2025届高考数学二轮复习大题专练：平面向量（中档）含解析

2025届高三数学高考二轮专题复习：平面向量大题专练(含答

案)

1.在VABC中，4(一2,3),矶2,7),。(-6,-5)々是重心，直线跖过点G,交BA于点E,交

BC于点F.

⑴求网

⑵若BE=ABA,BF=piBC,A,〃为正实数，求"+8〃的最小值.

2.如图，在等边三角形ABC中，点。满足池=3而，点E满足^^3面，点歹是AC边

上的中点，^a=CA,b=CB.

(1)用表不EF;

(2)若VABC的边长为2,试求而与前夹角的余弦值.

3.设抛物线C:x2=2py,(p>0)的焦点为歹动点P在直线/：》-'-2=。上运动，过

2025年

尸作抛物线C的两条切线PA,PB,且与抛物线C分别相切于AB两点

(1)求抛物线C的方程；

(2)求AAPB的重心G的轨迹方程；

(3)证明：ZPFA=ZPFB.

-----1—■—.1―.

4.如图，在平行四边形。4D3中，对角线相交于点C,设BM=/0=#.

BD

(1)以｛砺,OB］为基底表示配和丽；

⑵将平行四边形放到平面直角坐标系中，若点。(0,0),3(1,2),。(3,2),尸(5,加),且丽与

。万共线，求实数机的值.

5.在VABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=g,b+c=2,。为BC边上

的点.

(1)若4=三，求角A的平分线A。的长;

⑵求8c边上中线AD长的最小值.

6.已知锐角VABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,且满足方cosC=a-2cos&

⑴求c的值;

(2)若tan，；■+」一4

求瓦.国的值.

ItanAtanB

7.已知AABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量m=(cosB,-sinB),

n=(cosC,sinC),且2m-"+1=0.

⑴求A

2025年

(2)若c=2,VABC的面积为26，求VABC的周长.

8.在VABC中，角AB,C的对边分别为a,b,c,为边BC上的中线.

(1)证明：AD=—小2伍~+c~)—矿；

TT

(2)若A=§,a=2,求A£)的最大值.

9.对于函数,=/(x),其中〃%)=2sinxcosx+2V§cos2x-V^,%£R.

⑴求函数,=/(力的单调增区间；

⑵在锐角三角形43c中，若〃A)=1,通•蔗=血，求VABC的面积.

10.已知VABC的内角A,B,C所对的边分别为。,b,c,向量戊=(°,扬)，H=(cosAsinB),

且ihlln.

(1)求角A的大小；

(2)若°=近，6=2,求VABC的面积.

11.已知向量Z=(2,一"一虚),忖=4,且(3&+亚=

⑴求向量Z与石的夹角；

⑵求快一厅的值；

⑶若向量4a+B与a-防互相垂直，求左的值.

2025年

12.已知向量,满足五二(1,2),B=(-3,-1)

⑴求向量力与石的夹角；

⑵求向量M在向量石上的投影向量；

(3)若向量G一5与依+B垂直，求实数上的值.

13.在VABC中，〃也。分别是内角A氏C的对边，且从+C2=5.

⑴若及sinB=GsinC,且VABC的面积为求A；

4

(2)若Z?+c=3,cosA=—,sin3〉sinC,求衣5.屈.

4

14.已知向量a=(T,O),b=(7/z,l),且Z与石的夹角为

⑴求加及.+2@；

(2)若2+/方与£+26所成的角是锐角，求实数彳的取值范围.

15.经过抛物线/=8x焦点的直线/交该抛物线于A8两点.

⑴若直线/的斜率是20,求|AB|的值；

(2)若。是坐标原点，求况•砺的值.

2025年

22

16.已知双曲线C的方程为左-%=实轴长和离心率均为2.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)过E(0,2)且倾斜角为45。的直线/与双曲线C交于M,N两点，求两.两的值.(。为坐

标原点)

17.已知抛物线C:;/=2px(p>0)的焦点尸到准线的距离为2.

⑴斜率为号的直线/与C交于A,B两点.若IA尸1+麻|=20,求/的方程;

(2)已知。为坐标原点，点P在C上，点。满足迎=3"，求直线OQ斜率的最大值.

18.设椭圆5+，=1(。>6>0)的离心率为4,上、下顶点分别为A、3,|AB|=4.过点

£(0,1),且斜率为左的直线/与*轴相交于点尸，与椭圆相交于C,。两点.

(1)求椭圆的方程；

(2)若丽=无，求左的值；

(3)是否存在实数左，使直线AC平行于直线即？请证明你的结论.

19.已知向量机=(1,班)，〃=(sinx,cosx),设函数/■(无)=机”.

(1)求函数/(元)的最小正周期和最大值；

L1l

(2)设锐角△ABC三个内角ABC的对边分别为。,4%若。=血,33=§且〃C)=6,求6.

2025年

20.三角形ABC中，£为边AC的中点，。为边靠近点3的三等分点.

(1)根据题意绘制示意图；

⑵选取｛福,0｝为向量基底，表示向量而屈；

(3)若点N满足4丽+2通=3高，证明：B、N、E三点共线.

21.在VABC中，已知“，b,c分别为角A,B,C的对边.若向量庆=(a,cosA),向量

n=(cosC,c),且庆•为=3/?cosB.

(1)求cosB的值；

⑵若2a,b,c成等比数列，求一5二+—的值.

tanAtanC

22

22.已知双曲线C'过点(2,3若)且与双曲线C：三一上=1有相同的渐近线，直线/：

218

%y—〃=0与C交于M,N两点.

⑴求双曲线C的方程;

(2)若称=:丽，且尸(1,4),求加的值.

23.已知m=(Gsinox+coscox,-1j,n=[cos0x,]J,其中0>0,若函数〃无)=机•〃的最

小正周期为47t.

⑴求。的值，并求〃尤)的单调递增区间；

(2)将/■(*)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的《倍，再将得到的图象上所有

点向右平移!■个单位，得到8(尤)的图象，若兀)，求满足g(a)=母的a的取值集合.

2025年

24.已知同=1，W=0,〈万,5>=：.

⑴求k+同；

⑵若如山"25),求实数上的值.

2025年

《2025届高三数学高考二轮专题复习：平面向量大题专练(含答案)》参考答案

1.(l)|BG|=y

(2)6

【分析】(1)法一，由重心坐标公式即可求解；法二，由旃=g(丽+宓)可求解；

(2)由三点共线得到士+；=1,再结合基本不等式即可求解；

【详解】(1)设点G(x,y),由中心坐标公式得：

-2+2+(-6)

X———乙,

3

3+7+(-5)_5

y------------------——，

33

又3(2,7),

所以，而=[-4,-g),

故匹卜三

法二：

根据题意：丽=(TT),心=(-8,-12),

旃=；(而+品)=,4，TJ

所以，|旃卜g.

(2)由丽=4丽，乔=〃心，

得丽=,屁麻」而，

2jn

所以旃=1■(丽+宿~BE+—BF\=^~BE+-1-BF

3、，3(4〃)323〃

因为EfG三点共线,

所以。+《=1

=3+也++2隹3=6,

则2%+8〃=（24+8〃）

323〃3323432323JLL

当且仅当野啜，即g，T时等号成立,

所以24+8〃的最小值为6.

2025年

—•2—1-

2.(1)EF=——b+—a

32

Q)_回

182

__.21

【分析】⑴根据平面向量基本定理得到访=反+#=-y+彳£；

—►2—1一一，2—1一

(2)先由平面向量基本定理得到8=铲+不，从而结合⑴中匹=-§b+y,求出

EFCD=-1,再求出闭=理，|西=手，从而利用向量夹角余弦公式求出答案.

【详解】(1)点£满足的=3而，点尸是AC边上的中点，

»2.2____►1.1_

^EC=--CB=--b,CF=-CA=-a,

__.______2_1_

EF=EC+CF=——b+—a；

32

(2)点。满足荏=3而，

^W=CA+AD=a+-AB=a+-CB--CA=a+-b--a=-a+-b,

3333333

等边VABC的边长为2,设①与刀夹角为氏

21一4--2-21-21--

访.而=二7办匕.匕+匕——a'b——b+—a+—a-b

32339936

5-7221-2

-----a-b——by+—a

1893=4忖件吗一I麻+料

--x2x2x---x4+-x4=-

182939f

2

EF=L^+-a]=-b--a-b+-a=3x4-第昧

I32J93493l।II34

---»2(2f1rl4-24--1-*244HI|-*|711

CD=—a+—b=—a+—a-b+—b=—x4+—Lz-Scos—+—x4

l33J99999l।II39

八28

=——16+—4x2x2cx—1+—4=

9929~9

1

CDEF-9国

则cos0=

|CD|-|EF|-2A/7A/13182-

亍*；；亍

2025年

3.⑴V=y

⑵y=g（41-x+2）

（3）证明见解析

【分析】（1）利用抛物线的焦点和标准方程直接求解即可；

（2）设切点43坐标分别为（％,片）和产毛），将切线AP和3P方程联立解出尸点

坐标，再根据三角形重心的坐标公式和动点P在直线Z：x-V-2=0上运动求重心G的轨迹方

程即可；

（3）利用平面向量数量积的坐标表示求解即可.

【详解】（1）依题意有与=1,所以P=g,所以抛物线C的方程为/=y.

（2）设切点A,2坐标分别为（%片）和（占，尤：）（%]*%）,y'=2x,

所以切线AP的方程为2xox-y-xl=0,切线BP的方程为2±x_y=0,

由于「既在AP上，又在3尸上，

2xx-y-xl=0

所以＜opp解得尸I"。；%

2王4--"。

所以AAPB的重心G的坐标

Xr.+X.+XpX。+X]+XQ+XQX^（玉）+石）一玉）石4x1，-yp

%=-----------==33―3——3-

所以%=—3%+4就，

由点尸在直线/上运动，从而得到重心G的轨迹方程为％3y+4/）—2=0,

即y=g（4%2_X+2）.

（3）因为

2025年

Xo+--।Q丫1『2111

1XXl+

/PFR_FPFB_21"4)("'4)_°4

恒J埋eIFF||FB|一<\FP\'

।附

故ZPFA=ZPFB.

—.1,1.5>1.

4.mBC=-OA——OB,MN=—OA——OB；

221212

14

(2)m=y.

【分析】(1)利用向量线性运算，结合几何图形求得结果.

(2)利用向量坐标表示及共线向量的坐标表示列式求解.

【详解】(1)在口。中，对角线瓦1相交于点。，则

—.1—.1—.—»1—.1—.

BC=-BA=-(OA-OB)=-OA——OB-

2222

___.1—.―.1.

由5M=55C,C7V=§CD,得

——►—►——►1—►1—►1OA+OB1OA-OB5—►1—►

MN=CN-CM=-OC——CB=---------------+----------------=—OA——OB.

3232221212

(2)由0(0,0),5(1,2),。(3,2),尸(5,机)，得丽=(4,m—2),砺=(3,2),

14

由正与丽共线，得3(*2)=4x2,所以根=9.

5.⑴*；

(2)|.

【分析】(1)应用余弦定理可得灰=；,再由S“ABC=S，AB»+S.AC»及已知列方程求AD;

AD=-(AB+AC)

(2)根据线段的关系及向量加减、数乘的几何意义有_二,，整理并应用基

BC=AC-AB

本不等式求AD最小值.

【详解】(1)因为a=b+c=2,A=—,

所以3=匕2+C?-be=(6+cP-3bc=4-3bc,所以be=g,

由S&ABC=S^BD+SAACD,且AD是角A的平分线，

所以工Z?cx^^=L(b+c)xAOx，,所以AZ)=^^.

222V726

2025年

AD=-（AB+AC）

（2）因为。是BC的中点，所以2、>

BC=AC-AB

两式平方，并代换得莅2=；（2荏2+2/2-而2）=；（2〃+2c2一/）

=-[2（Z?+C）2-4/?C-3]=--Z>C>--（Z?+C）当且仅当6=c=l时取等号,

44444

所以AD长的最小值为|砺|=3.

6.(l)c=2

(2)3

【分析】(1)法1：由角化边可得加+仍2-。3=2/C_2/-2C2+2ZA整理得

(c-2)(c2+a2-b2)=0,可求c=2；法2：易证Q=hcosC+ccos5,结合已知可得

Z?cosC=bcosC+ccosB—2cosB,可求。=2；

(2)由已知切化弦可得tan/J7+Jsl与二结合已知可得HcosC=3,可求

[tanAtanBJabcosC

CACB-

【详解】(1)法1：由bcosC=a—2cos3可得：

,a2+b2-c2_+c2-b2

b----------=a-2----------

lablac

化简得：ca2+cb1—c3=2a2c—2a2-2c2+2b2

进一步整理得：c3-2c2+(a2-b2)c+2b2-2a2=0

(c-2)(c2+a2-b2)=0.

又已知锐角VABC,.•.(/+/—〃)£(),...c=2；

法2：先证明Q=Z?COSC+CCOS5

A+B+C=TIsinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC

由正弦定理得：a=bcosC+ccosB

由Z?cosC=a—2cosB,可得：Z?cosC=Z?cosC+ccosB—2cosB,:.c=2；

sinC(cosA+cos3)_sinCsinAcosB+cosAsinB

(2)tanC|---t------

ItanAtanBcosCsinAsinB)cosCsinAsinB

44

..=-------=一，得"cosC=3,

sinAsinBcosCabcosCabcosC3

CA-CB=|CA||C5|COSC=abcosC=3.

2025年

7.⑴A咤

⑵6+26

【分析】（1）根据向量数量积的坐标公式和两角差的余弦公式即可得cosA=g,再根据三

角形角的范围即可得到答案；

（2）利用三角形面积公式和余弦定理即可得到。,方值即可.

【详解】（1）2m-n+\=2（cos5cosC-sin5sinC）+l

=2cos（B+C）+l=-2cosA+l=0,解得cosA=；,

又因为Ae（O,%）,则人=会.

（2）根据余弦定理得"=6?+c?-26ccosA,

即/=片+4-26①，又因为VABC的面积为26，

22

联立①②解得b=4,a=2生,

则VABC的周长为6+2若.

8.（1）证明见解析

⑵行

【分析】（1）方法一：对通=；（湿+记）两边平方，再由余弦定理可得答案；方法二：在

△ADB和△ADC中，由余弦定理可得答案；

（2）在VABC中，由余弦定理得〃=4+。2一”，结合（1）再利用基本不等式可得答案.

【详解】（1）方法一：:AD为BC边上中线，AD=^（AB+AC）,

AD=；（AB+AC）nAD=：卜。+6。+26ccosA）,

在VABC中，由余弦定理得：/=〃2+02-2）CCOSA,

2Z?ccosA=b2+c2—a2?

:.AD=^{2b2+2c1-a2）,

=1^b2+c2）-a2.

方法二：•.•AD为2C边上中线,

2025年

在VABC中，AADB+ZADC=兀,cosZADB+cosZADC=0,

在AADB和△ADC中，由余弦定理得：

AD2+BD2-AB2AD~+CD2-AC2…八…

---------------+----------------=0,BD=CD,

2ADBD2ADBD

即2AD2+BD2+CD--AB2-AC2=0,

...AZ)2=；3+c2T2)

即AO=g小2伊+02)一片；

TT

(2)A=-,a=2,由余弦定理可得6?=62+°2_反，

故k+c?-4=bcwg伊+02),即62+0208,

[b=c

当且仅当,22/7时，即6=。=2时等号成立，

[b+C-4=be

所以AO=；｛2伊+C2)_上=；^2(b2+c2)-4<|V16-4=6,

所以AD取得最小值为由.

9.(1)E一言也+^,(「eZ)

⑵*

【分析】(1)由二倍角正弦、余弦公式及辅助角公式化简Ax),结合正弦函数的单调性解

不等式求出结果；

(2)由(1)及〃A)=1求出角A,根据数量积的定义求出|丽|・|罔=2,再利用三角形面

积公式可得结果.

【详解】(1)/(%)=2sinxcosx+2A/3COS2X一百=2sinxcosx+V3(2cos2x-1)

=sin2x+V3cos2x=2sin12x+：J

7171Tl

由2E-QW2x+§W2fei+—GZ,

57rTT

可得防i---W冗WE+一,ksZ,

1212

所以函数/(X)的单调增区间是阮-含E+合，(左ez).

(2)由已知/(A)=2sin[2A+]]=l,所以sin[2A+^]=g

2025年

因为0<A<],所以弓<24+弓<¥，即2A+g=券，所以A=_,

2333364

又荏./=网J园cosA=0,所以画.困卜2,

所以VABC的面积S=；网罔sinA=gx2x]=#.

71

0（1）?

⑵还

2

【分析】（1）由平行向量的坐标公式代入化简结合正弦定理即可得出答案;

（2）由余弦定理求出c=3,进而结合三角形的面积公式可得出答案.

【详解】（1）因为戊=但技），«=（cosAsinB）,且拓〃为，

则Qsin5=y/3bcosA.,

由正弦定理得sinAsinB=\/3sinBcosA,

因为B£（0,兀），所以sin区WO,

可得sinA=百cosA,即tanA=6.

.JT

且OVAVTI,所以A=§.

（2）在VABC中，由余弦定理可得〃=b2+c2—2bccosA,

gp(V7)2=22+C2-2X2Xcxcos[,

整理可得°?-2c-3=0,解得c=3,或c=—l(舍)，

所以VABC的面积S&ABC=；6csinA=gx2x3x■

IL呜

(2)4

-1±A/5

⑶笈=~2~

【分析】（1）由向量模的坐标运算得出忖=20,再根据向量数量积的定义及运算律求解即

可；

（2）由及已知条件求得|2Z-邛，即可求模;

（3）由已知得卜£+可-（£-左5）=0,根据向量数量积的运算律及已知条件代入求解即可.

2025年

【详解】(1)因为(32+取=邛=4.

得3瓦+片=，所以急=8,

由Q=倒,-,可得同=2\/5,

因为cos«®=,=*,所以向量Z与1的夹角为:

(2)[2〃一q=4〃2+.一4"石=4x8+16-4x8=16,

故忸-0=4.

(3)由向量后+B与2-防互相垂直，得(左〃+石)・(。一防)=0,

k^-k2a.b+a.b-kb=0^整理得/+"1=0,解得％=二^正.

2

12.⑴?；

⑵(U；

(3)-.

2

【分析】(1)根据给定条件，利用向量的夹角公式计算即可.

(2)利用投影向量的定义求解即得.

(3)根据向量垂直关系的坐标表示列式求解即可.

【详解】(1)由2=(1,2)出=(一3,-1),得Z%=_3xl-2=-5,|£|=6,|方1=炳,

因此COS〈(7,B〉=:2=f-5==一^~,而(a,b)e[0,7i],

\a\\b\A/5XV102

QTjr

所以向量讶与5的夹角01〉=T.

4

(2)向量苕在向量5上的投影向量为2fB=-^^=一：(-3,-1)=42).

|Z?|2(V10)2222

(3)依题意，a-b=(4,3),ka+b=(k-3,2k-1),由向量2一5与国+5垂直，

3

得m—5)•(阪+5)=4(左一3)+3(2%—1)=10%—15=0,所以k=].

13.(1)4=2或&=等；

OO

2025年

【分析】(1)运用正弦定理边角互化，再结合面积公式计算即可.

(2)运用余弦定理，结合解方程组和数量积定义计算即可.

【详解】(1)因为夜sinB=gsinC,所以

又＞2+/=5,所以b=A/3,C—V2,

所以△ABC的面积S=—bcsinA=^-sinA=，

224

则sinA=g,因为Ae(0,7r),所以4=£或4=,.

(2)因为人+0=3,/+02=5,所以s+c)2=/+c2+2bc=5+2bc=9,

所以be=2.由余弦定理得a=A//?2+c2-2Z?ccosA=2,

因为Z?+c=3,bc=2,所以b=l,c=2或Z?=2,c=l,

又sinB〉sinC,所以Z?>。，所以〃=2,c=l,

__22+22—127

所以*0=_瓦.函=_McosC=_2x2x--------------=——.

2x2x22

14.(l)m=-l,|«+2^|=V13

⑵1_l"，2>(2,+功

【分析】(1)由平面向量的夹角公式结合平面向量数量积的坐标运算可求得机的值，计算

出向量Z+2区的坐标，利用平面向量的模长公式可求得|£+24的值；

(2)求出向量2+店的坐标，分析可知(Z+篇){Z+zB)〉。且向量2+.与Z+25不共线，

结合平面向量的坐标运算可求得实数％的取值范围.

【详解】(1)因为向量£=(-1,0),b=(mS),且£与日的夹角为

兀a-b

则COS]解得m=-l,

所以，人=(—1,1),则a+2b=(—1,0)+2(—1,1)=(一3,2),

故归+2目=卜3『+22=屈.

(2)由(1)可得Q+/IZ?=(—l,0)+X(—1,1)=(―X—1,4),且a+2/?=(―3,2),

2025年

因为2+法与Z+2B所成的角是锐角，贝木+刀）•伍+2石）=3彳+3+2彳>0,解得2>-g,

且向量2+之5与2+25不共线，则—34w—22—2,即％w2,

因此，实数彳的取值范围是卜|,2）“2,+2.

15.（1）9

⑵-12

【分析】（1）联立方程可求解方程两个根，即可根据焦点弦公式求解，

（2）根据向量数量积的坐标运算即可求解.

【详解】⑴抛物的焦点是（2,0）,直线/方程是y=20（x-2）,与y=8X，联立得：

尤2-5X+4=0,

解得&=1,毛=4,所以=玉+々+4=9.

（2）当/垂直于x轴时，A（2,4）,B（2,^）,ft4-OB=2x2+4x（^）--12.

*2k

当/不垂直于无轴时，设/:>=Mx-2）,%wO,x=匕，代入得仁产一>-2%=。，

8o

所以。二丁一叫从而d.¥=（2^£=4.

g1238864

OA-OB-+yxy2=-12,

综上西•砺二-12.

2

2

16.（l）x-^=l

3

（2）1

【分析】（1）根据离心率以及实轴长即可求解a力,。，即可求解方程，

（2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据数量积的坐标运算求解.

2025年

【详解】（1）由离心率6=£=2,又02=/+从，则/=3后,

a

又实轴长2〃=2,所以〃2=1,所以从=3,

2

故双曲线的标准方程为炉-上=1;

3

（2）,••直线/的倾斜角为45。，故其斜率为1,又/过点石（0,2）,

，/的方程为y=x+2；

设知（为,％）,?/（孙力），

y=%+2

2

由*2y之，得2%—4x—7=0,

x--=1

3

〜7

%—2,=一—

:.OMON=x1x2+yxy2=再尤2+（石+2）（尤2+2）=2石％2+2（%+々）+4=1

（2）T

【分析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得抛物线方程，设直线/的方程为y-x+b,

2

联立方程组，根据题意|4成+|8/1=玉+々+2=20,可得直线方程；

（）设。（如为）,由平面向量的知识可得（。）进而可得七=上乎,

2P4x-3,4%,再由斜

率公式及基本不等式即可得解可得答案.

【详解】（1）抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点尸［/0）,准线方程为了=-5,

由题意，该抛物线焦点到准线的距离为勺，=2,

所以该抛物线的方程为V=4x,

2025年

设直线/的方程为y=；尤+6,

与y2=4x联立得，x2+4（b-4）x+4b2=0,

则△=128(2-/)>0#则6<2,

设4（冷））8（孙%），则/+々=4（4叫,

由|AF|+|3F|=20,可得%+务+2=4（4—6）+2=20,

解得6=-；，符合b<2,

所以/的方程为y=；

（2）/（1,0）,设。（题,%）,则题=3斯=（3-3%,-3%）,

所以P（4x0-3,4%）,由P在抛物线上可得（4%y=4（4x0-3）,

所以直线OQ的斜率为后M，

当先=。时，^=0；

当%<0时，koQ=—<0,

xo

k一.一％—_!_<J_="

当%>0时，。。一无。一4），；+3，、「』一46一3

此时当且仅当4%=」，即卜=走时，等号成立；

%°2

⑵(

2025年

（3）不存在，证明见解析.

【分析】（1）由题设列出关于。，4c的方程组即可求解.

（2）先设直线/的方程为丫=履+1（左中0）求出点凡接着联立直线/和椭圆方程求出CO中

点横坐标，求出区/中点横坐标，再由定=市求出瓦/中点即为CO中点，从而建立关

于左的方程即可求解.

（3）假设存在，利用前//丽建立等式求出上不存在即可.

c6

e=—=——

a3a=A/6

【详解】（1）由题可得2b=4b=2

121

a=b+cc=A/2

22

所以椭圆的方程为菅+5=L

(2)由题可设直线/的方程为>=履+1(b0),

令y=0nx=_J,所以尸［-，,。］

设。(七,%),。(42，%),联立<64=(2+3左2卜2+6点—9=0,

y=kx+1

则A=36k2-4(2+32x(-9)=36k2+36(2+3〃)>0,

6k9

Xy+%2=一

2+3/2+3公

则C,。中点横坐标为笆上3k

一一2+3左2

因为E（0,l）,Fl-p0|,所以瓦/中点横坐标为一白

\»v）乙K

因为斤=丽，所以E,RC,。四点共线，设及/中点为X,则屉=丽,

所以京-丽=反-通即阮=丽，所以“是C，。的中点,

2025年

3k

所以-

2+3k2

（3）不存在实数%,使直线AC平行于直线8。，证明如下:

由题意A（0,2）,3（0,—2）,衣=（%,,_2）,而=（々,%+2）,

若AC//BD,^\ACJIBD,所以赴(％-2)-玉(%+2)=0,

又％=何+1,%=例+1,所以X2（@T）-X,（优+3）=0,化简得工2=-3占，

3k

所以由玉+々=-2+3.2得玉=

2+3〃

932

所以"』3k3

又x1x2=-,所以

2+3〃2+31C2+3公

整理得2+38=3%2,无解，

所以不存在实数左，使直线AC平行于直线80.

19.⑴最小正周期为期,最大值为2；

⑵6=2夜

【分析】（1）首先根据向量数量积的坐标表示求函数的解析式，再根据三角函数的性质，即

可求解；

（2）根据（1）的结果，以及正弦定理，即可求解.

【详解】（1）/（^）=m-n=sinx+A/3cosx=2sin^x+y^,

函数的最小正周期为2兀，最大值为2；

(2)/(C)=2sin[c+T=5即sin.l*

因为Ce[o(],贝iJC+ge]所以C+?=f，则C=g,

V3<36J333

因为cosB=—,所以sinB=—cos?B=冬旦,

33

,b二6

根据正弦定理&即云万一二万，解得：6=20.

sinBsinC--------

33

20.⑴图形见解析；

____,2____1_____________1____,

(2)AD=-AB+-AC,BE=-AB+-AC；

(3)证明见解析.

【分析】(1)根据题意，直接画图即可；

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（2）根据几何图形进行线性运算即可;

（3）利用向量共线定理即可证明.

【详解】（1）如图，

（2）因为E为AC的中点，。为边上靠近点8的三等分点，

所以丽=2丽，衣=配，

则/=丽+^^通+3丽=南+3（而-确=-2亚+3而，

—.2—■1—.

所以=+

BE=BA+AE=-AB+-AC.

2

（3）因为4丽+2通=3蔗，

—•1—■3—■1—■3—■1—■3—•

所以4V=——AB+-AC=——AB+-x2AE=——AB+-AE,

242422

所以2丽=一通+3通n/一通=2（初一而），即屁=2函，

所以通〃函，

又因为丽，丽有公共点E,

所以8,E,N三点共线.

⑵述

2

2025年

【分析】(1)由数量积的坐标运算，结合正弦定理边角互化，两角和的正弦公式求解即可.

(2)根据等比中项以及正弦定理边角互化可得sin23=2sinAsinC,再利用同角三角函数

基本关系式，两角和的正弦公式求解即可.

【详解】(1)因为用=3,cosA),n=(cosC,c),且适•为=36cosB,

所以acosC+ccosA=36cosB,

由正弦定理，可得sinAcosC+sinCcosA=3sin5cosB,

所以sin(A+C)=3sinBcosB,即sinB=3sinBcosB,

又B为三角形内角，sinB^O,

所以cosB=g；

(2)因为2a,b,c成等比数列，

所以62=2ac,由正弦定理，可得sin23=2sinAsinC,

又cos3==，8为三角形内角，所以sinB=2也，

33

所以

1+1_cosAcosC_cosAsinC+cosCsinA_sin(A+C)_sin3_2sinB_230

tanAtanCsinAsinCsin