2025届高考数学二轮复习：利用导数证明不等式

利用导数证明不等式

1.隐零点问题

1.已知函数/(x)=gav：2-(2«+l)x+21nx(aeR).

(1)当a>0时，求函数/(%)的单调递增区间；

(2)当a=0时，证明：f(x)<2ex-x-4(其中e为自然对数的底数).

【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.

【解析】(1)/(%)的定义域为(0,+“)，

f(x)=ax-［la+\)+—-----------,

当0<工<2,即a〉，时，/(%)在(0」］,(2,+oo)上，/(x)>0,/(x)递增.

当工=2,a=；时，f'(x)>0,"X)在(0,+“)上递增.

当!〉2,即0<a<工时，〃力在(0,2),，,+oo］上/(X)>0,"%)递增.

综上所述，当a〉；时，/(%)的递增区间为］O,：］,(2,+8)；

当a=；时，/(%)的递增区间为(0,+“)；

当0<a<g时，，〃X)的递增区间为(0,2)(：,+8；

(2)当〃=0时，由/(x)v2e'—x—4化简得e*—In%—2>0,

构造函数/z(x)=e'-lnx-2(x>0),

〃(x)=e*—士//'(x)=e*+3>0,〃'(％)在(0,+8)上递增，

XX

/?(；)=疵_2<0,〃(l)=e_l〉0,

故存在为使得〃(%)=0,即e与='.

\2)xa

当x£(O,%o)时，h(x)vO,/z(x)递减；

当次£(%,+00)时，h(x)>O,/i(x)递增,

所以x=%0时，/z(x)取得微小值，也即是最小值.

2=0,

所以/z(x)=e%—In%—2>0,故/(x)<2e'—x—4.

2.已知函数/(%)=aex-21nx.

(1)设x=2是/(x)的极值点，求/(%)的单调区间；

(2)当a2』时，求证：/(x)>2-21n2.

e

【答案】(1)单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+8)；C证明见解析.

2

【解析】(1)/(%)的定义域为(0,+8),fr(x)=acx——，

x

(2%=2是/(%)的极值点，.,./'(2)=0,

1

即商9―1=0,=—,

e

2

y=e%-2在(0,+oo)上单调递增，y-——在(0,+oo)上单调递增，

x

9

/.f(%)二/一2——在(0,+oo)上单调递增，且/'(2)=0，

%

二./(%)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+8).

(2)由可得ae'NLxe'Je'T,

ee

所以/(%)=oe"-21n九Ze*T—21n%，

2

令g(%)=e"T-2山九，则,⑴=e"T——，

x

2

Qg\x)在(0,+oo)上单调递增,且QI)=e1-1--<0,g'(2)=e2T--=e-2>0.

1

2

/.3x0e(l,2),使得g'(%)=0,有e与t——=0,①

且g(x)在区间(1,方)上单调递减，在区间(小,2)上单调递增,

，g(x)1nin=g(%)=e"-'-2In/，

2(2、

由①得e"T=—，即有lne"T=ln—,/.Inx0=In2+1-x0,

%UoJ

2

x-1

/.g(%)=e°-21nx0=--i-2x0—Z—ZlnZ,与G(1,2),

又Qg(%)在区间(1,2)上单调递增，

g(%0)>g(D=2+2—2—21n2=2—2In2,

/.g(x)>2-21n2,

/./(x)>g(x)>2-21n2,

.\/(x)>2-21n2,结论得证.

3.已知函数/(%)=(加+%+。)6%.

(1)探讨了(%)的单调性；

⑵若函数/(%)有两个不大于—1的极值点，证明：/(x)>^+ln(x-l)+x+l.

【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.

【解析】⑴/(%)定义域为R,由/(%)=(♦+%+〃)/,

得广(x)=(2or+l)/+(办2=［加+(2a+l)x+〃+l］e",

当〃=。时，/(x)=(x+l)e\

此时/(X)在(-1,y0)上单调递增；在(-00,-1)上单调递减.

当〃>0时，令r(x)=(％+1)(以+〃+1)/=0,即石=一1,x2,

因为％=_"^=_1_L，所以%〉犬2，

aa

令/则尤<一^^•或x>—1,

即/(X)在［-和(―1,内)上单调递增.

令/'(同<0,则一但<x<—1,即/(x)在］―1)上单调递减.

当a<0时，令/'(x)=(x+l)(or+a+l)e*=0,即石=一1,々=一^^.

因为羽=—但=—1—所以X]<X,,

aa

令/'(尤)>0,则％<一1或x〉一"+1,

即“X)在(―8,—1)和[-上单调递增.

令r(%)<o,则-i<x<-巴,即“X)在,L-卓］上单调递减.

综上所述：

当1=0时，“X)在(—1,+8)上单调递增，在(—8,—I)上单调递减.

当a>0时，/(可在1—00,—，^和(—1,+8)上单调递增，在，誓11上单调递减.

当a<0时，/(%)在(―*―1)和］-与±+，|上单调递增，在，1,-上单调递减.

(2)因为函数/(%)有两个不大于-1的极值点，由(1)知。>0,

因为/(x)=(分+x+a)e*=[(/+i)a+x]e*且a>0,所以/(x)>xe',

所以要证明/(x)>e*+ln(x-l)+x+l,只要证明x/>e'+ln(x-l)+x+l,

即要证明xeA-ex-ln(x-l)-x-l>0,

令g(x)二比%―/_111(%_1)一1_1(1>1),

1V"

则g'(x)="+xe*—d------1=xe*—-—,

')x-1x-1

令g'(x)=0,则e*———=0,

x-1

令h(x)=e，--彳，则//(x)=e，+^^>0,

所以刈X)在xe(l,+oo)上单调递增，

因为力(2)=e2—1>0,h(l+e-2)=el+e~2-e2<0,

所以/z(x)在xe(l,+oo)上有唯一零点，设为飞,

且当不时,/l(x)<0,g(x)单调递减，

当X£(%o，+8)时,/Z(X)>0,g(%)单调递增,

所以g(x)min=g(%)=Xo/一*-ln(x0-l)-x0-l.

因为/。一一L=0,即e*=」一

即_%o=ln(x0-1),

%-1%0-1

所以g(Hmin=g(%)=(七-+玉)-%0_]=0,

所以g(x)20,所以原不等式成立.

2.极值点偏移问题

1.(多选)已知函数/(x)=xlnx-'1x2有两个极值点芭，々(MV%)，则()

A.a的取值范围为(一8,1)B.玉+%2>2

C.1--->2D.%2—%>1

%x2a

【答案】BCD

1—Z7V

【解析】由题设，-⑴=lnx+l—依且定义域为(0,+oo),则尸(x)=—―,

x

当aWO时/〃(x)>0,则/'(X)单调递增，不行能存在两个零点，即/(x)不行能存在两个

极值点，A错误；

当0<x<工时/〃(x)>0,即f'(x\单调递增，当X〉工时/〃(x)<0,即/'(x)单调递减，

aa

即r(x)w/d)二一Ina,

a

当时，/'(x)1mx=ln：<0,所以/'(%)至多有一个零点；

当0<。<1时，/V)max=ln->0,而/⑴=1—a>0,当x趋向于0时/(x)趋于负无

a

穷大，当工趋向于正无穷时/(%)趋于负无穷大，

综上，/'(%)在(0,1),。,+8)内各有一个零点再,九2(%<%2)且

0<%!<1<—<x2,

a

B：由/d)>0且x趋向于0时/'(%)趋于负无穷大，所以0<石<!</，

aa

J1

故——西>一,

aa

221

令g(九):f\%)-/'(九)=ln(x)-2-ln%+2ax(xe(0,—]),

aaa

，(、112(ax—1)2

2(x)=---------+29〃=---------

2Jixx(ax-2)

a

又X£(0,1],所以g'(x)<0,g(x)单调递减，

a

故当玉<，时，g(Xi)>g(-)=/(-)-/(-)=0,

aaaa

222

又/'(%)=0，所以/'(—%)=ln(XJ_Q(—xj+l-尸(％)=g(玉)>0,

aaa

而/'(%2)=。,因此/'(2-尤1)>/'(%2)n2-玉<Z=Z+%>2>2,故正确;

aaa

「i1八1+lnx

C：j(x)=lnx+l-依=0n〃=------,

x

1+Inx11

令/(%)=------，明显有尸(%J=尸(%2)，令％=—"2=—，明显4>/2，

X再x2

l+ln-1+ln-

因此有——j—=——j—/((1-ln/J=/2(l-ln?2),

A’2

设/?(%)=x(l-Inx)=x-xinx,则hr(x)=-]nx,

当%>1时，”(%)vO,/z(x)单调递减，当0<%<1时，/(X)>O,/z(x)单调递增,

因为"(。)=力«2),所以0<%2<1<小

令(p(x)=h(x)-h(2-x)(xe(0,1)),即

d(x)=//(x)+/z'(2-x)=-lnx-ln(2-x)=-ln(2x-f)=-ln[l-(%-l)2],

因为九£(0,1),所以0(%)>O,0(X)单调递增，

因为0</2<1<%1，所以0«2)="(/2)_%(2_/2)<0(1)=0=>/(12)<加2_，2)，

而力(力1)=%«2)，所以领.)<〃(2-12)，

因为0<%2<1<小所以2—12>1，

当%>1时，h(x)单调递减，因此有%>2—%?a+，2>2,即—I>29正确；

XX2

D：由0<玉<1<一<x?，则不一1<0<尤2----，故％2—%>-----1，正确，

aaa

故选BCD.

2.已知函数〃%)=e'—万炉.

(1)证明：/(%)在R上为增函数；

(2)若/)+/(X2)=6,Xy<X2,证明：玉+々<2.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】⑴由题意，f\x)=ex-ex,

令g(x)=e"—ex,则g'(x)=e*—e,令g'(x)=。,则x=l,

故在区间(一8,1)上，g'(x)<0,g(x)为减函数；

在区间(1,+8)上，g'(x)>0,g(x)为增函数,

故/'(力2/”)=0,故”力在R上为增函数.

(2)由(1)知/(%)为增函数，且/(1)=|,故由/(%)+/伍)=2/⑴，药<々，

可得/(%)</(1)</(兀2)，则石<1<起.

欲证为+々<2,只需证占<2-％2，即证/(%)</(2—羽)，

即证e—/(々)</(2—%).

令户(x)=/(x)+/(2—x)-e(x>l),

贝i]JF，(x)=/，(x)_/，(2_x)=eX_e%_e2r+e(2_x),

令H(x)=F(x),则H<x)=d—e+e2T-e=/+e2r-2e>2点亡-2e=0,

故歹'(1)为增函数，尸(x)>尸⑴=0,

故b(x)为增函数，F(x)>F(l)=0,

故/(龙2)>0,则e—/(%)</(2—9)，原式得证.

3.已知函数/(x)=e*T-ox.

(1)探讨函数/(力的单调性；

(2)若函数/(%)在(0,2)上有两个不相等的零点%,马，求证：>--

【答案】⑴当aWO时，”可单调递增，当a>0时，〃龙)在尤e(l+lna,+。。)上单调

递增，在九e(—8,1+Ina)上单调递减；(2)证明见解析.

【解析】(1)/,(x)=eT1-a,xeR.

①当aWO时，/'(x)>0恒成立，/(%)单调递增；

②当a>0时，由/'(力>0,得xe(l+lna,”o),/(%)单调递增，

由/'(X)<。,得尤e(T»,l+lna),/(x)单调递减.

综上：当aWO时，“X)单调递增；

当a>0时，/(%)在%«1+山。,+8)上单调递增，在xe(-co,l+lna)上单调递减.

(2)无)在(0,2)上有两个不相等的零点再,x2,不妨设为1<彳2,

a=—在(0,2)上有两个不相等的实根，

X

4g(x)=--，xe(O,2),A=--(:1),

XX

由g'(x)<0,得xe(O,l),g(x)单调递减；

由g'(X)>0,得光e(l,2),g(x)单调递增，

g⑴=1,g(2)=5'x-0,g(尤)—

・••ae闻，

要证XX>—,即证。再X2>1，

r2a

又「g(xj=g(%)=a,只要证xe*2T>1,即证％i>e1-%2,

玉<1<%，即证g(%)vg(ef1),

1-X2

x2-le-l

即证g(七)<g(ef),即证与—<彳「，即证广况+111々—1>0，

x2e

令/z(x)=eif+lnx-l,xe(l,2),/z'(x)=-e1-x+—,

令0(x)=e，-ex,xe(l,2),则0(x)=e"-e,

当x£(l,2)时，“(%)=e*—e>0恒成立,所以姒%)=y-ex在％41,2)上单调递增,

又0(x)>0(l)=O,.・.e，>ex,・,.eiT<L

.../z(x)在(1,2)上递增，.../z(x)>/z(l)>0,；.eiT十lnx-L>0,

••*^2〉.

a

4.已知/(x)=lnx.

(1)若函数g(x)=W3在(a,a+l)上有极值,求实数a的取值范围；

(2)已知方程/(X)=A%有两个不等实根大,%(%>42>0)，证明：X1X2>(注：

e=2.71828…是自然对数的底数)

【答案】(1)(0,1)；(2)证明见解析.

【解析】(1)g(X)=W"=^詈，定义域为(0,+"),g'(x)=—

令g'(x)>0,解得0<x<l；令g'(x)<0,解得x>l,

所以g(x)在(0,1)上单增，在(1,+00)上单减，在x=l处取得唯一的极值.

要使函数g(x)=1+""在上有极值,

X

(a>0,

只需1，解得0<〃<1,

a<l<a+l

即实数3的取值范围为(()/).

(2)记函数/z(x)=lnx-Ax,x＞0,则函数/z(x)有两个不等实根七，/(%＞入2＞。),

因为/z（x）=ln%—何=0,/z（x2）=lnx2一仇二0,

两式相减得，Inx{-lnx2=kx{-kx2f

两式相加得，ln%i+lnx2=kx1+kx2.

因为再>x2>0，所以要证％1%>/,只需证明InXj+Inx2>2,只需证明+x2)>2,

只需证明里五二电三〉_2_,证in±>2(x「％)

X1-X2玉+%2%2M+%2

设:*〉1),只需证明心,

记=,则〃(°=(J；〉0，所以丸«)在(L+S)上单增，

所以=所以ln%>—~,即ln%i+ln%2>2,所以王々〉/.

即证.

3.双变量问题

1.若函数/('=3/一以2+4工(4>0)存在两个极值点看和%,则/(%)+/(々)取值

范围为•

—

【答案】f

f2

【解析】令/（x）=x-2ar+4=0,贝!］石+々=2a,xxx2=4,

由/=442—16>0且。>0,解得a>2.

/（菁）+/（%2）=§玉3―CIXy++—x2―ux2+4%2

=§（x；+E）-a（%：+x；）+4（X］+%2）

=；（X+%2）［（番+%2）2―3%々一〃［（%1+々）2—2%々

+4（%+x2）

二；x2ax（4/一3x4）一Q（4/一8）+4x2a

43

=—CL+8〃，

3

令g(a)=T〃3+8〃(〃>2),g，(a)=-4〃2+8=—4(〃+0)(〃一0)<0,

g(〃)在区间(2,+co)上递减，g(a)<g(2)=-gx23+8x2=g.

所以/(%)+/(%)取值范围是故答案为1・

2.已知函数/(%)=lnjr+12—依(〃6R).

(1)若〃=3,求函数/(%)的单调区间；

⑵设/(%)存在两个极值点%,%且玉<%2，若。<玉<5，求证：

/(x1)-/(x2)>--ln2.

【答案】⑴/(X)在1o,灯和(L+8)上单调递增，在，」]上单调递减；⑵证明见解

析.

【解析】(1)解：当〃=3时，/(x)=lnx+x2-3x,xe(0,+oo),

，/\12x2—3x+1(2x—l)(x—1)

所以广⑴=—+2%—3=--------------=-------八——L,

XXX

令/'(力>0,解得0<x<；或x>l；令/'(x)<0,解得;<X<1,

所以函数/(%)在和(l,+oo)上单调递增，在，,11上单调递减.

(2)解：Q/(x)=Inx+%2-41%,

“、1c2x2-ax+1_

f{x}=-+2x-a---------------,x>。，

xx

因为/(x)存在两个极值点再，马，所以2炉-改+1=0存在两个互异的正实数根玉，x2,

所以石+x,=幺，xr%2=-,则/=,，所以%=?=2t，

222%ix2]

2再

2

所以/（F）—/（/）=In石+-axx-Inx2-x2+ax2

—In——+［玉2―x；—2（玉+X2）（王一

21

=ln—+(一玉之+%2)—In2+2InXj—xy+

i21(2x,2-l)2

令ga)=ln2+21nvx「+廿’则g'G)=三.〜-元=一^^

QO<演，g，(%J<0,

.•.801)在(0,3)上单调递减，

，g(Xi)>g(g)，而g(；)=；-ln2,

3

即g4)〉「n2,

3

/(x1)-/(x2)>--ln2.

3.已知函数/(x)=lm:+，,(aeR),在x=l处的切线与直线x—2y+1=0平行.

(2JC

(1)求实数。的值，并推断函数/(x)的单调性;

(2)若函数/(%)=%有两个零点，求证：%1+X2>1.

【答案】⑴a=2,函数“X)在(0,g)上单调递减，在(；,+00)上单调递增；⑵证明

见解析.

【解析】(1)解：函数/(九)的定义域(0,+"),

因为/'(x)=L--!，所以/''⑴=1—2=工，解得a=2,

xaxa2

/(x)=lnx+^-)八x)」一±=2；2,

2xx2x2x

令/''(“<0,解得0<x<j故/(x)在(0,；)上单调递减,

令/'(x)>0,解得x〉g,故/(x)在(g,+00)上单调递增.

(2)解：由王，%为函数/(%)=加的两个零点，得In石=m,

两式相减，得In%—111々+1---二=0,即1112=幺二三，上三

2x12X2X22X1X22]n—

A-i1_迤

lrrSM

因此x=----，%=------，

21n%21n工

x2x2

I11

1]--t------

令/=土，由0<西<%2，得。</<1，则为+%2=----+——-=——-，

x221nt2]nt2]nt

构造函数//«)=/—；—21n《0</<l),则力'«)=1+3-

所以丸⑺在(0,1)上单调递增，故/")</z(l)=0,7—；—21n/<0,

1

t--

又。〈/<1,所以ln/<0,所以一^〉1,

2In?

故玉+々>1,命题得证.

4.其它

1.已知函数/(x)=e*-x-l.

(1)求函数/(X)的单调区间和极值；

(2)当了之。时，求证：/(x)+x+l>-^x2+cosx.

【答案】(1)单调递增区间为(0,+00),单调递减区间为(-00,0),微小值为/(0)=0,没

有极大值；(2)证明见解析.

【解析】(1)易知函数/(%)定义域为R,

'：f(x)=ex-x-l,：.f'(x)=ex-l.

令r(x)="—1>0,解得x>0,/(x)在(0,+00)上单调递增，

/,(x)=e'-l<0,解得x<0,/(x)在(—8,0)上单调递减，

即/(X)的单调递增区间为(0,+00),单调递减区间为(-8,0),

函数/(x)的微小值为/(0)=0,没有极大值.

(2)解法一：要证/QO+x+lzg/+cosx,

1

即证e"——x20-cosx>0，

2

设g(九)=/一;'2-cos%,要证原不等式成马上证g(x)>0成立，

g'(%)=ex-x+sinx,

71

*.*sinx>—1,g'(x)="—九+sin%2e”—九一1(当且仅当x=--+2kn,keZ时等

号成立)，

由(1)知产一%-120(%=0等号成立)，

・・・/(%)>0,・・・g(x)在(0,+oo)单调递增，・・・gCx)2g(0)=0,

・••当x20时，/(x)+x+l>^%2+cosX得证.

解法二：要证/(x)+x+12；%2+COSX,即证"-COSX20,

设g(x)=ex~~^2-cosx,要证原不等式成马上证g(x)>0成立，

gr(x)=e"一%十sin%,

设■%)=gf(x)=ex-x+sinx,则hf(x)=ex-1+cosx,

令加⑺