2025高考数学专项讲义：图形类解三角形综合（学生版+解析）VIP

第10讲图形类解三角形综合

（核心考点精讲精练）

命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，分值为13-15分

【备考策略】1.熟练掌握正余弦定理及面积公式解三角形

2.在几何图形中能熟练使用相关定理求解

【命题预测】本节内容一般会在解答题中进行命题考查，考查学生的图形转化及计算能力，需重点备考复

习

知识讲解

1.正弦定理

~^—=^^=^—=2R（其中R为AABC外接圆的半径）

sinAsinBsinC

2.余弦定理

22222222

a-=b+c-2bccosAtb=c+a-2cacosBfc=a+b-2abcosC

3.三角形的面积公式

S^BC--ahS^BC=—^bsmC=—acsinB=—bcsinA

2,222

考点一、图形类解三角形综合考查

典例引领

1.（江苏•高考真题）在蜘BC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,c="s=45。.

（1）求sinC的值；

4

（2）在边BC上取一点D,使得cosZA£）C=-w，求tan/ZMC的值.

2.（全国•高考真题）AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+百cosA=0,a=2/7,6=2.

B

D

（1）求角A和边长c；

（2）设。为BC边上一点，且AD_LAC，求的面积.

3.（四川•高考真题）如图,A,B,C,D为平面四边形ABCD的四个内角.

（1）证明：㈤三-「三三

2sin.4

iBCD

（2）右.T+C=180°.40=6,BC=3.CD=4.AD—5.求tan——tan—•-tan—+tu—的值.

，△,，

4.（2024•山东济南•二模）如图，已知平面四边形ABC。中，AB=BC=2形,CD=2,AD=4.

⑴若A,民C,O四点共圆，求AC；

⑵求四边形ABCD面积的最大值.

5.（23-24高三上,江西,期末）如图，在0ABe中，AB=8C=2,。为0ABe外一点,AD=2C£）=4,记丽AD=a,©BCD邛.

⑴求2cosc-cos6的值；

⑵若0ABO的面积为1，aBCD的面积为邑，求S；+S；的最大值.

1.（湖南•高考真题）如图，在平面四边形."CD中,

DA_AB.DE=[EC=f,EA=l.-.iDC=—=-

3里

⑴求sm_CED的值；

(2)求的长

2.（湖南•高考真题）如图所示，在平面四边形ABCD中，AD=1,CD=2,AC=出.

(1)求cosEICAD的值；

(2)若cosEIBAD=一近，sin!3CBA=1^,求BC的长.

146

3.(2024•青海海西•模拟预测)如图，在四边形ABCD中，AB1AD,cosB=^,cosZACB=^-,BC=45.

510

⑴求AC；

3

（2）若ACD的面积为J,求CD.

4.（2024・山东荷泽・二模）已知在_ABC中，CA.=-2公48（7的面积为6.

C

⑴求角C的度数;

⑵若BC=2,D,E是A3上的动点，且NDCE始终等于30。，记NCED=a.当。E取到最小值时，求a的值.

IRV好题冲关・

1.（23-24高三上•陕西汉中•阶段练习）如图，在一ABC中，角A,8,C的对边分别为a,b,c,AB=6,AC=24,

BC=2娓,点。在边BC上，且NADC=60。.

（1）求sinB；

⑵求线段A。的长.

2.（23-24高三上•湖北•期末）如图，在ABC中，AB=AC=6,点。是边BC上一点，且

AD1AB,cosZCAD=----,AE=2EB

3

⑴求BCE的面积；

（2）求线段AZ）的长.

3.（23-24高三上•宁夏银川•阶段练习）如图，在平面四边形A3CD中，ZADC=90°,ZA=45°,AB=4,

BD=10.

⑴求cos/ADB；

⑵若△BCD的面积为4灰，求BC.

4.（2023・河南•模拟预测）如图，在四边形ABCD中，48,8。,//4£＞。=120。,48=8=24）,八48的面

积为乌

2

c

AB

(1)求sin/C45；

(2)证明：ZCAB=ZCAD.

5.(2024•江西南昌•一模)如图，两块直角三角形模具，斜边靠在一起，其中公共斜边AC=10,

TT7T

ZBAC=-,ZDAC=~,交AC于点E.

⑴求必;

⑵求AE.

6.(23-24高三上•广东江门•阶段练习)已知A,B,C,。四点逆时针排列于同一个圆。上，其中

3c=2AB=4,4ABC的面积为2vLZABC>^.

⑴求边AC的长；

(2)当圆心。在AD上时，求tan/C4Z).

7.(23-24高三上,江西•阶段练习)如图，在梯形ABCD中，AD//BC,BD=5,NCBD=60。.

BC

(1)若sinZBCO=L,求CO的长；

4

(2)若AD=2,求cos/ABD.

8.(23-24高三上,安徽•期末)如图，在..A5C中,，C4B的平分线交BC边于点E,点。在A3边上,AE=7,

SFi

AD=3J7,cos/CAE=—.

14

⑴求/ADE的大小；

2兀

（2）若NACB=彳,求_CDE的面积.

9.（2024•陕西西安,模拟预测）如图，在平面四边形A8CD中，AB//CD,AD-sinD=73AC-cosZACD,ZBAC

的角平分线与BC相交于点E,且AE=1,A3=6.

⑴求NACD的大小；

（2）求8c的值.

10.（2024•山西晋中•三模）在ABC中，角4民C的对边分别为。也c,已知/+/+儿=/.

⑴求tanA；

（2）若6=（石+l）c,在边3C上（不含端点）存在点。，使得AE>=1,求。的取值范围.

1.（2024•湖南长沙•三模）如图，在ABC中，己知AB=3,AC=6,A为锐角，BC,AC边上的两条中线

相交于点尸"C的面积为竽.

⑴求8C的长度;

（2）求NAP3的余弦值.

2.（23-24高三下■安徽•阶段练习）已知a,b,c分别是0ABe的三个内角的对边，且JWesinA+acosC=b+c-

⑴求A;

（2）若3c=2,将射线8A和CA分别绕点8,C顺时针方向旋转15,30,旋转后相交于点。（如图所示）,

JLZDBC=30,求AD

3.（2024•浙江•模拟预测）如图，在平面内的四个动点A,B,C,。构成的四边形ABCD中，AB=1,BC=2,

⑴求ACD面积的取值范围；

（2）若四边形A3CD存在外接圆，求外接圆面积.

4.（2024•浙江绍兴•二模）在三角形ABC中，内角AB,C对应边分别为a,b,c且6cosc+&sin8=a+2c.

⑴求的大小；

⑵如图所示，。为一ABC外一点，ZDCB=ZB,CD=y[3,BC=l,ZCAD=30,求sinZBC4及的

面积.

5.（2024•广西来宾•模拟预测）ABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,AO为—A4C平分线，

Z?tanA=（2c—b）tanB

⑴求A；

⑵若c:AD:b=6:2：z6，AD上存在点M，使得求.

12、AACD

6.（2024•湖南衡阳,三模）在一ABC中，角A,B,C的对边分别为a、b、c,>ccosB+2acosA+fecosC=0.

⑴求A;

TT

⑵如图所示，。为平面上一点，与.ABC构成一个四边形A8OC,MZBZ）C=-,若c=b=2,求AD的最

大值.

7.（23-24高一下•河北保定,期末）阿波罗尼奥斯（Apollonius）是古希腊著名的数学家，他提出的阿波罗尼

奥斯定理是一个关于三角形边长与中线长度关系的定理，内容为：三角形两边平方的和，等于所夹中线及

第三边之半的平方和的两倍，即如果是71BC中BC边上的中线，则Ag2+AC2=24。2+（乎].

JT

⑴若在.ABC中，AB=5,AC=3,N8AC=],求此三角形BC边上的中线长；

（2）请证明题干中的定理；

（3汝口图中，若AB>AC,。为中点，BD=DC=3,asinA+36sin3=3法in（A—C）,S/=当,

求cosNDAC的值.

8.（2024•河北衡水•模拟预测）如图，在平面四边形ABC。中，|AB|=|Aq=2V5,NADC=NG4B=12O。，设

ZDAC=6.

⑴若I叫=2,求怛q的长;

（2）若NAD3=15。，求tand.

9.（23-24高一下•广东茂名・期末）如图所示，在ABC中，AB=3AC,平分NBAC,且=4c.

A

⑴若DC=2,求BC的长度；

（2）求人的取值范围；

（3）若S^BC=1，求上为何值时，BC最短.

10.（23-24高一下•广东深圳•期中）如图，在一ABC中，己知A8=2,AC=6五,ZBAC=45°,BC边上

的中点为“，点N是边AC上的动点（不含端点），AM,BN相交于点P.

⑴求4W的正弦值；

（2）当点N为AC中点时，求，MPN的余弦值.

⑶当MbNB取得最小值时，设BPEBN,求2的值.

JT]

L（北京•高考真题）如图，在AABC中，ZB=y,AB=8,点。在8C边上，且CD=2,cosZADC=~.

(1)求sin/S4T)；

(2)求2。AC的长.

2.（安徽•高考真题）

AB

在，ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C所对的边长，a=&，b=V5,l+2cos(B+C)=0,求边BC上的

iW].

3.(海南・高考真题)如图，回ACD是等边三角形，E1ABC是等腰直角三角形，E1ACB=9O。，BD交AC于E,AB=2.

(1)求cosIBCBE的值；

(2)求AE.

4.(全国•高考真题)如图，在AABC中，0ABC=9O°,AB=垂,，BC=1,P为AABC内一点，0BPC=9O°.

⑴若PB=T，求PA；

(2)若回APB=150°,求tanEIPBA.

5.(湖南•高考真题)如图，。是直角AABC斜边8C上一点，AB=AD,记NC4D=a,NABC=6.

(1)证明sina+cos2#=。；

(2)若AC=«DC,求夕的

第10讲图形类解三角形综合

(核心考点精讲精练)

命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，分值为13-15分

【备考策略】1.熟练掌握正余弦定理及面积公式解三角形

2.在几何图形中能熟练使用相关定理求解

【命题预测】本节内容一般会在解答题中进行命题考查，考查学生的图形转化及计算能力，需重点备考复

习

知识讲解

4.正弦定理

^―=——=——=27?（其中R为A43C外接圆的半径）

sinAsinBsine

5.余弦定理

122122222

a=b+c-2bccosA9b，-c+a-2cacosBc=a+b-2abcosC

6.三角形的面积公式

=—absinC=—acsinB=—bcsmA

考点一、图形类解三角形综合考查

典例引领

1.(江苏•高考真题)在蜘BC中，角A,B,C的对边分别为b,c,已知a=3,c=0,6=45。.

(1)求sinC的值；

4

(2)在边BC上取一点D,使得cosZAZ>C=-m，求tan//MC的值.

【答案】⑴sinC=且；(2)tanZDAC=—.

511

【分析】(1)方法一：利用余弦定理求得b,利用正弦定理求得sinC.

（2）方法一:根据cosNADC的值,求得sinNADC的值，由（1）求得cos。的值,从而求得sinNDACcosNDAC

的值，进而求得tanND4c的值.

【详解】（1）［方法一］：正余弦定理综合法

由余弦定理得Z?2=a?+，-2QCCOS5=9+2-2x3x=5，所以万二百.

2

由正弦定理得一J=—LnsinC=MO=且.

sinCsinBb5

［方法二］【最优解】：几何法

过点A作AE_LBC,垂足为E.在RtA4BE中，由c=0,8=45?,可得AE=BE=1,又。=3,所以EC=2.

在RtACE中，AC=JAE2+EC，=旧，因此sinC=^=。

（2）[方法一]:两角和的正弦公式法

由于cosZAZ>C=-1，ZADCe^,^,所以sinNADC=Jl-cos?ZADC='.

由于NADCeg/1,所以Ce（0，W）所以cosC=Jl-sin2c=竽.

所以sinADAC=sin（万一ADAC）=sin（ZADC+ZC）

_.〃八八-nr-八-32亚J4、V5_2A/5

55I5）525

由于"ACe[o,£|,所以cosNDAC=Jl一sin?NDAC=辿.

sinNZMC2

所以tanNDAC=

cosADACn

［方法二］【最优解】：几何法+两角差的正切公式法

44

在（1）的方法二的图中，由COSZAT>C=-N,n]*cosZADE=cos（^-ZADC）=-cosZADC=—,从而

55

.f…4/〜厂sinZDAE4

sinZDAE=cosZADE=—,tanZDAE=-------------=—.

5cosZDAE3

ECtanZEAC-tanZEAD2

又由（1）可得tan/£AC=——=2,所以tanZDAC=tan（ZEAC—ZEAO）=

AE1+tanZEAC-tanZEADTT

［方法三］:几何法+正弦定理法

在（1）的方法二中可得AE=1,CE=2,AC=V^.

AEr-4

在RtAADE中，AD=------------=<5,ED=ADcosZADE=—,

sinZADE3

2

所以CQ=CE—=

在中，由正弦定理可得sin/D4C=且与11。=拽，

AD25

2

由止匕可得tanNDAC=i^.

［方法四］:构造直角三角形法

如图，作AE_LBC,垂足为E,作£>G_LAC,垂足为点G.

在（1）的方法二中可得AE=1,CE=2,AC=右.

由cosZADC=-±,可得cosZADE=1,sinZADE=Jl-cos?/ADE=」.

555

Ap51--------------4?

在RrAADE中，AD=-------------=-,DE=^AD2-AE2=-,CD=CE-DE=-.

sinZAZ）E333

由（1）知sinC=@，所以在RtACDG中，DG=CD.sinC=^~,CG=JCD?—DG?=拽,从而

51515

AC-CG=^-

AG=

15

DG2

在RtADG中，tan/Z）AG------——.

AG11

2

所以tanZDAC］.

【整体点评】（1）方法一：使用余弦定理求得b=遮，然后使用正弦定理求得sinC；方法二：抓住45。角

的特点，作出辅助线，利用几何方法简单计算即得答案，运算尤其简洁，为最优解；（2）方法一：使用两

角和的正弦公式求得/D4C的正弦值，进而求解；方法二：适当作出辅助线，利用两角差的正切公式求解，

运算更为简洁，为最优解；方法三：在几何法的基础上，使用正弦定理求得-D4C的正弦值，进而得解；

方法四：更多的使用几何的思维方式，直接作出含有/D4c的直角三角形，进而求解，也是很优美的方法

2.（全国•高考真题）AABC的内角A,3,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+百cosA=0,a=2占涉=2.

B

D

(1)求角A和边长。；

(2)设。为5c边上一点，且AO_LAC,求4曲的面积.

27r

【答案】⑴y,4;(2)73.

【详解】试题分析：(1)先根据同角的三角函数的关系求出tanA=-若从而可得A的值，再根据余弦定理

列方程即可求出边长c的值；（2）先根据余弦定理求出cosC,求出CO的长，可得CO=〈BC,从而得到

S/MBD=彳S^BC，进而可得结果.

试题解析：（1）sinA+V3COSA=0,/.tanA=-^3,0<A<.7r,/.A=—,由余弦定理可得

a2=b2+c2-2bccosA,即28=4+/—2x2cx1—,即H+2。—24=0,解得c=-6（舍去）或c=4,故c=4.

「2「八AC2/-

cosC=-CD=----=———=J7

（2）Qc2=b2+a2—2abcosC,16=28+4-2x2V7x2xcosC,cosC2,

万

:.CD=-BC,.•.SAABC=|AB-AC-^ZBAC=1X4X2X^=2A/3,■-SMBD=^-SMBC=s/3.

乙，NN乙

3.（四川•高考真题）如图，A,B,C,D为平面四边形ABCD的四个内角.

（1）证明：tan—=----------

2sinJ

（）若（）求由三4+国土B+出工C+由上D的值.

2d+c=18cJJJ=63BC=31Q=4»Q=s

【答案】⑴详见解析；⑵手.

si.n—AG2si.n2—A

A4o91-cosA

【详解】（1）tan-=----J--------；-^―-

2AAAsinA

cos—2sin—cos—

222

(2)由A+C=180,得C=180—A,D=180-B.

由⑴，有tH+tang+tanC+tanS

2222

_l-cos-4l-cos-8l-cos(1805-J)l-cos(180s-B)

sinAsinSsin(180'--<)sin(180*-5)

22

=----1----

sinAsinB

连结BD,

在AABD中，有Bn?=AB2+AD2-2AB.ADCOSA,

在ABC。中，有BD?=BC?+CD?-2BC-CDcosC,

所以AB2+AD2-2AB-ADcosA=BC2+CD2+2BC-CDcosA,

则COSAM-—

2(ABAD+BCCD)2(6x5+3x4)7

2M

于是sinA=A/1_COS2A=

连结AC,同理可得

„AB2+BC1-AD2-CD262+32-52-421

-2(ABBC+ADCD)~2(6x3+5x4)-19

于是sinB=A/1-COS2B=)2-=.

所以tan——I-tan—+tan——I-tan——

2222

22

=----F---

sinAsinB

—__1_4_I_2_x_1_9

2A/102M

4710

3

考点：本题考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、

推理论证能力，考查函数与方程、化归与转化等数学思想.

4.（2024・山东济南•二模）如图，已知平面四边形ABCD中，AB=BC=2sf2,CD=2,AD=4.

B

⑴若4民。,£＞四点共圆，求AC；

（2）求四边形ABCD面积的最大值.

【答案】（1）AC=3人

(2)3"

【分析】（1）在ABC.ACD中分别利用余弦定理表示出AC?,再由四点共圆得到cos/ADC=-cos/ABC,

即可求出AC；；

（2）由（1）可得cos/ADC-cosNA5C=—,再由面积公式得到5由44。。+5由乙钻。=—,将两式平方再

44

i।c2

相加得到2-2cos（NADC+NA5C）=q',结合余弦函数的性质计算可得.

【详解】（1）在“1BC中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC--2AB-BCcosZABC

=8+8-2x8・cos/ABC=16-16cos/ABC,

在&ACD中，由余弦定理得：AC2=AD2+CD2-2AD-CDcosZADC

=16+4—2x8-cos/ADC=20-\6cosZADC,

因为A,2,C,。四点共圆，所以NABC+/ADC=TT,因止匕COS/ADC=—COS/ABC,

上述两式相加得：2AC2=36,所以AC=30（负值已舍去）.

(2)由(1)得：16-16cosZABC=20-16cosZADC,

化简得cosZADC—cos/.ABC=—,

4

贝ijcos?ZADC-2cosZADCcosZABC+cos2ZABC=—(1),

16

四边形ABC。的面积S=-AB-BCsmZABC+-AD-CDsinZADC

22

=—x2A/2x20sin/ABC+—x2x4sin/ADC

22

=4(sin/ADC+sin/ABC),

整理得sinZADC+sinZABC=-,

4

C*2

贝ljsin?ZADC+2sinZADCsinZABC+sin2ZABC=—②

16

1IC12

①②相力口得：2-2(cosZADCcosZABC-sinZADCsinZABC)=-------

16

1+S2

即2-2cos(ZADC+AABC)=

16

由于0</ADC<兀,0</ABC<兀,

所以当且仅当ZADC+ZABC=兀时，cos（ZADC+ZABC）取得最小值一i,

此时四边形ABC。的面积最大，由"^=4,解得S=3«,

16

故四边形ABCD面积的最大值为3叔.

5.（23-24高三上・江西•期末）如图，在0ABe中，AB=8C=2,D为MBC外一点,40=20=4,记MAZ）=a，回BCD%

⑴求2cosa-cos£的值；

⑵若的面积为y，SBC。的面积为S?,求+的最大值.

【答案】⑴；3

【分析】（1）利用余弦定理，进行转换即可；

（2）根据题意，由（1）知2cosa-cos£=；3,求出S：+S；取得最大值，最大值为3上1.

22

【详解】（1）在，中，由余弦定理，得BO?nMZ+^p—ZTlS-ADcosauZO-lGcosa,

在△BCD中，由余弦定理，得BL）?=8c2+C£）2-28C-Cr>cos^=8-8cos£,

所以20-16cosa=8-8cos0,

所以8(2cosa-cos/?)=12,

3

2cosa-cosP

2

(2)由题意知&=；AB-AOsinNR4O=4sina,S?=；8CC£>sinN8CO=2sin£,

所以S；+S；=16sin2a+4sin2夕=16(l—cos2a)+4(l—cos

=20-16cos24cos2[3

33

由(1)矢口，2coscr—cos/?=一,所以cosQ=2cosa——,coserG

22z4

2

所以=20-16cos2a一412cosa一万=-32cos2+24coscr+ll

=-32coscc—4----，

I8j2

所以当cosa=：e\j时，S；+S；取得最大值，最大值为

1.（湖南•高考真题）如图，在平面四边形."CD中，

DA_AB.DE=LEC=—EA=2,LADC=—总酗=-

3罩

⑴求皿一CED的值；

（2）求BE的长

【答案】⑴4（2）4"

【分析】（1）在ACDE中已知两边与一角,利用余弦定理即可求出第三条边。C的长度，再利用余弦定理即可求

出角CED的正弦值.

⑵由（1）三角形OEC的三条边，根据正余弦直角的关系可得角DEC的余弦值（或者利用正余弦之间的关系也

可求的），角/DEC,ZB£C,/AEB之和为180°,其中两个角的正余弦值已知，则可以利用余弦的和差角公式求的

角g的余弦值,AE长度已知，利用直角三角形AEB中余弦的定义即可求的物长.

【详解】如图设NCED=a

⑴在ACDE中，由余弦定理可得EC?=。2+。e2-2Ta6电NEDC,于是又题设可知7=CZ^+1+仪）,即

。92+8_6=0,解得8=2（。>=_3<0舍去）,

CD-sin—2追

DECD

在\CDE中，由正弦定理可得后,

sinZEDC-sincr=>sina=-----—32

七c币一1

即sinNCED=—.

7

（2）由题设可得0＜。＜手于是根据正余弦之间的关系可得cosa=Gi7£=，而

27rIJU2%.2%.1

ZAED=——a,所以cosZAEB=cos------a=cos——cosa+sin——sina——C0S6Z+sina

33322

12mA/3A/2?币方DAGDF/.”_胡_2

=—x-------1-----x------=7在Rt^EAB中,cosX.AEB=---=,

272714BEBE

2

BE=

所以cos/AEB

考点：正余弦定理正余弦和差角公式直角三角形正余弦之间的关系

2.（湖南•高考真题）如图所示，在平面四边形ABCD中，AD=1,CD=2,AC=币.

(1)求cos回CAD的值;

(2)若cosEIBAD=—且，sin0CBA=^I,求BC的长.

146

【答案】⑴CGS/CAD=生-(2)3

7

【详解】试题分析：

⑴利用题意结合余弦定理可得cosZCAD=9；

7

(2)利用题意结合正弦定理可得：BC=3.

试题解析：

(I)在AQC中，由余弦定理得COS/CAO=2也

7

(II)设ABAC=a,则a=ABAD-ACAD

cosZ.CAD=2币-,cosABAD=-

714

J21

sinACAD=---

7

..3V2T

s/mRZBnAD=----

4

•.6

..sma=——

2

在qABC中，由正弦定理，

BCAC

sinasinZCBA

故BC=3

点睛：在解决三角形问题中，面积公式S=gabs\nC=1-bcs'\nA=^-acsinB最常用，因为公式中既有边

又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.

3.（2024•青海海西•模拟预测）如图，在四边形ABC。中，AB工AD,cosB=叵,cosNACB=®,BC=5

510

⑴求AC;

3

⑵若一ACD的面积为不，求CD.

【答案】（1）AC=20;

（2）CD=—

2

【分析】（1）根据诱导公式及两角和的余弦公式求出NC4B,再由正弦定理得解;

（2）由三角形面积求出AD,再由余弦定理求出8.

【详解】（1）由cosB=^^,cosNACZ）=辿0,

510

又由NC4B=兀一NABC—NACB,

所以COS/G46=-cos(ZABC+/ACB)=-X

二F

又由NC4Be（O,万），可得ZBAC=:,

BCAC

在,ABC中，又由正弦定理得:

sinZBACsinZABC

V5_AC

所以5诒四一2五，可得AC=2后;

Sm4"

7TTT

(2)由A3_LAD,/3AC=—,可得NC4O=—,

44

又由一AQ的面积为｝有:x2&Dxs吗=|,可得仞*,

在ACD中，由余弦定理有=+（2&）2-2、12万sin：=半.

4.（2024•山东荷泽•二模）已知在一ABC中，CA.CB=-2,A42C的面积为近.

C

⑴求角C的度数；

⑵若3c=2,£>,E是上的动点，且/OCE始终等于30。，记NCED=a.当DE取到最小值时，求a的值.

【答案】⑴NC=120。；

(2)75°.

【分析】（1）设CA=6,C3=a,则HcosC=-2,；必sinC=也求解即可;

DE=_________

⑵根据三角形面积公式结合正弦定理得到一,mW-6。。）+3,根据角的范围求解即通

【详解】（1）设CA=/?,C3=a,则成osC=-2,又加inC=J^,因止匕tanC=-石，

由。为M1BC的内角，所以NC=120。.

(2)由(1)知，^6zZ?sinl20°=^3,又〃=2,贝!)6=2,因此CA=C3=2,ZA=N5=3。。,

在加上中，由正弦定理得色二名昂，即

smasm30sma

CEDE

在/CD£中,由正弦定理得

sinZCDE~sin30°y

CE-sin30°________1_________________1_________

sinZCDE2sincrsin(150°-a)sinacosa+^3sin*2a

11

—sin2a-cos2a+sin(2cr-60°)+

2222

显然30。404120。，则有0W2a-60。4180。，因此当sin（2a-6（T）=l时，取到最小值,

止匕时2z—60。=90。，即a=75。，

所以。的值75。.

『I好题冲关

1.(23-24高三上•陕西汉中•阶段练习)如图，在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,6,c,AB=6,AC=2^/3,

BC=2娓,点D在边8C上，且NADC=60。.

⑴求sinB；

⑵求线段4。的长.

【答案】⑴"

3

(2)4

【分析】(1)利用余弦定理与三角函数的平方关系即可得解；

(2)利用正弦定理即可得解.

【详解】(1)根据题意得：cosB==仅⑹+6?一(2⑹=显,

lac2x2&x63

又0<5<兀，所以sin5=Vl-cos2B=.

3

(2)因为NAZ)C=60。，所以NAT>5=120。，

久右

6x__

在△ABD中，由正弦定理黑=.可得，4。=等黑=T-=4.

sinBsinZADBsmZADBJ3

~2

2.(23-24高三上•湖北•期末)如图，在BBC中，AB=AC=6,点。是边上一点，且

A.D_LAB,cos^CA.D----,AE=2EB

3

⑴求BCE的面积;

⑵求线段AD的长.

【答案】⑴4忘

(2)AD=3A/2

【分析】（1）根据％BCE=g5AAsc求解即可；

（2）解法1：在ABC中根据余弦定理求出BC,结合等腰三角形的性质求cosB,在△ABD中勾股定理求

AD即可；

解法2：由SAge~SABD+SACD求得AD.

【详解】(1)AE=2EB,:.SBCE=3谢,

[fOSASC=|AJB-AC-sinZBAC=1x6x6xsinfzCA£>+^

=18COSZCAD=18X^^=12A/2,

3

•.s=—S=4^2.

ZRJC/FS3ADBC

(2)解法1：cosNCAD=,NCADe(0㈤,sin/CAZ)=Jl一cos?NCAD=,

cosZCAB=cos^ZCAD+]]=sinZCAD=-1,

在中，BC2=AB2+AC2-2AB-AC-cosZCAB=36+36-2x6x6x^^=96,

BC

.•.BC=4",.•.在等腰ABC中，H22A/6瓜,

COSn=--------=------=----

BA63

中，cosB=^=^=£,:.BD=3面,

3BDBD

:.AD=dBlf-B尺=A/54-36=342-

解法2：cosZCAD=NCADe(0,7t),.\sin/CAD=71-cos2ZCAD==；,

由SABC=SABD+SACD得,

12>/2--x6xA£>+-x6xAr)-sinZC4£),

22

即120=gx6.AO+；.(6.AO).g

解得AO=30.

3.（23-24高三上•宁夏银川•阶段练习）如图，在平面四边形A3CD中，ZADC=90°,ZA=45°,AB=4,

BD=10.

⑴求cosNADB；

（2）若△BCD的面积为4屈，求BC.

【答案】⑴?

⑵10

【分析】（1）先利用正弦定理求出sin/ADB,再结合结合同角的三角函数关系即可求解;

（2）先结合（1）及三角形面积公式求出。C,再根据余弦定理即可求解.

BDAB

【详解】（1）在中，由正弦定理得

sinZAsinZADB

解得sin/ADB=走,

即——=--------

sin45sinZADB5

又0<NADB<90,

所以cosXADB=y/1-sin2ZADB=g.

5

（2）结合（1）可得cos/3DC=cos（90-ZADB）=sin^ADB=,

则smZBDC=」1-cos?NBDC=警,

X5SCD=1£>B-DC.sin^BDC,即4屈='xlOxOCx率，解得£>C=4在，

225

则由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosZBDC=100,

又BC>。,所以3c=10.

4.（2023•河南•模拟预测）如图，在四边形A3CD