y+a-l=。与直线x+ay=0平行，

则需满足“2=1,解得。=±1,

当。=1时，两直线都为x+y=0,故两直线重合，舍去,

当a=—1时，两直线分别为：x-y+2=0,x-y=0,符合要求，即a=—1.

故选：B.

9.答案：AD

解析：对于选项A：因为/:，nx+y+2机=0=>/〃(x+2)+y=0,

x+2=0x=-2

令,解得<

b=°1。=0

所以/过定点4(—2,0),故A正确；

对于选项B:圆C可化为尤2+(y—2)2=2,

可知其圆心为C(0,2),半径厂=收，

圆£:必+丁=2的圆心为q(o,o),半径石=0,

因为|£。|=2©(0,20),即卜_d<|Gq<r+q,

可知两圆相交，故B错误；

对于选项C：若/与圆C相切，

则圆心。(0,2)到直线/的距离d=\+2时=J5,

y/rn2+1

解得加=—2±6，故C错误；

对于选项D：当C4，/时，圆心C到直线/距离的最大,

此时最大值为|C4|=2夜，故D正确.

故选：AD.

10.答案：BD

解析:对于A选项，已知,+。卜卜—可，

将两边同时平方可得(4+为2>3—6)2.

展开化简可得4。2>0,即>0•可知cos6>0-

当d与匕同向时，cos6>=l>0>此时夹角为0。，不是锐角，所以A选项错误.

对于B选项，对于(工—工)6展开式的通项为J；*]=c；x6-r(--)r=(-l)rC；x6-2r-

xrX

令6—2厂=0，解得r=3・

将r=3代入通项公式可得常数项为(-IpC：=-20,所以B选项正确.

2m-3>0

22

对于c选项，若方程」—+y=i表示椭圆,则需满足<m+1>0

2m—3m+1

2m-3m+1

解得相的取值范围是m>3且加W4，C选项错误.

2

对于D选项，设点5(2,0)关于直线x-y-l=0的对称点为B'(m,ri).

上=—]

相一2，解得“=]

根据对称点的性质可得4

m+2n

122

则几=2—1=1，即•

根据三角形两边之差小于第三边可知|PA|-|PB|=|PA|-|Pfi,|<|AB'\.

根据两点间距离公式|AB]=Ip+(3-1)2=Jl+4=亚,所以IPA\-\PB\的最大值是加，

D选项正确.

故选：BD.

11.答案：AD

解析：将直线I的方程整理为(x+y-4)+m(2x+y-7)=0，

由卜+y—4=0尤二3

解得：\则无论相为何值，直线/过都定点。(3,1)，故选项A正确;

2x+y—7=0卜=1

令％=0，则(y-21=24，解得>=2±2布，故圆C被y轴截得的弦长为4指，故B不正确;

因为(3—1)2+(1—2)2=5<25,所以点。在圆C的内部，直线/与圆C相交，故C不正确;

圆心C(l,2)，半径为5,|CD|=V5>

当截得的弦长最短时，/LCD，%=-¥,则直线/的斜率为2,

此时直线/的方程为y—l=2(x—3)，即2x—y—5=0，故D正确.

故选：AD

12.答案：g—

解析：

13.答案：4

解析：由题意可得2=0/1,解得。=4.

121

14.答案：九一2y=0或x+2y-4=0

解析：当直线过原点时，直线的斜率为左二1一-0■二上1，

2-02

此时直线的方程为y=即x—2y=0；

当直线不过原点时，设所求直线的方程为二+上=1(b/0)，

2bb

即x+2y=2b,

将点(2,1)的坐标代入直线方程可得2〃=2+2=4,解得b=2,

此时直线的方程为x+2y—4=0,

因止匕，所求直线方程为x—2y=0或x+2y—4=0.

故答案为：x—2y=0或x+2y—4=0.

15.答案：(l)x+2y—5=0

(2)5

解析：⑴设CH的斜率为％CH，

因为斜边A3所在直线方程为y=2x-5,所以4s=-；，

又CH经过点C(l,2),所以/⑺：y—2=—g(x—1),

即CH的直线方程为/⑦：x+2y-5=0.

,,|2-2-5|r-

（2）由题意知，\CH\=।=V5,

#+（-D2

因为△A3C是等腰直角三角形，

所以|AB|=2|CW|=26,

所以△ABC的面积为/CHHAB|=（XJ?X2J?=5.

16.答案：⑴％2_3y2=］；

（2）证明见解析；

⑶是，1.

解析：（1）因为2a=2，所以a=l，

因为双曲线E的一个顶点为（1,0）,

一条渐近线的方程为：bx-y=0,

b11

所以/=一，解得：Z?2=—

7^7123

2

故双曲线E的方程为：%-3/=1；

（2）设4（石,乂），8（9,%），。（不，%>。（如%>

因为直线/的斜率不为0,设/的方程为：x=my+n,

2m

联立「3'L可得：—3）y+2nmy+/—i=o，则%+%=——2：

x=my+n.、m-3

联立V'"°，可得：（加2一3）丁+2祖〃y+〃2=0,

x=my+n.

则为+%=一^^=必+>2，

m—3

故线段AB，CD的中点重合，所以恒。|=|加|

yt

F,

（3）解法1：因为（2—6*2+百）=2?—3义俨=i，

所以2（2,1），尤;―3才=卜”—岛“）&+岛,）=（2—⑹"（2+码”=1'

因为二项式（2-石丫与（2+石）”的展开式中不含括的项相等，含百的项互为相反数，所以

令a=(2+百b=(2—叫,则ab=l-

七+1四

直线。。“+1的方程为:|。阂sin4=

丁〃+1》一%+1>=0,Jx,\+y；+i

OQ„OQ,t+}tan6>„=|oe„|-|oe,i+)|sin6>„=|x„y„+1-%„+1y„|

故。202+itanQ为定值L

解法2：因为（2-6）（2+Q）=22-3xF=1，

所以0（2,1〉片—3城=（x“—括%）（x“+百％）=（2—百）"（2+6）”=>

因为二项式（2-73）"与（2+后的展开式中不含石的项相等，

含石的项互为相反数，所以%“—月%=（2-8）"，

则玉+J-=（2-⑹卜6%）=2x.+3y”-+x〃+2%），<%J?；?%

直线021M的方程为：y向》一七,口=0,/0卜3二号|口里

收+i+端

OQn-OQn+x^en=\pQ^\pQn+^men=\xnyn+x-xn+lyn\

=N(七+2”)一(2%+3券)％|=|d—3%|=1，

故OQOQ+JanQ为定值L

17.答案：⑴(—,5)

(2)4

解析：(1)若方程/+9-2%一4'+根=0表示圆，

则(—2)2+(-4)2—4%＞0,所以加＜5,

所以方程C表示圆，实数机的范围是(-8,5)；

⑵圆C的