2025高考数学综合测试 第二章：函数与基本初等函数（模块综合调研卷）教师版

第二章：函数与基本初等函数

（模块综合调研卷）

（19题新高考新结构）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的

指定位置。

2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷

草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的）

1.函数/（力=11«+/-2的零点所在区间是（）

A."1）B.C."）D.（G）

【答案】C

【分析】由零点存在性定理可得答案.

【详解】因为函数“X）的定义域为（o,+8）,又尸（x）=：+2x>0,易知函数在（0,+8）上单调递增，

又=（旬=ln&=；170,所以在（1,匈内存在一个零点%,使/㈤=0.

故选：C.

11-1

2.已知x=ln3,y=log5M，z=e2,则（）

A.X<y〈zB.zvx<yc.z<yvxD.y<z<x

【答案】D

【分析】利用指数函数、对数函数的性质，借助媒介数比较大小.

11I-1-111

【详解】依题意，x=ln3>l,^=log—<logV5而z=e2=亍〉彳且zvl,

55522

所以yvzv匕

故选：D

2X

3.已知函数〃同=示、，则下列说法不正确的是（）

A.函数/(x)单调递增B.函数/'(X)值域为(0,2)

C.函数的图象关于(0,1)对称D.函数〃尤)的图象关于(1,1)对称

【答案】C

【分析】分离常数，再根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A；根据函数形式的变形，根据指数函数

的值域，求解函数的值域，即可判断B；根据对称性的定义，〃2-力与的关系，即可判断CD.

【详解】小)=^^=2，+2-2=2__二，

,72%-1+12X-1+12X-1+1

2

函数y=2——,t=2%-1+1,则

t

又内层函数f=2'T+l在R上单调递增，外层函数v=2-;在(1,茁)上单调递增,

所以根据复合函数单调性的法则可知，函数，(元)单调递增，故A正确；

22

因为2，T+1>1，所以则0<2-^<2,

2+172T+1

所以函数〃x)的值域为(0,2),故B正确；

f(2-x}=-y---=---=Y，/(2-x)+/(x)=2,

I'21-v+l2+2%2'一+1''一

所以函数/(x)关于点(1,1)对称，故C错误，D正确.

故选：C.

【答案】A

【分析】由/(x)的定义域排除B；由是奇函数排除C；由排除D,从而得出答案.

【详解】由e-erO,得用,则外力的定义域是3尤工0},排除B；

所以函数〃%）是奇函数，排除C；

故选：A.

5.若函数/（》）=卜2-（加一2）x+l|在上单调，则实数小的取值范围为（）

252

919

在

u-B-2u工-

A._22_2

__

-1p1U3,|-；，2U3,|9

C.D.

22

【答案】C

【分析】由题意，根据二次函数的图象与性质建立不等式组，解之即可求解.

1Q

即实数m得取值范围为［-了12［3,万］.

故选：C.

1<3

41''—4

6.已知函数是R上的单调函数，则实数。的取值范围是（）

3

loga(4x)-l,x>-

A.(0,1)C.(1,A/3)D.(1,3)

【答案】B

【分析】根据题意，结合分段函数的单调性的判定方法，结合对数函数的性质，列出关于。的不等式，即可

求解.

1

【详解】根据题意，当时，1)=一—::~4,可得/(X)在‘名5上递增，

''4x-4x-1

'1/3

------,X<一

要使得函数〃尤)="XT43是R上的单调函数，

log“(4尤

则满足且1吗卜、J」“3解可得l<awg,

174x--4

4

所以实数。的取值范围为(1,不］.

故选：B.

7.已知a=ln3，b--,c=e03，贝U()

4

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b

【答案】A

【分析】构造函数〃x)=ex-xT,由〃x)的单调性和最值可证明c>3,再构造g(x)=lnx-1由g(x)的

单调性和最值可证明a<心即可得出答案.

【详解】令〃x)=e*—xT,贝ij_r(x)=e=l.

当xe(-8,0)时，r(x)<0,尤)单调递减，

当xe(O,+8)时,r(x)>0,单调递增，

贝/(O)=O,^c=e°-3>l+0.3=1.3>|.

令g(x)=ln%-2,则g3=J__」=£_^.

exeex

当xe(e,+8)时，g,(x)<0,g(x)单调递减，

335

则g⑶<g(e)=O,即ln3<：<&=j

t^a<b<c,

故选：A.

【点睛】关键点睛：本题的关键点在于构造函数，通过求出函数的单调性和最值来比较大小.构造函数

/(x)=e'-x-l,和g(x)=ln—?即可得出答案.

8.已知函数/⑴，g(x)的定义域均为R,〃x+l)是奇函数，且〃l—x)+g(x)=2,〃x)+g(龙-3)=2,

贝IJ()

2020

A.〃X)为奇函数B.g(x)为奇函数C.2y(左)=40D.£g(A)=40

k=lk=l

【答案】D

【分析】A选项，根据已知条件推出是周期为4的周期函数，故g(x)也是周期为4的周期函数，

»=/(%),故A错误;C选项,推出"1)=0,/(3)=0,/(2)+/(4)=0,从而求出

20

2/(%)=5[〃1)+〃2)+〃3)+〃4)]=0工选项,由〃1)=0得8(0)=2,故8错误；口选项,计算出8出=2,

k=\

g⑴+g⑶=4,故g(O)+g(l)+g(2)+g⑶=8,结合函数的周期得到答案.

【详解】A选项，因为〃x)+g(无-3)=2,所以/(尤+3)+g(无)=2,

又/(I-x)+g(x)=2,则有/(x+3)=〃l-x),

因为/'(x+1)是奇函数，所以/(x+l)=-〃1一龙)，

可得〃x+3)=—/(x+1),即有〃x+2)=—“力与〃x+4)=—〃x+2),

即J(x+4)=/(x),

所以〃x)是周期为4的周期函数，故g(x)也是周期为4的周期函数.

因为一〃一x)=〃x+2)且〃x+2)=—〃x).所以〃f)=〃x),

所以〃x)为偶函数.故A错误，

C选项，由/(x+1)是奇函数，则/■⑴=0,

因为/(x+2)=—/(x),所以1(3)=0,

又〃x+l)=-〃1—x),〃x)是周期为4的周期函数，

故了(2)+〃4)=/(2)+〃0)=0,

20

所以»(左)=5[〃1)+〃2)+/(3)+/(4)]=0,所以C错误；

Z=1

B选项，由/(1)=0得g(O)=2,故g(x)不是奇函数，所以B错误；

D选项，因为〃x+3)+g(x)=2,所以g⑵=2-〃5)=2-/(1)=2,

^(1)+5(3)=[2-/(4)]+[2-/(6)]=4-[/(4)+/(2)]=4,

所以g(O)+g(l)+g(2)+g⑶=8,

20

所以2>/)=5[g(O)+g⑴+g(2)+g⑶]=4。，所以D选项正确

k=\

故选：D

【点睛】设函数y=/(x),XGR,O>0,a'b.

(1)若f(x+a)=〃x-a),则函数的周期为2a；

（2）若〃x+a）=—〃x）,则函数的周期为2a；

(3)若右I+'=--〃-尤)'则函数〃x）的周期为2a；

(4)右'；/（X）,则函数〃尤）的周期为2a；

（5）若"x+a）=/（x+b）,则函数的周期为卜-小

（6）若函数〃x）的图象关于直线x=a与x=b对称，则函数〃x）的周期为2忸-小

（7）若函数"力的图象既关于点（。,0）对称,又关于点修,0）对称,则函数的周期为2也-小

（8）若函数“X）的图象既关于直线x=a对称，又关于点色,0）对称,则函数〃x）的周期为牛-小

（9）若函数/（尤）是偶函数，且其图象关于直线彳=。对称，则F（x）的周期为2a；

（10）若函数〃x）是奇函数，且其图象关于直线x=。对称，则〃x）的周期为4a.

二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）

9.已知20=5"=10,则下列关系正确的是（）

A.e-b>1B.a+b<ab

C.a+4b<9D.J+lj+^+2j>8

【答案】AD

【分析】利用对数的运算法则化简，结合作差法和基本不等式比较大小，依次判断各选项.

【详解】因为2〃=5"=10,

所以a=log,10=l+log,5=」,b=108510=1+10852=^

-lg2lg5

11I5-12

对A选项，a-b=——-——=22>0,所以e“">e°=l,故A正确;

lg2lg5Ig51g2

i-加上+工-Ig5+lg2-lIglO-l

对B选项,=0,

lg2lg5lg2lg5Ig5.lg2Ig5-lg2

所以a+b=故B选项不正确;

对C选项，因为a,匕>。，—I—=1g2+1g5=1,

ab

所以々+4/?=（〃+46）［工+：］=竺+£+522^^~^+5=9,

而故上述不等式等号不成立，则，+4方>9,故C不正确;

对D选项，J-+1J+(^+2)=(lg2+1)2+(lg5+2)2=(lg2+1)2+(1-lg2+2)2

=21g22-41g2+10=2(lg2-l)2+8>8,故D正确.

故选：AD

10.已知函数/(尤)，g(x)的定义域均为R,且满足〃x)-g(2-x)=4,g(x)+/(尤-4)=6,

g(3-x)+g(l+无)=0,则()

A.f«-/(x-2)=-2B.g(x)的图象关于点(3,0)对称

60

C.g⑵=0D.2/(n)=-1620

n=l

【答案】AC

【分析】由g(3-x)+g(l+x)=。得出y=g(x)的图象关于点(2,0)对称，由g(x)+/(x-4)=6和

“X)-g(2-x)=4得出/(x)-4X-2)=-2可判断A；由g。+4)+f(x)=6和7(x)-g(2-x)=4可判断B；根

据g(x)的定义域均为R和图象关于点(2,0)对称可判断C；记%=〃2")，MN*,结合选

项A知数列｛%｝和数列也“｝均为等差数列，利用等差数列的求和公式可判断D.

【详解】g(3-x)+g(l+x)=O,

>=g(x)的图象关于点(2,0)对称，即g(2-x)=-g(x+2),

对于A,:g(x)+/(x-4)=6,g(x+2)+/(无一2)=6①，

1■,fkx]-g(2-x)=4-,/(x)+g(x+2)=4②，

②-①得“无)-/(无-2)=-2,故A正确；

对于B,1■,g(x)+/(x-4)=6,g(x+4)+y(x)=6③，

/W-g(2-x)=4(4),

③一④得g(x+4)+g(2r)=2,g(x)的图象关于点(3,1)对称，故B错误；

对于C,：g(x)的定义域为R且图象关于点(2,0)对称，；.g⑵=0,故C正确；

对于D,•••g(x)的定义域为R且图象关于点(3,1)对称，二g⑶=1,

由②知，当x=l时,/(l)+g(3)=4,f(l)=3,

当x=0时，/(0)+g(2)=4,/(0)=4,

...”尤)_f(x-2)=-2,f(2)-/(0)=-2,/(2)=2,

记bn=f(2n),„eN\

由选项A知，数列｛4｝是以3为首项，以-2为公差的等差数列，

数列圾｝是以2为首项，以-2为公差的等差数列，

cin=3+("—1)(—2)=—2n+5,6“=2+(〃—1)(—2)=—2n+4,

«&&30x(3-55)30x(2-56)

_q_L+_t_L=-1590,故D错误.

n=ln=ln=l乙/

故选：AC.

11.著名的德国数学家狄利克雷在19世纪提出了这样一个〃奇怪的〃函数：定义在R上的函数

[0]是无理数

。（可=「曰力谢.•后来数学家研究发现该函数在其定义域上处处不连续、处处不可导•根据该函数，以

[1,尤是有理数

下是真命题的有（）

A.D（x+y）＜D（x）+D（y）

B.。（尤）的图象关于V轴对称

C.A（X）=O（D（X））的图象关于'轴对称

D.存在一个正三角形，其顶点均在。（x）的图象上

【答案】BCD

【分析】特殊值代入验证A,D；利用偶函数定义判断B,C.

【详解】对于A,当x=0,丫=-夜时，D（x+y）=D（0）=l,卜0）=0+0=0,

O（x+y）＞O（x）+O（y）,故A错误；

对于B,因为。（x）的定义域为R,关于原点对称，

若-x是无理数，则x是无理数，所以O（-x）=0,D（x）=0；

若t是有理数，则x是有理数，所以O（-x）=l,D（x）=l；

所以。（r）=O（x）,

故O（x）是偶函数，图象关于丫轴对称，B正确；

对于C,由B可知，D（-x）=£＞（%）,所以2（T）=£＞（D（T））=£＞9（X））=4（X）,

故2（元）=。（。（k）是偶函数，图象关于y轴对称，C正确；

对于D,设4厂*,0,«g，。，C（0,l）,

则|/羽=体。=忸。，所以“BC是等边三角形，

又因为｛gJ=0,。用=°，。（°）=1，所以"RC的顶点均在。（力的图象上，D正确.

故选：BCD

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12.若/（尤）=1幅"+3，）+（无+心是偶函数,则实数。=.

【答案】-1

【分析】因为〃x）=log3（33，+3*）+（x+a）2是偶函数，所以/⑴=/（-1）,据此即可求解，注意检验.

【详解】因为〃x)=log3(3"+3*)+(x+a)2是偶函数，定义域为R,

9119

所以/(I)=/(—1),所以log3(27+3)+(l+a)?=log3(—+-)+(-1+a)2,

所以题3(30'部=所以。=—1,此时"x)=log3(33，+3')+(x-l)2,

2

〃T)=log3(30+3f)+(r-l)2=log3(^1^)+(x+I)

3xl2

=log3(3+3)+(%-l)=/(x)满足题意.

故答案为：-1.

13.已知函数〃x)=lg(Y+以+1)在区间(F,-2)上单调递减，则a的取值范围为.

【答案】y,|]

【分析】将〃制=坨任+改+1)可看作由y=lgw,〃=/+分+1复合而成，根据复合函数的单调性，列出不

等式，即可求得答案.

【详解】设"=/+办+1,则/(尤)=lg(x?+办+1)可看作由y=lg",a=V+办+1复合而成，

由于y=1g”在(0,+00)上单调递增，

故要使得函数〃x)=lg(f+办+1)在区间(-«，-2)上单调递减，

需满足〃>0在区间(口,-2)上恒成立，且比=/+办+1在区间(F,-2)上单调递减，

a

-------2-2S

故2,解得aV：,

(-2)2+(-2)a+l>0

故a的取值范围为(-8,g]，

故答案为：(-双三

1

14.已知幕函数/(x)=F1，若〃aT)<〃8—2a),则a的取值范围是.

【答案】(3,4)

【分析】根据题意得到幕函数“X)的定义域和单调性，得到不等式/(a-1)<〃8-2a)的等价不等式组，

即可求解.

1

【详解】由幕函数/(X)/邛=《=>，

⑺lylx

可得函数/(X)的定义域为(。,+8),且是递减函数，

4—1〉8—2〃

因为仆—1）</（8—2〃），可得4—1>0,解得3<a<4,

8-2〃〉0

即实数。的取值范围为（3,4）.

故答案为：（3,4）

四、解答题（本题共5小题，共77分，其中15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，

19题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.环保部门为了研究某池塘里某种植物生长面积S（单位：n?）与时间"单位：月）之间的关系，通过观察建

立了函数模型S（f）=电（eZk>0,a>0,且。*1）.已知第一个月该植物的生长面积为in?，第三个月该植物

的生长面积为4m2.

（1）求证：若5（05卜3）=（5（幻）~，则4+4=2马；

（2）若该植物的生长面积达到100n?以上，则至少要经过多少个月？

【答案】⑴证明见解析

（2）8个月

【分析】（1）先根据条件求出参数，利用指数的运算可得答案;

（2）根据题意可得2一>100,求解指数不等式即可.

S(1)=ka=1k=-

【详解】（1）证明：E2.

5(3)=fa/3=4

a=2

,

05(Z)=1x2=2^.

由S(%)S))2，得24T0T=2%-2,EZi+f3=2/2.

(2)令S⑺=2'T>100,又/eZ,S(7)=64<100,5(8)=128>100,

0Z>8,即至少需要经过8个月.

16.己知指数函数的图象过点

⑴求的解析式;

（2）若函数g（x）=/（2尤）-时（x-l）+l,且在区间（-L+⑹上有两个零点，求机的取值范围.

【答案】⑴〃尤）1

⑵G

【分析】⑴设〃力="(。＞0,且"1),根据函数过点心，制

，代入求出参数。的值，即可得解;

(2)首先求出g(x)的解析式，令/=,?e(O,2),令＞=产-2皿+1,re(O,2),则问题转化为

＞=产-2皿+1在fe(O,2)上有两个零点，根据二次函数根的分布得到不等式组，解得即可.

【详解】(1)由题意，设“x)=a*(。＞0,且"1),

国/(%)的图象过点，

解得0=:,

故函数“X)的解析式=.

(2)0g(x)=/(2x)-mf(x-l)+l,

%(x)=&『-2加9]+1,

令f=,因为xe(-l,+oo),所以te(O,2),

团y=——2mt+1,，£(0,2),

函数g(x)=]]-2mW+1在(T+8)上有两个零点，等价于片〃-2皿+1在1e(O,2)上有两个零点,

02-2mx0+l>0rl>0

22-2mx2+1>05

m<—A,5

则＜A=(-2m)2-4xlxl>0,即，4,

2i4

m2>1

八-2m.

0<--------<20<<

2m2

故实数机的取值范围为

17.已知函数/(x)Tog,(x+l)+logi(xT)，g(x)=x2-ar+6(aeR).

22

①求函数/(X)的定义域.

⑵判断函数“X)的奇偶性，并说明理由.

⑶对v尤小[6,+勾，龙241,2],不等式”不)/8(3)恒成立，求实数”的取值范围.

【答案】⑴(1,口)

⑵函数/(尤)为非奇非偶函数，理由见解析；

【分析】(1)根据函数g(x)的解析式有意义，得出不等式组，即可求解；

(2)根据函数f(x)的定义域的不关于原点对称，即可得到结论；

(3)根据题意，转化为了(X)maxVg(X)mm，根据函数/(X)的单调性，求得/原濡、=T，得到

VA:e[l,2],x2-<zx+7>0,

7711

法一：转化为V尤e[l,2],a4x+『令尤)=尤+不，求得加»1n=不，即可求解；

法二：分]22,和1<]<2,结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解.

【详解】(1)解：由函数〃耳=1°84*+1)+1°8乂》-1)有意义，则满足卜

解得X>1,所以函数“X)的定义域为(1,+8).

(2)解：因为的定义域为。，也)，不关于原点对称，

所以函数/(X)为非奇非偶函数.

⑶解：由"对e[省,+00),龙26[-2,4],不等式Vg(%)恒成立”，

可得/OOmax*⑴皿

当XW白时，/(x)=log[(x+l)+log1(xT=log#2T

222

由F(x)在[6+8)上单调递减，/Wmax=/(V3)=-1,

根据题意得，对Vxe[l,2],龙2—依+720

7

法一：可转化为Vxe[l,2],a4龙+[,

7711

令/7(x)=x+二由〃(x)在[1,2]上单调递减得，可得以尤)而"="2)=2+5=万，

实数。的取值范围为，'T-

法二：设函数g(x)=x?-5+7,

①当•|22,即a1时，g(x)在［1,2］上单调递减，

RT^g«mi11=^(2)=10-2a>-lt解得则44〃4甘；

②当晟41,即aW2时，g(x)在[L2]上单调递增,

可得g(x)min=g(l)=7—a2-l,解得aW8,贝UaW2；

③当1<晟<2,即2<。<4时，g(“在口，2］先减后增，

2

nr^g(x)mn=(1)-<2X|+7>-1,解得_40<aW40，所以2<a<4,

综上，实数。的取值范围为卜巴£.

18.已知函数/(力对于任意实数x,"R恒有/(x+y)=/(x)+/(y),且当x>0时，〃力>0,又"1)=1.

⑴判断〃x)的奇偶性并证明；

(2)求/(%)在区间［T4］的最小值;

⑶解关于x的不等式：/(OX2)-2/(X)>/(OX)-2.

【答案】⑴/(X)为奇函数，证明见解析

(2)T

⑶答案见解析

【分析】(1)令尤=y=o,得/'(0)=0,再令y=-x,结合奇偶性定义可证；

(2)先证明单调性，利用单调性求解即可；

⑶先化为了(加+2)>〃2尤+6),再利用单调性转化为⑪?-(a+2)x+2>0,最后根据含参二次不等式的

分类讨论求解即可.

【详解】(1)〃x)为奇函数，理由如下：

函数的定义域为R，关于原点对称，

令尤=y=0得〃0)=2/(0),解得"0)=0,

令y=T得〃力+〃—力=〃0)=0所以〃-%)=-/(%)对任意X€1<恒成立，所以“力为奇函数，

(2)任取玉,当e(r°，+co)，且玉<%，则超-玉>0.因为当了>0时，/(%)>0,所以〃%2-玉)>°-

即/(玉)<〃%)，所以f(%)在R上单调递增,

所以f(x)在区间［-4,4］的最小值为"T),

因为"1)=1,令尤=y=l得〃2)"(1)++⑴=2,

令X=2,y=2得〃4)=〃2+2)=〃2)+*2)=2+2=4,

/⑺在区间［-4,4］的最小值为/(^„=/(^1)=-/(4)=T,

(3)由7'(依2)_2/(%)>〃词_2,

由/(2)=2得/(ar2)+〃2)=y(ar2+2)>〃2x+ar),

由『⑺在R上单调递增得加+2>2》+融整理得加一(。+2)尤+2>0,即(依一2)(X一1)>0,

当a=0时，-2x+2>0,解得x<l；当awO时，—1(x-1)>0,

当。<。时，、-胃(xT)<0,|<0,解集为

当〃〉0时，fx—j(x—1)>0,

当4=2时，(x—l)2>0,解集为｛x|xwl｝,

当0<"2时，->1,解集为(-8,1)11(2,+00],

ayaJ

当a>2时，0<2<1,解集为(_oo,2]51,+co),

a\aJ

综上所述：当。=0时，解集为(-8,1)；