2025高考数学专项复习：立体几何初步（三大考向）教师版

第九饼更体几何初步（三大考向）

一:考情分析

命题解读考向考查统计

2022•新高考I卷，4

2023•新高考I卷，14

柱、锥、台体的表面2024•新高考I卷，5

1.高考对立体几何初步的考查，重点是掌握基本空间

积与体积2022•新高考II卷，11

图形及其简单组合体的概念和基本特征、解决多面体

2023•新高考II卷，9

和球体的相关计算问题。同时需要关注异面直线的

2023•新高考II卷，14

判定和成角问题、空间点线面的位置关系问题、夹角

2022•新高考I卷,8

距离问题、截面问题。这些问题对考生的空间想象能

球的切接问题2023•新高考I卷，12

力要求有所提升，需要考生有强大的逻辑推理能力。

2022•新高考II卷，7

2022•新高考I卷,9

夹角问题

2024•新高考II卷，7

二：2024高考命题分析

2024年高考新高考I卷考查了圆柱、圆锥表面积、体积的综合应用，II卷考查了以棱台为背景的线面角的

求法，总的来说,基本立体图形的表面积和体积属于常考点，难度一般是较易和适中，掌握基本的公式和提

升计算能力比较重要。预计2025年高考还是主要考查基本立体图形的表面积和体积，可以多多关注台体的

表面积和体积计算。

三:试题精讲

一、单选题

【题1】（2024新高考I卷-5）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为孤，则圆锥的体积

为（）

A.2V37tB.3V37tC.6V37tD.973u

【答案】B

【分析】设圆柱的底面半径为r,根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径r的方程，求出解后可求圆

锥的体积.

【详解】设圆柱的底面半径为r,则圆锥的母线长为Jd+3,

而它们的侧面积相等，所以2元「xV3=KTxV3+r2即2瓜=〃3+产,

故丁=3,故圆锥的体积为《兀x9xA/3=3V37t.

故选：B.

【题2；（2024新高考n卷-7）已知正三棱台4BC—4百G的体积为券，AB=6,45=2,则力/与平面

O

ABC所成角的正切值为（）

A.yB.1C.2D.3

【答案】B

【分析】解法一:根据台体的体积公式可得三棱台的高九=孝^，做辅助线，结合正三棱台的结构特

征求得AM=夸&,进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台ABC-45G补成

正三棱锥P-48。，人第与平面ABC所成角即为E4与平面ABC所成角，根据比例关系可得

VP-ABC=18，进而可求正三棱锥P-ABC的高，即可得结果.

【详解】解法一:分别取BC,BG的中点D,Di,则AD=3",AQi=V3,

可知SAABC=JX6x6x=9A/3,S.B、G=JX2XV3=V3,

设正三棱台ABC-45G的为九，

则^ABC-AXBXCX--^-(9A/3+A/3+V9A/3XV3=子,解得h=岑鼻，

OOO

如图，分别过4,A作底面垂线，垂足为M,N,设AM=x,

则AA,=y/AM2+A.M2=yjx2+-^~,DN=AD-AM-MN=2V3-a;,

2

可得DDi=YDN'DN=J(2V3-rr)+^,

结合等腰梯形BCGBi可得BBl=(521+DDt

即/+华=(2代—久)2+与+4,解得c=

OOO

所以//与平面ABC所成角的正切值为tan/44D=券，=1;

解法二：将正三棱台ABC-4B1G补成正三棱锥P-ABC,

则44与平面ABC所成角即为P4与平面ABC所成角，

因为篝=呼=!，则%-45G_1

JL-TIO^P-ABC27

可知^ABC-A^C,=^~^P-ABC="V-，则^P-ABC=18,

设正三棱锥P-ABC的高为d,则VP_ABC=4dx=x6x6x乎=18,解得d=2V3,

取底面ABC的中心为O,则POJ_底面ABC,且49=23，

所以_R4与平面ABC所成角的正切值tan/7%O=坐=1.

故选：B

高考真题练

一、单选题

!：：(2022新高考I卷4)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已

知该水库水位为海拔148.57n时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的

面积为180.Okn?,将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5nz上

升到157.5nl时，增加的水量约为2.65)()

A.1.0x10WB.1.2x109m3C.1.4x109m3D.1.6X109m3

【答案】。

【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出.

【详解】依题意可知棱台的高为MN=157.5-148.5=9(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V.

棱台上底面积S=140.0km2=140义10bm2,下底面积S'=180.0km2=180x10bm2,

V=^-/1(S+S,+VSS7)=-yX9x(140x106+180x106+V140xl80xl012)

=3x(320+6077)xl06«(96+18x2.65)x107=1.437x109«1.4x109(m3).

故选：C.

卜力(2022新高考I卷⑻已知正四棱锥的侧棱长为Z,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36兀，且3

则该正四棱锥体积的取值范围是()

A.[18,用B.吁，用C.[耳，喇D.[18,27]

【答案】。

【分析】设正四棱锥的高为h,由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确

定正四棱锥体积的取值范围.

【详解】；球的体积为36元，所以球的半径R=3,

［方法一］:导数法

设正四棱锥的底面边长为2a,高为h,

2

则l=2a2+无2,32=2Q2+（3-h『

所以6%=a，2Q2=f―仔

所以正四棱锥的体积V=-^-Sh-X4a2xh=-^-X（一一看）X《=《（片―/■），

333V36/69^367

所以广氐4户—案=括中），

当3WZW2萌时，口>0,当2西〈/43"时，/<0,

所以当2=2西时，正四棱锥的体积V取最大值，最大值为,

又2=3时，1/=平，1=30时，V=?,

所以正四棱锥的体积U的最小值为半，

所以该正四棱锥体积的取值范围是［今，号］.

故选：C.

［方法二］:基本不等式法

由方法一故所以丑=右24二3671f2）九='（］2_2九仇（12—2?+%+%］3=^^当

ooooLoJo

且仅当h=4取到），

当■时，得.=噜，则匕

当2=3小时，球心在正四棱锥高线上，此时%=；+3=小

亨。=等=。=口，正四棱锥体积%=出公肝售Al"斗〈管，故该正四棱锥体

4o

【题5】（2022新高考n卷-7）已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3©和4四,其顶点都在同一球面

上，则该球的表面积为（）

A.100兀B.128兀C.144兀D.192兀

【答案】4

【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径八,0,再根据球心距，圆面半径，以及球

的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积.

【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径「1,72,所以271=举条，2T2=，即八=3,◎=4,

smoOsmoO

2

设球心到上下底面的距离分别为dr,金，球的半径为A,所以&=VB-9,d2=—16，故|由一刈

=1或必+4=1,即|d优一9-VB2-161=1或VB2-9+VB2-16=1,解得&=25符合题意,所

以球的表面积为S—4兀&=100兀.

故选：A.

二、多选题

【题6】（2022新高考I卷-9）已知正方体ABCD—4B1GO1,则（）

A.直线BG与D4i所成的角为90°B.直线BQ与。I1所成的角为90°

C.直线BG与平面所成的角为45°D.直线BG与平面ABCD所成的角为45°

【答案】4BD

【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.

【详解】如图，连接BC、BG,因为。A1〃场。,所以直线BC.与8Q所成的角即为直线BG与DA1

所成的角，

因为四边形BBGC为正方形，则BC±8G,故直线8G与DA,所成的角为90°,A正确；

连接A.C,因为，平面，BQu平面BBC。,则A.B,±BC,,

因为BCBG,48/50=5,所以平面4BQ,

又AQu平面&BQ,所以故B正确；

连接AG,设AGnBn=o,连接BO,

因为85，平面4BGA,GOU平面ABCQi,则CQ±BXB,

因为GO，BQi,BQ1nB1B=81,所以CQ，平面BBQQ,

所以ZGBO为直线8cl与平面BBQQ所成的角，

设正方体棱长为1,则CQ=$~,BC\=6,sinZGBO=《，

所以，直线BG与平面BBQQ所成的角为30°,故。错误；

因为CQ，平面ABCD,所以NCiBC为直线BQ与平面ABCD所成的角，易得NGBC=45°,故

D正确.

故选：ABD

171（2023新高考I卷-12）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略

不计）内的有（）

A.直径为0.99m的球体B.所有棱长均为L4m的四面体

C.底面直径为0.01m,高为1.8m的圆柱体D.底面直径为1.2m,高为0.01巾的圆柱体

【答案】

【分析】根据题意结合正方体的性质逐项分析判断.

【详解】对于选项4因为0.99mVim,即球体的直径小于正方体的棱长,

所以能够被整体放入正方体内，故A正确；

对于选项B：因为正方体的面对角线长为n,且网＞1.4,

所以能够被整体放入正方体内，故8正确；

对于选项C：因为正方体的体对角线长为"小,且

所以不能够被整体放入正方体内，故。不正确；

对于选项。：因为1.2馆＞Lrn,可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，

如图，过AG的中点。作OELAG,设OEC4。=及

可知=四,CG=1,AG=四,OA=等，则tan/CAG=第=黑,

/AU

即J_警，解得OE=

V2

~2~

_3^_9__9_08,即乎＞0.6,

且==

—8—2425

故以AG为轴可能对称放置底面直径为1.2项圆柱，

若底面直径为1.2小的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心Oi,与正方体的下底面

的切点为M,

可知：AC,±OVM,OXM=0.6,贝"tan/CAG=,

.rlOAC/]_

即:=*-，解得491=0.6方，

V2AO1

根据对称性可知圆柱的高为V3-2x0.6V2«1.732-1.2x1.414=0.0352＞0.01,

所以能够被整体放入正方体内，故。正确；故选：ABD.

【题8】（2022新高考n卷•"）如图，四边形ABCD为正方形，ED_L平面ABCD,FB//ED,AB=ED=2FB,

记三棱锥E—ACO,F—ABC,F—ASE的体积分别为%,则（）

164

£

A.%=2%B.%=%C.%=%+&D.2%=3%

【答案】CD

【分析】直接由体积公式计算口，区,连接BD交AC于点M，连接EM,FM,由％=VA.EFM+V”FM

计算出％,依次判断选项即可.

设4B=ED=2FB=2a,因为即_L平面4BCD,FB//ED,^\VX=^--ED-5^^=-2a--

oJ/

(2a)2=-^-a3,

o

%=皆•FB-S^BC=^-•a•》(2a)2=连接BD交AC于点M,连接,易得BD±

OOZio

AC,

又ED_L平面ABCD,ACa平面ABC。，则ED_LAC,又EDCBD=D,ED,BDc平面BDEF,

则ACV平面BDEF,

又BM=DM=--BD=~a,过斤作FG_LDE于G,易得四边形BDGF为矩形，则FG=BD=

2V2a,EG=a,

则EM—y/(2a)2+(V2a)2=娓a、FM=^J(i+(V2a)2=V3a,EF=y/a?+(2V2a)2=3a,

22

EM?+FM=EF,则EM±FM,S^FM=--EM-FM=,AC=2^2a,

则KuL-EFw+ZyM!ACSAEFA^ZaS冽ZHnB%,M=3%,%=%+%,故错误；

o

C、D正确.

故选：CD.

[M&9](2023新高考II卷•9)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直径，NAPB=120°,24=2,点

。在底面圆周上，且二面角P-AC—。为45°,则().

A.该圆锥的体积为兀B.该圆锥的侧面积为4©兀

C.AC=26D.AB4。的面积为血

【答案】/C

【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断。选项的正确

性.

【详解】依题意，乙4尸口=120°,E4=2,所以OP=1,OA=O8=，^,

A选项，圆锥的体积为；x兀x(V3)2x1=兀，4选项正确；

■8选项，圆锥的侧面积为兀xV3x2=2^3K,B选项错误；

。选项，设。是AC的中点，连接OD,PD,

则47,00,47,PD,所以/PDO是二面角P—AC—O的平面角，

则NPDO=45°,所以。尸=00=1,

故川0二⑺二存辽二/^则AC=2V2,。选项正确；

。选项，即="”=2,所以X22><2=2,。选项错误.故选：AC.

三、填空题

(2023新高考I卷-14)在正四棱台ABCD-中，=2,4瓦=1,44=方，则该棱台的体

积为.

【答案】上络

6

【分析】结合图像，依次求得401，49,4M,从而利用棱台的体积公式即可得解.

【详解】如图，过4作4河，AC,垂足为河，易知4河为四棱台ABCD-ABCQ1的高，

因为AB=2,A1B1=l,AAr=V2,

则4Oi=-yAG=^xV2A1B1=^,AO=^-AC=^-xV2AB=V2,

乙乙乙乙乙

故AM=-i-(AC-AG)=率，则A,M=y/A^-AM2=，2-)=乎，

所以所求体积为v=Xx(4+i+V43a)x理=耳&.故答案为：苧.

3266

(2023新高考II卷-14)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2,

高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为

【答案】28

【分析】方法一：割补法，根据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案；方法二:根据台

体的体积公式直接运算求解.

【详解】方法一：由于，而截去的正四棱锥的高为3,所以原正四棱锥的高为6,

所以正四棱锥的体积为《X(4x4)x6=32,截去的正四棱锥的体积为：x(2x2)x3=4,

所以棱台的体积为32-4=28.

方法二:棱台的体积为々x3x(16+4+V16X4)=28.故答案为：28.

知识点总结

一、棱柱、棱锥、棱台

1、棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所

围成的多面体叫做棱柱.

(1)斜棱柱:侧棱不垂直于底面的棱柱；

(2)直棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱；

(3)正棱柱:底面是正多边形的直棱柱；

(4)平行六面体:底面是平行四边形的棱柱；

(5)直平行六面体:侧棱垂直于底面的平行六面体；

(6)长方体:底面是矩形的直平行六面体；

(7)正方体:棱长都相等的长方体.

2、棱锥:有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.

(1)正棱锥:底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；

(2)正四面体:所有棱长都相等的三棱锥.

3、棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫

做正棱台.

简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示.

正

斜棱柱四

棱柱棱

正棱柱柱

凸

多

面

体

正

方

体

二、圆柱、圆锥、圆台、球、组合体

1、圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱.

2、圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆

锥.

3、圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台.

4、球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经

过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）.

5、由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体.

三、表面积与体积计算公式

1、表面积公式

A~~

S直棱柱=ch-\-2s底巨

柱体S斜棱柱=c'l+2s底（"为直截面周长）

S圆锥=2兀丁2+2nrl=2兀『（丁+Z）

]/2nr

表S正棱锥=-^-nah,+S底

锥体

面

S圆锥=兀/+兀包=7tr(r+1)

积41

a

S正棱台=4打（"++$上+S卜.

台体

S圆台=兀（『'2+产+rfl+rt）9,

168

©

球S=4TCR2

2、体积公式

柱体Vti=Sh©

锥体上=白九

O

体

积

台体V^.=^-(S+VsS'+S')h

球

JVZ7

四、空间几何体的直观图

1、斜二测画法

斜二测画法的主要步骤如下：

（1）建立直角坐标系.在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的。土，。沙,建立直角坐标系.

（2）画出斜坐标系.在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形.在已知图形平行于立轴的线段，在直观图

中画成平行于03,，使Ax'O'y'=45°（或135°）,它们确定的平面表示水平平面.

（3）画出对应图形.在已知图形平行于2轴的线段，在直观图中画成平行于〃轴的线段，且长度保持不变；

在已知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于？/轴，且长度变为原来的一般.可简化为“横不变，纵

减半”.

（4）擦去辅助线.图画好后，要擦去必轴、式轴及为画图添加的辅助线（虚线）.被挡住的棱画虚线.

注:直观图和平面图形的面积比为V2：4.

五、四个基本事实

基本事实1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.

169

注意：（1）此公理是判定直线在平面内的依据；（2）此公理是判定点在面内的方法

基本事实2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.

注意：（1）此公理是确定一个平面的依据；（2）此公理是判定若干点共面的依据

推论①:经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；

注意：（1）此推论是判定若干条直线共面的依据

（2）此推论是判定若干平面重合的依据

（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据

推论②:经过两条相交直线，有且只有一个平面；

推论③:经过两条平行直线，有且只有一个平面；

基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

注意：（1）此公理是判定两个平面相交的依据

（2）此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点）

（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据

基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

六、直线与直线的位置关系

位置关系相交（共面）平行（共面）异面

图形/X7士

符号aC\b=Pa//baC\a=A,bczb

公共点个100

数

特征两条相交直线确定一个平面两条平行直线确定一个平面两条异面直线不同在如何

一个平面内

七、直线与平面的位置关系

位置关系包含（面内线）相交（面外线）平行（面外线）

图形

//

符号1Cair\a=P1〃a

公共点个数无数个10

八、平面与平面的位置关系

位置关系平行相交（但不垂直）垂直

图形

a

符号allBaJ_an6=Z

公共点个数0无数个公共点且都在唯无数个公共点且都在唯一

一的一条直线上的一条直线上

九、等角定理

1、定义：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

十、直线和平面平行

1、定义

直线与平面没有公共点，则称此直线Z与平面a平行，记作1//a

2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

如果平面外的一条直线和这个平l//h'

线〃线0面内的一条直线平行，那么这条直ICa>=>/〃]

配aJ

线〃面线和这个平面平行（简记为“线线

平行=>线面平行

如果两个平面平行,那么在一个平a〃/

>na〃£

面〃面=>面内的所有直线都平行于另一个aUa

线〃面平面

3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

如果一条直线和一个Illa'

平面平行，经过这条

线〃面3线〃线直线的平面和这个平

面相交，那么这条直

线就和交线平行

十一、两个平面平行

1、定义

没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面a和若aCB=0,则aH§

2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

判定定理如果一个平面内有两条相aUa,bUa,aCb=P

线〃面=>交的直线都平行于另一个

面〃面平面,那么这两个平面平行

（简记为“线面平行二面面

平行

线_1_面如果两个平面同垂直于一

=>面〃面条直线，那么这两个平面平A/

行

/‘/

3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

如果两个平面平行，那么

面〃面=>

在一个平面中的所有直aII

线〃面Zz_/:na〃6

线都平行于另外一个平aUaJ

面4~7

如果两个平行平面同时

aII

和第三个平面相交，那么

性质定理午aPl7=a'=a”b.

他们的交线平行（简记为6n7=4

“面面平行二线面平行”）

如果两个平面中有一个

面〃面二垂直于一条直线,那么另

线_1_面一个平面也垂直于这条

直线三

十二、直线与平面垂直

1、直线与平面垂直的定义

如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直.

2、判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

一条直线与一个平1a,bUa

面内的两条相交直aJ_Z

判断定理>n/J_a

线都垂直,则该直b±l

线与此平面垂直7aC\b=P

两个平面垂直，则

a_L£'

在一个平面内垂直aC\^=a

面_L面n线_L面今bJ_a

于交线的直线与另buR

bA_a_

一个平面垂直

一条直线与两平行

平面中的一个平面

平行与垂直的关系>na工B

垂直，则该直线与QJ_a,

另一个平面也垂直

两平行直线中有一

条与平面垂直，则a//b

平行与垂直的关系>=bJ_a

另一条直线与该平aJ_a.

面也垂直

3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

垂直于同一平面的a_La

性质定理■a//b

两条直线平行bJLa_

文字语言图形语言符号语言

垂直于同一直线的a,La

垂直与平行的关系>na〃£

两个平面平行3J

如果一条直线垂直

于一个平面，则该直

线垂直于面的性质

线与平面内所有直

线都垂直

十三、平面与平面垂直

1、平面与平面垂直的定义

如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直.

（如图所示，若。06=8,8_17,且［07=幺6,607=8后,45_18后,则0_1£）

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.

2、判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

判定定理一个平面过另一b.La].n

个平面的垂线，则

这两个平面垂直

知识点6：性质定理(文字语言、图形语言、符号语言)

文字语言图形语言符号语言

性质定理两个平面垂直，则一a.L/3、

aC\^=a

个平面内垂直于交>=>b_La

bu/3

线的直线与另一个b.La

平面垂直

十四、直线与平面所成的角

1、定义

①斜线和斜足:如图，一条直线Z与一个平面〃相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的

斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足.

②斜线在平面上的射影：如图，过斜线上斜足以外的一点P向平面〃引垂线PO,过垂足O和斜足A的

直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.

③斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所

成的角.

2、直线与平面所成的角的范围

①一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是”.

②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是9().

③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角H的范围是""<//'1>(I.

④直线与平面所成的角”的取值范围是。〃•"0'.

十五、二面角

1、二面角的定义

①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面.

②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个

半平面叫做二面角的面.

2、二面角的表示

①棱为AB,面分别为〃，/.的二面角记作二面角“一AB—,‘，，如果棱记作Z,那么这个二面角记作二面角

—Z—4,如图(1).

②若在°,/),内分别取不在棱上的点P,Q,这个二面角可记作二面角P—AB—Q,如果棱记作Z,那么这

个二面角记作二面角P—Z—Q,如图(2).

—

3、二面角的平面角

①自然语言

在二面角46的棱1上任取一点。，以点。为垂足，在半平面a和6内分别作垂直于棱，的射线OA和

05,则射线OA和OB构成的ZAOB叫做二面角的平面角.

②图形语言

/7B同

③符号语言

aflQ=I・Oel,OACa,OBJ.OALl.OB11/AOB叫做二面角a—/—0的平面角.

4、二面角大小的度量

①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面

角是直角的二面角叫做直二面角.

②当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是。；当二面角的两个半平面合成一个平面时，

规定二面角的大小是IX。.所以二面角的平面角,，的范围是•1X0.

名校模拟练

一、单选题

（2024•重庆•三模）若圆锥的母线长为2,且母线与底面所成角为伴,则该圆锥的侧面积为（）

A.V27tB.2兀C.2V27tD.4兀

【答案】。

【分析】根据题意，求得圆锥底面圆的半径，结合圆锥的侧面积公式，即可求解.

【详解】圆锥的母线长为2,母线与底面所成角为十,所以底面圆的半径为r=2sin-^-=V2,

所以该圆锥的侧面积为S何=兀XV2X2=2\/27t.

故选：C

（2024•河北秦皇岛•三模）已知小，n表示两条不同的直线，a表示平面，则（）

A.若？？2〃九〃a,贝寸？?2〃B.若？n〃a,?72_Ln